《自動控制原理》4 第4章-電子素材

PAGEPAGE6第四章PAGE1PAGE6第四章線性系統(tǒng)的復(fù)域分析4.1根軌跡法的基本概念圖4-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡是當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（如根軌跡增益）從零變化到無窮時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上移動的軌跡。圖4-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根軌跡方程閉環(huán)控制系統(tǒng)一用圖4-1所示的結(jié)構(gòu)圖來描述。開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為（4-1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4-2）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為（4-3）即（4-4）式（4-4）稱為根軌跡方程，也可以用幅值條件和相角條件來表示。幅值條件：（4-5）相角條件：∠=（4-6）4.2繪制根軌跡的基本法則法則1根軌跡的起點和終點：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點；如果開環(huán)零點個數(shù)少于開環(huán)極點個數(shù)，則有條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。法則2根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性：根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點數(shù)、開環(huán)極點數(shù)中的大者相等，根軌跡連續(xù)并且對稱于實軸。法則3實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則4根軌跡的漸近線：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)極點個數(shù)大于開環(huán)零點個數(shù)時，有條根軌跡分支沿著與實軸夾角為、交點為的一組漸近線趨向于無窮遠(yuǎn)處，且有=0，1，2，…（4-7）法則5根軌跡的分離點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又分離的點，稱為根軌跡的分離點，分離點的坐標(biāo)滿足方程（4-8）法則6根軌跡與虛軸的交點：若根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令，然后分別令方程的實部和虛部均為零，從中求得交點的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的值。此外，根軌跡與虛軸相交表明系統(tǒng)在相應(yīng)值下處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，故亦可用勞斯穩(wěn)定判據(jù)去求出交點的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的值。此處的根軌跡增益稱為臨界根軌跡增益。法則7根軌跡的起始角和終止角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角，以表示；根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角，稱為終止角，以表示。起始角、終止角可直接利用相角條件求出。法則8根之和：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母階次差（）大于等于2時，系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點之和。（4-8）式中，為系統(tǒng)的閉環(huán)極點（特征根），為系統(tǒng)的開環(huán)極點。利用根之和法則可以確定閉環(huán)極點的位置，判定分離點所在范圍。4.3廣義根軌跡當(dāng)需要分析正反饋條件下或除系統(tǒng)的根軌跡增益以外的其它參量（例如時間常數(shù)等）變化對系統(tǒng)性能的影響時繪制的根軌跡（包括參數(shù)根軌跡和零度根軌跡），稱為廣義根軌跡。4.3.1除根軌跡增益（或開環(huán)增益）以外的其它參量從零變化到無窮大時繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的法則完全相同。只需要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入“等效開環(huán)傳遞函數(shù)”，將繪制參數(shù)根軌跡的問題轉(zhuǎn)化為繪制變化時根軌跡的形式來處理。例單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制時的根軌跡。系統(tǒng)有3條根軌跡，均趨于無窮遠(yuǎn)處。⑴實軸上的根軌跡：，⑵漸近線：圖4-2根軌跡圖⑶分離點：圖4-2根軌跡圖分離點處的值⑷與虛軸的交點：系統(tǒng)根軌跡如圖4-2所示。4.3.2零度根軌跡在根軌跡方程為，相角條件為，，因此稱相應(yīng)的常規(guī)根軌跡為根軌跡；當(dāng)系統(tǒng)特征方程為時，此時根軌跡方程為，相角條件為，，相應(yīng)繪制的根軌跡稱為零度（或）根軌跡。若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式如式（4-1），則根軌跡方程為（4-9）相應(yīng)有幅值條件 （4-10）相角條件∠=（）（4-11）根軌跡的幅值條件與根軌跡幅值條件一致，而二者相角條件不同。繪制根軌跡法則中與相角條件有關(guān)的法則3、法則4、法則7需要相應(yīng)修改。法則3*實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則4*根軌跡的漸近線與實軸夾角應(yīng)改為（=0，1，2，…，n-m-1）法則7*根軌跡的出射角和入射角用式（4-11）計算。除上述三個法則外，其它法則不變。繪制根軌跡的基本法則如表4-1所示。表4-2繪制根軌跡的基本法則序號內(nèi)容法則1根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。2根軌跡的分支數(shù)，對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點數(shù)和開環(huán)極點數(shù)中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的，并且對稱于實軸。3實軸上的根軌跡實軸上的某一區(qū)域，若其右端開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是180根軌跡。*實軸上的某一區(qū)域，若其右端開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是0根軌跡。4根軌跡的漸近線漸近線與實軸的交點漸近線與實軸夾角其中=0，1，2，…，n-m-15根軌跡的分離點分離點的坐標(biāo)是下列方程的解6根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸交點坐標(biāo)及其