同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12-4一階線性1(經(jīng)典實(shí)用)

一階線性微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程第十二章同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]例2.

求方程的通解.解:注意x,y同號(hào),由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例3.有一電路如圖所示,電阻

R和電～解:列方程.已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri

經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L都是常量,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數(shù)為解的意義:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]P281

1(3),(6),(9);2(5);6;

7(3),(5)作業(yè)第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]備用題1.求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1]2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)(下)課件D12_4一階線性[1](雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐