三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

關(guān)于三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題提出1.函數(shù)的最小正周期是，且，能否確定函數(shù)f(x)的圖象和性質(zhì)？2.三角函數(shù)的應(yīng)用十分廣泛，對(duì)于與角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，我們可以建立一個(gè)三角函數(shù)，通過(guò)研究其圖象和性質(zhì)或進(jìn)行定量分析，就能解決相應(yīng)問(wèn)題.這是一種數(shù)學(xué)思想，需要結(jié)合具體問(wèn)題的研究才能領(lǐng)會(huì)和掌握.第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日三角函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)點(diǎn)一：建立三角函數(shù)模型求臨界值

【背景材料】如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為θ，δ為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度，φ為該地的緯度值.當(dāng)?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝?fù)值.如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40°）的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？太陽(yáng)光φδθφ-δ第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日思考1：圖中θ、δ、φ這三個(gè)角之間的關(guān)系是什么？θ=90°－∣φ－δ∣.思考2：當(dāng)太陽(yáng)高度角為θ時(shí)，設(shè)高為h0的樓房在地面上的投影長(zhǎng)為h，那么θ、h0、h三者滿足什么關(guān)系？h=h0tanθ.太陽(yáng)光φδθφ-δ第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日思考3：根據(jù)地理知識(shí)，北京地區(qū)一年中,正午太陽(yáng)直射什么緯度位置時(shí),物體的影子最短或影子最長(zhǎng)？太陽(yáng)直射北回歸線時(shí)物體的影子最短，直射南回歸線時(shí)物體的影子最長(zhǎng).第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日思考4：如圖，A、B、C分別為太陽(yáng)直射北回歸線、赤道、南回歸線時(shí)樓頂在地面上的投影點(diǎn).要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的臨界距離應(yīng)是圖中哪兩點(diǎn)之間的距離？-23°26′0°23°26′40°MACBh0第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日思考5：右圖中∠C的度數(shù)是多少？MC的長(zhǎng)度如何計(jì)算？思考6：綜上分析，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？-23°26′0°23°26′40°MACBh0第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日

某市的緯度是北緯21°34′，小王想在某住宅小區(qū)買(mǎi)房，該小區(qū)的樓高7層，每層3米，樓與樓之間相距15米，要使所買(mǎi)樓房在一年四季正午的太陽(yáng)不被前面的樓房遮擋，最低應(yīng)該選擇第幾層的房？15156三樓21第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)點(diǎn)二應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決物理學(xué)問(wèn)題游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，其中心O距離地面40.5m，半徑40m.若從最低點(diǎn)處登上摩天輪，從你登上摩天輪開(kāi)始計(jì)時(shí)，那么你與地面的距離h將隨時(shí)間t變化，已知5min后到達(dá)最高點(diǎn).（1）求出h與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)你第1次距離地面20.5m時(shí)，用了多少時(shí)間？第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日【分析】經(jīng)過(guò)tmin后，P點(diǎn)的位置發(fā)生變化，設(shè)到P1點(diǎn)，則∠OPP1中，h與t關(guān)系可建立.【解析】（1）如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)tmin后由P旋轉(zhuǎn)到P1，則∠P1OP=t.由圖可知，h=P1M=ON-OQ=40.5-OP1cos∠P1OP,即h=40.5-40cos=40sin（）+40.5.所以h與t之間的函數(shù)關(guān)系式為h=40sin（）+40.5.（2）由h=40sin（）+40.5=20.5，得Sin（）=,解得=,即t=min.所以當(dāng)你第1次距離地面20.5m時(shí)，用了min.第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日如圖所示，單擺從某點(diǎn)給一個(gè)作用力后開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離s厘米和時(shí)間t秒的函數(shù)關(guān)系為s=6sin（2πt+）（1）單擺擺動(dòng)5秒時(shí)，離開(kāi)平衡位置多少厘米？（2）單擺擺動(dòng)時(shí)，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？（3）單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)10次所需的時(shí)間為多少秒？第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日（1）將t=5代入已知函數(shù)式，則s=6sin(2π×5+)=6sin=3.所以單擺擺動(dòng)5秒時(shí)，離開(kāi)平衡位置3厘米.（2）單擺擺動(dòng)時(shí)，從最右邊到最左邊的距離為2A,即12厘米.（3）由T=,所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)10次所需的時(shí)間為10秒.第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日

海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0學(xué)點(diǎn)三應(yīng)用三角函數(shù)模型解決氣象等問(wèn)題第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日⑴選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的水深的近似值；⑵一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口？⑶若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2:00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日(1)選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似值（精確到0.001）解:（1）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)水深與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日A=2.5,h=5,T=12,φ=0;由，得所以，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可以近似描述為：由上述關(guān)系式易得港口在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值：第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離)為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（2）貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5（米），所以當(dāng)y≥5.5時(shí)就可以進(jìn)港.令化簡(jiǎn)得第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日由計(jì)算器計(jì)算可得因?yàn)椋杂珊瘮?shù)周期性易得解得因此，貨船可以在凌晨零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)30分左右出港；或在中午12時(shí)30分左右進(jìn)港，下午17時(shí)30分左右出港，每次可以在港口停留5小時(shí)左右。第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？（3）設(shè)在時(shí)刻x船舶的安全水深為y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看到在6時(shí)到7時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn).第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日

通過(guò)計(jì)算可得在6時(shí)的水深約為5米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.3米；6.5時(shí)的水深約為4.2米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.1米；7時(shí)的水深約為3.8米，而船舶的安全水深約為4米，因此為了安全，船舶最好在6.5時(shí)之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域。第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號(hào)x15980117126172225263298355白晝時(shí)間y(小時(shí))5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)以日期在1年365天中的位置序號(hào)為橫坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的形如y＝Acos(ωx＋φ)＋t的函數(shù)；(3)用(2)中的函數(shù)模型估計(jì)該地7月3日的白晝時(shí)間．第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日【解】

(1)散點(diǎn)圖如圖所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號(hào)x15980117126172225263298355白晝時(shí)間y(小時(shí))5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日解決實(shí)際問(wèn)題的步聚:實(shí)際問(wèn)題讀懂問(wèn)題抽象慨括數(shù)學(xué)建模推理演算數(shù)學(xué)模型的解還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的解讀懂概念丶字母讀出相關(guān)制約.在抽象、簡(jiǎn)化、明確變量和參數(shù)的基礎(chǔ)上建立一個(gè)明確的數(shù)學(xué)關(guān)系.

審題

關(guān)鍵課堂小結(jié):第二十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題研究模式有哪些？在現(xiàn)實(shí)生活中，許多變化的現(xiàn)象都具有周期性，因此，可以用三角函數(shù)模型來(lái)描述.如：氣象方面有溫度的變化，天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化，物理學(xué)方面有各種各樣的振動(dòng)波，生理方面有人