《平面與平面垂直》課件與同步練習(xí)

8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定第八章立體幾何初步課程目標(biāo)1．理解二面角的概念，并會求簡單的二面角；2．理解直二面角與面面垂直的關(guān)系，理解平面和平面垂直的判定定理并能運用其解決相關(guān)問題.3.通過面面垂直定理的理解及運用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納平面和平面垂直的判定定理，找垂直關(guān)系；2.數(shù)學(xué)運算：求二面角；3.直觀想象：題中幾何體的點、線、面的位置關(guān)系.

自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本155-158頁，思考并完成以下問題1、什么是二面角？什么是直二面角？2、平面與平面平行的判定定理是什么？3、怎樣用符號語言表示平面與平面平行的判定定理？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。1.在立體幾何中，“異面直線所成的角”是怎樣定義的？

直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a'//a，b'//b，我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角.

2.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

范圍：(0o,90o]．范圍：[0o,90o]．復(fù)習(xí)

在鐵路公路旁，為防止山體滑坡，常用石塊修筑護(hù)坡斜面，并使護(hù)坡斜面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；修筑水壩時，為了使水壩堅固耐用，必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?，如何從?shù)學(xué)的觀點認(rèn)識這種現(xiàn)象？公路問題(1)半平面的定義1.二面角的概念平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面(2)二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱面面①平臥式：②直立式：llAB(3)二面角的畫法和記法：1.二面角的概念面1－棱－面2點1－棱－點2二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCD思考：我們常說“把門開大些”，是指哪個角開大一些，你認(rèn)為應(yīng)該怎么刻畫二面角的大??？AOlB

二面角的平面角A'B'O'以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖，

，則∠AOB成為二面角的平面角.

它的大小與點O的選取無關(guān).二面角的平面角必須滿足：③角的邊都要垂直于二面角的棱①角的頂點在棱上②角的兩邊分別在兩個面內(nèi)11質(zhì)疑:在二面角的平面角的定義中O點是在棱上任取的，那么∠AOB的大小與點O在棱上的位置有關(guān)系嗎？==

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。）ABA’B’二面角的平面角大小與點O在棱上的位置無關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)。結(jié)論：二面角是用它的平面角來度量的，一個二面角的平面角多大，就說這個二面角是多少度的二面角。.二面角的范圍：[0o,180o]．①二面角的兩個面重合：

0o；②二面角的兩個面合成一個平面：180o；③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB觀察：教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角？分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)。三個βααβ圖形表示平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.記作α⊥β建筑工人砌墻時，如何使所砌的墻和水平面垂直？應(yīng)用于生活鉛垂線→直線墻面→平面水平面→平面BAC平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.αβaA簡記：線面垂直，則面面垂直符號:面面垂直線面垂直線線垂直例1.如圖，在正方體中，求證：平面證明：是正方體又例2如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.????AB是圓O直徑PA⊥面ABCBC?面ABCBC⊥ACBC⊥PABC⊥面PAC平面PAC⊥平面PBC證明:設(shè)已知⊙O平面為α達(dá)標(biāo)檢測CDD一：平面與平面垂直的判定小結(jié)二：數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想面面垂直線面垂直線線垂直1.定義：兩個相交平面所成二面角為

直二面角2.判定定理：在一個平面內(nèi)找到另

一個平面的垂線8.6.3平面與平面垂直《第1課時

平面與平面垂直的判定》同步練習(xí)1.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的

,這兩個半平面叫二面角的

.圖中的二面角可記作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.棱面知識清單(2)二面角的平面角:如圖,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作

的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是

的二面角叫做直二面角.垂直于棱l直角2.平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是

,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作

.(2)判定定理直二面角α⊥β文字語言圖形語言符號語言一個平面過

.

,則這兩個平面垂直

?α⊥β

另一個平面的垂線探究:過平面外一點,可以作多少個與已知平面垂直的平面?答案:無數(shù)多個.過平面外一點可以作平面的一條垂線,過此垂線可以作出無數(shù)個平面,這些平面都與已知平面垂直.1.下列結(jié)論:(1)兩個相交平面組成的圖形叫做二面角;(2)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個半平面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ).(3)二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個半平面內(nèi)作射線所成角的最小角;(4)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是(

)A.①③ B.②④C.③④ D.①②答案B

小試牛刀2.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是(

)A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?αD.m∥n,m⊥α,n⊥β3.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中,與面ABCD垂直的平面有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個答案D

答案C

4.如圖,P是邊長為2的正方形ABCD所在平面外一點,PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,則二面角P-BD-A的余弦值為

.

答案

題型分析舉一反三(1)定義法:即說明兩個平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直,即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;(3)性質(zhì)法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.解題技巧(判定兩平面垂直的常用方法)1、如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點.證明:平面ABM⊥平面A1B1M.【跟蹤訓(xùn)練1】例2如圖所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中點,求二面角M-AB-D的大小.解析(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小為45°.(2)因為M是C′D′的中點,所以MA=MB,取AB的中點N,連接MN,則MN⊥AB.取CD的中點H,連接HN,則HN⊥AB.從而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D的大小為45°.(1)定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.解題技巧(作二面角的三種常用方法)(2)垂直法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法:過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.

【跟蹤訓(xùn)練2】(2)如圖,取AB的中點F,連接PF.因為PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,又平面PAB∩平面ABC=AB,PF?平面PAB,所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.過F作FG⊥EC于G,連接PG.因為PF⊥EC,PF∩FG=F,所以EC⊥平面FPG.因為PG?平面FPG,所以EC⊥PG.8.6.3平面與平面垂直

第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)

第八章立體幾何初步課程目標(biāo)1．理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理并能運用其解決相關(guān)問題.2．通過對性質(zhì)定理的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理能力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：探究歸納平面和平面垂直的性質(zhì)定理，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化；2.直觀想象：題中幾何體的點、線、面的位置關(guān)系.

自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本159-161頁，思考并完成以下問題1、如果兩個平面垂直,那么滿足什么條件時，一個平面內(nèi)的直線與另一個平面垂直?要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。2、平面與平面垂直的判定定理1、平面與平面垂直的定義一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.符號表示：b兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.復(fù)習(xí)回顧αβEF思考1

如圖，長方體中，α⊥β,(1)α里的直線都和β垂直嗎？(2)什么情況下α里的直線和β垂直？與AD垂直不一定思考2

垂足為B，那么直線AB與平面β的位置關(guān)系如何？為什么？αβABDCE垂直∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,且BECD=B垂足為B.∴AB⊥則∠ABE就是二面角的平面角.證明:在平面內(nèi)作BE⊥CD,αβABDCE平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．（線是一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）面面垂直線面垂直作用：

①它能判定線面垂直.②它能在一個平面內(nèi)作與這個平面垂

直的垂線.關(guān)鍵點：①線在平面內(nèi).②線垂直于交線.DCAB提升總結(jié)：αβAbal解：在α內(nèi)作垂直于交線的直線b，

∵∴∵∴a∥b.

又∵∴a∥α.

即直線a與平面α平行.例2.如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.EPABCE∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PA⊥BC.故BC⊥平面PAB證明：過點A作AE⊥PB，垂足為E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴AE⊥BC1.在空間中，下列命題正確的是(

)A.垂直于同一條直線的兩直線平行B.平行于同一條直線的兩個平面平行C.垂直于同一平面的兩個平面平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行解析

A項中，垂直于同一條直線的兩直線可能平行、異面或相交；B項中，平行于同一條直線的兩個平面可能平行或相交；C項中，垂直于同一平面的兩個平面可能平行或相交；D項正確.達(dá)標(biāo)檢測D2.已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

)A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n解析因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.

C3.如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是________三角形.解析設(shè)P在平面ABC上的射影為O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中點，∴△ABC是直角三角形.直角4.如圖，在三棱臺ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求證：BF⊥平面ACFD.證明延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示.因為平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC?平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因為EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC?平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.1、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。2、證明線面垂直的兩種方法：線線垂直→線面垂直；面面垂直→線面垂直3、線線、線面、面面之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決空間圖形問題的重要思想方法。小結(jié)線面垂直面面垂直線線垂直面面垂直線面垂直線線垂直8.6.3平面與平面垂直《第2課時

平面與平面垂直的性質(zhì)》同步練習(xí)1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理a⊥l文字語言兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)

的直線與另一個平面垂直符號語言?a⊥β

圖形語言垂直于交線知識清單探究(1)如果α⊥β,則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線嗎?(2)如果α⊥β,過β內(nèi)的任意一點作α與β交線的垂線,則這條直線必垂直于α嗎?答案(1)正確.若設(shè)α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,則a⊥b,故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線.(2)錯誤.垂直于交線的直線必須在平面β內(nèi)才與平面α垂直,否則不垂直.1.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.AP⊥ACB.AP⊥ABC.AP⊥平面ABCD.AP與BC所成的角為45°小試牛刀2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l⊥平面A1C1(l與棱不重合),則(

)A.B1B⊥l B.B1B∥lC.B1B與l異面

D.B1B與l相交3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且m∥α,n?β,則下列敘述正確的是(

)A.若α∥β,則m∥n B.若m∥n,則α∥βC.若n⊥α,則m⊥βD.若m⊥β,則α⊥β4.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在平面ABC上的射影H必在直線

上.

答案AB題型分析舉一反三解題技巧(性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項)1.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°,且邊長為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點,求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB.【跟蹤訓(xùn)練1】解析(1)如圖所示,連接BD.因為四邊形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因為G是AD的中點,所以BG⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.(2)連接PG.因