高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間

第六章線性空間§1集合映射一授課內(nèi)容：§1集合映射二教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握集合映射的有關(guān)定義、運算，求和謝謝閱讀號與乘積號的定義.三教學(xué)重點:集合映射的有關(guān)定義。四教學(xué)難點:集合映射的有關(guān)定義.五教學(xué)過程：1。集合的運算，集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念謝謝閱讀設(shè)是集合,與的公共元素所組成的集合謝謝閱讀B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并精品文檔放心下載集,記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為精品文檔放心下載與B的差集,記做。精品文檔放心下載法則下對應(yīng)中唯一確定的元素(記做),則稱是到的一個映射，記為感謝閱讀精品文檔放心下載的的子集稱為在下的像，記做,即.若都有則稱為單射.若都存在,使得，則稱為滿射.如果既是單射又感謝閱讀是滿射，則稱為雙射，或稱一一對應(yīng).2.求和號與求積號(1）求和號與乘積號的定義為了把加法和乘法表達得更簡練,我們引進求和號和乘積號.精品文檔放心下載設(shè)給定某個數(shù)域上個數(shù),我們使用如下記號:，。當(dāng)然也可以寫成，。（2）求和號的性質(zhì)·６０·容易證明,,.事實上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個元素排成如下形狀：謝謝閱讀§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)一授課內(nèi)容：§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)二教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì).精品文檔放心下載三教學(xué)重點：線性空間的定義與簡單性質(zhì)。四教學(xué)難點：線性空間的定義與簡單性質(zhì).五教學(xué)過程:1。線性空間的定義(1)定義4.1(線性空間)設(shè)VV上有一個二元運感謝閱讀K為數(shù)域，V中的元素與K中的元素有運算數(shù)量乘法“”,精品文檔放心下載且“+”與“”滿足如下性質(zhì)：1、加法交換律，有；2、加法結(jié)合律,有；3、4、存在負元，即，存在，使得;5、“16、數(shù)乘結(jié)合律,都有；7、分配律,都有；8、分配律，都有，則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:感謝閱讀線性空間依賴于“+”和“”的定義，不光與集合V有關(guān)。謝謝閱讀（2)零向量和負向量的唯一性,向量減法的定義，線性空間的加法和謝謝閱讀數(shù)乘運算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題4。1零元素唯一,任意元素的負元素唯一.·６１·證明:設(shè)與均是零元素，則由零元素的性質(zhì),有；，設(shè)都是的負向量，則,于是命題得證。由于負向量唯一，我們用代表的負向量.定義4。2(減法）我們定義二元運算減法“-”如下:謝謝閱讀定義為。命題4。2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì):1、加法滿足消去律;2、可移項；3、可以消因子且，則；4、。(3）線性空間的例子例4。1令V表示在上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合,令,V中加法的定義感謝閱讀就是函數(shù)的加法,關(guān)于K的數(shù)乘就是實數(shù)遇函數(shù)的乘法，V構(gòu)成K上的線感謝閱讀性空間.4。1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義，向量組的線性相關(guān)精品文檔放心下載精品文檔放心下載性無關(guān)組。定義給定VK內(nèi)s個數(shù)，謝謝閱讀稱為向量組的一個線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內(nèi)一個向量組,設(shè)是V內(nèi)的一個向量，如感謝閱讀果存在K內(nèi)s個數(shù)，使得，則稱向量可以被向量組線性表出.謝謝閱讀定義4.5（向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān))給定V內(nèi)一個向量組，如感謝閱讀果對V內(nèi)某一個向量，存在數(shù)域K精品文檔放心下載性相關(guān)；若由方程必定推出,則稱向量組線性無關(guān)。命題4。3設(shè)，則下述兩條等價:1)線性相關(guān)；·６２·2）某個可被其余向量線性表示.證明同向量空間。定義4。6（線性等價）給定V內(nèi)兩個向量組（Ⅰ）,（Ⅱ）,如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）線性表示,反過來，(Ⅱ)中任一感謝閱讀向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價.定義給定V內(nèi)一個向量組，如果它有一感謝閱讀個部分組滿足如下條件：則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關(guān)部分組。由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價的一些命題謝謝閱讀中并沒有用到的一些特有的性質(zhì)，于是那些命題在線性空間中依然成立。謝謝閱讀定義一個向量組的任一極大線性無關(guān)部分組中均謝謝閱讀包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.例4.2求證：向量組的秩等于2(其中).精品文檔放心下載于，等號左邊為嚴格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號右邊為常數(shù).于是.謝謝閱讀所以線性無關(guān),向量組的秩等于2.證畢。方法二：若在上，兩端求導(dǎo)數(shù)，得，以代入，有而,于是.證畢.§3維數(shù)、基與坐標一授課內(nèi)容：§3維數(shù)、基與坐標·６３·二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握線性空間的基與維數(shù)，向量的坐精品文檔放心下載標的有關(guān)定義及性質(zhì)。三教學(xué)重點：基與維數(shù)、向量坐標的有關(guān)定義。四教學(xué)難點:基與維數(shù)、向量坐標的有關(guān)定義.五教學(xué)過程：1.線性空間的基與維數(shù)，向量的坐標設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，則有:定義4。9(基和維數(shù))如果在V中存在n個向量,滿足：精品文檔放心下載1)線性無關(guān)；2）V中任一向量在K上可表成的線性組合，則稱為V的一組基?；词荲的一個極大線性無關(guān)部分組.基的個數(shù)定義為線性空間的維謝謝閱讀數(shù).命題4。4設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而.若V中任一向量皆謝謝閱讀可被線性表出,則是V的一組基。證明：由與V的一組基線性等價可以推出它們的秩相等.感謝閱讀命題4。5設(shè)V為K上的n維線性空間,，則下述兩條等價：精品文檔放心下載1）線性無關(guān)；2)V中任一向量可被線性表出。定義設(shè)V為K上的n維線性空間,是它的一組謝謝閱讀基.任給,由命題4。4,可唯一表示為的線性組合，即，使得,于是我們稱謝謝閱讀為在基下的坐標。易見,在某組基下的坐標與V/K中的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系。感謝閱讀§4基變換與坐標變換一授課內(nèi)容:§4基變換與坐標變換二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過渡矩陣的定義、運算,精品文檔放心下載坐標變換公式?！ぃ叮础と虒W(xué)重點：基變換與過渡矩陣的定義、運算,坐標變換公式。感謝閱讀四教學(xué)難點:坐標變換公式的應(yīng)用。五教學(xué)過程：1。線性空間的基變換，基的過渡矩陣設(shè)V/K是n維線性空間,設(shè)和是兩組基,且將其寫成矩陣形式.定義4。11我們稱矩陣為從到的過渡矩陣.命題4設(shè)在n維線性空間V/K是K上一個n階精品文檔放心下載方陣.命則有是V/K的一組基，當(dāng)且僅當(dāng)T可逆。證明:若是線性空間V/K感謝閱讀方程,其中,，線性無關(guān).構(gòu)成了過渡矩陣的列向量，所以過渡矩陣可逆；反過來，若過渡矩陣可逆，則構(gòu)造方程,其中,兩邊用作用,得到,.證畢。2.向量的坐標變換公式;中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標變換公式設(shè)V/K有兩組基為和，又設(shè)在下的坐標為，即,在下的坐標為，即·６５·.現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過渡矩陣為T，即記于是。于是,由坐標的唯一性，可以知道,這就是坐標變換公式.感謝閱讀(2)中兩組基的過渡矩陣的求法我們設(shè)中兩組基分別為和而按定義,T的第i個列向量分別是在基下的坐標.將和看作列向量分別排成矩陣;，A和BA化為單位矩精品文檔放心下載陣E，則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:?！?線性子空間一授課內(nèi)容:§5線性子空間二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握線性子空間的定義、判別定理.精品文檔放心下載三教學(xué)重點：線性子空間的定義、判別定理。四教學(xué)難點：線性子空間的判別定理.五教學(xué)過程:1。線性空間的子空間的定義定義4.12（子空間)設(shè)V是數(shù)域K上的一個線性空間,M時V的一個精品文檔放心下載M關(guān)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運算也組成數(shù)域K上的一個線性感謝閱讀空間，則稱為V的一個子空間.·６６·命題設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個非空集合，則是子空間謝謝閱讀當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立:i）對減法封閉；ii)對于K中元素作數(shù)乘封閉.感謝閱讀證明:必要性由定義直接得出;充分性:各運算律在V中已有,所以W滿足運算律的條件.謝謝閱讀只需要證明且對于任意,，且對加法封閉即可。關(guān)于加法封閉.于精品文檔放心下載是W是V的一個子空間.證畢.事實上,W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論。命題設(shè)W是V的一個有限維子空間,則W的任一組基可以擴充精品文檔放心下載為V的一組基.若，對作歸納:設(shè)為W的一組基,取,則線性無關(guān).于是令,易見,W’是謝謝閱讀V的一個子空間,且,此時，對其用歸納假設(shè)即可?！?子空間的交與和一授課內(nèi)容：§6子空間的交與和二教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維精品文檔放心下載數(shù)公式。三教學(xué)重點：子空間的交與和的定義及維數(shù)公式。四教學(xué)難點:子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式.。五教學(xué)過程：1。子空間的交與和，生成元集定義4。13設(shè),則是V的一個子空間,稱為由生成的子空間,記為.易見，生成的子空間的維精品文檔放心下載數(shù)等于的秩。定義4。14（子空間的交與和）設(shè)為線性空間V/K的子空間，定義感謝閱讀,稱為子空間的交；·６７·，稱為子空間的和。命題4.9和都是V證明:由命題4。7，只需要證明和關(guān)于加法與數(shù)乘封閉即可.感謝閱讀事實上,,則，.由于均是V的子空間，則,于是，關(guān)于加法封閉；,,，精品文檔放心下載于是,關(guān)于數(shù)乘封閉.，關(guān)于加法封閉；,，使得,由于,則，關(guān)于數(shù)乘封閉.證畢.精品文檔放心下載命題4。10設(shè)是V的子空間,則和均為V的子空間。感謝閱讀2.維數(shù)公式.定理4.1設(shè)V為有限維線性空間,為子空間,則謝謝閱讀.這個定理中的公式被稱為維數(shù)公式.謝謝閱讀的基,，只需要證明是的一組基即可。首先，易見中的任一向量都可以被線性表出。事實上,,則,其中,而精品文檔放心下載于是可被線性表出.只要再證明向量組線性無關(guān)即可.設(shè)，其中。則(＊)于是，，于是,記為?！ぃ叮浮t可被線性表示，設(shè)，代入（＊)，有,由于是的一組基,所以線性無關(guān),則，代回（*)，又有,于是向量組線性無關(guān).證畢。推論2.1設(shè)都是有限為線性空間V的子空間,則:感謝閱讀.證明：對t作歸納.§7子空間的直和一授課內(nèi)容：§7子空間的直和二教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補空間的定義及性精品文檔放心下載質(zhì)。三教學(xué)重點:子空間的直和的四個等價定義。四教學(xué)難點:子空間的直和的四個等價定義.五教學(xué)過程:1.子空間的直和與直和的四個等價定義定義設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,是V謝謝閱讀一向量,表達式.是唯一的，則稱為直和，記為或。定理設(shè)為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等謝謝閱讀價:1）是直和；·６９·2)零向量表示法唯一；3);證明:顯然.設(shè)則。由2)知，零向量的表示法唯一，于是,即的表示法唯一.由直和的定義可知,是直和.假若存在某個，使得,則存在向量且，于是存在，使得。由線性空間的定義，，則，與零向量的表示法唯一矛盾,于是。若2)不真,則有,其中且。于是，與3)矛盾,于是2）成立。對m作歸納.①=2時,由維數(shù)公式得到.②設(shè)已證，則對于，而，都有;由歸納假設(shè),可以得到?！ぃ罚啊?都有，于是.證畢.推論設(shè)為V的有限維子空間，則下述四條等價:i)是直和；ii)零向量的表示法唯一;iii）;2。直和因子的基與直和的基命題設(shè)，則的基的并集為V的一組基。證明:設(shè)是的一組基,則V4.5，感謝閱讀它們線性無關(guān)，于是它們是V的一組基。證畢.3.補空間的定義及存在性定義設(shè)為V的子空間,若子空間滿足,則稱為的補空間。精品文檔放心下載命題有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補空間.證明：設(shè)為K上的n為線性空間V的非平凡子空間，取的一組基,謝謝閱讀將其擴為V的一組基取,則有，且,于是，即是的補空間.證畢.§8線性空間的同構(gòu)一授課內(nèi)容:§1線性空間的同構(gòu)二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性感謝閱讀空間同構(gòu)的判定.三教學(xué)重點:線性空間同構(gòu)的判定.四教學(xué)難點：線性空間同構(gòu)的判定。五教學(xué)過程：1。線性映射的定義·７１·定義設(shè)為數(shù)域上的線性空間，為映射,且滿足以下兩個條件：精品文檔放心下載i)；ii)，則稱為(由到的)線性映射.由數(shù)域上的線性空間到的線性映射的全體記為Hom，或簡記為Hom.謝謝閱讀定義中的i）和ii)二條件可用下述一條代替：.例是上的線性空間,也是上線性空間,取定一個上的矩陣，定義映射感謝閱讀則是由到的線性映射。例考慮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體，它是R上的線性空間,令精品文檔放心下載再令則是由到的一個線性映射。定義設(shè)是線性映射i)如果是單射，則稱是單線性映射（monomorphism)；感謝閱讀感謝閱讀iii)如果既單且滿，則稱為同構(gòu)映射(簡稱為同構(gòu),isomorphism),并感謝閱讀謝謝閱讀射的逆映射也是同構(gòu)映射；iv)的核(kernel)定義為；v）的像(image）定義為,也記為；命題和是的子空間.證明：容易證明它們關(guān)于加法和數(shù)乘封閉。vi）的余核定義為.命題線性映射是單的當(dāng)且僅當(dāng)ker，是滿的當(dāng)且僅當(dāng)coker。謝謝閱讀定理（同態(tài)基本定理)設(shè)是數(shù)域上的線性空間