《小學(xué)奧數(shù)六年級教案學(xué)案》第28講-“牛吃草”問題（教）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：年級：六年級課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：授課主題第28講-“牛吃草”問題授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)明確牛吃草問題中，必須把草的生長與牛吃的草問題，分開來分析解決，避免復(fù)雜錯亂。能夠了解問題中的基本不變量并會求出，清楚牛吃草中等量的關(guān)系，能夠利用求出的不變量來求解變化的問題。授課日期及時段T（Textbook-Based）——同步課堂知識梳理知識梳理一、專題引入英國物理學(xué)家牛頓曾經(jīng)編了這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場上有一片草，每天生長的一樣快，這片草可供10頭牛吃22天，或者供16頭牛吃10天，如果供22頭?？沙詭滋?？這道題就是有名的牛吃草問題，也叫牛頓問題。解決這一問題的關(guān)鍵是:在牛吃草的同時，草每天也在不斷均勻生長，所以草總量也在不斷變化。二、知識清單1、牛吃草問題中不變基本量：草的原有量、草的生長速度2、牛吃草問題中可變量:牛的數(shù)量、天數(shù)3、等量關(guān)系：草的總量與牛吃的草的總量一致草的總量=原有草量+草的生長速度×天數(shù)（或者草的總量=原有草量-草的減少速度×天數(shù)），牛吃的草量=牛頭數(shù)×1×天數(shù)（一般設(shè)1頭牛1天吃“1”份草）。草的生長速度(對應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；原來的草量對應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)；典例分析典例分析考點一：求時間例1：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供27頭牛吃6周，或者可供23頭牛吃9周。問：可供21頭牛吃幾周?【解析】1、這片草每天以同樣的速度生長是分析問題的難點。我們可以設(shè)1頭牛1周吃草1份，27頭牛6周吃276=162份，23頭牛9周吃草239=207份，比較這兩個量發(fā)現(xiàn)總草量是不一樣的，那是為什么呢？思考后得出，總草量的差實際上是由于草生長了不同的時間所導(dǎo)致的。9周比6周的草多長了（207-162=45份），所以每周長出的草量為（45÷3=15份），那么原來草量為162-156=72（份）。2、接下來也是一個難點，我們可以巧妙的處理一下21頭牛，我們可以把它分為2部分，15頭牛去吃新草，剩下的6頭牛去吃舊草，什么時候?qū)⑴f草吃完，整個牧場的草也就吃完了。解：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份每周長出的草量為：（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）草場原有的草量為：27×6－15×6=72（份）21頭?？梢猿缘闹軘?shù)：72÷（21－15）=12（周）答：這片草地可供21頭牛吃12周?？键c二:求牛數(shù)例1：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？【解析】設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，每周草的生長速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周考點三：草量勻速減少例1：由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計算，可以供多少頭牛吃10天？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)．考點四：牛羊同吃例1：（年希望杯六年級二試試題）有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?【解析】“4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只羊一天的食量為1，那么1頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場在每天內(nèi)增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過天，可將草吃完。考點五：牛數(shù)變化例1：有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長)？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為，原有草量為：．現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數(shù)(頭)．考點六：牛吃草問題變化例1：一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時淘完；如果5人淘水8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？【解析】解答這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加.所以總水量是個變量。而單位時間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長量是不變的.船內(nèi)原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內(nèi)已有的水量）也是不變的量.對于這個問題我們換一個角度進(jìn)行分析。每個人每小時的淘水量為“1個單位”.則船內(nèi)原有水量與3小時內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時淘水量×?xí)r間×人數(shù)，即1×3×10＝30.船內(nèi)原有水量與8小時漏水量之和為1×5×8=40。每小時的漏水量等于8小時與3小時總水量之差÷時間差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小時漏進(jìn)水量為2個單位，相當(dāng)于每小時2人的淘水量）。船內(nèi)原有的水量等于10人3小時淘出的總水量-3小時漏進(jìn)水量.3小時漏進(jìn)水量相當(dāng)于3×2=6人1小時淘水量.所以船內(nèi)原有水量為30-（2×3）=24。如果這些水（24個單位）要2小時淘完，則需24÷2＝12（人），但與此同時，每小時的漏進(jìn)水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。P(Practice-Oriented)——實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、牧場有一片青草，每天長勢一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則多少頭牛96天可以把草吃完．【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長的草量為，牧場原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．2、林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長的速度不變）【解析】設(shè)一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃3、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？【解析】設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少

原來牧場有草

可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。4、一片牧草，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）5、牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長．這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。供25頭牛可吃幾天？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場的草天生長出來的，所以每天生長的草量為，那么原有草量為：．供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天6、有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長的草量為，所以每天生長的草量為；原有草量為：．20天里，草場共提供草，可以讓頭牛吃20天．7、由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．8、：一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為，原有草量為：．如果4頭牛吃30天，那么將會吃去120的草量，此時原有草量還剩，而牛的頭數(shù)變?yōu)?，現(xiàn)在就相當(dāng)于：“原有草量30，每天生長草量1，那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：(天)．課后反擊1、一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天吃完。那么可供19頭牛吃幾天？【解析】6天時共有草：24×6＝14410天時共有草：20×10＝200草每天生長的速度為：（200－144）÷（10－6）＝14原有草量：144－6×14＝60可供19頭牛：60÷（19－14）＝12（天）2、旅客在車站候車室等車,并且排隊的乘客按一定速度增加,檢查速度也一定,當(dāng)車站放一個檢票口,需用半小時把所有乘客解決完畢,當(dāng)開放2個檢票口時,只要10分鐘就把所有乘客OK了。求增加人數(shù)的速度還有原來的人數(shù)？【解析】這是一道是比較復(fù)雜的牛吃草問題。把每頭牛每天吃的草看作1份。因為第一塊草地5畝面積原有草量＋5畝面積30天長的草＝10×30＝300份所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300÷5＝60份因為第二塊草地15畝面積原有草量＋15畝面積45天長的草＝28×45＝1260份所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天，每畝面積長84－60＝24份所以，每畝面積每天長24÷15＝1.6份所以，每畝原有草量60－30×1.6＝12份第三塊地面積是24畝，所以每天要長1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份新生長的每天就要用38.4頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此288÷80＝3.6頭牛所以，一共需要38.4＋3.6＝42頭牛來吃。兩種解法：解法一：設(shè)每頭牛每天的吃草量為1，則每畝30天的總草量為：10×30/5=60；每畝45天的總草量為：28×45/15=84那么每畝每天的新生長草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為60-1.6×30=12，那么24畝原有草量為12×24=288，24畝80天新長草量為24×1.6×80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(頭)解法二：10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據(jù)28頭牛45天吃15畝，可以推出15畝每天新長草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24×45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)×(24/15)=42頭3、有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少天？【解析】為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即[5，6，8]最小公倍數(shù)為120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120÷5=24，變?yōu)?20公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120÷6=20，變?yōu)?20公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。120÷8=15。問題變成：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛齒及天？即每天新長出的草：（240×14-264×10）÷（14-10）=180（份）草地原有草：（264-180）×10=840（份）可供285頭牛吃的時間：840÷（285-180）=8（天）答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。4、一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天那么可供18頭牛吃幾天？【解析】設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份。可供18頭牛吃60÷（18-14）=15直擊賽場直擊賽場1、（年希望杯六年級二試試題）有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?【解析】“4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只羊一天的食量為1，那么1頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場在每天內(nèi)增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過天，可將草吃完。S(Summary-Embedded)——歸納總結(jié)名師點撥名師點撥1、專題特點：關(guān)于一塊地的牛