bpr量子力學復習重點優(yōu)秀課件

量子力學

QuantumMechanics1量子力學

QuantumMechanics1HeisenbergSchrodinger矩陣力學波動力學2Heisenberg第一章緒論§1.2光的波粒二象性§1.3原子結構的玻爾理論§1.1經(jīng)典物理學的困難§1.4微觀粒子的波粒二象性3第一章緒論§1.2光的波粒二象性§1.3原子結構§1.1經(jīng)典物理學的困難

一．經(jīng)典物理學的成就解釋了大到天體小到原子分子的運動和各種電磁現(xiàn)象和光的傳播等現(xiàn)象.牛頓力學麥克斯韋方程統(tǒng)計物理學低速宏觀電磁現(xiàn)象熱現(xiàn)象4§1.1經(jīng)典物理學的困難一．經(jīng)典物理學的成就牛頓力學麥§1.1經(jīng)典物理學的困難

當時物理學家們的世界圖樣:物質(zhì)粒子+電磁場=世界物質(zhì)粒子的運動由經(jīng)典力學描述電磁場運動由經(jīng)典電磁學描述.5§1.1經(jīng)典物理學的困難當時物理學家們的世界圖樣:物質(zhì)二、經(jīng)典物理學的困難

（1）黑體輻射問題

（2）光電效應（3）康普頓效應（4）原子光譜6二、經(jīng)典物理學的困難（1）黑體輻射問題6普朗克能量子假說*輻射物體中包含大量諧振子，它們的能量取分立值

*存在著能量的最小單元（能量子=h)*振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量三、早期的量子論

1、

Planck黑體輻射定律7普朗克能量子假說*輻射物體中包含大量諧振2、光量子及光電效應理論第一個肯定光具有微粒性的是Einstein，他認為，光不僅是電磁波，而且還是一種粒子。根據(jù)他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量hν的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速C傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。由相對論光的動量和能量關系

p=E/C=hv/C=h/λ提出了光子動量p與輻射波長（λ=C/v）的關系。82、光量子及光電效應理論第一個肯定光具有微粒性的是Ein總結光子能量、動量關系式如下：9總結光子能量、動量關系式如下：92.量子躍遷的概念.原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En

躍遷到另一個較低（高）的能級Em，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：§1.3波爾（Bohr）的量子論1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。Bohr提出了量子化條件：玻爾假定:102.量子躍遷的概念.§1.3波爾（Bohr）的量子論1.原子假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：E=hνν=E/hP=h/λλ=h/p該關系稱為de.Broglie關系。因為自由粒子的能量E和動量p都是常量，所以由deBroglie關系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即它是一個單色平面波11假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯(lián)系的波（他稱由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n方向傳播的平面波可表為：寫成復數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復數(shù)形式的波稱為deBroglie波12由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n方向傳播的平二、電子衍射實驗戴維孫電子衍射實驗13二、電子衍射實驗戴維孫電子衍射實驗13正是有了早期的量子論和德布羅意波才奠定了量子力學的誕生14正是有了早期的量子論和德布羅意波才奠定了量子力學的誕生14第二章波函數(shù)和薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋§2態(tài)疊加原理§3Schr?dinger方程§4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律§5定態(tài)Schr?dinger方程

15第二章波函數(shù)和薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（三）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋物質(zhì)波是描述粒子在空間的概率分布的概率波。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的概率成比例。2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋量子力學的第一條基本假定（或公設）16（三）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋物質(zhì)波是描述粒子在空間歸一化波函數(shù)17歸一化波函數(shù)17將其歸一化解:令以歸一化波函數(shù)為18將其歸一化解:令以歸一化波函數(shù)為18三、力場中粒子的波函數(shù)方程2.3薛定諤方程薛定諤波動方程19三、力場中粒子的波函數(shù)方程2.3薛定諤方程薛定諤波動方程1表示空間中找到粒子的幾率隨時間的變化S表示單位時間內(nèi)通過封閉曲面S而流入V的幾率2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律幾率守恒定律的微分形式結論：單位時間內(nèi)V中增加幾率應等于從體積V外穿過V的邊界面流進V的幾率，所以上式也叫實域幾率守恒方程

20表示空間中找到粒子的幾率隨時間的變化S表示單位時間內(nèi)通過2.5定態(tài)薛定諤方程2、能量本征值方程改寫成在量子力學中稱與上類似的方程為本征值方程。常量E稱為算符

H的本征值；Ψ稱為算符

H的本征函數(shù)。212.5定態(tài)薛定諤方程2、能量本征值方程改寫成在量子2.5定態(tài)薛定諤方程（四）定態(tài)的性質(zhì)（1）Hamilton算符的本征值E或En必定是實數(shù)222.5定態(tài)薛定諤方程（四）定態(tài)的性質(zhì)（1）Hamilton2.5定態(tài)薛定諤方程（2）粒子在空間的幾率密度與時間無關不含時間變量232.5定態(tài)薛定諤方程（2）粒子在空間的幾率密度與時間無關不2.5定態(tài)薛定諤方程（3）幾率流密度與時間無關不含時間變量242.5定態(tài)薛定諤方程（3）幾率流密度與時間無關不含時間變量ⅠⅡⅢ2.6一維無限深勢阱1.勢場25ⅠⅡⅢ2.6一維無限深勢阱1.勢場25勢阱內(nèi)的粒子不可能跑到勢阱外面來,所以勢阱外找到粒子的幾率為零,阱外波函數(shù)為零.2.6一維無限深勢阱-a0aU(x)IIIIII26勢阱內(nèi)的粒子不可能跑到勢阱外面來,所以勢阱外找到2.定態(tài)薛定諤方程的解:顯然E>0那么方程變成：

它的通解是：在勢阱內(nèi)，薛定諤方程為

:2.6一維無限深勢阱272.定態(tài)薛定諤方程的解:顯然E>0那么方程變成：它的通解3.能級與波函數(shù)

考慮波函數(shù)標準條件:單值,有限,連續(xù)要求波函數(shù)在阱內(nèi)外要連續(xù)。所以現(xiàn)在有兩種情形的解：（1）A和B不能同時為零2.6一維無限深勢阱-a0aV(x)IIIIII283.能級與波函數(shù)有兩種情形的解：（1）A和B不能同時為2.6一維無限深勢阱292.6一維無限深勢阱29二者合起來可寫為：波函數(shù)的歸一化是：所以，（與n無關）2.6一維無限深勢阱30二者合起來可寫為：波函數(shù)的歸一化是：所以，（與n無關）2.6最后得到能級和波函數(shù)是：2.6一維無限深勢阱31最后得到能級和波函數(shù)是：2.6一維無限深勢阱31第三章量子力學中的力學量坐標和動量不能同時有確定值，所以狀態(tài)用波函數(shù)表示，力學量用算符表示。經(jīng)典粒子可用坐標和動量來描寫狀態(tài)(坐標、動量、角動量、能量等)，任何狀態(tài)下，力學量都有確定值。微觀粒子32第三章量子力學中的力學量坐標和動量不能同時有確定值，所以狀§3.1表示力學量的算符量子力學中力學量算符的構成量子力學中表示力學量的算符必須是線性,厄密算符,且它的本征函數(shù)構成完備系.經(jīng)典力學中力學量是坐標r和動量p的函數(shù),把坐標保持不變,動量換為動量算符就構成了量子力學中相應的力學量算符.33§3.1表示力學量的算符量子力學中力學量算符的構成量子例如§3.1表示力學量的算符34例如§3.1表示力學量的算符34§3.2動量算符和角動量算符(iii)角動量Z方向的分量角動量的平方35§3.2動量算符和角動量算符(iii)角動量Z方向的分§3.2動量算符和角動量算符本征值方程本征值函數(shù)（球函數(shù)）由于量子數(shù)表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m

稱為磁量子數(shù)。36§3.2動量算符和角動量算符本征值方程本征值函數(shù)（球函§3.2動量算符和角動量算符(3)、角動量Z分量算符的本征值方程37§3.2動量算符和角動量算符(3)、角動量Z分量算符的§3.3電子在庫侖場中的運動（五）總結（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n有關，而本征函數(shù)與n,,m有關，故能級存在簡并。當n確定后，=n-nr-1，所以最大值為n-1。當確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：38§3.3電子在庫侖場中的運動（五）總結（1）本征值和本征函§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性1、本征函數(shù)屬于分立譜2、本征函數(shù)屬于連續(xù)譜39§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性1、本征函數(shù)屬于分立譜24.力學量的可能值若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測量的力學量的可能測得值的相應的幾率就完全確定了。在這個意義上講，波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)。§3.6算符與力學量的關系404.力學量的可能值若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測量§3.6算符與力學量的關系例2已知空間轉子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值；（4）在Ψ態(tài)中分別測量L2和Lz時得到的可能值及其相應的幾率。41§3.6算符與力學量的關系例2已知空間轉子處于如下狀態(tài)§3.6算符與力學量的關系解：（1）Ψ是否是L2的本征態(tài)？

Ψ不是L2的本征態(tài)。42§3.6算符與力學量的關系解：（1）Ψ是否是L2的本§3.6算符與力學量的關系（2）Ψ是否是Lz的本征態(tài)？Ψ是Lz的本征態(tài)，本征值為。43§3.6算符與力學量的關系（2）Ψ是否是Lz的本征態(tài)？§3.6算符與力學量的關系（3）求L2的平均值先進行歸一化：44§3.6算符與力學量的關系（3）求L2的平均值先進行歸§3.6算符與力學量的關系45§3.6算符與力學量的關系45§3.6算符與力學量的關系方法II(4)測量的結果為:46§3.6算符與力學量的關系方法II(4)測量的結果為:4§3.7算符的對易關系兩個力學量同時有確定值的條件測不準關系定理：一組力學量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。47§3.7算符的對易關系兩個力學量同時有確定值的條件第四章態(tài)和力學量表象本章要求1、掌握表象的概念和量子態(tài)在不同表象下的表示。2、掌握算符用矩陣表示的概念和量子力學公式的矩陣表述。3、掌握不同表象之間通過幺正變換聯(lián)系起來的概念。4、掌握狄喇克符號。5、了解一維線性諧振子問題的代數(shù)解法。48第四章態(tài)和力學量表象本章要求48§4.1態(tài)的表象（二）力學量表象任何力學量Q都可以建立一種表象，稱為力學量Q表象。設算符Q的本征值為：Q1,Q2,...,Qn,...，相應本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),...,un(x),...。將Ψ(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)在Q表象中的表示。49§4.1態(tài)的表象（二）力學量表象任何力學量Q都可以建立一種§4.1態(tài)的表象寫成矩陣形式共軛矩陣:50§4.1態(tài)的表象寫成矩陣形式共軛矩陣:50§4.２算符的矩陣表示力學量算符的矩陣表示坐標表象：Q表象：51§4.２算符的矩陣表示力學量算符的矩陣表示坐標表象：Q表象§4.3量子力學公式的矩陣表述（一）平均值公式坐標表象平均值公式在Q表象中52§4.3量子力學公式的矩陣表述（一）平均值公式坐標表象平均§4.3量子力學公式的矩陣表述（二）本征方程53§4.3量子力學公式的矩陣表述（二）本征方程53§4.3量子力學公式的矩陣表述上式是一個齊次線性方程組54§4.3量子力學公式的矩陣表述上式是一個齊次線性方程組54§4.3量子力學公式的矩陣表述方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久期方程求解此久期方程得到一組λ值：λ1,λ2,...,λi,....就是F的本征值。55§4.3量子力學公式的矩陣表述方程組有不完全為零解的條件是§4.3量子力學公式的矩陣表述例2：求Lx的本征態(tài)在Lz表象中的矩陣表示，只討論(=1)情況。Lx的本征方程為：解欲得a1,a2,a3不全為零的解，必須要求系數(shù)行列式等于零56§4.3量子力學公式的矩陣表述例2：求Lx的本征態(tài)在L§4.3量子力學公式的矩陣表述解久期方程-λ(λ2-2)=0λ=0,±.取λ=代入本征方程得：57§4.3量子力學公式的矩陣表述解久期方程-λ(λ2-2§4.3量子力學公式的矩陣表述解得：a1=(1/21/2)a2,a3=(1/21/2)a2

則=1,Lx=的本征態(tài)可記為：由歸一化條件定a258§4.3量子力學公式的矩陣表述解得：a1=(1/21/2)§4.3量子力學公式的矩陣表述同理得另外兩個本征值相應本征函數(shù)59§4.3量子力學公式的矩陣表述同理得另外兩個本征值相應本征第五章微擾理論微擾法不是量子力學所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應。60第五章微擾理論微擾法不是量子力學所特有的方法，在§5.1非簡并的定態(tài)微擾61§5.1非簡并的定態(tài)微擾61§5.1非簡并的定態(tài)微擾在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：擾動體系能量本征函數(shù)由下式給出：62§5.1非簡并的定態(tài)微擾在計及二階修正后，擾動體系能量本§5.1非簡并的定態(tài)微擾（四）微擾理論適用條件欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：63§5.1非簡并的定態(tài)微擾（四）微擾理論適用條件欲使二式有§5.1非簡并的定態(tài)微擾（五）實例例1.一電荷為q的線性諧振子，受恒定弱電場E作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’兩部分64§5.1非簡并的定態(tài)微擾（五）實例例1.一電荷為q的§5.1非簡并的定態(tài)微擾H0+H’（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)65§5.1非簡并的定態(tài)微擾H0+H’（2）寫出H0的本§5.1非簡并的定態(tài)微擾（3）計算En(1)奇函數(shù)66§5.1非簡并的定態(tài)微擾（3）計算En(1)奇函數(shù)66§5.1非簡并的定態(tài)微擾（4）計算能量二級修正欲計算能量二級修正，首先應計算H’mn矩陣元。利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：67§5.1非簡并的定態(tài)微擾（4）計算能量二級修正欲計算能量§5.1非簡并的定態(tài)微擾將上式代入68§5.1非簡并的定態(tài)微擾將上式代入68§5.1非簡并的定態(tài)微擾En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω69§5.1非簡并的定態(tài)微擾En(0)-En-1(0)=ω§5.1非簡并的定態(tài)微擾波函數(shù)的一級修正70§5.1非簡并的定態(tài)微擾波函數(shù)的一級修正70 顯然，要實現(xiàn)Φk→Φm的躍遷，必須滿足|rmk|2≠0的條件，或|xmk|,|ymk|,|zmk|不同時為零。選擇定則若偶極躍遷幾率為零，則需要計算比偶極近似更高級的近似。在任何級近似下，躍遷幾率都為零的躍遷稱為嚴格禁戒躍遷?！?.9選擇定則71 顯然，要實現(xiàn)Φk→Φm的躍遷，必須滿足選擇定則若偶第七章自旋與全同粒子薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象但是這個理論還有較大的局限性:(1)薛定諤方程沒有把自旋包含進去，因而用前面的理論還不能解釋牽涉到自旋的微觀現(xiàn)象，如塞曼效應等(2)對于多粒子體系（原子、分子、原子核、固體等等），前面的理論也不能處理。72第七章自旋與全同粒子薛定諤方程出發(fā)可以解釋許多微觀現(xiàn)象但是§7.1電子的自旋

Ms在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值：由（7.1-2）式，電子自旋磁矩和自旋角動量之比是這個比值稱為電子自旋的回轉磁比率。73§7.1電子的自旋Ms在空間任意方向上的投影只能取兩引入則有:2.

上面兩條完全確定了電子自旋算符§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)74引入則有:2.上面兩條完全確定了電子自旋算符§7.2電二、泡利算符§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)反對易關系75二、泡利算符§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)反對易關系75（3）矩陣表示習慣上選取SZ表象（即σZ表象）<1>泡利矩陣算符在自身表象中的矩陣是對角矩陣，對角元素即算符的本征值?！?.2電子自旋算符和自旋函數(shù)76（3）矩陣表示習慣上選取SZ表象（即σZ表象）<1>泡利σ

x的矩陣形式§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)77σx的矩陣形式§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)77于是§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)78于是§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)78習慣上取α=0,于是得到：σ

x的矩陣形式§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)79習慣上取α=0,于是得到：σx的矩陣形式§7.2電子得到的泡利矩陣是泡利矩陣自旋算符§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)80得到的泡利矩陣是泡利矩陣自旋算符§7.2電子自旋算符和自<2>電子自旋量子數(shù)S2算符的本征值是把它記作:自旋量子數(shù)§7.2電子自旋算符和自旋函數(shù)81<2>電子自旋量子數(shù)S2算符的本征值是把它記作:自旋量子數(shù)§全同粒子的不可區(qū)分性1、全同粒子:質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)完全相同的粒子。

2.全同性原理:當一個全同粒子體系中兩個粒子交換不改變體系的狀態(tài)。§7.6全同粒子體系的特性3、波函數(shù)的交換對稱性和粒子的統(tǒng)計性若,則稱為交換對稱波函數(shù).若，則稱為交換反對稱波函數(shù)。

82全同粒子的不可區(qū)分性1、全同粒子:質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)在性質(zhì)§7.6全同粒子體系的特性

如果N個單粒子態(tài)中有兩個單粒子態(tài)相同，則行列式中有兩行相同，因而行列式等于零。這表示不能有兩個或兩個以上的費密子處于同一狀態(tài)。這個結果稱為泡利不相容原理泡利不相容原理83§7.6全同粒子體系的特性如果N個單粒子量子力學

QuantumMechanics84量子力學

QuantumMechanics1HeisenbergSchrodinger矩陣力學波動力學85Heisenberg第一章緒論§1.2光的波粒二象性§1.3原子結構的玻爾理論§1.1經(jīng)典物理學的困難§1.4微觀粒子的波粒二象性86第一章緒論§1.2光的波粒二象性§1.3原子結構§1.1經(jīng)典物理學的困難

一．經(jīng)典物理學的成就解釋了大到天體小到原子分子的運動和各種電磁現(xiàn)象和光的傳播等現(xiàn)象.牛頓力學麥克斯韋方程統(tǒng)計物理學低速宏觀電磁現(xiàn)象熱現(xiàn)象87§1.1經(jīng)典物理學的困難一．經(jīng)典物理學的成就牛頓力學麥§1.1經(jīng)典物理學的困難

當時物理學家們的世界圖樣:物質(zhì)粒子+電磁場=世界物質(zhì)粒子的運動由經(jīng)典力學描述電磁場運動由經(jīng)典電磁學描述.88§1.1經(jīng)典物理學的困難當時物理學家們的世界圖樣:物質(zhì)二、經(jīng)典物理學的困難

（1）黑體輻射問題

（2）光電效應（3）康普頓效應（4）原子光譜89二、經(jīng)典物理學的困難（1）黑體輻射問題6普朗克能量子假說*輻射物體中包含大量諧振子，它們的能量取分立值

*存在著能量的最小單元（能量子=h)*振子只能一份一份地按不連續(xù)方式輻射或吸收能量三、早期的量子論

1、

Planck黑體輻射定律90普朗克能量子假說*輻射物體中包含大量諧振2、光量子及光電效應理論第一個肯定光具有微粒性的是Einstein，他認為，光不僅是電磁波，而且還是一種粒子。根據(jù)他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量hν的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速C傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。由相對論光的動量和能量關系

p=E/C=hv/C=h/λ提出了光子動量p與輻射波長（λ=C/v）的關系。912、光量子及光電效應理論第一個肯定光具有微粒性的是Ein總結光子能量、動量關系式如下：92總結光子能量、動量關系式如下：92.量子躍遷的概念.原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En

躍遷到另一個較低（高）的能級Em，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：§1.3波爾（Bohr）的量子論1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。Bohr提出了量子化條件：玻爾假定:932.量子躍遷的概念.§1.3波爾（Bohr）的量子論1.原子假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：E=hνν=E/hP=h/λλ=h/p該關系稱為de.Broglie關系。因為自由粒子的能量E和動量p都是常量，所以由deBroglie關系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即它是一個單色平面波94假定：與一定能量E和動量p的實物粒子相聯(lián)系的波（他稱由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n方向傳播的平面波可表為：寫成復數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復數(shù)形式的波稱為deBroglie波95由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n方向傳播的平二、電子衍射實驗戴維孫電子衍射實驗96二、電子衍射實驗戴維孫電子衍射實驗13正是有了早期的量子論和德布羅意波才奠定了量子力學的誕生97正是有了早期的量子論和德布羅意波才奠定了量子力學的誕生14第二章波函數(shù)和薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋§2態(tài)疊加原理§3Schr?dinger方程§4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律§5定態(tài)Schr?dinger方程

98第二章波函數(shù)和薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（三）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋物質(zhì)波是描述粒子在空間的概率分布的概率波。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的概率成比例。2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋量子力學的第一條基本假定（或公設）99（三）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋物質(zhì)波是描述粒子在空間歸一化波函數(shù)100歸一化波函數(shù)17將其歸一化解:令以歸一化波函數(shù)為101將其歸一化解:令以歸一化波函數(shù)為18三、力場中粒子的波函數(shù)方程2.3薛定諤方程薛定諤波動方程102三、力場中粒子的波函數(shù)方程2.3薛定諤方程薛定諤波動方程1表示空間中找到粒子的幾率隨時間的變化S表示單位時間內(nèi)通過封閉曲面S而流入V的幾率2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律幾率守恒定律的微分形式結論：單位時間內(nèi)V中增加幾率應等于從體積V外穿過V的邊界面流進V的幾率，所以上式也叫實域幾率守恒方程

103表示空間中找到粒子的幾率隨時間的變化S表示單位時間內(nèi)通過2.5定態(tài)薛定諤方程2、能量本征值方程改寫成在量子力學中稱與上類似的方程為本征值方程。常量E稱為算符

H的本征值；Ψ稱為算符

H的本征函數(shù)。1042.5定態(tài)薛定諤方程2、能量本征值方程改寫成在量子2.5定態(tài)薛定諤方程（四）定態(tài)的性質(zhì)（1）Hamilton算符的本征值E或En必定是實數(shù)1052.5定態(tài)薛定諤方程（四）定態(tài)的性質(zhì)（1）Hamilton2.5定態(tài)薛定諤方程（2）粒子在空間的幾率密度與時間無關不含時間變量1062.5定態(tài)薛定諤方程（2）粒子在空間的幾率密度與時間無關不2.5定態(tài)薛定諤方程（3）幾率流密度與時間無關不含時間變量1072.5定態(tài)薛定諤方程（3）幾率流密度與時間無關不含時間變量ⅠⅡⅢ2.6一維無限深勢阱1.勢場108ⅠⅡⅢ2.6一維無限深勢阱1.勢場25勢阱內(nèi)的粒子不可能跑到勢阱外面來,所以勢阱外找到粒子的幾率為零,阱外波函數(shù)為零.2.6一維無限深勢阱-a0aU(x)IIIIII109勢阱內(nèi)的粒子不可能跑到勢阱外面來,所以勢阱外找到2.定態(tài)薛定諤方程的解:顯然E>0那么方程變成：

它的通解是：在勢阱內(nèi)，薛定諤方程為

:2.6一維無限深勢阱1102.定態(tài)薛定諤方程的解:顯然E>0那么方程變成：它的通解3.能級與波函數(shù)

考慮波函數(shù)標準條件:單值,有限,連續(xù)要求波函數(shù)在阱內(nèi)外要連續(xù)。所以現(xiàn)在有兩種情形的解：（1）A和B不能同時為零2.6一維無限深勢阱-a0aV(x)IIIIII1113.能級與波函數(shù)有兩種情形的解：（1）A和B不能同時為2.6一維無限深勢阱1122.6一維無限深勢阱29二者合起來可寫為：波函數(shù)的歸一化是：所以，（與n無關）2.6一維無限深勢阱113二者合起來可寫為：波函數(shù)的歸一化是：所以，（與n無關）2.6最后得到能級和波函數(shù)是：2.6一維無限深勢阱114最后得到能級和波函數(shù)是：2.6一維無限深勢阱31第三章量子力學中的力學量坐標和動量不能同時有確定值，所以狀態(tài)用波函數(shù)表示，力學量用算符表示。經(jīng)典粒子可用坐標和動量來描寫狀態(tài)(坐標、動量、角動量、能量等)，任何狀態(tài)下，力學量都有確定值。微觀粒子115第三章量子力學中的力學量坐標和動量不能同時有確定值，所以狀§3.1表示力學量的算符量子力學中力學量算符的構成量子力學中表示力學量的算符必須是線性,厄密算符,且它的本征函數(shù)構成完備系.經(jīng)典力學中力學量是坐標r和動量p的函數(shù),把坐標保持不變,動量換為動量算符就構成了量子力學中相應的力學量算符.116§3.1表示力學量的算符量子力學中力學量算符的構成量子例如§3.1表示力學量的算符117例如§3.1表示力學量的算符34§3.2動量算符和角動量算符(iii)角動量Z方向的分量角動量的平方118§3.2動量算符和角動量算符(iii)角動量Z方向的分§3.2動量算符和角動量算符本征值方程本征值函數(shù)（球函數(shù)）由于量子數(shù)表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m

稱為磁量子數(shù)。119§3.2動量算符和角動量算符本征值方程本征值函數(shù)（球函§3.2動量算符和角動量算符(3)、角動量Z分量算符的本征值方程120§3.2動量算符和角動量算符(3)、角動量Z分量算符的§3.3電子在庫侖場中的運動（五）總結（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n有關，而本征函數(shù)與n,,m有關，故能級存在簡并。當n確定后，=n-nr-1，所以最大值為n-1。當確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：121§3.3電子在庫侖場中的運動（五）總結（1）本征值和本征函§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性1、本征函數(shù)屬于分立譜2、本征函數(shù)屬于連續(xù)譜122§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性1、本征函數(shù)屬于分立譜24.力學量的可能值若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測量的力學量的可能測得值的相應的幾率就完全確定了。在這個意義上講，波函數(shù)完全描述了體系狀態(tài)?！?.6算符與力學量的關系1234.力學量的可能值若體系的狀態(tài)已知，則體系的可以測量§3.6算符與力學量的關系例2已知空間轉子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值；（4）在Ψ態(tài)中分別測量L2和Lz時得到的可能值及其相應的幾率。124§3.6算符與力學量的關系例2已知空間轉子處于如下狀態(tài)§3.6算符與力學量的關系解：（1）Ψ是否是L2的本征態(tài)？

Ψ不是L2的本征態(tài)。125§3.6算符與力學量的關系解：（1）Ψ是否是L2的本§3.6算符與力學量的關系（2）Ψ是否是Lz的本征態(tài)？Ψ是Lz的本征態(tài)，本征值為。126§3.6算符與力學量的關系（2）Ψ是否是Lz的本征態(tài)？§3.6算符與力學量的關系（3）求L2的平均值先進行歸一化：127§3.6算符與力學量的關系（3）求L2的平均值先進行歸§3.6算符與力學量的關系128§3.6算符與力學量的關系45§3.6算符與力學量的關系方法II(4)測量的結果為:129§3.6算符與力學量的關系方法II(4)測量的結果為:4§3.7算符的對易關系兩個力學量同時有確定值的條件測不準關系定理：一組力學量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。130§3.7算符的對易關系兩個力學量同時有確定值的條件第四章態(tài)和力學量表象本章要求1、掌握表象的概念和量子態(tài)在不同表象下的表示。2、掌握算符用矩陣表示的概念和量子力學公式的矩陣表述。3、掌握不同表象之間通過幺正變換聯(lián)系起來的概念。4、掌握狄喇克符號。5、了解一維線性諧振子問題的代數(shù)解法。131第四章態(tài)和力學量表象本章要求48§4.1態(tài)的表象（二）力學量表象任何力學量Q都可以建立一種表象，稱為力學量Q表象。設算符Q的本征值為：Q1,Q2,...,Qn,...，相應本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),...,un(x),...。將Ψ(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)在Q表象中的表示。132§4.1態(tài)的表象（二）力學量表象任何力學量Q都可以建立一種§4.1態(tài)的表象寫成矩陣形式共軛矩陣:133§4.1態(tài)的表象寫成矩陣形式共軛矩陣:50§4.２算符的矩陣表示力學量算符的矩陣表示坐標表象：Q表象：134§4.２算符的矩陣表示力學量算符的矩陣表示坐標表象：Q表象§4.3量子力學公式的矩陣表述（一）平均值公式坐標表象平均值公式在Q表象中135§4.3量子力學公式的矩陣表述（一）平均值公式坐標表象平均§4.3量子力學公式的矩陣表述（二）本征方程136§4.3量子力學公式的矩陣表述（二）本征方程53§4.3量子力學公式的矩陣表述上式是一個齊次線性方程組137§4.3量子力學公式的矩陣表述上式是一個齊次線性方程組54§4.3量子力學公式的矩陣表述方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久期方程求解此久期方程得到一組λ值：λ1,λ2,...,λi,....就是F的本征值。138§4.3量子力學公式的矩陣表述方程組有不完全為零解的條件是§4.3量子力學公式的矩陣表述例2：求Lx的本征態(tài)在Lz表象中的矩陣表示，只討論(=1)情況。Lx的本征方程為：解欲得a1,a2,a3不全為零的解，必須要求系數(shù)行列式等于零139§4.3量子力學公式的矩陣表述例2：求Lx的本征態(tài)在L§4.3量子力學公式的矩陣表述解久期方程-λ(λ2-2)=0λ=0,±.取λ=代入本征方程得：140§4.3量子力學公式的矩陣表述解久期方程-λ(λ2-2§4.3量子力學公式的矩陣表述解得：a1=(1/21/2)a2,a3=(1/21/2)a2

則=1,Lx=的本征態(tài)可記為：由歸一化條件定a2141§4.3量子力學公式的矩陣表述解得：a1=(1/21/2)§4.3量子力學公式的矩陣表述同理得另外兩個本征值相應本征函數(shù)142§4.3量子力學公式的矩陣表述同理得另外兩個本征值相應本征第五章微擾理論微擾法不是量子力學所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應。143第五章微擾理論微擾法不是量子力學所特有的方法，在§5.1非簡并的定態(tài)微擾144§5.1非簡并的定態(tài)微擾61§5.1非簡并的定態(tài)微擾在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：擾動體系能量本征函數(shù)由下式給出：145§5.1非簡并的定態(tài)微擾在計及二階修正后，擾動體系能量本§5.1非簡并的定態(tài)微擾（四）微擾理論適用條件欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：146§5.1非簡并的定態(tài)微擾（四）微擾理論適用條件欲使二式有§5.1非簡并的定態(tài)微擾（五）實例例1.一電荷為q的線性諧振子，受恒定弱電場E作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’兩部分147§5.1非簡并的定態(tài)微擾（五）實例例1.一電荷為q的§5.1非簡并的定態(tài)微擾H0+H’（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)148§5.1非簡并的定態(tài)微擾H0+H’（2）寫出H0的本§5.1非簡并的定態(tài)微擾（3）計算En(1)奇函數(shù)149§5.1非簡并的定態(tài)微擾（3）計算En(1)奇函數(shù)66§5.1非簡并的定態(tài)微擾（4）計算能量二級修正欲計