六年級下冊數學素材－工程問題 全國通用

工程問題工程問題內容分析內容分析--（）工程問題是小學數學應用題教學中的重點，是分數應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵知識結構知識結構基本工程問題基本工程問題工程問題工程問題工程問題方法與技巧工程問題方法與技巧模塊一：基本工程問題模塊一：基本工程問題知識精講知識精講1、工程問題的基本概念（1）定義：工程問題是指用分數來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題。工作總量：一般抽象成單位“1”，工作效率：單位時間內完成的工作量（2）三個基本公式：工作總量=工作效率×工作時間，工作效率=工作總量÷工作時間，工作時間=工作總量÷工作效率；例題解析例題解析一項工程，甲單獨做需要天時間，甲、乙合作需要天時間，如果乙單獨做需要多少時間？【難度】★【答案】28天【解析】由于本題只有天數作為條件，所以設總工作量為1，則甲每天完成1/21，甲乙合作每天完成1/12，乙每天完成:1/12-1/21=1/28，乙單獨做需要:1÷1/28=28天一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？【難度】★★【答案】75天，50天．【解析】設總工程量為1，則剩余工作量為：，則乙的工作效率為，所以甲單獨完成需要50天，乙單獨完成需要(天)5個工人加工735個零件，2天加工了135個，已知2天中有1人因事請假1天，照這樣的工作效率，如果以后幾天無人請假，還要多少天才能完成任務？【難度】★★【答案】8天．【解析】每人每天加工零件的個數：135÷（2×5-1×1）=15（個），5人每天加工零件的個數：15×5=75（個），剩下的工作量：735-135=600（個），還需要的天數600÷75=8（天）．某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？【難度】★★【答案】56天．【解析】甲乙合做28天，完成任務的28÷48=，故甲的工作效率為（1-）÷（63-28）=，乙的工作效率為，于是乙還需做一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天？【難度】★★【答案】48天．【解析】可以利用效率進行和差，從而求出丙一個人的工作效率，從而得到天數。（效率）甲+乙=1/8，乙+丙=1/9，丙+甲=1/18。則三式子相加得2（甲+乙+丙）-2（甲+乙）=1/24，所以丙的效率是1/48，所以完成工作需要48天一項工程，甲單獨做天完成，乙單獨做天完成．甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務共用了天．乙請假多少天？【難度】★★【答案】10天【解析】因為從開工到完成任務共用了16天，所以可知甲做了16天可得甲做了全部的，則乙做了全部工程的，因為這項工程以單獨做要三十天,可知他的速度是，由此可得乙做了，因為這項工程做了16天，乙做了6天后請假，可得乙請假了10天甲、乙兩個工程隊修路，最終按工作量分配8400元工資．按兩隊原計劃的工作效率，乙隊應獲5040元．實際上從第5天開始，甲隊的工作效率提高了1倍，這樣甲隊最終可比原計劃多獲得960元．那么兩隊原計劃完成修路任務要多少天？【難度】★★★【答案】12天．【解析】原來甲乙的工作效率比為：（8400-5040）：5040=3360：5040=2：3，甲提高工效后，甲乙的工作效率比為：（3360+960）：（5040-960）=4320：4080，=18：17；

設甲開始的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設甲在提高工效后還需a天完成任務，得：（2×4+4a）：（3×4+3a）=18：17，解得a=（天），

于是共有工程量為：所以原計劃修好這條路的天數為：60÷（2+3）=12（天）．一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天．如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原來的，乙只能完成原來的．現在要8天完成這項工程，兩人合做天數盡可能少，那么兩人要合做多少天？【難度】★★★ 【答案】5天．【解析】甲單獨做時的工作效率為1/10，合作時的效率為1/10×（1-1/20%）=2/25；乙單獨做時的效率為1/15，合作時的效率為1/15×（1-10%）=3/50；那么合作時兩人的效率和為2/25+3/50=7/50。要使合作時間盡量少，那么就要盡量讓甲去多做，在這里我們把兩人的效率和看成是丙的工作效率，是甲和丙去完成，并且要使丙盡量少做。這樣就又變成了假設問題。假設8天都是甲做的，完成了8×1/10=8/10，還少1-8/10=2/10的工程沒完成，這是因為這里面有甲做的天數其實是丙做的，有一天是丙做的我們算成了甲做的，我們就少算了7/50-1/10=2/50，所以丙做了2/10÷2/50=5天，甲單獨做了8-5=3天。即：兩人合作了5天隨堂檢測隨堂檢測一項工程，甲隊單獨做天可以完成，甲隊做了天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單獨做天完成．問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？【難度】★【答案】25天【解析】設總工程量為1，則用甲做完的剩余工作量除以乙的工作時間即為乙工作效率，則求出結果，乙工作效率為：，天數為25天一項工程，甲隊單獨完成需40天。若乙隊先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊合作，又需20天可完成。如果乙隊單獨完成此工程，則需多少天？【難度】★★【答案】60天【解析】甲每天完成，甲乙合作中，甲一共完成，所以乙也一共完成，乙每天完成，則乙單獨做要60天【難度】★★【答案】60天．【解析】根據題干分析可得：甲、乙、丙、丁四的效率總和是：，則甲、乙的效率和為：，則根據最后工作流程得：有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天．現在讓3個隊合修，但中途甲隊撤出去到另外工地，結果用了6天才把這條公路修完．當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成？【難度】★★【答案】5天．【解析】這里前后乙，丙兩隊未曾離開，共同干了6天，所以乙、丙兩隊6天共干了，也就是說甲只干了，那么甲干了，因此，當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了6-1=5天才完成甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時提高，乙的工作效率比單獨做時提高．甲、乙兩人合作小時，完成全部工作的，第二天乙又單獨做了小時，還留下這件工作的尚未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？【難度】★★★【答案】．【解析】先算出乙單獨做了6小時的工作總量為：，所以乙的工作效率為：，再算出兩人合作時候甲工作效率為：，甲單獨的真正效率為：，所以甲單獨做完的時間為：一項挖土萬工程，如果甲隊單獨做，16天可以完成，乙隊單獨做要20天能完成．現在兩隊同時施工，工作效率提高20％．當工程完成時，突然遇到了地下水，影響了施工進度，使得每天少挖了47.25方土，結果共用了10天完成工程．問整工程要挖多少方土？【難度】★★★【答案】1100方土．【解析】合甲乙兩隊合作的工作效率：，合作完成所用時間：，所以完成剩下的所用的時間：，因為是受阻所以可以得出在剩下的里的效率是：；前后的工作效率差是：，這項工程計劃挖土方數為：模塊二：工程問題方法與技巧模塊二：工程問題方法與技巧知識精講知識精講1、常見的數學思想方法（1）整體分析法，代換法、比例法、列表法、方程法等（2）拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數量關系，轉化出與所求相關的工作效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案．一般情況下，工程問題求的是時間．例題解析例題解析有兩個同樣的倉庫，搬運完其中一個倉庫的貨物，甲需要6小時，乙需要7小時，丙需要14小時．甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物，開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫的貨物同時搬完．則丙幫甲小時【難度】★★【答案】1.75小時．【解析】．三人搬完倉庫用時：；甲完成了一個倉庫的：，則丙運了這個倉庫的：，且用時甲、乙、丙三隊要完成，兩項工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果讓甲、乙、丙三隊單獨做，完成工程所需要的時間分別是天，天，天．現在讓甲隊做工程，乙隊做工程，為了同時完成這兩項工程，丙隊先與乙隊合做工程若干天，然后再與甲隊合做工程若干天．問丙隊與乙隊合做了多少天？【難度】★★【答案】15天【解析】把A工程看作“1”，則B工程為，則總工作量：，工作時間：丙隊與乙隊合做了：一項工程，乙單獨做要天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整天數完成；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，那么比上次輪流的做法多用半天完工．問：甲單獨做需要幾天？【難度】★★【答案】10天．【解析】這兩種輪流交替做的情況反映出：當甲先做時，用的時間就少，而乙先做時，用的時間就多．還反映出甲的工效高，乙的工效低．肯定的是第一種情況中甲用的時間比乙多一天，而第二種情況中，乙的天數剛好和第一種情況中甲的天數相同，甲則是與第一種情況中乙的天數相同的基礎上還多天．第一種情況：甲乙甲乙…甲，第二種情況：乙甲乙甲…乙甲×（甲的二分之一），第一種情況：甲乙甲乙…等于第二種情況：乙甲乙甲，根據分析可得，甲一天的工效=乙一天的工效+甲一天工效的，也就是乙一天的工效應該等于甲一天工效的，公園水池每周需換一次水．水池有甲、乙、丙三根進水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的順序輪流打開1小時，恰好在打開水管整數小時后灌滿空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時，灌滿一池水比第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1小時，比第一周多用了15分鐘．第四周他三個管同時打開，灌滿一池水用了2小時20分，第五周他只打開甲管，那么灌滿一池水需用多少小時？【難度】★★★【答案】7小時．【解析】如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙…的順序輪流打開1小時，恰好在打開丙管1小時后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲…的順序輪流打開1小時，應在打開甲管1小時后灌滿一池水，不合題意；如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙…的順序輪流打開1小時，恰好在打開乙管1小時后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲…的順序輪流打開1小時，應在打開丙管45分鐘后灌滿一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲…的順序輪流打開1小時，應在打開甲管后15分鐘灌滿一池水；比較第二周和第三周，發(fā)現開乙管1小時和丙管45分鐘的進水量與開丙管、乙管各1小時加開甲管15分鐘的進水量相同，矛盾；所以第一周是在開甲管1小時后灌滿水池的；比較三周發(fā)現，甲管1小時的進水量與乙管45分鐘的進水量相同，乙管30分鐘的進水量與丙管1小時的進水量相同．三管單位時間內的進水量之比為3：4：2；據此解答即可2小時20分=，隨堂檢測隨堂檢測搬運一個倉庫的貨物，甲需小時，乙需小時，丙需小時．有同樣的倉庫和，甲在倉庫，乙在倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫甲搬運，中途又轉向幫乙搬運，最后同時搬完兩個倉庫的貨物．丙幫助甲、乙各搬運了幾小時？【難度】★★【答案】甲：3小時，乙：5小時【解析】甲乙丙三人合作完成2個倉庫，所以完成時間：，甲能完成：，所以還有是丙做了，丙需要：，所以丙幫助乙為8-3=5（小時）甲、乙、丙三人同時分別在3個條件和工作量相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12小時，丙用15小時．第二天三人又到兩個大倉庫工作，這兩個倉庫的工作量相同．甲在倉庫，乙在倉庫，丙先幫甲后幫乙，用了16個小時將兩個倉庫同時搬完．丙在倉庫搬了多長時間？【難度】★★【答案】6小時【解析】，規(guī)定兩人輪流做一個工程，要求第一個人先做1個小時，第二個人接著做一個小時，然后再由第一個人做1個小時，然后又由第二個人做1個小時，如此反復，做完為止．如果甲、乙輪流做一個工程需要小時，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要小時，那乙單獨做這個工程需要多少小時？【難度】★★★【答案】7.3小時【解析】甲乙輪流做一個工程，甲工作了5小時，乙工作了4.8小時；乙甲輪流工作時，乙工作了5小時，甲工作了4.6小時。所以甲做0.4小時完成的工程等于乙做0.2小時，乙的效率是甲的0.4÷0.2=2（倍），甲做5小時完成的任務乙只要2.5小時就能完成。所以乙單獨完成這個工程要：2.5+4.8=7.3（小時）?！倦y度】★★★【答案】84小時．【解析】把水池的容量看成單位“1”，進水管的效率就是，出水管的效率就是，進水管，出水管及漏水處三者的共同效率就是；若不漏水同時打開進水管和出水管的效率應是；用這一效率減去這一效率就是漏水處的效率，再用工作量除以漏水處的工作效率就是漏完需要的時間，漏水處的工作效率：；漏完全池水需要的時間：課后作業(yè)課后作業(yè)甲、乙兩隊合作挖一條水渠要天完成，若甲隊先挖天后，再由乙隊單獨挖天，共挖了這條水渠的．如果這條水渠由甲、乙兩隊單獨挖，各需要多少天？【難度】★【答案】甲：90天，乙：45天【解析】甲先挖4天后,乙再挖16天,可以看成是甲乙合作4天,乙再獨做16－4＝12（天）

甲乙合作4天完成：×4＝，乙12天完成:－＝乙每天完成:÷12＝，甲每天完成:－＝甲獨做完成要:1÷＝90（天）乙獨做完成要:1÷＝45（天）一批零件平均分給甲、乙兩人同時加工，兩人工作小時，共完成這批零件的。已知甲與乙的工作效率之比是，那么乙還要幾小時才能完成分配的任務？【難度】★【答案】5天【解析】兩人工作一天可以完成÷5=，甲與乙的工作效率是5：3,乙一天完成×=，由于工作平均分給甲乙,每人完成，乙完成自己的總共要，÷=10天，那么乙還要工作:10-5=5天甲、乙、丙三人承包一項工程，發(fā)給他們工資共1800元，三人完成這項工程的具體情況是：甲、乙兩人合作6天完成了工程的，因為甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了這項工程，按完成量的多少來付勞動報酬，甲、乙、丙各得多少元？【難度】★★【答案】甲：330元，乙：910元，丙：560元【解析】甲乙效率和÷6=，乙丙效率和（1-）×÷2=甲乙丙效率和（1-）×（1-）÷5=甲效率-=，乙效率-=，丙效率-=甲分1800××（6+5）=30×11=330元，乙分1800××（6+2+5）=70×13=910元丙分1800××（2+5）=80×7=560元一個水箱，用甲、乙、丙三個水管往里注水．若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時，水箱已滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時，水箱才滿．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．則該水箱最多可容納多少噸水？【難度】★★【答案】54升【解析】可以設甲水管每分鐘注水量為1升，那么乙水管每分鐘注水量為2升，所以當甲管注入18升水時，用時