2022-2023學(xué)年蘇教版選擇性必修第一冊(cè) 4.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 學(xué)案

課題:§4.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和目標(biāo)要求1、借助教材實(shí)例了解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程．2、借助教材掌握的關(guān)系．3、掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)及其應(yīng)用．4、能利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問題，能解決數(shù)列求和等相關(guān)問題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級(jí)數(shù)等，它實(shí)際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性，以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位．本章教材的設(shè)計(jì)，注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想．在給出大量的生活實(shí)例之后，給學(xué)生一定的思考和探索空間，促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變．讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗(yàn)證、推理、討論和交流體驗(yàn)數(shù)學(xué)；在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓寬視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)及其應(yīng)用；難點(diǎn)：數(shù)列求和等相關(guān)問題．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)積累1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝________________________Sn＝_______________________【課前預(yù)習(xí)思考】兩個(gè)求和公式如何選擇？2．錯(cuò)位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫________________．(2)該方法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列_______________的前n項(xiàng)和，即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列，{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn·cn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，可以用這種方法．【課前預(yù)習(xí)思考】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)還有其他的方法嗎？【課前小題演練考】題1．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比q＝－eq\f(1,2)，則eq\f(a1＋a5＋a9,a3＋a7＋a11)＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．2D．4題2．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝1，a6＝4，則a3a4a5＝()A．8B．－8 C．±8 D．16題3．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中a5a11＝3，a3＋a13＝4，則eq\f(a12,a2)＝()A．3B．－eq\f(1,3) C．3或eq\f(1,3)D．－3或－eq\f(1,3)題4．在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，則a4＋a8＝________．題5．已知－7，a1，a2，－1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－4，b1，b2，b3，－1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)＝________．題6．已知{an}為等比數(shù)列．(1)等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝eq\f(1,2)，求a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題7．等比數(shù)列{an}中，若a12＝4，a18＝8，則a36為()A．32B．64C．128D．256題8．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝eq\f(1,2)，a6＝8，則a4＝()A．4B．2 C．±4D．±2題9．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，則q3＝()A．－eq\f(1,2)B．－2C．－eq\f(1,2)或－2D．2題10．各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a3＝2，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a5＝()A．2B．3C．4D．5題11．在正項(xiàng)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a4，a46為方程x2－100x＋9＝0的兩根，則a10·a25·a40＝()A．9 B．27 C．64 D．81題12．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝()A．－eq\f(5,6)B．－eq\f(5,3)C．－eq\f(8,3)D．－eq\f(10,3)題13．(多選題)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，則a5的值可能是()A．2B．4C．eq\f(8,5)D．eq\f(8,3)題14（多選題）．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是()A．若a3＝－2則aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))≥8B．a(chǎn)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))≥2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))C．若a3＝a5，則a1＝a2D．若a5>a3，則a7>a5題15．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)＝________．題16．已知在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1a2a3＝8，a4＋a5＝0，則a6＝________．題17．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq\f(1,2)，求n.【課堂跟蹤拔高】題18．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)積，若eq\f(S7,S2)＝32，則S9＝()A．1024 B．512 C．256D．128題19．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a3＝2，a5＝m，a7＝8，則m＝()A．±4 B．4 C．－4D．5題20．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5，27))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，a9))且m∥n，則log3a7＝()A．4 B．3 C．2 D．1題21．(多選題)已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2020·a2021>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))<0，則下列結(jié)論中正確的有()A．q>1B．0<q<1C．a(chǎn)2020·a2022>1D．T2020的值是Tn中最大的題22．已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9＝________．題23．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數(shù)列，且a1a2021＝1，若f(x)＝eq\f(2,1＋x2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021))＝________．題24．設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是公比大于1的等比數(shù)列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝log2a3n＋1，n＝1，2，3，…，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n項(xiàng)和Tn.題25．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項(xiàng)和為Sn，2an＝Sn＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*)).(1)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝λan＋3n，若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．編號(hào)：030課題:§4.3.3等比數(shù)列的前n項(xiàng)和目標(biāo)要求1、借助教材實(shí)例了解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程．2、借助教材掌握的關(guān)系．3、掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)及其應(yīng)用．4、能利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問題，能解決數(shù)列求和等相關(guān)問題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中，數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級(jí)數(shù)等，它實(shí)際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁．由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性，以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性，奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位．本章教材的設(shè)計(jì)，注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想．在給出大量的生活實(shí)例之后，給學(xué)生一定的思考和探索空間，促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變．讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、猜想、驗(yàn)證、推理、討論和交流體驗(yàn)數(shù)學(xué)；在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目，為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓寬視野，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容，為學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)及其應(yīng)用；難點(diǎn)：數(shù)列求和等相關(guān)問題．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)積累1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝Sn＝【課前預(yù)習(xí)思考】兩個(gè)求和公式如何選擇？提示：知道首項(xiàng)a1、公比q(q≠1)和項(xiàng)數(shù)n，可以用Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)；知道首尾兩項(xiàng)a1，an和q(q≠1)，可以用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q).在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)．2．錯(cuò)位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法．(2)該方法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和，即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列，{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn·cn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，可以用這種方法．【課前預(yù)習(xí)思考】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)還有其他的方法嗎？提示：根據(jù)等比數(shù)列的定義，有：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，再由合比定理，則得eq\f(a2＋a3＋a4＋…＋an,a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝q即eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，進(jìn)而可求Sn.【課前小題演練考】題1．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比q＝－eq\f(1,2)，則eq\f(a1＋a5＋a9,a3＋a7＋a11)＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．2D．4【解析】選D.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(a1＋a5＋a9,a3＋a7＋a11)＝eq\f(a1＋a5＋a9,q2（a1＋a5＋a9）)＝eq\f(1,q2)＝4.題2．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝1，a6＝4，則a3a4a5＝()A．8B．－8 C．±8 D．16【解析】選A.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2·a6＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝4，而a2，a4，a6同號(hào)，故a4＝2，所以a3a4a5＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝8.題3．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中a5a11＝3，a3＋a13＝4，則eq\f(a12,a2)＝()A．3B．－eq\f(1,3) C．3或eq\f(1,3)D．－3或－eq\f(1,3)【解析】選C.若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q，因?yàn)閍3a13＝a5a11＝3，又由a3＋a13＝4，即有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝1,a13＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＝3,a13＝1))，所以q10＝eq\f(1,3)或3，故有eq\f(a12,a2)＝q10＝3或eq\f(1,3).題4．在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，則a4＋a8＝________．【解析】因?yàn)閍6a10＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))，a3a5＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＝41，又a4a8＝4，所以(a4＋a8)2＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＋2a4a8＝41＋8＝49，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以a4＋a8＝7.答案：7題5．已知－7，a1，a2，－1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－4，b1，b2，b3，－1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)＝________．【解析】設(shè)數(shù)列－7，a1，a2，－1的公差為d，由題意易得d＝eq\f(－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7)),3)＝2，由－4，b1，b2，b3，－1成等比數(shù)列得beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))，且b2和－4的符號(hào)相同，解得b2＝－2所以eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(2,－2)＝－1.答案：－1題6．已知{an}為等比數(shù)列．(1)等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝eq\f(1,2)，求a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．【解析】(1)等比數(shù)列{an}中，因?yàn)閍2a4＝eq\f(1,2)，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝a1a5＝a2a4＝eq\f(1,2)，所以a1aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))a5＝eq\f(1,4).(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題7．等比數(shù)列{an}中，若a12＝4，a18＝8，則a36為()A．32B．64C．128D．256【解析】選B.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比數(shù)列，且eq\f(a18,a12)＝2，故a36＝4×24＝64.題8．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝eq\f(1,2)，a6＝8，則a4＝()A．4B．2 C．±4D．±2【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q，則eq\f(a4,a2)＝q2>0，因?yàn)閍2＝eq\f(1,2)>0，所以a4>0.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝a2a6＝eq\f(1,2)×8＝4，因此a4＝2.題9．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，則q3＝()A．－eq\f(1,2)B．－2C．－eq\f(1,2)或－2D．2【解析】選C.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a5·a8＝a6·a7＝－8，因?yàn)閍5＋a8＝2，所以a5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－a5))＝－8，解得a5＝4或a5＝－2，若a5＝4，則a8＝－2，所以q3＝eq\f(a8,a5)＝－eq\f(1,2)；若a5＝－2，則a8＝4，所以q3＝eq\f(a8,a5)＝－2.題10．各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a3＝2，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a5＝()A．2B．3C．4D．5【解析】選D.各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中且a3＝2，則a1a2a3a4a5＝a3＝aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(3))＝25，所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a5＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1a2…a5))＝log225＝5.題11．在正項(xiàng)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a4，a46為方程x2－100x＋9＝0的兩根，則a10·a25·a40＝()A．9 B．27 C．64 D．81【解析】選B.由已知得a4·a46＝9＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))，因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列所以a25＝3，所以a10·a25·a40＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(25))＝27.題12．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝()A．－eq\f(5,6)B．－eq\f(5,3)C．－eq\f(8,3)D．－eq\f(10,3)【解析】選B.因?yàn)閿?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比數(shù)列，所以a7a10＝a8a9，所以eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a7)＋\f(1,a10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a8)＋\f(1,a9)))＝eq\f(a7＋a10,a7a10)＋eq\f(a8＋a9,a8a9)＝eq\f(a7＋a10,a8a9)＋eq\f(a8＋a9,a8a9)＝eq\f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3).題13．(多選題)已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，則a5的值可能是()A．2B．4C．eq\f(8,5)D．eq\f(8,3)【解析】選ABD.依題意，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a3>0，a7>0，a5>0，所以eq\r(6)＝eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)≥2eq\r(\f(2,a3)·\f(3,a7))＝eq\f(2\r(6),\r(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))))，因?yàn)閍5>0，所以上式可化為a5≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a3＝eq\f(2\r(6),3)，a7＝eq\r(6)時(shí)等號(hào)成立．題14（多選題）．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是()A．若a3＝－2則aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))≥8B．a(chǎn)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))≥2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))C．若a3＝a5，則a1＝a2D．若a5>a3，則a7>a5【解析】選ABD.A.因?yàn)閍eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))≥2a2a4＝2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝8，取等號(hào)時(shí)a2＝a4＝±2，故正確；B.因?yàn)閍eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))≥2a3a5＝2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，取等號(hào)時(shí)a3＝a5，故正確；C.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閍3＝a5，所以q2＝eq\f(a5,a3)＝1，所以q＝±1，當(dāng)q＝－1時(shí)，a1＝－a2，故錯(cuò)誤；D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)閍5>a3且q2>0，所以a5·q2>a3·q2，所以a7>a5，故正確．題15．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)＝________．【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＋a6a10＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋2a4a8＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＝＝4.答案：4題16．已知在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1a2a3＝8，a4＋a5＝0，則a6＝________．【解析】設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q，因?yàn)閍1a2a3＝8，所以aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2))＝8，解得a2＝2，又a4＋a5＝0，所以q＝－1，故a6＝a2q4＝2.答案：2題17．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq\f(1,2)，求n.【解析】設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q，因?yàn)閍4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，所以q＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，因?yàn)閍4＋a7＝18，所以a4(1＋q3)＝18，所以a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·n－4，令16·n－4＝eq\f(1,2)，所以n－4＝eq\f(1,32)＝5，所以n－4＝5，n＝9.【課堂跟蹤拔高】題18．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)積，若eq\f(S7,S2)＝32，則S9＝()A．1024 B．512 C．256D．128【解析】選B.eq\f(S7,S2)＝a3a4a5a6a7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))5＝32，則a5＝2，則S9＝a1a2a3a4a5a6a7a8a9＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))9＝512.題19．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a3＝2，a5＝m，a7＝8，則m＝()A．±4 B．4 C．－4D．5【解析】選B.因?yàn)榈缺葦?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中a3＝2，a5＝m，a7＝8，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝a3·a7，即m2＝2×8＝16，解得m＝±4，又因?yàn)閍7＝a1q6＝8>0，所以a1>0，所以a5＝a1q4>0，所以m＝4.題20．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5，27))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，a9))且m∥n，則log3a7＝()A．4 B．3 C．2 D．1【解析】選C.因?yàn)閙∥n，所以a5a9－27×3＝0，所以a5a9＝81，又因?yàn)閿?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a5a9＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))，a7＝9，所以log3a7＝2.題21．(多選題)已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2020·a2021>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))<0，則下列結(jié)論中正確的有()A．q>1B．0<q<1C．a(chǎn)2020·a2022>1D．T2020的值是Tn中最大的【解析】選BD.依題意等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足條件：a1>1，a2020·a2021>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))<0.若q≥1，則a2020＝a1·q2019>1，a2021＝a1·q2020>1，則a2020－1>0，a2021－1>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))>0，與已知條件矛盾．所以q≥1不符合，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于a1>1，a2020·a2021>1，(a2020－1)(a2021－1)<0，所以a2020>1，a2021<1，0<q<1，an>0，a2020·a2022＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2021))<1.所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因此，前2020項(xiàng)都大于1，從第2021項(xiàng)開始都小于1，因此T2020的值是Tn中最大的．所以D選項(xiàng)正確．題22．已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9＝________．【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a11＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝4a7.因?yàn)閍7≠0所以a7＝4.所以b7＝a7＝4.再由等差數(shù)列的性質(zhì)知b5＋b9＝2b7＝8.答案：8題23．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數(shù)列，且a1a2021＝1，若f(x)＝eq\f(2,1＋x2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021))＝________．【解析】因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等比數(shù)列，a1a2021＝1，所以a2a2020＝a3a2019＝…＝a1011a1011＝1.因?yàn)閒(x)＝eq\f(2,1＋x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021))＝eq\f(2,1＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋eq\f(2,1＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2021)))＝eq\f(2,1＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＋eq\f(2,1＋\f(1,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))),1＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝2.同理得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2019))＝…＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1011))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1011))＝2.所以