人工智能及應(yīng)用 課件

不確定性推理證據(jù)理論不確定性推理證據(jù)理論1D-S理論證據(jù)理論是由德普斯特(A.P.Dempster)提出，并由沙佛(G.Shfer)進(jìn)一步發(fā)展起來的一種處理不確定性的理論。也稱為D-S理論。其將概率的單點(diǎn)賦值擴(kuò)展為集合賦值，弱化了公理系統(tǒng)。處理由不知道引起的的不確定性。D-S理論證據(jù)理論是由德普斯特(A.P.Dempster)提2概率分配函數(shù)定義4-1：設(shè)Ω是樣本集，則由Ω的所有子集構(gòu)成的集合稱為Ω的冪集，記為2Ω。例：設(shè)Ω={紅，黃，白}，求Ω的冪集2Ω解：Ω的冪集元素為Φ，{紅}，{黃}，{白}，{紅，黃}，{紅，白}，{黃，白}，{紅，黃，白}。概率分配函數(shù)定義4-1：設(shè)Ω是樣本集，則由Ω的所有子集構(gòu)成的3概率分配函數(shù)定義4-2：設(shè)函數(shù)m:2Ω→[0,1]，且滿足

m(Φ)=0∑A?Ωm(A)=1稱m是2Ω上的概率分配函數(shù)，m(A)稱為A的基本概率數(shù)。概率分配函數(shù)定義4-2：設(shè)函數(shù)m:2Ω→[0,1]，且滿足4概率分配函數(shù)例：為上一個例子定義一個概率分配函數(shù)。解：m(Φ，{紅}，{黃}，{白}，{紅，黃}，{紅，白}，{黃，白}，{紅，黃，白})={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}概率分配函數(shù)例：為上一個例子定義一個概率分配函數(shù)。5概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明概率分配函數(shù)將樣本空間中的任意子集映射到［０，１］的一個數(shù)。當(dāng)子集是一個元素時，表示對此元素的精確信任度，也是對子集的精確信任度。當(dāng)子集是多個元素時，表示對子集的精確信任度，但不清楚子集中每個元素的信任度。當(dāng)子集是樣本空間時，不知道如何將信任度分配給每個元素。概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明概率分配函數(shù)將樣本空間中的任意子集映射6概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明如例中A={紅}，m({紅})=0.3表示對紅的精確信任度是0.3；A={紅，黃，白}，m({紅，黃，白})=0.2表示這些信任度不知道如何分配給集合中的元素。概率分配函數(shù)不是概率。不滿足概率的歸一性。概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明如例中A={紅}，m({紅})=0.7信任函數(shù)定義4-3：信任函數(shù)(Belieffunction)

Bel:2Ω→[0,1]為對任給的A?ΩBel(A)=∑B?Am(B)

Bel函數(shù)又稱為下限函數(shù)，表示對A的總的信任度。

信任函數(shù)定義4-3：信任函數(shù)(Belieffunction8信任函數(shù)接前例：Bel(Φ)=0Bel({紅})=0.3Bel({紅,白})=Bel({紅})+Bel({白})+Bel({紅,白})=0.3+0.1+0.2=0.6Bel({紅,白,黃})=Bel({紅})+Bel({白})+Bel({黃})+Bel({紅,白})+Bel({紅,黃})+Bel({黃,白})+Bel({紅,黃,白})=1信任函數(shù)接前例：9信任函數(shù)Bel(Φ)=m(Φ)=0Bel(Ω)=∑B?Ωm(B)=1信任函數(shù)Bel(Φ)=m(Φ)=010似然函數(shù)定義4-4：似然函數(shù)(Plausibilityfunction)

Pl(A):2Ω→[0,1]對任給的A?ΩPl(A)=1-Bel(?A)似然函數(shù)又稱為不可駁斥函數(shù)或上限函數(shù)。表示對A非假的信任度。

似然函數(shù)定義4-4：似然函數(shù)(Plausibilityfu11似然函數(shù)接前例：Pl({紅})=1-Bel(?{紅})=1-Bel({黃,白})=1-Bel({黃})-Bel({白})-Bel({黃,白})=0.9Pl({黃,白})=1-Bel(?{黃,白})=1-Bel({紅})=0.7似然函數(shù)接前例：12似然函數(shù)可以證明

Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)∑{紅}∩B≠Φm(B)=m({紅})+m({紅,白})+m({紅,黃})+m({紅,白,黃})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9∑{黃,白}∩B≠Φm(B)=m({黃})+m({白})+m({紅,黃})+m({白,黃})+m({紅,白})+m({紅,白,黃})=0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7似然函數(shù)可以證明13似然函數(shù)Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(?A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-(Bel(?A)+∑A∩B≠Φm(B))=1-(∑B??Am(B)+∑A∩B≠Φm(B))=1-∑B?Ω

m(B)=0∴Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)似然函數(shù)Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(?A14信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系定理4-1：信任函數(shù)與似然函數(shù)有如下關(guān)系：對任給的A?Ω有

Pl(A)≥Bel(A)證明：

∵Bel(A)+Bel(?A)=∑B?Am(B)+∑C??Am(C)≤∑B?Ωm(B)=1信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系定理4-1：信任函數(shù)與似然函數(shù)有如下15信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系又∵Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(?A)-Bel(A)=1-(Bel(?A)+Bel(A))≥0∴Pl(A)≥Bel(A)信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系又∵16使用信任函數(shù)與似然函數(shù)Bel(A)：表示A為真的信任度，為信任度下限。Pl(A)：表示A為非假的信任度，為信任度的上限。使用信任函數(shù)與似然函數(shù)Bel(A)：表示A為真的信任度，為信17使用信任函數(shù)與似然函數(shù)表示事物的不確定性可以由事物的這兩個函數(shù)值來描述，例如{紅}{紅}：[0.3,0.9]表示{紅}的精確信任度為0.3，不可駁斥部分為0.9，而肯定不是{紅}的為0.1使用信任函數(shù)與似然函數(shù)表示事物的不確定性可以由事物的這兩個函18典型值的含義A[0,1]：說明對A一無所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1,說明對A沒有信任，對?A也沒有信任。A[0,0]：說明A為假。Bel(A)=0,Pl(A)=0，Bel(?A)=1。A[1,1]：說明A為真。典型值的含義A[0,1]：說明對A一無所知。Bel(A)=019概率分配函數(shù)的正交和定義4-5：設(shè)m和n是兩個不同的概率分配函數(shù)，其正交和m⊕n滿足

m⊕n(Φ)=0m⊕n(A)=K-1X∑x∩y=Am(x)Xn(y)

其中K=1-∑x∩y=Φm(x)Xn(y)概率分配函數(shù)的正交和定義4-5：設(shè)m和n是兩個不同的概率分配20概率分配函數(shù)的正交和設(shè)m1,m2,…,mn是n個不同的概率分配函數(shù)，其正交和m1⊕

m2⊕,…,⊕mn滿足

m1⊕

m2⊕,…,⊕mn(Φ)=0m1⊕

m2⊕,…,⊕mn(A)=K-1X∑∩Ai=A∏1≤i≤nmi(Ai)

其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤nmi(Ai)概率分配函數(shù)的正交和設(shè)m1,m2,…,mn是n個不同的概率分21概率分配函數(shù)的正交和例：設(shè)樣本空間Ω={a,b},從不同的知識來源得到的概率分配函數(shù)分別為：m1(Φ,{a},,{a,b})=(0,0.4,0.5,0.1)m2(Φ,{a},,{a,b})=(0,0.6,0.2,0.2)求正交和m=m1⊕

m2？概率分配函數(shù)的正交和例：設(shè)樣本空間Ω={a,b},從不同的知22概率分配函數(shù)的正交和解：先求K-1K-1=1-∑x∩y=Φm1(x)Xm2(y)=1-m1({a})xm2()-m1()xm2({a})=1-0.3x0.3-0.5x0.6=0.61

概率分配函數(shù)的正交和解：先求K-123概率分配函數(shù)的正交和m(Φ)=0m({a})=K-1∑x∩y={a}m1(x)Xm2(y)=K-1(m1({a})Xm2((a,b})+m1({a})Xm2({a})+m1({a,b})Xm2({a}))=0.54

m()=0.43m({a,b})=0.03概率分配函數(shù)的正交和m(Φ)=024D-S理論的推理模型如前面介紹，可以使用信任函數(shù)和似然函數(shù)表示命題A的信任度下限和上限。我們使用同樣的方式表示知識信任度。似然函數(shù)和信任函數(shù)的計算是建立在概率分配函數(shù)的基礎(chǔ)之上，概率分配函數(shù)不同，結(jié)論會不同。D-S理論的推理模型如前面介紹，可以使用信任函數(shù)和似然函數(shù)表25一類特殊的概率分配函數(shù)設(shè)Ω={s1,s2,,…,sn},m為定義在2Ω上的概率分配函數(shù)，且m滿足：m({si})≥0,對任給si?Ω∑m({si})≤1m(Ω)=1-∑m({si})當(dāng)A?Ω，且A的元素多于1個或沒有元素，則m(A)=0。一類特殊的概率分配函數(shù)設(shè)Ω={s1,s2,,…,sn},m為26一類特殊的概率分配函數(shù)對上面的概率分配函數(shù)，可以得到信任函數(shù)和似然函數(shù)的性質(zhì)：Bel(A)=∑si?Am(si)Bel(Ω)=∑si?Ωm(si)+m(Ω)=1Pl(A)=1-Bel(?A)=1-∑si??Am(si)=1-∑si?Ωm(si)+∑si?Am(si)=m(Ω)+Bel(A)Pl(Ω)=1-Bel(?Ω)=1一類特殊的概率分配函數(shù)對上面的概率分配函數(shù)，可以得到信任函數(shù)27類概率函數(shù)定義4-6：設(shè)Ω為有限域，對任何命題A?Ω其類概率函數(shù)為f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|[Pl(A)-Bel(A)]其中|A|和|Ω|表示A和Ω中的元素個數(shù)。類概率函數(shù)定義4-6：設(shè)Ω為有限域，對任何命題A?Ω其類概率28類概率函數(shù)的性質(zhì)∑si?Ωf(si)=1證明：∵f({si})=Bel({si})+|{si}|/|Ω|[Pl({si})-Bel({si})]=m({si})+(1/n)m(Ω)∴∑si?Ωf(si)=∑si?Ωm(si)+m(Ω)=1類概率函數(shù)的性質(zhì)∑si?Ωf(si)=129類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A)證明：∵Pl(A)-Bel(A)≥0,|A|/|Ω|>0∴Bel(A)≤f(A)∴f(A)≤Bel(A)+[Pl(A)-Bel(A)]=Pl(A)類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(30類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有f(?A)=1-f(A)證明：∵f(?A)=Bel(?A)+|?A|/|Ω|[Pl(?A)-Bel(?A)]|?A|=|Ω|-|A|Pl(?A)-Bel(?A)=m(Ω)Bel(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有f(?A)=1-f(A)31類概率函數(shù)的性質(zhì)∴f(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)+(|Ω|-|A|)/|Ω|m(Ω)=1-Bel(A)-m(Ω)+m(Ω)-|A|/|Ω|m(Ω)=1-(Bel(A)+|A|/|Ω|(Pl(A)-Bel(A)))=1-f(A)類概率函數(shù)的性質(zhì)∴f(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)+32類概率函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)前面的性質(zhì)可以很容易得到

f(Φ)=0

f(Ω)=1對任何A?Ω,0≤f(A)≤1類概率函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)前面的性質(zhì)可以很容易得到33知識不確定性的表示D-S理論中，不確定性知識的表示形式為

ifEthenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}其中：E為前提條件，它可以是簡單條件，也可以是復(fù)合條件；H是結(jié)論，它用樣本空間的子集表示，h1,h2,,…,hn是該子集的元素；CF是可信度因子，用集合的方式表示。c1,c2,,…,cn用來表示h1,h2,,…,hn的可信度。知識不確定性的表示D-S理論中，不確定性知識的表示形式為34證據(jù)不確定性的表示證據(jù)的不確定性由證據(jù)的類概率函數(shù)給出。

CER(E)=f(E)證據(jù)不確定性的表示證據(jù)的不確定性由證據(jù)的類概率函數(shù)給出。35不確定性的更新設(shè)有知識ifEthenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}

證據(jù)E的不確定性為CER(E)，確定結(jié)論H的不確定性描述CER(H)，方法如下：求H的概率分配函數(shù)m({h1},{h2},,…,{hn})=(c1XCER(E),c2XCER(E),,…,cnXCER(E))m(Ω)=1-∑m({hi})不確定性的更新設(shè)有知識36不確定性的更新求Bel(H),Pl(H)及f(H)

Bel(H)=∑m({hi})Pl(H)=1-Bel(?H)f(H)=Bel(H)+|H|/|Ω|m(Ω)CER(H)=f(H)不確定性的更新求Bel(H),Pl(H)及f(H)37結(jié)論不確定性的合成如果有兩條知識支持同一結(jié)論ifE1thenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}ifE2thenH={h1,h2,,…,hn}CF={e1,e2,,…,en}先求出每條知識的概率分配函數(shù)m1,m2,然后求出兩個概率分配函數(shù)的正交和m1⊕

m2以正交和作為H的概率分配函數(shù)。結(jié)論不確定性的合成如果有兩條知識支持同一結(jié)論38示例設(shè)有如下規(guī)則r1:ifE1and

E2thenA={a1,a2}CF={0.3,0.5}r2:ifE3and(E4or

E5)thenB={b1}CF={0.7}r3:ifA

thenH={h1,h2,h3}CF={0.1,0.5,0.3}r4:ifB

thenH={h1,h2,h3}CF={0.4,0.2,0.1}用戶給出CER(E1)=0.8,CER(E2)=0.6CER(E3)=0.9,CER(E4)=0.5,CER(E5)=0.7并假定Ω中有10個元素，求CER(H)=？示例設(shè)有如下規(guī)則39示例求CER(A)CER(E1and

E2)=min{CER(E1),CER(E2)}=0.6m({a1},{a2})=(0.6*0.3,0.6*0.5)=(0.18,0.3)Bel(A)=0.18+0.3=0.48Pl(A)=1-Bel(?A)=1-0=1f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))=0.48+2/10*(1-0.48)=0.584CER(A)=f(A)=0.584示例求CER(A)40示例求CER(B)CER(E3and(E4orE5))=0.7m({b1})=(0.7*0.7)=(0.49)Bel(B)=0.49Pl(B)=1-Bel(?B)=1-0=1f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))=0.49+1/10*(1-0.49)=0.541CER(A)=f(A)=0.541示例求CER(B)41示例求CER(H)由規(guī)則r3可得m1({h1},{h2},{h3})=(CER(A)*0.1,CER(A)*0.5,CER(A)*0.3)=(0.058,0.292,0.175)m1(Ω)=1-[m1({h1})+m1({h2})+m1({h3})]=0.475示例求CER(H)42示例由規(guī)則r4可得m2({h1},{h2},{h3})=(CER(A)*0.4,CER(A)*0.2,CER(A)*0.1)=(0.216,0.108,0.054)m2(Ω)=1-[m2({h1})+m2({h2})+m2({h3})]=0.622示例由規(guī)則r4可得43示例求正交和m=m1⊕m2K=1-∑x∩y=Φm1(x)Xm2(y)=0.855m({h1})=K-1X∑x∩y={h1}m1(x)Xm2(y)=(1/0.855)[m1({h1})Xm2({h1})+m1({h1})Xm2({Ω})+m1({Ω})Xm2({h1})]=0.178m({h2})=0.309m({h3})=0.168m({Ω})=0.345示例求正交和m=m1⊕m244示例求CER(H)Bel(H)=m({h1})+m({h2})+m({h3})=0.655Pl(H)=m(Ω)+Bel(H)=1f(H)=Bel(H)+|H|/|Ω|*(Pl(H)-Bel(H))=0.759CER(H)=f(H)=0.759示例求CER(H)45證據(jù)理論的優(yōu)點(diǎn)滿足比概率更弱的公理系統(tǒng).能處理由”不知道”引起的不確定性.證據(jù)理論的優(yōu)點(diǎn)滿足比概率更弱的公理系統(tǒng).46不確定性推理證據(jù)理論不確定性推理證據(jù)理論47D-S理論證據(jù)理論是由德普斯特(A.P.Dempster)提出，并由沙佛(G.Shfer)進(jìn)一步發(fā)展起來的一種處理不確定性的理論。也稱為D-S理論。其將概率的單點(diǎn)賦值擴(kuò)展為集合賦值，弱化了公理系統(tǒng)。處理由不知道引起的的不確定性。D-S理論證據(jù)理論是由德普斯特(A.P.Dempster)提48概率分配函數(shù)定義4-1：設(shè)Ω是樣本集，則由Ω的所有子集構(gòu)成的集合稱為Ω的冪集，記為2Ω。例：設(shè)Ω={紅，黃，白}，求Ω的冪集2Ω解：Ω的冪集元素為Φ，{紅}，{黃}，{白}，{紅，黃}，{紅，白}，{黃，白}，{紅，黃，白}。概率分配函數(shù)定義4-1：設(shè)Ω是樣本集，則由Ω的所有子集構(gòu)成的49概率分配函數(shù)定義4-2：設(shè)函數(shù)m:2Ω→[0,1]，且滿足

m(Φ)=0∑A?Ωm(A)=1稱m是2Ω上的概率分配函數(shù)，m(A)稱為A的基本概率數(shù)。概率分配函數(shù)定義4-2：設(shè)函數(shù)m:2Ω→[0,1]，且滿足50概率分配函數(shù)例：為上一個例子定義一個概率分配函數(shù)。解：m(Φ，{紅}，{黃}，{白}，{紅，黃}，{紅，白}，{黃，白}，{紅，黃，白})={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}概率分配函數(shù)例：為上一個例子定義一個概率分配函數(shù)。51概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明概率分配函數(shù)將樣本空間中的任意子集映射到［０，１］的一個數(shù)。當(dāng)子集是一個元素時，表示對此元素的精確信任度，也是對子集的精確信任度。當(dāng)子集是多個元素時，表示對子集的精確信任度，但不清楚子集中每個元素的信任度。當(dāng)子集是樣本空間時，不知道如何將信任度分配給每個元素。概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明概率分配函數(shù)將樣本空間中的任意子集映射52概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明如例中A={紅}，m({紅})=0.3表示對紅的精確信任度是0.3；A={紅，黃，白}，m({紅，黃，白})=0.2表示這些信任度不知道如何分配給集合中的元素。概率分配函數(shù)不是概率。不滿足概率的歸一性。概率分配函數(shù)的兩點(diǎn)說明如例中A={紅}，m({紅})=0.53信任函數(shù)定義4-3：信任函數(shù)(Belieffunction)

Bel:2Ω→[0,1]為對任給的A?ΩBel(A)=∑B?Am(B)

Bel函數(shù)又稱為下限函數(shù)，表示對A的總的信任度。

信任函數(shù)定義4-3：信任函數(shù)(Belieffunction54信任函數(shù)接前例：Bel(Φ)=0Bel({紅})=0.3Bel({紅,白})=Bel({紅})+Bel({白})+Bel({紅,白})=0.3+0.1+0.2=0.6Bel({紅,白,黃})=Bel({紅})+Bel({白})+Bel({黃})+Bel({紅,白})+Bel({紅,黃})+Bel({黃,白})+Bel({紅,黃,白})=1信任函數(shù)接前例：55信任函數(shù)Bel(Φ)=m(Φ)=0Bel(Ω)=∑B?Ωm(B)=1信任函數(shù)Bel(Φ)=m(Φ)=056似然函數(shù)定義4-4：似然函數(shù)(Plausibilityfunction)

Pl(A):2Ω→[0,1]對任給的A?ΩPl(A)=1-Bel(?A)似然函數(shù)又稱為不可駁斥函數(shù)或上限函數(shù)。表示對A非假的信任度。

似然函數(shù)定義4-4：似然函數(shù)(Plausibilityfu57似然函數(shù)接前例：Pl({紅})=1-Bel(?{紅})=1-Bel({黃,白})=1-Bel({黃})-Bel({白})-Bel({黃,白})=0.9Pl({黃,白})=1-Bel(?{黃,白})=1-Bel({紅})=0.7似然函數(shù)接前例：58似然函數(shù)可以證明

Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)∑{紅}∩B≠Φm(B)=m({紅})+m({紅,白})+m({紅,黃})+m({紅,白,黃})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9∑{黃,白}∩B≠Φm(B)=m({黃})+m({白})+m({紅,黃})+m({白,黃})+m({紅,白})+m({紅,白,黃})=0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7似然函數(shù)可以證明59似然函數(shù)Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(?A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-(Bel(?A)+∑A∩B≠Φm(B))=1-(∑B??Am(B)+∑A∩B≠Φm(B))=1-∑B?Ω

m(B)=0∴Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)似然函數(shù)Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(?A60信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系定理4-1：信任函數(shù)與似然函數(shù)有如下關(guān)系：對任給的A?Ω有

Pl(A)≥Bel(A)證明：

∵Bel(A)+Bel(?A)=∑B?Am(B)+∑C??Am(C)≤∑B?Ωm(B)=1信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系定理4-1：信任函數(shù)與似然函數(shù)有如下61信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系又∵Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(?A)-Bel(A)=1-(Bel(?A)+Bel(A))≥0∴Pl(A)≥Bel(A)信任函數(shù)與似然函數(shù)的關(guān)系又∵62使用信任函數(shù)與似然函數(shù)Bel(A)：表示A為真的信任度，為信任度下限。Pl(A)：表示A為非假的信任度，為信任度的上限。使用信任函數(shù)與似然函數(shù)Bel(A)：表示A為真的信任度，為信63使用信任函數(shù)與似然函數(shù)表示事物的不確定性可以由事物的這兩個函數(shù)值來描述，例如{紅}{紅}：[0.3,0.9]表示{紅}的精確信任度為0.3，不可駁斥部分為0.9，而肯定不是{紅}的為0.1使用信任函數(shù)與似然函數(shù)表示事物的不確定性可以由事物的這兩個函64典型值的含義A[0,1]：說明對A一無所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1,說明對A沒有信任，對?A也沒有信任。A[0,0]：說明A為假。Bel(A)=0,Pl(A)=0，Bel(?A)=1。A[1,1]：說明A為真。典型值的含義A[0,1]：說明對A一無所知。Bel(A)=065概率分配函數(shù)的正交和定義4-5：設(shè)m和n是兩個不同的概率分配函數(shù)，其正交和m⊕n滿足

m⊕n(Φ)=0m⊕n(A)=K-1X∑x∩y=Am(x)Xn(y)

其中K=1-∑x∩y=Φm(x)Xn(y)概率分配函數(shù)的正交和定義4-5：設(shè)m和n是兩個不同的概率分配66概率分配函數(shù)的正交和設(shè)m1,m2,…,mn是n個不同的概率分配函數(shù)，其正交和m1⊕

m2⊕,…,⊕mn滿足

m1⊕

m2⊕,…,⊕mn(Φ)=0m1⊕

m2⊕,…,⊕mn(A)=K-1X∑∩Ai=A∏1≤i≤nmi(Ai)

其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤nmi(Ai)概率分配函數(shù)的正交和設(shè)m1,m2,…,mn是n個不同的概率分67概率分配函數(shù)的正交和例：設(shè)樣本空間Ω={a,b},從不同的知識來源得到的概率分配函數(shù)分別為：m1(Φ,{a},,{a,b})=(0,0.4,0.5,0.1)m2(Φ,{a},,{a,b})=(0,0.6,0.2,0.2)求正交和m=m1⊕

m2？概率分配函數(shù)的正交和例：設(shè)樣本空間Ω={a,b},從不同的知68概率分配函數(shù)的正交和解：先求K-1K-1=1-∑x∩y=Φm1(x)Xm2(y)=1-m1({a})xm2()-m1()xm2({a})=1-0.3x0.3-0.5x0.6=0.61

概率分配函數(shù)的正交和解：先求K-169概率分配函數(shù)的正交和m(Φ)=0m({a})=K-1∑x∩y={a}m1(x)Xm2(y)=K-1(m1({a})Xm2((a,b})+m1({a})Xm2({a})+m1({a,b})Xm2({a}))=0.54

m()=0.43m({a,b})=0.03概率分配函數(shù)的正交和m(Φ)=070D-S理論的推理模型如前面介紹，可以使用信任函數(shù)和似然函數(shù)表示命題A的信任度下限和上限。我們使用同樣的方式表示知識信任度。似然函數(shù)和信任函數(shù)的計算是建立在概率分配函數(shù)的基礎(chǔ)之上，概率分配函數(shù)不同，結(jié)論會不同。D-S理論的推理模型如前面介紹，可以使用信任函數(shù)和似然函數(shù)表71一類特殊的概率分配函數(shù)設(shè)Ω={s1,s2,,…,sn},m為定義在2Ω上的概率分配函數(shù)，且m滿足：m({si})≥0,對任給si?Ω∑m({si})≤1m(Ω)=1-∑m({si})當(dāng)A?Ω，且A的元素多于1個或沒有元素，則m(A)=0。一類特殊的概率分配函數(shù)設(shè)Ω={s1,s2,,…,sn},m為72一類特殊的概率分配函數(shù)對上面的概率分配函數(shù)，可以得到信任函數(shù)和似然函數(shù)的性質(zhì)：Bel(A)=∑si?Am(si)Bel(Ω)=∑si?Ωm(si)+m(Ω)=1Pl(A)=1-Bel(?A)=1-∑si??Am(si)=1-∑si?Ωm(si)+∑si?Am(si)=m(Ω)+Bel(A)Pl(Ω)=1-Bel(?Ω)=1一類特殊的概率分配函數(shù)對上面的概率分配函數(shù)，可以得到信任函數(shù)73類概率函數(shù)定義4-6：設(shè)Ω為有限域，對任何命題A?Ω其類概率函數(shù)為f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|[Pl(A)-Bel(A)]其中|A|和|Ω|表示A和Ω中的元素個數(shù)。類概率函數(shù)定義4-6：設(shè)Ω為有限域，對任何命題A?Ω其類概率74類概率函數(shù)的性質(zhì)∑si?Ωf(si)=1證明：∵f({si})=Bel({si})+|{si}|/|Ω|[Pl({si})-Bel({si})]=m({si})+(1/n)m(Ω)∴∑si?Ωf(si)=∑si?Ωm(si)+m(Ω)=1類概率函數(shù)的性質(zhì)∑si?Ωf(si)=175類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A)證明：∵Pl(A)-Bel(A)≥0,|A|/|Ω|>0∴Bel(A)≤f(A)∴f(A)≤Bel(A)+[Pl(A)-Bel(A)]=Pl(A)類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(76類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有f(?A)=1-f(A)證明：∵f(?A)=Bel(?A)+|?A|/|Ω|[Pl(?A)-Bel(?A)]|?A|=|Ω|-|A|Pl(?A)-Bel(?A)=m(Ω)Bel(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)類概率函數(shù)的性質(zhì)對任何A?Ω有f(?A)=1-f(A)77類概率函數(shù)的性質(zhì)∴f(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)+(|Ω|-|A|)/|Ω|m(Ω)=1-Bel(A)-m(Ω)+m(Ω)-|A|/|Ω|m(Ω)=1-(Bel(A)+|A|/|Ω|(Pl(A)-Bel(A)))=1-f(A)類概率函數(shù)的性質(zhì)∴f(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)+78類概率函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)前面的性質(zhì)可以很容易得到

f(Φ)=0

f(Ω)=1對任何A?Ω,0≤f(A)≤1類概率函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)前面的性質(zhì)可以很容易得到79知識不確定性的表示D-S理論中，不確定性知識的表示形式為

ifEthenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}其中：E為前提條件，它可以是簡單條件，也可以是復(fù)合條件；H是結(jié)論，它用樣本空間的子集表示，h1,h2,,…,hn是該子集的元素；CF是可信度因子，用集合的方式表示。c1,c2,,…,cn用來表示h1,h2,,…,hn的可信度。知識不確定性的表示D-S理論中，不確定性知識的表示形式為80證據(jù)不確定性的表示證據(jù)的不確定性由證據(jù)的類概率函數(shù)給出。

CER(E)=f(E)證據(jù)不確定性的表示證據(jù)的不確定性由證據(jù)的類概率函數(shù)給出。81不確定性的更新設(shè)有知識ifEthenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}

證據(jù)E的不確定性為CER(E)，確定結(jié)論H的不確定性描述CER(H)，方法如下：求H的概率分配函數(shù)m({h1},{h2},,…,{hn})=(c1XCER(E),c2XCER(E),,…,cnXCER(E))m(Ω)=1-∑m({hi})不確定性的更新設(shè)有知識82不確定性的更新求Bel(H),Pl(H)及f(H)

Bel(H)=∑m({hi})Pl(H)=1-Bel(?H)f(H)=Bel(H)+|H|/|Ω|m(Ω)CER(H)=f(H)不確定性的更新求Bel(H),Pl(H)及f(H)83結(jié)論不確定性的合成如果有兩條知識支持同一結(jié)論ifE1thenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}ifE2thenH={h1,h2,,…,hn}CF={e1,e2,,…,en}先求出每條知識的概率分配函數(shù)m1,m2,然后求出兩個概率分配函數(shù)的正交和m1⊕

m2以正交和