2020高中數(shù)學(xué) 學(xué)期綜合測(cè)評(píng)（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)期綜合測(cè)評(píng)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P101本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4,－3)，則2sinα＋cosα的值等于()A．－eq\f(3,5)B．eq\f（4，5）C．eq\f（2,5)D．－eq\f（2,5)答案D解析據(jù)三角函數(shù)的定義可知sinα＝－eq\f（3，5)，cosα＝eq\f（4,5），∴2sinα＋cosα＝－eq\f（6，5)＋eq\f（4,5)＝－eq\f(2，5）．2．若一個(gè)圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半，而弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(3，2）倍，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)的()A．eq\f(1，2)B．2倍C．eq\f(1,3)D．3倍答案D解析設(shè)圓弧的半徑為r,弧長(zhǎng)為l，其弧度數(shù)為eq\f（l，r），將半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半，弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f（3,2)倍，則弧度數(shù)變?yōu)閑q\f（\f（3，2)l，\f（1，2)r）＝3·eq\f(l，r），即弧度數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，故選D．3．已知sin（π＋α)＝eq\f(1,3），則cos2α＝()A．eq\f(7,9)B．－eq\f（8,9）C．－eq\f(7,9)D．eq\f(4\r(2），9）答案A解析因?yàn)閟in（π＋α)＝eq\f(1，3），所以sinα＝－eq\f（1,3），所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×－eq\f(1，3)2＝eq\f(7，9）．4．若|a｜＝2sin15°，｜b｜＝4cos15°，且a與b的夾角為30°,則a·b的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r（3）,2)C．eq\r（3)D．2eq\r(3)答案C解析a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝eq\r（3）．5．已知3a＋4b＋5c＝0,且|a｜＝｜b｜＝|c|＝1,則a·(b＋c)＝()A．0B．－eq\f(3,5）C．eq\f(3，5）D．－eq\f(4，5）答案B解析由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a，4b，5c能組成三角形,又｜a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三邊長(zhǎng)分別是3,4，5，故三角形為直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－eq\f（3，5）．6．函數(shù)y＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4)x－\f(π,2)）)的部分圖象如圖,則（eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o(OB,\s\up6（→）)）·eq\o(AB，\s\up6（→)）＝()A．6B．4C．－4D．－6答案A解析∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，∴taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4)x－\f(π,2))）＝1,∴eq\f（π，4）x－eq\f（π，2)＝eq\f（π,4），∴x＝3，即B（3，1)．令taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，4）x－\f（π,2）)）＝0，則eq\f（π,4)x－eq\f（π，2)＝0，解得x＝2，∴A(2，0)，∴eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OB，\s\up6（→）)＝（5，1）,eq\o（AB,\s\up6(→))＝（1，1）．∴(eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→))）·eq\o(AB，\s\up6（→)）＝6．7．已知函數(shù)f(x）＝4eq\r（3）sinωx＋eq\f(π,3)（ω>0)在平面直角坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示,若∠ABC＝90°,則ω＝（）A．eq\f(π,4）B．eq\f(π,8）C．eq\f（π,6）D．eq\f(π，12)答案B解析由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性知P為AC的中點(diǎn)，又∠ABC＝90°，故｜PA|＝｜PB｜＝｜PC|＝eq\f（T，2)，則|AC|＝T．由勾股定理，得T2＝（8eq\r(3））2＋eq\f(T,2）2，解得T＝16，所以ω＝eq\f（2π,T）＝eq\f(π，8)．8．為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，可以將函數(shù)y＝eq\r(2）cos3x的圖象（）A．向右平移eq\f(π，12)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移eq\f(π，4)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移eq\f(π，12）個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度答案A解析因?yàn)閥＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3x－\f(π,4））），所以將y＝eq\r(2)cos3x的圖象向右平移eq\f(π，12)個(gè)單位后可得到y(tǒng)＝eq\r(2）coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f（π，4））)的圖象．9．已知函數(shù)y＝2sin（ωx＋θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數(shù)，其圖象與直線y＝2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2,若|x1－x2｜的最小值為π，則（)A．ω＝2，θ＝eq\f（π，2）B．ω＝eq\f（1，2),θ＝eq\f(π,2)C．ω＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f（π，4）D．ω＝2，θ＝eq\f（π，4）答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝2sin（ωx＋θ）(ω＞0,0＜θ＜π）為偶函數(shù)，所以θ＝eq\f(π，2），所以y＝2cosωx，排除C，D；y＝2cosωx∈[－2，2］,結(jié)合題意可知T＝π,所以eq\f（2π，ω)＝π，所以ω＝2，排除B．故選A．10．已知|a|＝2eq\r(2），｜b|＝3，a，b的夾角為eq\f（π，4），如圖所示,若eq\o(AB，\s\up6(→))＝5a＋2b，eq\o(AC,\s\up6（→））＝a－3b，且D為BC中點(diǎn)，則eq\o(AD，\s\up6(→））的長(zhǎng)度為(）A．eq\f（15，2）B．eq\f(\r（15）,2）C．7D．8答案A解析eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\f(1，2)(eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→))）＝eq\f(1，2）(5a＋2b＋a－3b)＝eq\f(1,2)(6a－b)，∴|eq\o（AD,\s\up6(→）)｜2＝eq\f(1，4)（36a2－12ab＋b2)＝eq\f（225,4)，∴｜eq\o（AD,\s\up6(→）)|＝eq\f(15,2）．故選A．11．已知函數(shù)f（x)＝Acos(ωx＋φ)(A〉0,ω〉0),若f（x)在區(qū)間eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π，4),\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）））＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2π，3))）＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))），則f（x)的最小正周期為()A．eq\f（π,3)B．eq\f（π，2)C．eq\f(5π,6)D．π答案C解析由feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π，3））），可得函數(shù)f(x）的一條對(duì)稱軸為x＝eq\f(\f（π,2)＋\f（2π，3）,2)＝eq\f（7π,12），則x＝eq\f(π,2）離最近一條對(duì)稱軸的距離為eq\f(7π，12）－eq\f(π,2)＝eq\f（π,12)．又feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)））＝－feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）)），且f(x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(π,4),\f（π，2）)）上具有單調(diào)性，故x＝eq\f(π,4)離最近一條對(duì)稱軸的距離也為eq\f（π，12），所以eq\f(T，2)＝2×eq\f（π，12）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）－\f（π，4）））＝eq\f(5π，12)，所以T＝eq\f(5π,6)．故選C．12．已知不等式f(x）＝3eq\r(2）sineq\f（x，4)·coseq\f(x,4)＋eq\r（6)cos2eq\f(x，4）－eq\f（\r(6)，2）＋m≤0,對(duì)于任意的－eq\f(5π,6）≤x≤eq\f(π,6）恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)A．m≥eq\r(3）B．m≤eq\r(3)C．m≤－eq\r(3）D．－eq\r(3)≤m≤eq\r（3）答案C解析f（x)＝3eq\r（2)sineq\f(x，4）·coseq\f（x,4)＋eq\r（6）cos2eq\f（x,4)－eq\f（\r（6），2)＋m＝eq\f(3\r(2），2）sineq\f（x,2)＋eq\f（\r(6）,2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋cos\f（x,2）)）－eq\f（\r（6）,2）＋m＝eq\f（3\r(2),2）sineq\f（x,2）＋eq\f(\r（6),2)coseq\f(x，2)＋m＝eq\r（6）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2）sin\f（x,2)＋\f（1,2)cos\f（x，2）)）＋m＝eq\r(6)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x,2）＋\f(π，6))）＋m，故要使f(x）≤0對(duì)任意的－eq\f（5π,6）≤x≤eq\f(π,6）恒成立，只需m≤－eq\r（6）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x，2）＋\f（π，6）))在－eq\f(5π，6）≤x≤eq\f（π,6）上恒成立．∵－eq\f（5π，6)≤x≤eq\f（π，6）,－eq\f（π,4)≤eq\f(x,2）＋eq\f(π，6）≤eq\f(π,4）,∴eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\r（6)sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x,2）＋\f（π,6）)）））min＝－eq\r（3）,∴m≤－eq\r(3)．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上）13．函數(shù)f(x)＝sineq\f（2,3)x＋eq\f（π，2)＋sineq\f(2，3)x的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是________．答案eq\f（3π，2)解析f(x）＝coseq\f(2，3）x＋sineq\f(2，3）x＝eq\r(2）sineq\f(2,3)x＋eq\f(π,4）,相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,T＝eq\f(2π，\f（2，3)）＝3π，∴eq\f（T,2)＝eq\f(3π,2）．14．已知向量a＝(1，2),b＝（－2，－4)，|c|＝eq\r（5），若(a＋b)·c＝eq\f(5，2)，則a與c的夾角的大小為________．答案120°解析a＋b＝（－1,－2），|a|＝eq\r(5），設(shè)c＝(x，y),∵（a＋b）·c＝eq\f（5,2），∴x＋2y＝－eq\f(5,2）．設(shè)a與c的夾角為θ,∵a·c＝x＋2y，∴cosθ＝eq\f（a·c,｜a｜｜c(diǎn)｜）＝eq\f（－\f（5，2),5）＝－eq\f(1,2)．又∵θ∈[0°，180°］，∴θ＝120°．15．已知函數(shù)f(x）＝2sin2eq\f（π,4）＋x－eq\r(3）cos2x－1,x∈eq\f(π,4),eq\f(π，2），則f（x)的最小值為________．答案1解析f(x)＝2sin2eq\f（π,4)＋x－eq\r（3）cos2x－1＝1－cos2eq\f（π,4）＋x－eq\r（3）cos2x－1＝－coseq\f(π,2)＋2x－eq\r(3)cos2x＝sin2x－eq\r（3)cos2x＝2sin2x－eq\f（π,3)，因?yàn)閑q\f(π，4）≤x≤eq\f(π，2),所以eq\f(π，6）≤2x－eq\f(π,3）≤eq\f（2π，3)．所以eq\f（1，2)≤sin2x－eq\f（π，3)≤1．所以1≤2sin2x－eq\f（π,3）≤2．即1≤f(x)≤2，則f（x)的最小值為1．16．關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x,有下列命題：①函數(shù)f（x)的最小正周期為π；②直線x＝eq\f（π，4)是函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸;③點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，0）)是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；④將函數(shù)f(x）的圖象向左平移eq\f(π，4）個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y＝eq\r(2)sin2x的圖象．其中正確的命題為________(填序號(hào))．答案①③解析f（x）＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,4）)），所以最小正周期T＝π，①正確；當(dāng)x＝eq\f（π,4）時(shí),feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4)))＝eq\r（2）sin2×eq\f(π,4)－eq\f（π,4)＝eq\r(2）sineq\f（π,4），不是最值，所以②錯(cuò)誤；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，8))）＝eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2×\f（π，8）－\f（π,4）))＝0，所以③正確；將f(x）的圖象向左平移eq\f（π，4)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝eq\r（2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4）))－\f（π,4)))＝eq\r（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，4)）)的圖象，所以④錯(cuò)誤．綜上，正確的命題為①③．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．(本小題滿分10分）已知eq\f（3π,4)＜α＜π，tanα＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(10，3)．（1)求tanα的值；（2)求eq\f(5sin2\f（α，2）＋8sin\f（α，2)cos\f（α，2）＋11cos2\f（α，2）－8,\r(2)sinα－\f(π，4))的值．解（1）由tanα＋eq\f（1,tanα)＝－eq\f（10,3）,整理，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即（3tanα＋1)(tanα＋3）＝0．∵eq\f（3π，4）＜α＜π,∴－1＜tanα＜0，∴tanα＝－eq\f（1,3)．（2）eq\f（5sin2\f(α,2)＋8sin\f（α,2)cos\f（α,2）＋11cos2\f(α,2)－8，\r（2）sinα－\f(π，4))＝eq\f(5sin2\f(α，2）＋cos2\f(α,2）＋4sinα＋6cos2\f（α，2）－8,\r(2)sinα－\f（π,4)）＝eq\f(5sin2\f（α,2）＋cos2\f(α，2）＋4sinα＋6×\f（1＋cosα，2)－8，\r（2）sinα－\f(π，4））＝eq\f(4sinα＋3cosα,sinα－cosα)＝eq\f(4tanα＋3，tanα－1)＝eq\f(4×－\f(1，3)＋3,－\f（1，3）－1）＝－eq\f(5，4）．18．(本小題滿分12分)已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m的夾角為eq\f（3π，4），且m·n＝－1．(1)求向量n；（2）在△ABC中，B＝eq\f（π，3)，若向量n＝（0，－1），p＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（cosA,2cos2\f（C,2））)，求｜n＋p｜的取值范圍．解（1)設(shè)n＝（x,y)，由m·n＝－1，得x＋y＝－1．①又∵m與n的夾角為eq\f(3π,4），∴m·n＝|m|｜n|·coseq\f（3π,4),∴x2＋y2＝1．②由①②解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1，,y＝0））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝－1,)）∴n＝（－1,0)或n＝（0，－1)．（2）∵B＝eq\f（π，3），∴A＋C＝eq\f(2π,3）,0〈A〈eq\f（2π，3）．若n＝（0，－1），則n＋p＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(cosA，2cos2\f(C，2）－1))＝（cosA,cosC）．∴|n＋p｜2＝cos2A＋cos2C＝eq\f(1＋cos2A,2）＋eq\f(1＋cos2C，2）＝1＋eq\f（1，2)·eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（cos2A＋cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－2A))））＝1＋eq\f(1，2)coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2A＋\f（π，3）））．∵0〈A<eq\f(2π，3），∴eq\f(π，3)<2A＋eq\f（π，3）〈eq\f(5π,3)，∴－1≤coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π，3）))<eq\f(1,2），eq\f（1，2）≤1＋eq\f（1，2)coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f（π,3)）)<eq\f(5，4），即|n＋p｜2∈eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5，4）))，∴|n＋p｜∈eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2）,2)，\f(\r(5）,2)））．19．（本小題滿分12分)已知函數(shù)f（x)＝2cosxsinx＋eq\f(π，3）－eq\r(3）sin2x＋sinxcosx．（1）當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2))）時(shí)，求f（x)的值域；（2)用五點(diǎn)法在下圖中作出y＝f(x）在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(π，6），\f(5π，6)))上的簡(jiǎn)圖；(3）說(shuō)明f(x）的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到？解f（x)＝2cosxsineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3））)－eq\r(3）sin2x＋sinxcosx＝2cosxeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sinxcos\f(π，3）＋cosxsin\f(π，3))）－eq\r(3）sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋eq\r(3）cos2x＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3)))．（1）∵x∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)））,∴eq\f（π，3）≤2x＋eq\f（π，3)≤eq\f（4π，3），∴－eq\f(\r（3）,2)≤sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3）)）≤1,∴當(dāng)x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2))）時(shí),f（x)的值域?yàn)閇－eq\r（3)，2]．(2)由T＝eq\f(2π,2)，得T＝π，列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f（π，3)eq\f（7π,12)eq\f(5π,6）2x＋eq\f（π，3)0eq\f（π，2)πeq\f(3π，2)2π2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3))）020－20圖象如下圖．(3)解法一：由以下變換可得f(x）的圖象：先將y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π，3)個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f（1，2），最后將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍．解法二：由以下變換可得f（x）的圖象：先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1，2），再將圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，最后將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍．20．（本小題滿分12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商為吸引更多消費(fèi)者購(gòu)房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園．如圖,已知扇形AOB的圓心角∠AOB＝eq\f(π，4)，半徑為R．現(xiàn)欲修建的花園為?OMNH，其中M，H分別在OA，OB上，N在eq\x\to（AB）上．設(shè)∠MON＝θ，?OMNH的面積為S．（1)將S表示為關(guān)于θ的函數(shù)；（2)求S的最大值及相應(yīng)的θ值．解（1)如圖,過(guò)N作NP⊥OA于點(diǎn)P,過(guò)H作HE⊥OA于點(diǎn)E,∵∠AOB＝eq\f（π,4),∴OE＝EH＝NP＝Rsinθ，OP＝Rcosθ,∴HN＝EP＝OP－OE＝R(cosθ－sinθ），∴S＝HN·NP＝R2（cosθ－sinθ)sinθ，θ∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f（π,4)))．（2）S＝R2（cosθsinθ－sin2θ)＝R2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）sin2θ－\f(1－cos2θ，2）))＝eq\f（1，2）R2（sin2θ＋cos2θ－1)＝eq\f(1，2)R2eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\r(2)sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2θ＋\f(π,4）)）－1))，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f（π,4)））,∴2θ＋eq\f(π，4）∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,4)，\f(3π，4)))，∴當(dāng)2θ＋eq\f(π，4）＝eq\f(π,2),即θ＝eq\f(π，8）時(shí)，S取得最大值，且最大值為eq\f（\r（2）－1，2)R2．21．（本小題滿分12分)將射線y＝eq\f（1,7)x(x≥0)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4）后所得的射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（cosθ，sinθ)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2）若向量m＝（sin2x，2cosθ),n＝（3sinθ,2cos2x)，求函數(shù)f(x)＝m·nx∈0，eq\f(π，2）的值域．解(1）設(shè)射線y＝eq\f（1，7)x（x≥0)與x軸的非負(fù)半軸所成的銳角為α,則tanα＝eq\f（1,7)，α∈0,eq\f(π，2）．所以tanα＜taneq\f(π,4）,所以α∈0,eq\f（π,4)．所以tanθ＝tanα＋eq\f(π，4)＝eq\f（\f（1，7）＋1,1－\f(1，7）×1）＝eq\f(4,3），θ∈eq\f(π,4),eq\f(π,2)．所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1，，\f（sinθ，cosθ）＝\f（4，3)，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f（4，5),，cosθ＝\f(3,5)。））所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\f(3，5），eq\f(4,5)．（2）f（x）＝3sinθ·sin2x＋2cosθ·2cos2x＝eq\f（12，5)sin2x＋eq\f（12,5）cos2x＝eq\f(12\r（2)，5）sin2x＋eq\f（π，4)．由x∈0，eq\f(π，2），得2x＋eq\f（π，4)∈eq\f(π，4)，eq\f(5π,4),所以sin2x＋eq\f（π,4）∈－eq\f(\r(2）,2），1，所以函數(shù)f（