2020高中數(shù)學(xué) 習(xí)題課（二）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精習(xí)題課（二）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1。已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝a（x－b）2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x）的圖象可能是（)解析：選D由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x〈0時(shí),函數(shù)f(x)遞減，排除A、B;當(dāng)0<x〈x1時(shí)，f′(x）>0，函數(shù)f（x）遞增．因此，當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取得極小值，故選D.2．已知函數(shù)f(x）＝eq\f（1，3）x3－eq\f(1,2）x2＋cx＋d有極值，則c的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1,4)）) B．eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1,4）)）C。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)，＋∞）) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，4），＋∞)）解析：選A由題意得f′(x)＝x2－x＋c，若函數(shù)f(x）有極值，則Δ＝1－4c＞0,解得c＜eq\f(1，4）.3．已知函數(shù)f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值,則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(）A．(2,3） B．(3，＋∞)C．（2，＋∞) D．（－∞，3)解析:選B因?yàn)楹瘮?shù)f（x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，又f′（x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0,解得a＝－15.令f′(x）＞0，解得x＞3或x＜2，所以函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是（3，＋∞）．4．已知f(x)＝3x2＋lnx，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0)）eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx，Δx)＝(）A．7 B．eq\f（7,3）C．21 D．－21解析：選C∵f′（x）＝6x＋eq\f(1，x),∴eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f（f1＋2Δx－f1－Δx，Δx）＝3eq\o（lim，\s\do4（3Δx→0））eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,3Δx）＝3f5．函數(shù)y＝lnx－x在x∈（0,e]上的最大值為（)A．e B．1C．－1 D．－e解析:選C函數(shù)y＝lnx－x的定義域?yàn)?0，＋∞）,又y′＝eq\f（1,x)－1＝eq\f(1－x,x），令y′＝0得x＝1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y′〉0，函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1，e）時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值－1,故選C.6．已知函數(shù)f(x)＝－eq\f（1，3）x3＋2x2＋2x，若存在滿足0≤x0≤3的實(shí)數(shù)x0，使得曲線y＝f（x)在點(diǎn)(x0,f(x0））處的切線與直線x＋my－10＝0垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．［6，＋∞) B．（－∞,2］C．［2，6］ D．［5，6］解析：選Cf′（x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6,因?yàn)閤0∈［0,3]，所以f′（x0)∈[2,6]，又因?yàn)榍芯€與直線x＋my－10＝0垂直,所以切線的斜率為m,所以m的取值范圍是［2，6］．7．(2019·天津高考)曲線y＝cosx－eq\f（x,2)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為________．解析：y′＝－sinx－eq\f(1，2)，將x＝0代入，可得切線斜率為－eq\f（1,2)。所以切線方程為y－1＝－eq\f（1，2）x，即y＝－eq\f（1，2）x＋1.答案:y＝－eq\f（1，2)x＋18．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為________．解析：設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f（1，3）πr2h＝eq\f（π，3）h（2Rh－h(huán)2）＝eq\f（2，3）πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4，3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4，3)R。當(dāng)0〈h〈eq\f（4R，3）時(shí)，V′>0；當(dāng)eq\f（4R，3）<h<2R時(shí)，V′〈0.因此當(dāng)h＝eq\f（4,3)R時(shí)，圓錐體積最大．答案：eq\f(4,3）R9．設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x）＝x3－2ax2＋a2x的兩個(gè)極值點(diǎn)，若x1＜2＜x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析:由題意得f′(x）＝3x2－4ax＋a2的兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2滿足x1＜2＜x2，所以f′（2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a答案：（2，6）10．已知函數(shù)f(x)＝ex（ax＋b)－x2＋4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)（0，f(0））處的切線方程為y＝2x－3.(1)求a，b的值；（2）討論f(x）的單調(diào)性,并求f（x）的極小值．解：（1）f′（x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4?！咔€在點(diǎn)(0,f(0）)處的切線方程為y＝2x－3?！鄁（0)＝－3,f′(0)＝2,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝－3，，a＋b＋4＝2，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1,，b＝－3。))（2)由（1),知f(x)＝ex（x－3)－x2＋4x，f′（x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2）（ex－2）．令f′（x)＝0，得x＝ln2或x＝2?！喈?dāng)x∈(－∞，ln2）∪(2,＋∞）時(shí)，f′(x）>0；當(dāng)x∈（ln2，2)時(shí)，f′（x）<0，故f(x）在（－∞，ln2)，（2,＋∞）上單調(diào)遞增，在(ln2，2)上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f（x)取得極小值，且極小值為f（2）＝4－e2。11．某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為1000x噸，其中x∈[20，100］,需要投入的成本為C（x）(單位：萬(wàn)元),當(dāng)x∈［20，80］時(shí)，C(x）＝eq\f（1，2）x2－30x＋500;當(dāng)x∈(80，100]時(shí)，C（x）＝eq\f（20000，\r（x)）.若每噸商品售價(jià)為eq\f(lnx，x）萬(wàn)元，通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．(1)寫出年利潤(rùn)L(x)（單位:萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;（2)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大？解：（1)由題意，知L（x）＝1000lnx－C（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1000lnx－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－30x＋500）)，x∈[20,80］，，1000lnx－\f（20000,\r(x)）,x∈80，100]。)）(2）當(dāng)x∈[20，80]時(shí)，L′（x)＝－eq\f(x－50x＋20,x），由L′(x)≥0，得20≤x≤50;由L′（x)≤0,得50≤x≤80，∴L(x）在[20,50］上單調(diào)遞增，在[50，80］上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝50時(shí),L(x)max＝1000ln50－250；當(dāng)x∈（80，100］時(shí)，L（x）＝1000lnx－eq\f(20000，\r(x）)單調(diào)遞增,∴L(x)max＝1000ln100－2000。∵1000ln50－250－（1000ln100－2000）＝1750－1000ln2〉1750－1000>0，∴當(dāng)x＝50,即年產(chǎn)量為50000噸時(shí),利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為(1000ln50－250）萬(wàn)元．12．已知函數(shù)f（x)＝ax3＋bx2＋cx的導(dǎo)函數(shù)為h(x），f(x)的圖象在點(diǎn)(－2，f（－2）)處的切線方程為3x－y＋4＝0，且h′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2，3)））＝0，又直線y＝x是函數(shù)g（x)＝kxex的圖象的一條切線．（1)求函數(shù)f(x)的解析式及k的值；（2)若f(x)≤g(x)－m＋1對(duì)于任意x∈［0，＋∞）恒成立，求m的取值范圍．解：(1）由f（x)＝ax3＋bx2＋cx,可知h（x）＝f′(x）＝3ax2＋2bx＋c。由f（x）在(－2，f(－2))處的切線方程為3x－y＋4＝0可知，f(－2）＝－8a＋4b－2cf′（－2）＝12a－4b＋c＝3，又由h′（x)＝6ax＋2b可知，h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(2,3））)＝－4a＋2b＝0，③由①②③,解得a＝eq\f(1，2），b＝1，c＝1，即f（x）的解析式為f(x）＝eq\f(1，2）x3＋x2＋x。由題意，g（x）＝kxex與y＝x相切可知函數(shù)在原點(diǎn)或(－lnk，－lnk)處切線斜率為1.因?yàn)間′（x)＝k（ex＋xex)，所以g′(0)＝k＝1或g′(－lnk)＝1，得k＝1。綜上可得k的值為1.(2)若f(x)≤g(x）－m＋1對(duì)任意x∈［0，＋∞)恒成立，即eq\f(1,2）x3＋x2＋x≤xex－m＋1恒成立，則m－1≤xex－eq\f(1，2）x3－x2－x恒成立．設(shè)t(x）＝xex－eq\f（1,2）x3－x2－x＝xeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（ex－\f（1,2）x2－x－1））,令p（x）＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1，p′(