空間幾何(教師版)

立體幾何專題全解第一講空間幾何體新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考?考試大綱?中對“空間幾何體〞局部的要求：認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)?能畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式?會畫某些建筑物的視圖與直觀圖〔在不影響圖形特征的根底上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求〕?了解球、棱柱、棱錐、臺的外表積和體積的計(jì)算公式〔不要求記憶公式〕一、根底知識梳理：1。多面體：由假設(shè)干個 圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的 ,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的 ,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的 ?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2。棱柱：有兩個面互相 ，其余各面都是 ，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做 ,其余各面叫做 .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都 ，側(cè)面是 ;兩個底面與平行于底面的截面是 ；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是 。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途3。棱錐：有一個面是 ，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是 ，且各側(cè)面 的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱 ，各側(cè)面都 ；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正多邊形的 。棱錐的高、斜高和 組成一個直角三角形，棱錐的高、 和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個直角三角形。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途4。棱臺：用一個 的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部叫做棱臺。由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。 正棱臺的性質(zhì)：各側(cè)棱 ，各側(cè)面都是 ;正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是的正多邊形；正棱臺的兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和 組成一個直角梯形，兩底面中心連線、 和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個直角梯形， 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途5。旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞 旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的 ，資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途6。 圓柱、圓錐、圓臺：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺。旋轉(zhuǎn)軸叫做它們的 ，在軸上這邊的長度叫做它們的 ;垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做它們的 ;不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做它們的 ;無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的 。圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；角那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比60c2 3C.-3角那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比60c2 3C.-3其側(cè)棱垂直底面。3，底面周長為1D.2■該六棱柱的頂點(diǎn)都3，那么這個球的體積為〔或稱主視圖〕是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖〔或稱左視圖〕是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途〔2〕求該幾何體過軸的截面〔軸截面〕分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在處理圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖問題時，經(jīng)常用到弧長公式|-「R資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途球:以半圓的 為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面?球面所圍成的幾何體叫做球體〔簡稱球〕球的截面性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r，有下面的關(guān)系： 。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途&簡單空間圖形的三視圖： 一個投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖。一個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做主視圖 〔正視圖〕。和直立、水平兩個投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面， 通常把這個平面放在直立投影面的右面， 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做左視圖〔側(cè)視圖〕。 三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。三視圖的排列規(guī)那么：俯視圖放在主視圖的下方，長度與俯視圖一樣，左視圖放在主視圖的右方，高度與主視圖一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣。即“長對正，高平齊，寬相等〞。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途9。斜二測畫法的畫圖規(guī)那么： 在圖形中取互相垂直的兩軸 Ox,Oy,畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸Ox；Oy?，使/xOy=45O〔或135?！?圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 x?軸、y?軸的線段；平行于x軸的線段保持長度不變，平行于 y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途10。旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：S圓柱側(cè)= ,S圓錐側(cè)= ,S圓臺側(cè)= ,S球面= .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途11?？臻g幾何體的體積： V柱體= ,V錐體= ,V臺體= ,V球= .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途、典型例題:

例1.某幾何體的一條棱長為<7，在該幾何體的正視圖中， 這條棱的投影是長為.6的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中， 這條棱的投影分別是長為 a和b的線段，貝Ua+b的最大值為〔 〕資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A.2.2B.2.3C.4D.25例2.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G=2j〔0立W1〕，那么點(diǎn)G到平面D1EF的距離為〔 〕資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A..,3B.-^C.±d42 3 5例3..如果圓臺的母線與底面成D3B.2例4。一個六棱柱的底面是正六邊形，在同一個球面上，且該六棱柱的高為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例5.某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖〔1〕求該幾何體的體積V；的側(cè)面積S三、根底訓(xùn)練：1.將正三棱柱截去三個角〔如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)〕得到幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖〔或稱左視圖〕為〔 〕資料IJ截球4\1\/IJ截球4\1\/L 1/面得兩個圓.假設(shè)兩圓的公共弦長為2，那么兩圓的圓心距等于〔B. .2C. .3D.面得兩個圓.假設(shè)兩圓的公共弦長為2，那么兩圓的圓心距等于〔B. .2C. .3D.2A.13?—個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為的一個大圓上，那么該正三棱錐的體積是〔A.口bTcWd^4 3 4 124.以下幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是〔1的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球〕資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途?①③.C?①④D?②④A.①②三棱錐S-AB②圓各頂點(diǎn)都在一個③徑棱臺r的球面④正四上，球心0在AB上,S0_底面ABC，AC2r，貝U球的體積與三棱錐體積之比是〔B.2nC.3n設(shè)M是球心0的半徑0P的中點(diǎn)，面得兩個圓，那么這兩個圓的面積比值為：A.n〕D.4n分別過M,O作垂直于0P的平面，截球四、穩(wěn)固練習(xí)：1.如圖，在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=2,AAi=1,那么BCi與平面BBiDiD所成角的正弦值為〔〕資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A.6 D26廠玉c 10A. B. C. D.3 5 5 52.假設(shè)一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為 ..3，那么這個圓錐的全面積是〔 〕A.3二B.3、.3二C.6二D.9'：3、各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為 4，體積為16，那么這個球的外表積是〔 〕A.16二B.20二 C.24D.32-：一個圓錐和一個半球有公共底面， 如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等， 那么，這個圓錐軸截面頂角的余弦值是〔〕資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途4 3 3A.-B. C.一D.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途5 5 5A.—B. .C.—.D.—4 2 3 47.如圖，在正三棱柱ABC—AiBiCi中，側(cè)棱長為-2，底面三角形的邊長為1，那么BCi與側(cè)面ACCiAi所成的角是 ,資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途如下圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑,JBD=60°,ZBDC=45o.PD垂直底面ABCD，PD=2、2R.E,FPEDF分別是PB,CD上的點(diǎn)，且 ,過點(diǎn)E作BC的平行線交PC于G.EBFC〔1〕求BD與平面ABP所成角二的正切值;資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途PE1⑵證明：牢FG是直角三角形； 〔3〕當(dāng) 時,求AEFG的面積.EB2

5.設(shè)M,N是球心O的半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP二MN=OM，分別過N,M,0作垂線于OP的面截球得三個圓， 那么這三個圓的面積之比為：〔 〕資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A.3,5,6B.3,6,8C.5,7,9D.5,8,96.假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為 3，那么其外接球的外表積是 ..假設(shè)一個底面邊長為 6，棱長為■.6的正六棱柱的2所有頂點(diǎn)都在一個球的面上，那么此球的體積為.請您設(shè)計(jì)一個帳篷。它下部的形狀是高為 1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐〔如右圖所示〕。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心oi的距離為多少時，帳篷的體積最大?3/18資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途五、思路總結(jié)1.幾種常凸多面體間的關(guān)系扶底血參邊形伸類愷側(cè)樓與慮面罡香垂直分類|ntsft|ZE柱I平訐去面nlExaf^aLia1IT辜而佢IETEZ向側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截與底面全等的多邊形與底面全等的多與底面全等的正多面的形狀邊形邊形2.—些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì)名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形A有一個面是多底面是正多邊形，用一個平行于由正棱錐截得邊形，其余各面且頂點(diǎn)在底面的棱錐底面的平的棱臺定義是有一個公共射影是底面的射面去截棱錐，頂點(diǎn)的三角形影是底面和截面底面和截面之的多面體之間的局部間的局部相交于一點(diǎn)但相交于一點(diǎn)且相延長線交于一相等且延長線側(cè)棱不一定相等等占八、、交于一點(diǎn)表二:側(cè)面的三角形全等的等腰三角梯形全等的等腰梯形狀形形對角面三角形等腰三角形梯形等腰梯形的形狀平行于與底面相似的與底面相似的正與底面相似的與底面相似的底的截多邊形多邊形多邊形正多邊形面形狀咼過底面中心；側(cè)兩底中心連線棱與底面、側(cè)面與即高；側(cè)棱與其他性底面、相鄰兩側(cè)面底面、側(cè)面與質(zhì)所成角都相等底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分長方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分3.三視圖畫法規(guī)那么高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等主觀團(tuán) 左想屋4?畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅蜪]L d*''伽槪團(tuán):I ;頂點(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形||1水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。強(qiáng)調(diào)斜二測畫法L崔對illJ的步驟。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途第二講空間直線和平面新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考?考試大綱?中對“空間直線與平面〞局部的要求：理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.?公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).?公理2:過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面?公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.?公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行 .?定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理：TOC\o"1-5"\h\z?如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 .?如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行 .?如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么該直線與此平面垂直?如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明 ：?如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交 ，那么這條直線就和交線平行.?如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行?垂直于同一個平面的兩條直線平行.?如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題 .一、根底知識梳理：1。兩異面直線及所成的角： 的兩條直線，叫做異面直線異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)0作直線a//a,b//b，我們把a(bǔ)■與b所成的銳角〔或直角〕叫做異面直線a與b所成的角〔或夾角〕.如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條直線互相垂直 .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2。直線和平面所成的角： 一條直線PA和一個平面a相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn) A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線 P0,過垂足0和斜足A的直線A0叫做斜線在這個平面上的射影。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途平面的一條斜線和 所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們就說它們所成的角是 。一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是 .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途3。 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的 ，這兩個半平面叫做二面角的 。在二面角a—丨―P的棱I上任取一點(diǎn)0,以點(diǎn)0為垂足，在半平面a和B內(nèi)分別作垂直于棱I的射線0A和0B，那么射線0A和0B構(gòu)成的ZA0B叫做二面角的平面角。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途二面角的大小可以可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。二、典型例題：例1?如圖，在正四棱柱ABCD-A3GD,中，E、F分別是AB^BC!的中點(diǎn)，那么以下結(jié)論中不成立的是〔〕A?EF與BB,垂直B.EF與BD垂直C.EF與CD異面D.EF與A,G異面例2.在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB=BC=2，BBi=2，ABC=90，E、F分別為AAi、CiBi的中點(diǎn)，沿棱柱的外表從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途例3.菱形ABCD中，AB=2，A=i20，沿對角線BD將△ABD折起,

使二面角A-BD-C為120，那么點(diǎn)A到厶BCD所在平面的距離等于.例4.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8,AD=43,側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為 60①m〃：?；②m_：?；③m二卅；④：?—：；⑤://:當(dāng)滿足條件時，有m〃1;當(dāng)滿足條件時，有m_1.(填所選條件的序號)(I)求四棱錐P—ABCD的體積;三、根底訓(xùn)練：1.m,n是兩條不同直線，同平面，以下命題中正確的選項(xiàng)是(A.假設(shè)mil,n||：?，那么miln(H)證明PAJBD.:,是三個2.平面a丄平面,aP=3l,點(diǎn)A€a,A?T，直線AB/I,直線AC丄，直線m//a,m//B,那么以下四種位置關(guān)系中，不?一?定.成立的是()資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A.AB/IB.AC丄nC.AB//D.AC丄B3P為平面a外一點(diǎn)，直線Ia,點(diǎn)Q€1,記點(diǎn)P到平面a的距離為a,點(diǎn)P到直線I的距離為b，點(diǎn)P、Q之間的距離為6那么()資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A.a_b_cB.c_a_bc.a_c_bD.b_c_a4.如圖，平面a丄平面B，A€a,B€?,AB與兩nn平面aB所成的角分別為；和，，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為 A'、B',貝貝\BA'B的值為 ( )A.2：B.3：1C.32D.435.平面a和平面B交于直線I,P是空間一點(diǎn)，PA丄a,垂足為A,PB丄B,垂足為B，且PA=1,PB=2，假設(shè)點(diǎn)A在B內(nèi)的射影與點(diǎn)B在a內(nèi)的射影重合，那么點(diǎn)P至I」l的距離為。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途6.平面〉，1和直線，給出條件:7.三棱錐P—ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求證ABJBC；(2)如果AB=BC=23，求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大小.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途8.如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ZC1CB=ZC1CDZBCD。(I)證明：C1C_LBD；CD(II)當(dāng) 的值為多少時，能使AQ_平面GBDCC1四、穩(wěn)固練習(xí)：1設(shè)直線m與平面〉相交但不垂直，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是()A.在平面直B.過直線C.與直線D.與直線-內(nèi)有且只有一條直線與直線ABCD是菱形,C?m垂A請給出證明。m有且只有一個平面與平面m垂直的直線不可能與平面m平行的平面不可能與平面垂直平行垂直設(shè)a,b為兩條直線「，：為兩個平面,以下四個命題中，正確的命題是( )A.假設(shè)a,b與〉所成的角相等，那么a//bB.假設(shè)a/：■,b//I,〉//］，那么a//bC.假設(shè)a―b-,a//b，那么>/-D.假設(shè)a_：-,b_1 1，貝Ua_b給出以下四個命題： ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行 .②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.③假設(shè)直線l1,l2與同一平面所成的角相等，那么l1,l2互相平行.④假設(shè)直線l(2是異面直線,那么與「J都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是( )資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途A.1 B.2C.3 D.44.設(shè):■>:、 為平面,m、n、I為直線，那么m_:的一個充分條件是(能用向量語言表述直線與直線、 直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理 (包括三垂線定理).能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用 ?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途、、根底知識歸納:5.設(shè)P是60的二面角-I-'■內(nèi)一點(diǎn)，PA_平面〉，PB_平面A,B為垂足，PA=4,PB=2,那么AB的長為：()A.2.3B2一5C2、7D.4.2在四面體ABCD中，CB=CD,ADJBD，且E,F分別是AB,BD的中點(diǎn),求證：(I)直線EF//MACD; (H)面EFC丄面BCD.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_平面ABCD,AB//DC,△PAD是等邊三角形，BD=2AD=8,AB=2DC=4.5.(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD_平面PAD;(H)求四棱錐P-ABCD的體積.1.向量的數(shù)量積：非零向量 a,b，那么a?b=|a|b|cos：：：a,b?叫做a與b的數(shù)量積。2.兩向量夾角的求法:一般用此式解決。3.a!b：=a?b=0cos：：a,b=ab|a||b|，立體幾何中有關(guān)夾角的問題,PM第三講空間向量與立體幾新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考?考試大綱?中對"空間向量與立體幾何D局部的要求4.兩點(diǎn)A(xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2)，那么向量AB=(x2-x^y2-yi,z2-zj,線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是Xl+x2,yi+y2,Zl*Z2；，I2 2 2丿a,b兩點(diǎn)間的距離是|AB|=.(x2-xj2?(y2-yj2?(z2-zi)2—*■ —F —F-—9-4.假設(shè)a二(Xi,yi,zJ,b=(X2,y2,Z2)，那么a?b二XiX? y』2ZiZ?.(1)空間向量及其運(yùn)算①了解空間向量的概念，了解空間向量的根本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示 .掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.(2)空間向量的應(yīng)用①理解直線的方向向量與平面的法向量用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲〞：化為向量問題：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面；進(jìn)行向量運(yùn)算：通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角問題；回到向量問題：把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯〞成相應(yīng)的幾何意義?！?設(shè)A「-，B:，平面a的法向量是n，直線AB與平面a所成的角是那么]—*sin：-|cos：：AB,n|—?設(shè)A-:-，B〉，平面a的法向量是n，點(diǎn)A到平面a的距離—— |AB?n|d斗AB|cos：：AB,nIn|二、典型例題：例1?如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC二二,4OA_底面ABCD,0A=2,M為0A的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)。四、穩(wěn)固練習(xí)：1?如下圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,/BCD=60°,E是CD的中點(diǎn)，PA_底面ABCD,PA=沉3。證明：平面PBE_平面PAB;求二面角A—BE—P和的大小。(I)證明：直線MN||平面OCD;(n)求異面直線AB與MD所成角的大??；(川)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。例2如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點(diǎn)。(1)求證：AB1丄面A1BD; (2)求二面角A—A1D—B的大??；2.如圖，在直四棱柱ABC^A1B1C1D1中，DC=DD1=2AD二2AB,AD_DC,AB//DC(I)設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D1E//平面A1BD(n)求二面角A-BD-的余弦值.P(3)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離。三、根底訓(xùn)練：1.如圖矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,BCF=CEF=90,AD=■3,EF=2。(I求證：AE//平面DCF;資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(n)當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60?2.如圖5所示，AF、DE分別世L0、垂直，AD=8.BC是L0的直徑，L01AD與兩圓所在的平面均AB=AC=6,OE//AD.(I)求二面角B-AD-F的大小； (II)求直線BD與EF所成的角.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途CFFDAD13.在三棱錐S—ABC中，△KBC是邊長為4的正三角形，平面1SA=SC=23,M、N分別為AB、(I)證明：ACJSB;(n)求二面角N—CM—B的大小;第一講間幾何體(參考答案)二、典型例題:例1.C.44、3例5.【解析】作必要的說明.SB的中點(diǎn)。例2.D.例3..C.例(1)畫出直觀圖并就該圖 3分(2)V=64 ⑶S=40242用途CMN的距離(川)求點(diǎn)B到平面ECNM12分資料個人收集整理，勿做商業(yè)三、根底訓(xùn)練:1.A 2.C. 3.C整理，勿做商業(yè)用途8.解：TPD丄底面ABCD6.D7.30°資料個人收集??GF/PD 又由PD丄底面ABCD,可知PD_LBC,?EGIGF??PD1AB,??BD是圓的直徑?'AD1AB,?AB丄平面ADP又PDQAD=D又AB三平面ABP?平面ABP丄平面ADP,且平面ABP門平面ADP=PA.在平面ADP內(nèi)作DHJPA,垂足為H,那么DH丄平面ABP,連結(jié)BH,那么ZDBH就是BD與平面ABP所成角,即/DBH=v.在Rt△KBD中，BD=2R，所以AD=、3R.在Rt△KDP中，DH_LPA,PD=2.2R,AD=3R,那么AP=<11R???△FG是直角三角形.PE1⑶當(dāng)匸三二丄時，由平行線截割定理可EB2什EGPE1GFCGBE知， ，-BCPB3PDCPBP253在ABCD中,ZBDC=45oBD=2R,所以BC=?2R,又PD=2.2R,?DH=ADDPAPV,在RtABHD中，BD=2R,DH= R,所以J11BH=■BD2-DH2-24R21125二、11?'?tan-DHBH305⑵證明：??EG伯C,PEPG “PEDF?? ,又EBGC EBFCPGDFGCFC??EG=—2R,3GF=仁R.3所以△EFG的面積為Sefg解法2:以A為原點(diǎn)，分別以坐標(biāo)系.(略)四、穩(wěn)固練習(xí)：1 1..2EGGF=2 23AB、AD所在的直線為4-2 42R RR.3x、y軸，9建立空間直角1。D.C. 4.C. 5.D.6.9.7.4.3二8.解：設(shè)001為xm,那么由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為、32_(x_1)2= 82X_X2于是底面正六邊形的面積為(單位：5底=6 3，82x_x22=4帳篷的體積為(單位： m3)....丄C 2\ 1 / 八丄」V(x)(82x-x)(x-1)1=2 丫3 ，」2求導(dǎo)數(shù)，得 3(12-3x2)2令V(X)二0解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.當(dāng)1<x<2時，V(x)?0,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時，V(X)〞：0,V(x)為減函數(shù)。m2)3.3 282x-x。2(單位:3(1612x-x)例1.D.例2；2例3.于P根據(jù)B圖2例1.D.例2；2例3.于P根據(jù)B圖2PO=3..3,四棱錐P—ABCD的體積VP—ABCD=1843 33=96.3(H解：如圖2，連結(jié)AO,延長AO交BD于點(diǎn)F.通過計(jì)算可得EO=3,AE=23,

又知AD=4.3,AB=8，得^°=AD.所以RtAAEO爾t^BAD.得ZEAO=/AEABABD.所以ZEAO+ZADF=90°所以AFJBD.因?yàn)橹本€AF為直線PA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以PAJBD.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途三、根底訓(xùn)練：1.D. 2.D.3.A4.A5. .5。 6.()③⑤(i)②BD=、6.在RtAPDB中,PB在Rt^DC中,所以/ACF=30°所以當(dāng)x=2時,V(x)最大。答當(dāng)001為2m時，帳篷的體積最大。第二講空間直線和平面(參考答案)二、典型例題：例4.解：(I)取AD的中點(diǎn)E,連結(jié)PE，那么PEJAD.作PO丄平面在ABCD，垂足為O,連結(jié)OE.三垂線定理的逆定理得OEJAD，所以/PEO為側(cè)面PAD與底面所成的二面角的平面角，資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途由條件可知/PEO=60°,PE=6,所以⑤資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途7.(I)證明：如圖1，取AC中點(diǎn)D,連結(jié)PD、BD.因?yàn)镻A=PC，所以PD1AC,又面PAC丄面ABC,所以PD丄面ABC,D為垂足.因?yàn)镻A=PB=PC,所以DA=DB=DC,可知AC為AABC的外接圓直徑，因此AB_LBC.(n)解：如圖2,作CFJPB于F，連結(jié)AF、DF.因?yàn)锳PBC也zPBA，所以AFJPB,AF=CF.因此，PB丄平面AFC,所以面AFC丄面PBC，交線是CF,因此直線AC在平面PBC內(nèi)的射影為直線CF,4CF為AC與平面PBC所成的角.在Rt△KBC中，AB=BC=2■.3，所以在Rt△^DC中，DC=6,PD=：：；3.PDDB.3 .6DF 2.tanACF=DFDC即AC與平面PBC所成角為30°8.(I)證明：連結(jié)AC1、AC和BD交于O,連結(jié)C1O。???四邊形ABCD是菱形，???ACJBD,BC=CD。又tZBCC1=/DC6,GC=GC,??GBC三C1DC, /.C1B=C1D,???DO二OB???CQ_BD,但AC_BD,ACGO=O,.??BD—平面AC1。又C1C平面AC1,「C1C—BD。CD(n)當(dāng) 1時，能使AQ—平面C1BD。CC1CD-1,「.BC二CD二CiC,證明一:當(dāng)-CC1同BD_AC的正法可得BDBC^B,???A,CCD-1,「.BC二CD二CiC,證明一:當(dāng)-CC1同BD_AC的正法可得BDBC^B,???A,C_平面C1BD。四、穩(wěn)固練習(xí)：P4.D。 5.C.AB,BD的中點(diǎn),MCIrOA在底面四邊形ABCD中,所以四邊形ABCD是梯形,在RtAADB中，斜邊AB邊上的高為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途此即為梯形ABCD的咼，所以四邊形故VP-ABCDDNC作AP—CD于P,連接MPCC1又/BCD=C1CB=C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D。?二棱錐C-C1BD是正三棱錐。設(shè)A1C與C1O相交于G。?A1C1//AC，且A1C1:/?C1G:GO=2:1。又C1O是正三角形C1BD的BD邊上的高和中線，???點(diǎn)G是正三角形C1BD的中心，「?CG_平面GBD, 即AjC—平面C1BD.證明：由〔I〕知，BD_平面AC1,??AC二平面AC1,.?.BD_A,C.CD當(dāng) 1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，6.【解析】(I)TE,F分別是?EF是△ABD的中位線，???EFAD,??EF二面ACD,AD面ACD，?直線EF//面ACD.-(n)vADJBD,EFAD,?EFJBD.??CB=CD,F是BD的中點(diǎn)，?CF_LBD.又EF「CF=F,ABD丄面EFC.\BD面BCD,???面EFC丄面BCD7.(I)證明：在厶ABD中，由于AD=4,BD=8,AB=4、5,所以AD2BD2二AB2.故AD_BD.又平面PAD_平面ABCD，平面PAD門平面ABCD二AD,BD二平面ABCD,所以BD_平面PAD,又BD平面MBD,故平面MBD_平面PAD.〔n〕解：過P作PO_AD交AD于O,由于平面PAD_平面ABCD,所以PO_平面ABCD.因此PO為四棱錐P-ABCD的高，又厶PAD是邊長為4的等邊三角形.因此PO3 4^232AB//DC,AB二2DC,ABCD的面積為S二2"545 =24.2 5』242、3=16、，3.3第三講 空間向量與立體幾何〔參考答案〕二、典型例題：例1.方法一〔綜合法〕〔1〕 取OB中點(diǎn)E，連接ME,NETME||ABABllCD,MEIICD又；NEIOC,平面MNE||平面OCDMN||平面OCD〔2〕 ；CD||AB,?-MDC為異面直線AB與MD所成的角〔或其補(bǔ)角〕vOA_平面ABCD,?CD_MP返2MDf；MA2AD2=：-/2,DP1z ‘ 兀?cos/MDP ，乙MDC=MDP=—MD2 3it所以AB與MD所成角的大小為一3(3)?AB|平面OCD,.點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，A作AQ_OP于點(diǎn)Q,vAP_CD,OA_CD,CD_平面OAP,AQ_CD又vAQ_OP,AQ_平面OCD，線段AQ的長就是點(diǎn)A到平面料個人收集整理，勿做商業(yè)用途vOP=；OD2-DP2“OA2AD2-DP22「返2 OAAP2L2AP=DP.AQ —2 OP 座2連接0P,過點(diǎn)OCD的距離資二-,所以點(diǎn)B到平面OCD的距離3為-3方法二(向量法)作AP_CD于點(diǎn)P,如圖，分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標(biāo)乎亠03onxy-2z=0

22取z，解得n=(0,4,、、22-2?MNLn二(1 ,—4 4.MN||平面OCD(2)設(shè)AB與MD所成的角為二COST12,,-1)_(0,4,,2)=0廠忒(1,0,0),爲(wèi)十三7—1)22ji??? ,AB與MD所成角的大小為一3 3(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為影的絕對值，—FOBn1n由OB=(1,0,-2)，得d==-.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為-3d,那么d為OB在向量n-(0,4/2)上的投例2.解法一：(I)取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO.'：△ABC為正三角形，.AO丄BC.丁正三棱柱ABC—ABC中,平面ABC丄平面BCC1耳,AO丄平面BCC1B1.連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中，0,D分別為BC,CC1的中點(diǎn)，二B1O丄BD,AB丄BD在正方形ABBA中，AB1丄A,B,二AB1丄平面A1BD.〔n〕設(shè)AB—與A—B交于點(diǎn)G，在平面ABD中，作GF丄A—D于F，連結(jié)AF,由〔I〕得AB—丄平面A—BD..AF丄AD,./AFG為二面角A-A|D-B的平面角.亠 4亦在厶AA—D中，由等面積法可求得AF5又；AG=—AB^\2,2sin/AFG二匹二衛(wèi)AF4丁5 4所以二面角A-AD-B的大小為arcsin.4〔川〕△A]BD中，BD=AD=V5,AB=2^/2,〞Sa^bd=V6在正三棱柱中，A到平面BCC1B1的距離為「3.設(shè)點(diǎn)C到平面A—BD的距離為d.由7A_BCD=Vc」BD得—SaBCD0^3=一Sa3、2點(diǎn)C到平面2、、22.解法二：〔D取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO. ：△ABC為正三角形，.AO丄BC.t在正三棱柱ABC-A^C中，平面ABC丄平面BCC—B—,AO丄平面BCC—Bi.3Sabcdd=Saa—bdABD的距離為取B]C中點(diǎn)Oi，以0為原點(diǎn)，0B,OO-I,0A的方向?yàn)閤,y,z軸的正方,Sabcd=1.ABD-d，向建立空間直角坐標(biāo)系，那么 B(1,0,0),D(-1,1,0),A(0,2八3),A(0,0,、.3),B1_(1,2,0), — —■少蘭,2,-品)，BD=(W，0^BA=(-1,2,3).■/AB^B^-2+2^0=0,ABLBA=_1+4_3=0,AB1丄BD,AB丄BA.二AB[丄平面A1BD.(*)設(shè)平面AAD的法向量為n=(x,y,z).AD=(-1,1,一、3),AA=(0,2,0).T,T*n丄AD,n丄AA,丄AD二0,二tn.AA1二0,-xy-80,y2y=0,=0,x=-、3z.令z=1得n=(-?,3,0,1)為平面A1AD的一個法向量.由(I)知AB1丄平面A1BD,A蟲為平面ABD的法向量.丄AB] 3-<3 6|n廿Ab1 1^2cos：：n,AB—二(川丄由(n_),AB為；BC=(-2,0,0),AE1=(1,2二3)^1bcLab1-點(diǎn)C到平面A1BD的距離d=AB—76arccos—.4平面AB_x~2 _ 2=—- — 2~2三、根底訓(xùn)練：1.方法一：〔I〕證明：過點(diǎn)E作EG—CF交CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形，所以AD里EG，從而2四邊形ADGE為平行四邊形，故AE//DG.因?yàn)锳E二平面DCF,DG二平面DCF,所以AE//平面DCF.(n)解：過點(diǎn)B作BH_EF交FE的延長線于H，連結(jié)AH.BEFC,AB_BC，得AB_平面BEFC,由平面ABCD_平面從而AH_EF.所以.AHB為二面角A-EF-C的平面角.EG=AD二、3,EF=2,所以.CFE=60：,FG=1.CE=(.,3,b,0)，所以"EFlcE=0,|eF卜2,-3b(c-b)=0,2 ,解得b=3,c=4.x3(c-b)=2,所以E(、、3,3,0),F(0,4,0).設(shè)n=(1,y,z)與平面AEF垂直，貝U丄AE=0,_3 3解得n二(1,3, ).又因?yàn)锽A_平面從而BEFC,BA=(0,0,a),在Rt△EFG中，因?yàn)橛忠驗(yàn)镃E_EF,所以CF=4,從而BE=CG=3.于是BH=BEhinBEH二亠.2因?yàn)锳b^bhLtAHB，所以當(dāng)AB為I時，二面角A-EF-C的大小為方法二：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB,CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.設(shè)AB二a,BE二b,CF=c,那么C(0,0,0),A(、3,0,a),B^.3,0,0),EC-3,b,0),F(0,c,0). 一 一(I)斗所以CB-a),CB=(、、3,0,0),E=0,從而CB_AE,CB_BE，所以CB_平面ABE.BE=(0,b,0),所以|cos：：n,BA1|n|a4a^27 2，得到所以當(dāng)AB為-時，二面角A-EF-C的大小為60.22?解：(「AD?'AD_LAB,AD依題意可知,與兩圓所在的平面均垂直1AF,故ZBAF是二面角B—AD—F的平面角,ABCD是正方形，所以/BAF=450.即二面角B—AD—F的大小為45°;(n)以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸,因?yàn)镃B_平面DCF，所以平面ABE//平面DCF.故AE//平面衛(wèi)CF.(n)解:因?yàn)镋F=(~3,c-b,0),xzDAy建立空間直角坐標(biāo)系(如下圖)，那么O(0,0,0),A(0,-3.2,0),B(3-2,0,0)(0,-3丘,8),E(0,0,8),F(0,^2,0)所以，BD=(-3.2,-3、2,8),FE=(0,-32,8)cos：：BD,EF=BD「FE=018 64二』設(shè)異面直線巳。與所|BD||FE|J100X182 10成角為「那么COS〉=|COS::：BD,EF」 82直線BD與EF所成的角為10V82arccos—10四、穩(wěn)固練習(xí)：1?解：解法一(I)如下圖,連結(jié)BD,由ABCD是菱形且■BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE丄CD,又AB//CD,所以BE丄AB,又因?yàn)镻A_平面ABCD,BE平面ABCD，所以PA丄BE,而PA「IAB=A,因此BE丄平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE_平面PAB.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(II)由(I)知，BE丄平面PAB,PB平面PAB,所以PB_BE.又AB丄BE,所以.PBA是二面角A-BE-P的平面角.在RtAPAB中，tanPBA-^A-G,PBA=60..AB故二面角A-BE-P的大小為60：解法二：如下圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系?那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,0,0),B(1,0,0),CC3,遼,0),D223(I)因?yàn)锽E二(0, ,0),平面PAB的一個法向量是n。二(01,0),所以BE和n。2共線.從而BE丄平面PAB.又因?yàn)锽E平面PBE，所以平面PBE_平面PAB.資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途,o),poo,3),申￥,o).(II)易知氐(1,0,J),世(0弓,0),設(shè)Tl(X1,y