2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真押題卷（一）含答案解析

期末仿真押題卷01注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（12小題，每小題5分，共60分）1．（2021·重慶八中九年級期中）計(jì)算（x2）3的結(jié)果（）A．x6 B．x5 C．﹣x6 D．﹣x5【答案】A【分析】利用冪的乘方計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：（x2）3＝x2×3＝x6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，掌握（am）n=amn是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021·山東曹縣·八年級期中）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠4 D．x≠﹣4【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得2x+4≠0，據(jù)此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：2x+4≠0，解得：x≠-2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分母不為0時(shí)分式有意義是解題的關(guān)鍵．3．（山東省濰坊市高新區(qū)2021-2022學(xué)年上學(xué)期八年級核心素養(yǎng)測評試題）如果，，那么（）．A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件表示出c和，故可求解．【詳解】∵，，∴a=，c=∴+=-故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的式子變形求解．4．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖，ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1+∠C＝90° C．∠2+∠C＝90° D．∠1+∠2＝90°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，逐一判斷即可．【詳解】解：如圖，設(shè)AD與BE交于點(diǎn)F，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠AFE＝∠BFD，∴∠1＝∠2，故A正確，不符合題意；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠1+∠C＝90°，故B正確，不符合題意；∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠2+∠C＝90°，故C正確，不符合題意；∵由題意不能證明∠2＝∠BFD或∠1＝∠AFE，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．5．（2021·福建·南區(qū)中學(xué)八年級期中）有若干個(gè)大小形狀完全相同的小長方形現(xiàn)將其中4個(gè)如圖1擺放，構(gòu)造出一個(gè)正方形，其中陰影部分面積為45；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造出一個(gè)長方形，其中陰影部分面積為130（各個(gè)小長方形之間不重疊不留空），則每個(gè)小長方形的面積為（）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】C【分析】設(shè)出長方形的長和寬，根據(jù)兩種拼圖得出兩個(gè)含有長、寬的等式，變形后得出答案．【詳解】解：設(shè)長方形的長為a，寬為b，由圖1可得，（a+b）2-4ab=45，即a2+b2=2ab+45①，由圖2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=130，即a2+b2=65②，由①②得，2ab+45=65，所以ab=10，即長方形的面積為10，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，用代數(shù)式表示各個(gè)圖形的面積，利用面積之間的關(guān)系得到答案是常用的方法．6．（2021·湖北廣水·八年級期中）如圖，在中，BE是的平分線，CE是外角的平分線，BE與CE相交于點(diǎn)E，若則的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．25° D．20°【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EBM=∠ABC、∠ECM=∠ACM，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵BE是∠ABC的平分線，

∴∠EBM=∠ABC，

∵CE是外角∠ACM的平分線，

∴∠ECM=∠ACM，

則∠BEC=∠ECM-∠EBM=×（∠ACM-∠ABC）=∠A=30°，

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北·宜昌市第三中學(xué)八年級期中）觀察下列等式：；；；……，小明發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著一定的運(yùn)算規(guī)律，并利用這個(gè)運(yùn)算規(guī)律求出了式子“”的值，這個(gè)值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得出規(guī)律，計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意規(guī)律可知：，∴＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了考查了平方差公式，弄清題意規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．8．（2021·山東新泰·七年級期中）如圖，已知≌，是的平分線，已知，，則的度數(shù)是（）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D＝∠A＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性質(zhì)求∠E即可．【詳解】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝22°，∵∠CGD=92°，∴∠CGF＝180°－92°=88°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝88°－22°=66°，∴∠BCA＝66°×2=132°，∴∠B＝180°﹣22°﹣132°＝26°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝26°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．9．（2021·湖北青山·八年級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．110° B．118° C．120° D．130°【答案】C【分析】先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】解：在四邊形中，，，，，即，在和中，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．10．（2021·湖北廣水·八年級期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)作直線EF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作于D，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)O到各邊的距離相等；④設(shè)，，則，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，連接OA，利用角平分線定義和三角形內(nèi)角和定理可判斷①和②；根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OM=OD=ON，可判斷③；再根據(jù)三角形的面積公式可判斷④；【詳解】解：∵在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=90°－∠A，∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，故①錯(cuò)誤，②正確；過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，連接OA，又∵在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，，∴OM=OD=ON，即點(diǎn)O到各邊的距離相等，故③正確；∵，，∴==，故④正確，綜上，其中正確的結(jié)論有②③④三個(gè)正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵．11．（2021·湖北洪山·八年級期中）如圖，銳角∠AOB＝x，M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠OPM＝α，∠QNO＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于α，β，x的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2xC．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x【答案】A【分析】如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則此時(shí)MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，再結(jié)合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點(diǎn)，N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則此時(shí)的值最小．此時(shí)，，．∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，∴，，∴，即：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．12．（2021·黑龍江龍鳳·七年級期中）下列有四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）①若，則只能是；②若的運(yùn)算結(jié)果中不含項(xiàng)，則③若，，則④若，，則可表示為A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)零次冪、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式及同底數(shù)冪的除法法則分別對每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：若，則或，①錯(cuò)誤；，不含項(xiàng)則，解得，②正確；，所以，③錯(cuò)誤；∵，∴，，④正確綜上所述，②④正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查了零次冪、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式以及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題（4小題，每小題5分，共20分）13．（2021·黑龍江龍鳳·七年級期中）已知，則______．【答案】51【分析】直接利用完全平方公式計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵，∴，即-2＝49，則51，故答案為：51．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值以及完全平方公式，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．14．（2021·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，F(xiàn)是BC邊上任意一點(diǎn)，過F作FD⊥AB于D，F(xiàn)E⊥AC于E，若S△ABC＝12，則FE+FD＝___．【答案】4【分析】連接，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：連接，如圖：則，∴∵∴∴故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意，根據(jù)等面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．15．（2021·廣東·高州一中九年級期中）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad﹣bc，上述記號就叫做2階行列式．若＝17，則x＝___．【答案】6【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算列出方程，然后利用完全平方公式和平方差公式對方程進(jìn)行化簡求解；【詳解】解：由題意可得：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）＝17，x2+2x+1﹣（x2﹣4）＝17，x2+2x+1﹣x2+4＝17，2x＝12，x＝6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，一元一次方程，平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．（2021·四川興文·八年級期中）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C，△ABC的邊上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D、E，點(diǎn)D以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC→CB移動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)E以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC→CA移動(dòng)到點(diǎn)A，兩動(dòng)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)到終點(diǎn)．過點(diǎn)D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點(diǎn)M、N，若AC=6cm，BC=8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則當(dāng)t=__________s時(shí)，以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．【答案】1或或12【分析】由以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置決定，故需要對E，D的位置分當(dāng)E在BC上，D在AC上時(shí)或當(dāng)E在AC上，D在AC上時(shí)，或當(dāng)E到達(dá)A，D在BC上時(shí)，分別討論．【詳解】解：當(dāng)E在BC上，D在AC上，即0＜t≤時(shí)，CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，∵以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．∴CD=CE，∴8-3t=6-t，∴t=1s，當(dāng)E在AC上，D在AC上，即＜t＜時(shí)，CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，∴3t-8=6-t，∴t=s，當(dāng)E到達(dá)A，D在BC上，即≤t≤14時(shí)，CE=6cm，CD=（t-6）cm，∴6=t-6，∴t=12s，故答案為：1或或12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是對動(dòng)點(diǎn)所在的位置進(jìn)行分類，分別表示出每種情況下CD和CE的長．三、解答題（9小題，共70分）17．（2021·河南方城·八年級期中）計(jì)算：（1）（2）（a＋3）2－（a＋1）（a－1）－2（2a＋4）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根據(jù)求立方根，算術(shù)平方根的方法進(jìn)行求解即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式，以及整式的混合計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，乘法公式，立方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．18．（2021·河南方城·八年級期中）先化簡，再求值：，其中a＝，b＝【答案】（1），1【分析】先根據(jù)平方差公式、完全平方公式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法化簡中括號里面的算式，再算除法，然后把所給數(shù)值代入計(jì)算即可.【詳解】解：，，，，當(dāng)時(shí)，原式=1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，涉及到的知識有：平方差公式，完全平方公式，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，因式分解等知識.在求代數(shù)式的值時(shí)，一般先化簡，再把各字母的取值代入求值.19．（2021·黑龍江·哈爾濱市第一一三中學(xué)校八年級期中）某服裝銷售公司準(zhǔn)備從深圳利華服裝廠購進(jìn)甲、乙兩種服裝進(jìn)行銷售．若一件甲種服裝的進(jìn)價(jià)比一件乙種服裝的進(jìn)價(jià)多50元，用4000元購進(jìn)甲種服裝的數(shù)量是用1500元購進(jìn)乙種服裝的數(shù)量的2倍．（1）求每件甲種服裝和乙種服裝的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該公司甲種服裝每件售價(jià)260元，乙種服裝每件售價(jià)190元．公司根據(jù)顧客需求，決定在這家服裝廠購進(jìn)一批服裝，且購進(jìn)乙種服裝的數(shù)量比購進(jìn)甲種服裝的數(shù)量的2倍還多4件；若本次購進(jìn)的兩種服裝全部售出后，總獲利不少于7160元，求該公司本次購進(jìn)甲種服裝至少多少件？【答案】（1）每件甲種服裝的進(jìn)價(jià)是元，每件乙種服裝的進(jìn)價(jià)是元．（2）該該服裝銷售公司本次購進(jìn)甲種服裝至少件．【分析】（1）設(shè)每件甲種服裝為x元，每件乙種服裝為（x-50）元，根據(jù)關(guān)鍵語句“用4000元購進(jìn)甲種服裝的數(shù)量是用1500元購進(jìn)乙種服裝的數(shù)量的2倍”可列方程求解；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種服裝a件，則購進(jìn)乙種服裝（2a+4）件，根據(jù)題意可得不等關(guān)系：甲服裝的利潤+乙服裝的利潤＞7160元，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，求出解集，即可確定答案．【詳解】解：（1）設(shè)每件甲種服裝進(jìn)價(jià)元，每件乙種服裝進(jìn)價(jià)元，根據(jù)題意得，，解得x=200，經(jīng)檢驗(yàn)x=200是原分式方程的解，x-50=150．答：每件甲種服裝的進(jìn)價(jià)是元，每件乙種服裝的進(jìn)價(jià)是元．（2）設(shè)該服裝銷售公司本次購進(jìn)甲種服裝件，則購進(jìn)乙種服裝（2a+4）件，根據(jù)題意可得，，解得，為正整數(shù)，的最小整數(shù)值為．答：該該服裝銷售公司本次購進(jìn)甲種服裝至少件．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄清題意，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程和不等式．20．（山東省德州市2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，△ABC中，∠C＝90°．（1）求作△AEB，使△AEB是以AB為底的等腰三角形，且使點(diǎn)E在邊BC上．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，求證：BE＝2AC．【答案】（1）見解析；（2）∠AEB=150°；（3）見解析．【分析】（1）利用尺規(guī)作AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)DE是AB的垂直平分線可求出∠EAB=∠ABE，再根據(jù)，∠CAE：∠EAB=4：1及直角三角形兩銳角的關(guān)系得出∠B=15°，從而即可得出答案．（3）由（2）中∠B=15°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得出∠AEC=30°，從而得出AE＝2AC，繼而得出答案；【詳解】解：（1）如圖作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，則△EAB即為所求（2）∵DE是AB的垂直平分線，∴EA=EB，

∴∠EAB=∠B．

又∵∠CAE：∠EAB=4：1，

∴∠CAE：∠B=4：1，

∴∠CAB=5∠B．

在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，

得6∠B=90°，

∴∠B=15°∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．（3）∵∠EAB=∠B=15°∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°∵∠C＝90°∴AE=2AC∵EA=EB，∴BE＝2AC【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．21．（海南省海口市七校聯(lián)考2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）四邊形ABCD中，BC＝CD，AC平分∠BAD，作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．（1）求證：①CE＝CF；②△CBE≌△CDF；（2）若AB＝3，DF＝2，求AF的長．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）5【分析】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到CE=CF；②根據(jù)HL可判斷△CBE≌△CDF；（2）已知EC=CF，AC=AC，則根據(jù)HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后證得AB+DF=AF即可．【詳解】解：（1）①證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF；②∵CE⊥AB，CF⊥AD∴在△CBE與△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（HL）；（2）在Rt△ACE與Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF，∵AB＝3，DF＝2，∴AF＝3+2＝5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；證明線段相等往往通過三角形全等來證明，還要運(yùn)用相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是很重要的方法，注意掌握．22．（2021·山東新泰·八年級期中）提出問題：你能把多項(xiàng)式因式分解嗎？探究問題：如圖1所示，設(shè)a，b為常數(shù)，由面積相等可得：，將該式從右到左使用，就可以對形如的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解即．觀察多項(xiàng)式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)為兩數(shù)之和．解決問題：．運(yùn)用結(jié)論：（1）基礎(chǔ)運(yùn)用：把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．（2）知識遷移：對于多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解還可以這樣思考：將二次項(xiàng)分解成如圖2所示中的兩個(gè)的積，再將常數(shù)項(xiàng)分解成與3的乘積，圖中的對角線上的乘積的和為，就是的一次項(xiàng)，所以有．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．

請用十字相乘法進(jìn)行因式分解：①；②．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解即可；（2）用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：（1）＝＝；（2）①＝，；②＝，．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解－十字相乘法，解決本題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法因式分解．23．（2021·河南·漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝度；（2）如圖2，如果∠BAC＝60°，則∠BCE＝度；（3）設(shè)∠BAC＝，∠BCE＝．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，請直接寫出，之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】（1）90；（2）120；（3）①＋＝180°，理由見解析；②點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，＋＝180°，理由見解析；點(diǎn)D在CB的延長線上時(shí)，＝【分析】（1）只需要證明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，即可得到答案；（2）同（1）證明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，即可得到答案；（3）①同（1）證明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠ABD，即可得到答案；②分當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)和當(dāng)D在CB的延長線上時(shí)兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∠ABD+∠ACB=90°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠ACB+∠ABD=90°；故答案為：90；（2）∵∠DAE＝∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=60°，∠ABD+∠ACB=180°-∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=∠ACB+∠ABD=120°；故答案為：120；（3）①，理由如下：∵，∴，，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∴，∴；②如圖4所示，當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，∵，∴，，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∴，∴；如圖5所示，當(dāng)D在CB的延長線上時(shí)，，∵，∴，，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∴，∴；∴綜上所述，當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，，當(dāng)D在CB的延長線上時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．24．（2021·湖北廣水·八年級期中）如圖①，，，直線AE是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，于D，于E，則；（1）[線形訓(xùn)練]如圖②，中，，，直線AE是經(jīng)過點(diǎn)A的任一直線，于D，于E，證明：．（2）[問題創(chuàng)設(shè)]如圖③，在中，，若頂點(diǎn)A在直線m上，點(diǎn)D，E也在直線m上，如果，那么（1）中結(jié)論還成立嗎？如果不成立，BD，DE，CE三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．（3）[發(fā)散探究]如圖④，把等腰直角三角板放在黑板上畫好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直角頂點(diǎn)H在y軸正半軸上，頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，若另一頂點(diǎn)落在第四象限，求a的值．【答案】（1）證明見詳解；（2）（1）中的結(jié)論不成立，BD=DE-CE，證明見詳解；（3）．【分析】（1）根據(jù)于D，于E，可得∠ABD+∠BAD=90°，由，可得∠BAD+∠CAE=90°，可推得∠ABD=∠CAE，再證（AAS），可得AD=CE，BD=AE即可；（2）（1）中的結(jié)論不成立，BD=DE-CE，理由如下：由可得∠DBA=∠EAC，可證（AAS）得出AD=CE，BD=AE，可得BD=AE=DE-AD=DE-CE即可；（3）過點(diǎn)G作GF⊥y軸，過點(diǎn)K作KH⊥y軸于H，可得∠GFN=∠NHK=90°，可推出∠EGN+∠FNG=90°，由△GNK為等腰直角三角，可得NG=NK，∠GNK=90°，可推出∠FGN=∠HNK，再證（AAS）可得GF=NH，F(xiàn)N=HK，設(shè)點(diǎn)G（n,n），點(diǎn)K在第四象限，根據(jù)GF=NH，列等式解方程即可．【詳解】證明：如圖①，∵于D，于E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵，∴∠DAB+∠EAC=90°，∴∠DBA=∠EAC，在△ADB和△CEA中，，∴（AAS）（1）如圖②，∵于D，于E，∴∠ADB=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵，∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴（AAS）∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=DE+AD=DE+CE；（2）（1）中的結(jié)論不成立，BD=DE-CE，理由如下：∵∴∠DBA+∠DAB=180°-∠BDA=80°，∠DAB+∠EAC=180°-∠BAC=80°，∴∠DBA=∠EAC，在△ADB和△CEA中，，∴（AAS）∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=DE-AD=DE-CE，∴BD=DE-CE；（3）過點(diǎn)G作GF⊥y軸，過點(diǎn)K作KH⊥y軸于H，∴∠GFN=∠NHK=90°，∴∠EGN+∠FNG=90°，∵△GNK為等腰直角三角，∴NG=NK，∠GNK=90°，∴∠FNG+∠HNK=90°，∴∠FGN=∠HNK，在△GFN和△NHK中，，∴（AAS），∴GF=NH，F(xiàn)N=HK，∵頂點(diǎn)G在第一象限且使其橫、縱坐標(biāo)始終相等，設(shè)點(diǎn)G（n,n），∵，點(diǎn)K在第四象限，∴KH=a，OH=2a-6，OF=m，F(xiàn)G=n，∴ON=OF-HK=n-a，∴NH=ON+OH=n-a+2a-6=n+a-6，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等變換，