專題05 阿氏圓求最小值（原卷版）

中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第5節(jié)阿氏圓求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：【破解策略詳細(xì)步驟解析】例題演練例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+4x的頂點(diǎn)為點(diǎn)A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于﹣6的點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，過點(diǎn)P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，若在坐標(biāo)平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足PQ＝，求OQ+QC的最小值；練1.1如圖1，拋物線y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若＝，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．練1.2如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜8），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B．①在x軸上找一點(diǎn)Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．②求BE′+AE′的最小值．練1.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P．連接AC．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接FA、FC．求AF+CF的最小值；練1.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由．練1.5如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（，0），B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H．（1）求拋物線的解