概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：c1-2 概 率

一、概率概率是刻劃隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。事件A的概率記為P(A)常規(guī)定0P(A)1

P(Ω)=1P(?)=0它不依主觀變化而變化例如如何計(jì)算概率?摸球試驗(yàn)拋骰子試驗(yàn)

§1.2概率二、古典概率賭徒分賭金問題定義:設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),若它滿足以下兩個(gè)條件： (1)僅有有限多個(gè)基本事件； (2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等。則稱E

古典概型的試驗(yàn)。古典概率的起源

擲骰子試驗(yàn)例如：定義：設(shè)試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，Ai，i=1,2,…,n是基本事件,則由樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)所含樣本點(diǎn)的數(shù)目基本事件總數(shù)所含基本事件個(gè)數(shù)AAAP==)(所確定的概率稱為事件A的古典概率.鴿籠問題摸彩試驗(yàn)注：在古典概率的計(jì)算中常用到排列組合的知識(shí)，如乘法原理、加法原理等等。用樣本空間求概率古典概率具有如下三個(gè)性質(zhì)： (1)對(duì)任意事件A，有0≤P(A)≤1； (2)P(W)=1； (3)若A1，A2，…，An互不相容，則===miimiiAPAP11)()(U思考：古典概率能否解決所有的隨機(jī)問題？拋硬幣試驗(yàn)儀器壽命試驗(yàn)例如：三、頻率定義：在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，稱比值為事件A發(fā)生的頻率。nmAfn=)(頻率從一定程度上反映了事件發(fā)生可能性的大小。它隨著試驗(yàn)的次數(shù)、試驗(yàn)者的不同會(huì)有所不同。拋硬幣試驗(yàn)頻率的應(yīng)用例如：注：頻率不是概率，但在某種意義下，頻率穩(wěn)定于概率。四、概率的公理化定義定義：設(shè)E的樣本空間為W，對(duì)于E的每個(gè)事件A，均對(duì)應(yīng)于唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，其對(duì)應(yīng)規(guī)則為1.(非負(fù)性)對(duì)任一事件A,有0≤P(A)≤1; 2.(規(guī)范性)P(W)=1; 3.(可列可加性)E的事件列A1,A2,…,互不相容,則∞=∞==11)()(iiiiAPAPU由公理化定義可以得到如下重要性質(zhì):基本性質(zhì):1.不可能事件的概率為0,即P(f)=0;2.(有限可加性)若試驗(yàn)E的事件組A1,A2,…,Am互不相容,則有===miimiiAPAP11)()(U3.對(duì)立事件概率和為1,即P(A

)+P(A)=1;成立.則有滿足和若事件概率單調(diào)性

)()()(

),()(

,

)(

.4APBPABPBPAPBABA-=-≤∩概率加法定理:對(duì)試驗(yàn)E的任意兩個(gè)事件A和B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)BAAB概率的公理化定義及性質(zhì)，為概率的計(jì)算提供了更完善的理論依據(jù).古典概率是公理化定義的特例.抽檢試驗(yàn)例如：補(bǔ)充例題多除少補(bǔ)例1拋一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況。我們通過實(shí)踐與分析可得：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6的可能性都是相等的。概率的客觀性例2從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。12310987654?我們可得：摸出任一號(hào)碼的小球的可能性是相同的，這是客觀存在的事實(shí)。概率的客觀性例3拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。通過實(shí)踐與分析可得：硬幣出現(xiàn)正面的可能性等于它出現(xiàn)反面的可能性。歷史上幾位著名科學(xué)家的試驗(yàn)結(jié)果:實(shí)驗(yàn)者拋擲次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)m/n德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998頻率例4圓周率p

的計(jì)算。劉徽(公元263年，割圓術(shù))p

=3927/1250=3.1416。祖沖之(429~500)3.1415926<p

<3.1415927。威廉.向克斯：用20年時(shí)間于1872年將p算到小數(shù)后707位。法格遜懷疑向克斯的結(jié)果，用了一年的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)向克斯p只有前527位是正確的。法格遜猜想：在p的數(shù)值中各數(shù)碼0,1,…9出現(xiàn)的可能性大小應(yīng)當(dāng)相等。1973年，法國學(xué)者讓·蓋尤對(duì)p的前100萬位小數(shù)中各數(shù)碼的頻率統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，盡管各數(shù)字出現(xiàn)也有起伏，但頻率都穩(wěn)定于1/10。頻率的應(yīng)用有兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了，當(dāng)賭徒A贏a局(a<s)，而賭徒B贏b局(b<s)時(shí)，賭博中止，那賭本應(yīng)怎樣分才合理呢？在三年後，即1657年，荷蘭的另一數(shù)學(xué)家Higgins

亦用自己的方法解決了這一問題，更寫成了《論賭博中的計(jì)算》一書，這就是概率論最早的論著，他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?，都首先涉及了?shù)學(xué)期望﹝mathematicalexpectation﹞這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ)。而且他們給出了該問題的正確解法。古典概率這是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)。因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件有6個(gè)：{wi}={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}i=1,2,..,6而且基本事件{w1}、{w2},...{w6}發(fā)生的可能性相等。古典概率例1拋一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況。例7一個(gè)鴿場(chǎng)養(yǎng)了n只鴿子，每只鴿子都等可能的飛入N個(gè)鴿籠中的任意一個(gè)去住(n≤N)，求下事件發(fā)生的概率。（1）指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子去??；（2）恰好有n個(gè)鴿籠，每個(gè)各有一只鴿子。分析：在解決這類問題時(shí)，當(dāng)樣本點(diǎn)很少時(shí)，我們可以把它全部寫出來，再來計(jì)算所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)。當(dāng)樣本點(diǎn)很多時(shí)，我們可以利用排列組合的知識(shí)求出樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)。古典概率解：設(shè)A={指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子}

B={恰好有n個(gè)鴿籠，每個(gè)各有一只鴿子}由乘法原理可知，基本事件總數(shù)為Nn。指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子，有n!個(gè)不同的住法。故n!)(NnAP=從N個(gè)鴿籠中任意選出n個(gè)，有種不同的方法，選出的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子，有n!個(gè)不同的住法。故CnN)!(!!)(nNNNNnCBPnnnN-==古典概率例8袋中有10個(gè)小球，4個(gè)紅的，6個(gè)白的，求（1）有放回地從中依次取3球,取得“2紅1白”的概率。（2）不放回地從中依次取3球,取得“2紅1白”的概率。解:設(shè)想10個(gè)球依次編為1，2，3，…10。（1）有放回抽樣。樣本點(diǎn)總數(shù)為N=10×10×10=103642××23C數(shù)為r

=所求事件包含的樣本點(diǎn)

是三次抽取中選出兩次取到紅球23C288.010643223=××=C)(

=NrAP所以古典概率（2）無放回抽樣。解法一：N=10×9×8=P31034××23Cr

=6×r)(

=NAP=0.3r)(

=NAP=0.3×24Cr

=16C解法二：N=C310注意：例子中的基本事件的結(jié)構(gòu)有什么變化。古典概率例9拋一枚質(zhì)量分布不均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。這不是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)。因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件只有兩個(gè)：{w1}={出現(xiàn)正面H},{w2}={出現(xiàn)反面T}。但基本事件{w1}、{w2}發(fā)生的可能性不相等。概率的公理化定義例10

儀器上某種型號(hào)的電子元件使用時(shí)間已達(dá)30小時(shí)，測(cè)該元件還能使用多少小時(shí)？該試驗(yàn)不是古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)樗臉颖究臻g有無數(shù)多個(gè)樣本點(diǎn)。概率的公理化定義例11設(shè)50件產(chǎn)品中有5件是次品，其余的是合格品，從中任取3件，求選到的3件產(chǎn)品中有次品的概率。解法一：設(shè)A={選到的3件產(chǎn)品中有次品}，Ai={選到的3件產(chǎn)品中有i件次品}，i=1,2,3。則A1，A2，A3互不相容。并且有A=A1∪A2∪

A3。所以有2761.0≈350353501452535024515++=CCCCCCCC)()()()(321++=APAPAPAP概率的公理化定義有解法二：考慮A的對(duì)立事件

A={選到的3件產(chǎn)品全是合格品}7239.0≈)(350345=CCAP從而2761.0=7239.01-≈)(1)(-=APAP概率的公理化定義利用樣本空間求P例:將兩顆均勻骰子拋擲一次,求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和不為7,11的概率.解:設(shè)Ω={(1,1)(1,2)…(6,6)}A={兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,11}p(A)=8/36=2/9所求概率p=（36-8）/36=7/9能將樣本空間定義為:Ω={2,….,12}嗎?為什么?例n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,求其中甲乙二人坐在一起(相鄰)的概率.補(bǔ)充例題解法一:

n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,共有(n-1)!種不同坐法.甲乙二人坐在一