《運籌學與最優(yōu)化方法》課件

在管理中，人們常常需要對一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要決定購置哪種設(shè)備，上馬什么產(chǎn)品；經(jīng)理要從若干求職者中決定錄用哪些人員；地區(qū)、部門官員要對人口、交通、經(jīng)濟、環(huán)境等領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)劃作出決策。在日常生活中也常會遇到，在多種類不同特征的商品中選購,報考學校選擇志愿,畢業(yè)時選擇工作崗位等。第10章層次分析在管理中，人們常常需要對一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要這一系列的問題，單純靠構(gòu)造一個數(shù)學模型來求解的方法往往是行不通的，而用完全主觀的定奪也常常表現(xiàn)為舉棋不定，而最終選擇不理想，甚至不滿意的決策方案。面對這樣的問題，運籌學者開始了對人們思維決策過程進行分析、研究。這一系列的問題，單純靠構(gòu)造一個數(shù)學模型來求解的方法往往是行不美國運籌學家，T.L.Saaty等人在20世紀70年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法，稱之為層次分析法（AHP法）。T.L.Saaty等曾把它用于電力工業(yè)計劃，運輸業(yè)研究，美國高等教育事業(yè)1985—2000展望，1985年世界石油價格預測等方面。美國運籌學家，T.L.Saaty等人在20世紀70年代提出了這種方法的特征：定性與定量相結(jié)合，把人們的思維過程層次化、數(shù)量化。AHP法作為一種決策方法是在1982年11月召開的中美能源、資源、環(huán)境學術(shù)會議上，由Saaty學生H.Gholamnezhad首先向中國介紹的。以后層次分析法在中國得到很大的發(fā)展，很快應(yīng)用到能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟管理科研成果評價的許多領(lǐng)域。這種方法的特征：定性與定量相結(jié)合，把人們的思維過程層次化、數(shù)運用AHP法進行決策時，大體可以分為以下4個步驟進行：（1）分析系統(tǒng)中各個因素的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)。

（2）對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟運用AHP法進行決策時，大體可以分為以下4個步驟

（3）由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)重。（4）計算各層元素對系統(tǒng)目標的合成權(quán)重，并進行排序。（3）由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)1.建立層次分析的結(jié)構(gòu)模型用AHP分析問題，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造層次分析的結(jié)構(gòu)模型。這些層次大體上可分為3類。（1）最高層：在這一層次中只有一個元素，一般是分析問題的預定目標或理想結(jié)果，因此又稱目標層。1.建立層次分析的結(jié)構(gòu)模型

（2）中間層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個層次組成，包括所需要考慮的準則、子準則，因此又稱為準則層。

（3）最底層：表示為實現(xiàn)目標可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。層次分析結(jié)構(gòu)中各項稱為此結(jié)構(gòu)模型中的元素。（2）中間層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標所涉及的中間決策目標準則1方案1準則m1準則2子準則1方案2子準則2方案mr子準則m2………………方案層準則層目標層10.1層次分析法的基本步驟決策目標準則1方案1準則m1準則2子準則1方案2子準則2方案

注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以有元素（非底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關(guān)系所形成的層次結(jié)構(gòu)，我們稱之為遞階層次結(jié)構(gòu)。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，一般可不受限制。注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即

為了避免由于支配的元素過多而給兩兩比較判斷帶來困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過9個，若多于9個時，可將該層次再劃分為若干子層。例1某顧客選購電冰箱時，對市場上正在出售的四種電冰箱考慮6項準則作為評價依據(jù)，得到如下層次分析模型：為了避免由于支配的元素過多而給兩兩比較判目標層：準則層：方案層：目標層：

例2選擇科研課題：某研究單位現(xiàn)有3個科研課題，限于人力物力，只能承擔其中一個課題，如何選擇？考慮下列因素：成果的貢獻大小，對人才培養(yǎng)的作用，課題可行性。在成果貢獻方面考察：應(yīng)用價值及科學。例2選擇科研課題：

意義（理論價值，對某科技領(lǐng)域的推動作用）。在課題可行性方面考慮：難易程度（難易程度與自身的科技力量的一致性），研究周期（預計需要花費的時間），財政支持（所需經(jīng)費、設(shè)備及經(jīng)費來源，有關(guān)單位支持情況等）。意義（理論價值，對某科技領(lǐng)域的推動作用）。目標層合理選擇科研課題A成果貢獻B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B3課題D1課題D2課題D3應(yīng)用價值

C1科學意義

C2難易程度C3研究周期C4財政支持C5方案層準則層目標層合理選擇科研課題A成果貢獻B1人才培養(yǎng)B2課題可行性B

例3設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過河運輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有輪渡。此問題中過河方式的確定取決于過河方式的效益與代價（即成本）。通常我們用費效比（效益/代價）作為選擇方案的標準。為此構(gòu)造以下兩個層次分析的結(jié)構(gòu)模型。10.1層次分析法的基本步驟例3設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過河運輸準則層過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3橋梁D1隧道D2渡船D3收入C2岸間商業(yè)

C3節(jié)省時間C1當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C1110.1層次分析法的基本步驟方案層目標層準則層過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3橋梁D過河的代價A經(jīng)濟代價B1社會代價B2環(huán)境代價B3橋梁D1投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷

C6汽車排廢物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9隧道D2渡船D310.1層次分析法的基本步驟目標層準則層方案層過河的代價A經(jīng)濟代價B1社會代價B2環(huán)境代價B3橋梁D1投入2.構(gòu)造判斷矩陣上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素z（目標A或某個準則z）相聯(lián)系的下層元素（x1，x2，…，xn)各在上層元素z之中所占的比重。

方法：每次取2個元素，如xi，xj，以aij表示xi和xj對z的影響之比。這里得到的A=(aij)n×n稱為兩兩比較的判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟2.構(gòu)造判斷矩陣10.1層次分析法的基本Saaty建議用1~9及其倒數(shù)作為標度來確定aij的值，1~9比例標度的含義：

xi比xj強（重要）的程度

xi/xj

相等稍強強很強絕對強

aij1234567891~9標度的理由：兩兩比較的心理習慣，顯然，判斷矩陣A的元素有如下特征：10.1層次分析法的基本步驟Saaty建議用1~9及其倒數(shù)作為標度來確定aij的值1°aij>02°aji=1/aij3°aii=1

我們稱判斷矩陣A為正互反矩陣。

10.1層次分析法的基本步驟1°aij>010.1層

例如在例2中，準則層B對目標層作因素兩兩比較，并可建立下面判斷矩陣：

B1：B2為3B1：B3為1

認為人才培養(yǎng)比另一項稍重要，另兩項差不多相同重要。10.1層次分析法的基本步驟例如在例2中，準則層B對目標層作因素兩兩比較，并可判斷矩陣

B1B2B3

B1131A=B2

1/311/3

B313110.1層次分析法的基本步驟判斷矩陣10.1層次分析法的基本步驟3.單一準則下元素相對排序權(quán)重計算及判斷矩陣一致性檢驗（1）單一準則下元素排序求判斷矩陣A的最大特征值λmax及標準化（歸一化）的特征向量W。向量W為同一層次中相應(yīng)元素對于上一層次中某個因素相對重要性的排序權(quán)重。有wi>0，i，

。10.1層次分析法的基本步驟3.單一準則下元素相對排序權(quán)重計算及判斷矩陣一致性檢驗10.

在構(gòu)造判斷矩陣，且各層元素間兩兩比較時，aij應(yīng)有某種傳遞性質(zhì)，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地應(yīng)有甲比丙更重要，在數(shù)值上表示為aijajk=aik

即若xi與xj相比aij=3，xj與xk相比ajk=2，那么有傳遞性的判斷應(yīng)是xj與xk相比ajk=6。10.1層次分析法的基本步驟在構(gòu)造判斷矩陣，且各層元素間兩兩比較時，aij應(yīng)有

（2）判斷矩陣的一致性概念

判斷矩陣是各元素均為正數(shù)的矩陣，這種正矩陣有下列重要性質(zhì)。10.1層次分析法的基本步驟（2）判斷矩陣的一致性概念10.1層次分析法的基本步驟定理1設(shè)n階方陣A為正矩陣，

λmax為A的最大特征值，u=（u1，u2，…，un)T為λmax的相應(yīng)特征向量。①λmax

>

0，ui

>0，i

=1，2，…，n②λmax是單特征根（因此u除差一常數(shù)因子外是唯一的）；③A的任何其他特征值λ，有λmax>|λ|。10.1層次分析法的基本步驟定理1設(shè)n階方陣A為正矩陣，λmax為A的最大特征值，定義若正互反矩陣A滿足aijajk=aik,i，j，k=1，2，…，n

，則稱A為一致陣。一致陣的重要性質(zhì)：設(shè)A是一致陣，

1°A的轉(zhuǎn)置亦是一致陣。因為aij=1/aji

，aij=1，i，j=1，2，…n；由定義aijajk=aik

，則顯然。10.1層次分析法的基本步驟定義若正互反矩陣A滿足aijajk=aik,i，2°A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩為1（即只有一個非零特征值，其余n－1個為0特征值）?？紤]第ⅰ行元素ai1，ai2，…，ain

，i=1,2,…,n;對于第k行元素ak1，ak2，…，akn

，

j=1，2，…，n，

aij=aikakj,

即第ⅰ行各元素分別為第k行各元素的aik倍。

10.1層次分析法的基本步驟2°A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩3°A的最大特征根λmax=

n，其余特征根皆為零。

4°設(shè)u=(u1，u2，…，un)T是A對應(yīng)λmax的特征向量，則aij=ui/uj

，

i，j=1,2,…,n

容易驗證：對于n及向量u=(u1，u2，…，un)T

若aij=ui/uj

，ij

，則

Au=nu(i，)，又由定理1及性質(zhì)2°可知λmax=n，u滿足4°。

10.1層次分析法的基本步驟3°A的最大特征根λmax=n，其余特征根皆為零。105°若A為判斷矩陣，那么A對應(yīng)于λmax=n

的標準化（歸一化）特征向量u=(u1，

u2，…，un)T

就是一組排序權(quán)向量。（歸一化）由性質(zhì)4°即知。進一步地，有如下定理:定理2

n階正互反矩陣A=（aij)n×n是一致陣的充分必要條件為λmax=n。10.1層次分析法的基本步驟5°若A為判斷矩陣，那么A對應(yīng)于λmax=n10.1Proof:

“必要性”即是上面性質(zhì)3°，已證。“充分性”設(shè)A的最大特征值為λmax，相應(yīng)特征向量u=(u1，…，un)T,

Au=λmax

u

。

分量形式：對i=1，2，…，n，由定理1知ui>0于是λmax=。

注意aii=1，λmax-1=aijuj

/ui

。

10.1層次分析法的基本步驟Proof:10.1層次分析法的基本步驟求和（把i=1，…，n的各式相加）：nλmax-n=aijuj

/ui

注意

aji=1/aij

整理上式得nλmax-n=(aijuj

/ui+1/(aijuj

/ui))(*)10.1層次分析法的基本步驟求和（把i=1，…，n的各式相加）：10.1層次分析法的基式()末端=n2-n=n(n-1)注意：當x>0時x+(1/x)≥2,當且僅當x=1時等號成立。于是：aij(uj

/ui

)+1/(aij(

uj

/ui))

≥2式(*)右端≥·2=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=n(n-1)=左端，當且僅當aij(uj/ui)=1時等號成立。10.1層次分析法的基本步驟*

10.1層次分析法的基本步驟*所以

aij(uj/ui

)，即aijajk=(ui/uj)·(uj/uk)=uj/uk=ajk，故A是一致陣。由于客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性，我們得到的判斷矩陣常常不具有傳遞性和一致性，但應(yīng)該要求這些判斷大體是一致的。當判斷矩陣過于偏離一致性時，它的可靠性值得懷疑，為此需要對判斷矩陣進行一致性檢驗。10.1層次分析法的基本步驟所以aij(uj/ui)，即aijajk=(ui一致性檢驗步驟：（1）計算一致性指標C.I.=(λmax-n)/(n-1)(ConsistencyIndex)；（2）查找相應(yīng)的平均隨機一致性指標R.I.(RandomIndex)；

1~15階正互反矩陣計算1000次得到的平均隨機一致性指標：

矩陣階數(shù)12345678

R.I.000.520.891.121.261.361.4110.1層次分析法的基本步驟一致性檢驗步驟：10.1層次分析法的基本步驟矩陣階數(shù)9101112131415

R.I.1.461.491.521.541.561.581.59計算：R.I.=(λmax-n)/(n-1)，λmax為m次判斷矩陣λmax的平均值。λmax產(chǎn)生方法：取定階數(shù)n，隨機構(gòu)造正互反矩陣?=（?ij)n×n

，?ij在1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9這17個數(shù)中隨機抽取

(只需取n(n-1)/2個，對10.1層次分析法的基本步驟矩陣階數(shù)91011角元為1，其余按正互反性得到）取充分大的子樣計算所有?的最大特征值，然后求平均即為λmax。（3）計算一致性比率C.R.(consistencyratio)C.R.=C.I./R.I。當C.R.<0.1時，認為判斷矩陣的一致性是可接受的。當C.R.≥0.1時，應(yīng)修正判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟角元為1，其余按正互反性得到）取充分大的子樣計算所有?的最大例如，對前面矩陣

131

A=1/311/3131計算出λmax=3，歸一化向量u=(3/7，1/7，3/7)T

，C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0，所以C.R.=0是一致陣。10.1層次分析法的基本步驟例如，對前面矩陣10.1層次分析法的基本步驟例3

125

A=1/2171/51/71

計算出λmax=3.1189，u=(0.5415，0.3816，0.0761)T

C.I.=（3.1189-3）/（3-1）=0.05945，查表得R.I.=0.52

C.R.=0.05945/0.52=0.1143≥0.1，應(yīng)修正判斷矩陣。10.1層次分析法的基本步驟例310.1層次分析法的基本步驟4.計算各層元素對目標層的總排序權(quán)重層次總排序過程：計算同一層次所有因素對于最高層（總目標）相對重要性的排序權(quán)值。從最高層到底層逐層進行：設(shè)已算出第k-1層上nk-1個元素相對于總目標的排序為

w(k-1)=(w1(k-1)，w2(k-1)，…，w

n

(k-1))T10.1層次分析法的基本步驟k-14.計算各層元素對目標層的總排序權(quán)重10.1層次分析法的基

第k層nk個元素對于第k-1層上第j個元素為準則的單排序向量

uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un

j(k))T,j=1，2，…，nk-1

其中不受第j個元素支配的元素權(quán)重取零，于是可得到nk×nk-1階矩陣

u11(k)

u12(k)…

u1n

(k)

U(k)=u21(k)

u22(k)…

u2n

(k)

………

un1(k)un2(k)…

unn

(k)10.1層次分析法的基本步驟kkkkk-1k-1k-1第k層nk個元素對于第k-1層上第j個元素為準則的單排第k層上各元素對總目標的總排序w(k)為

w(k)=(w1(k)，w2(k)，…，wn(k))T

w(k)=U(k)w(k-1)分量形式：wi(k)=

uij(k)wj(k-1)

i=1，2，…，n于是可得到公式

w(k)=U(k)U(k-1)…U(3)w(2)w(2)為第二層上元素對目標的排序（即是單層排序）10.1層次分析法的基本步驟k第k層上各元素對總目標的總排序w(k)為10.1層次分析法

各層總排序的一致性檢驗：由高層向下逐層進行檢驗，設(shè)第k層中某些因素對k－1層第j個元素單排序的一致性指標為C.I.j(k)，平均隨機一致性指標為R.I.j(k)，(k層中與k－1層的第j個元素無關(guān)時，不必考慮)，那么第k層的總排序的一致性比率為

C.R.(k)=[

]/[

]10.1層次分析法的基本步驟各層總排序的一致性檢驗：10.1層次分析法的基本步

當C.R.(k)<0.1時認為第k層層次總排序具有滿意的一致性。10.1層次分析法的基本步驟當C.R.(k)<0.1時認為第k層層次總排序具有滿意1.求正互反矩陣的最大特征值及相應(yīng)特征向量（1）冪法由前面定理1知正互反矩陣的最大特征值λmax是單重特征值，且對任意其他特征值λ有λmax>∣λ∣。10.2幾個問題的處理方法1.求正互反矩陣的最大特征值及相應(yīng)特10.2幾個問題的處

冪法是處理這類矩陣求最大特征值及特征向量的一個簡單而有效的方法。⑴冪法原理：設(shè)n階矩陣A的特征值為λ1，λ2，…，λn有如下性質(zhì)：∣λ1∣

>

∣λ2∣≥∣λ3∣≥…≥∣λn∣

有n個線性無關(guān)的特征向量u1，u2，…，un

x(1)∈Rn，則可表示為x(1)=αiui10.2幾個問題的處理方法冪法是處理這類矩陣求最大特征值及特征向量的一個簡單而有利用迭代公式x(k+1)=Ax(k)

，

k=1，2,…得到點列{x(1)，x(2)，x(3)，…}顯然，x(k+1)=Akx(1)

=Akαiui=αiAkui

=αiλikui

=λ1k[α1u1+αi(λi

/λ1)kui]

10.2幾個問題的處理方法利用迭代公式x(k+1)=Ax(k)，k=由于∣λi/λ1∣<1，i=2，3，…，n

當k充分大時有Akx(1)≈λ1k

α1u1于是

(Ak+1x(1))i/(Akx(1))i≈λ1

，

i=1，2，…，n特別地，當(Akx(1))j=1時，

(Ak+1x(1))j≈λ1

Ak+1x(1)即為特征向量。10.2幾個問題的處理方法由于∣λi/λ1∣<1，i=2，3，…，n當k充10.

例：131

A=1/311/3取初始向量x=(1，0，0)T

131ix1x2

x3y1y2

y3

α01001001111/3111/311231311/313331311/31310.2幾個問題的處理方法例：131

10.2幾個問題的處理方法λmax=3，u=(3，1，3)T歸一化：w=(3/7，1/7，3/7)T

10.2幾個問題的處理方法λmax=3，u=(3，1⑵實用方法10.2幾個問題的處理方法x>0，且最大分量β=maxxi，ε>0，1in,α=0α=βy=(1/β)xx=Ay，β=maxxi1in∣β-α∣<ε?停;

特征值β

特征向量xNY⑵實用方法10.2幾個問題的處理方法x>0，且最大分量此方法當矩陣一致性較好時，收斂很快。在實用上常用下面的一些更為簡單的方法（僅對近似一致性矩陣適應(yīng)）。2.方根法步驟：（1）求Mi=(

aij)1/n

，

i=1，2，…，n（2）標準化（歸一化）：Wi=Mi

/Mj（3）10.2幾個問題的處理方法此方法當矩陣一致性較好時，收斂很快。10.2幾個問題的處Ex.131M1==1.4422

A=1/311/3M2==0.4807131

M3==1.4422

w1=0.4286歸一化：

w2=0.1428

w3=0.4286Aw=(1.2856，0.4285，1.2856)Tλmax=2.999910.2幾個問題的處理方法Ex.1313.和積法步驟：（1）求（每列歸一化）bij=aij/akj

，

i，j=1，2，…，n（2）行求和Mi=bij

，

i=1，2，…，n再歸一化：Wi=Mi/Mj

，

i=1，2，…，n（3）10.2幾個問題的處理方法3.和積法10.2幾個問題的處理方法例：

131ⅰ3/73/73/7ⅱM1=9/7

A=1/311/3B=1/71/71/7M2=3/71313/73/73/7M3=9/7

Mj=3

w2=1/7Aw=(9/7，3/7，9/7)T

w3=3/7λmax=3顯然，當A是一致陣時，λmax=n，對歸一化的w,aij=wi/wj

10.2幾個問題的處理方法

w1=3/7ⅲ例：131ⅰ3/

方根法：Mi=(aij)1/n=Wi/SS=(Wj)1/n

i=1，2，…，n

歸一化后，w即為(w1，w2，…，wn)T

λmax=(1/n)

(Aw)i/wi

(Aw=nw)

=n2/n

=n10.2幾個問題的處理方法方根法：Mi=(aij)1/n=Wi/S用冪法：取x(0)=(1，0，0)T

k

x1

x2

x3

α

y1y2y301001100110.50.2110.50.2231.60.5667310.53330.188933.01111.60.56673.011110.53140.188243.00371.59590.56533.003710.53130.188253.00371.59590.56533.003710.2幾個問題的處理方法用冪法：取x(0)=(1，0，0)T10.2幾個問題的處λmax=3.0037C.I.=(λmax-3)/(3-1)=0.00185C.R.=C.I./R.I.=0.00185/0.52=0.0036滿足一致陣要求

。u=(3.0037，1.5959，0.5653)T歸一化得

w=(0.5816，0.3090，0.1094)T10.2幾個問題的處理方法λmax=3.003710.2幾個問題的處理方用方根法（1）M1===2.1544

M2==1.1447

M3==0.4055(2）歸一化：M1+M2+M3=3.7046

w1=2.1544/3.7046=0.5815

w2=1.1447/3.7046=0.3090

w3=0.4055/3.07046=0.1095

w=(0.5815，0.3090，0.1095)T10.2幾個問題的處理方法3333用方根法10.2幾個問題的處理方法333(3)Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T11.74700.92830.328830.58150.30900.1095

3.003710.2幾個問題的處理方法max=++=(3)Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T1和積法：

akj=wk/wjbij=aij/akj=wi/wkMi=bij=(nwi)/wk

歸一化后w即為(w1，w2，…，wn)T同理λmax=n當A近似一致陣時，這些量是近似的。例125

A=1/2131/51/3110.2幾個問題的處理方法和積法：10.2幾個問題的處理方法用和積法(1)

1250.58820.60.5556

A=1/213B=0.29410.30.33331/51/310.11770.10.1111(2)行求和M=(1.7438，0.9274，0.3288)T

M1+M2+M3=3

歸一化：w=(0.5813，0.3091，0.1096)T10.2幾個問題的處理方法列歸一化用和積法10.2幾個問題的處理方法列歸(3)Aw=(1.7475，0.9286，0.3289)T11.74750.92860.328930.58130.30910.1096

3.003810.2幾個問題的處理方法max=++=(3)Aw=(1.7475，0.9286，0.3289)T12.殘缺判斷與群組決策

(1)殘缺判斷及處理方法應(yīng)用AHP進行決策時，每個準則應(yīng)有一個判斷矩陣，需進行[n(n－1)]/2次兩兩比較(判斷矩陣的上三角形或下三角形)。當層次很多，因素復雜時，判斷量很大，可能出現(xiàn)某個參與決策的專家對某些判斷缺少把握，或不想發(fā)表意見，使判斷矩陣殘缺。10.2幾個問題的處理方法2.殘缺判斷與群組決策10.2幾個問題的處理方法1）

可接受的殘缺判斷矩陣若任一殘缺元素都可通過已給出的元素間接獲得的殘缺判斷矩陣。根據(jù)一致性的條件：間接獲得的元素指，若aij缺少可由aij=aikakj或更一般地aij=aikakkakk…akj得到。10.2幾個問題的處理方法11232s1）可接受的殘缺判斷矩陣10.2幾個問題的處理方法112）可接受的殘缺矩陣的排序向量計算常用的有特征根方法、對數(shù)最小二乘法及最小偏差法等。特征根法：設(shè)A對應(yīng)λmax的特征向量w=(w1，w2，…，wn)T

由一致性條件知aij=wi/wj，特征根法即把缺少的元素用wi/wj來替代。10.2幾個問題的處理方法2）可接受的殘缺矩陣的排序向量計算10.2幾個問題的處設(shè)原判斷矩陣A=(aij)n×n,構(gòu)造輔助矩陣

C=(cij)n×n使cij=aij,aij≠0

wi/wj,aij=0例8設(shè)

120

A=1／212是可接受的殘缺矩陣

01／2110.2幾個問題的處理方法設(shè)原判斷矩陣A=(aij)n×n,構(gòu)造輔助矩陣10.2幾輔助矩陣

12w1／w3

C=1/212

w3／w1

1/21解特征根問題：Cw=maxw展開：左=（2w1+2w2，1/2w1+w2+2w3，1/2w2+2w3)T=max(w1,w2,w3)T解得max=3w=(0.5714，0.2857，0.1429）T10.2幾個問題的處理方法輔助矩陣12w1／w310.2可以看出:C的特征值問題等價于

220

ā=1/21201/22

的特征值問題（Aw=maxw與Cw=maxw相同）10.2幾個問題的處理方法可以看出:C的特征值問題等價于10.2幾個問題的處理方故只需求下列矩陣的特征值及特征向量ā=(aij)n×n

aij當aij≠0，i≠j時

aij=

0當aij=0時

mi+1

當i=j時，mi為第i行中殘缺元素的個數(shù)求解ā

w=maxw

可得不完整信息下的排列向量。10.2幾個問題的處理方法故只需求下列矩陣的特征值及特征向量ā=(aij3）一致性檢驗：

max-n

C.I.=

(n-1)-（）

當C.R.=C.I./R.I.<0.1時認為有滿意的一致性。10.2幾個問題的處理方法3）一致性檢驗：10.2幾個問題的處理方法

（2）群組決策

為使決策科學化、民主化，一個復雜系統(tǒng)通常是由多個決策者（專家）或決策部門參與決策的。群組決策問題是指采取一定的方法以使決策者的決策綜合成一個較合理的結(jié)果的過程。

10.2幾個問題的處理方法（2）群組決策10.2幾個問題的處理方法應(yīng)做好如下工作：1）重視并做好專家咨詢工作；①合理選擇咨詢對象（專長及熟悉的領(lǐng)域）；②創(chuàng)造適合于咨詢工作的良好環(huán)境（介紹AHP方法，提供信息，獨立思考）；③正確的咨詢方法（通過咨詢確定遞階層次結(jié)構(gòu)，設(shè)計好表格）；

10.2幾個問題的處理方法應(yīng)做好如下工作：10.2幾個問題的處理方法④及時分析專家咨詢信息，必要時要進行反饋及多輪次咨詢。2）群組決策綜合分析方法：兩類方法①將各專家的判斷矩陣綜合，得到綜合判斷矩陣，再計算排序。10.2幾個問題的處理方法④及時分析專家咨詢信息，必要時要進行反饋及多輪次咨詢。10.②先求各專家判斷矩陣的排序向量，再綜合成群組排序向量。設(shè)S個專家的判斷矩陣

Ak=(aij(k)),k=1,2,…，S

分別求出它們各自的排序向量

wk=(w1(k)

，w2(k)

…，wn(k))T

10.2幾個問題的處理方法②先求各專家判斷矩陣的排序向量，再綜合成群組排序向量。10再記平均綜合向量為w=(w1,w2,…,wn)T方法1加權(quán)幾何平均綜合排序向量法計算

wj=wj/

（歸一化）,

其中，λk≥0且其中，λk為第k個決策者的權(quán)重。j=1,2，…，n10.2幾個問題的處理方法再記平均綜合向量為w=(w1,w2,…,wn)Tj=1,對可采用性的考察：計算wj的標準差：j=其相應(yīng)于新的總體判斷矩陣A=(aij)

(aij=wi/wj)的總體標準差：①10.2幾個問題的處理方法(K)2對可采用性的考察：①10.2幾個問題的處理方法(K)2σij=個體標準差：σ（k)=

當總體標準差滿足要求時，這組群組判斷可采用，當個體標準差σ(k)滿足要求時，認為第k個決策者的決策可通過，否則將信息反饋給有關(guān)專家，供修改時參考。②③10.2幾個問題的處理方法(K)2σij=當總體標準差滿足要求時，這組群組判斷可采用，當個體標方法2加權(quán)算術(shù)平均綜合向量法計算

W=λ1Wj(1)+λ2Wj(2)+…+λsWj(s)λk≥0，可類似地根據(jù)式①

~式

③判斷可采用性。10.2幾個問題的處理方法方法2加權(quán)算術(shù)平均綜合向量法10.2幾個問題的處理方1.某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要決定如何使用。供選擇方案：作獎金，集體福利設(shè)施，引入設(shè)備技術(shù)

建立如下層次分析模型：10.3應(yīng)用舉例1.某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要決10.3應(yīng)用目標層：準則層C：方案層P：合理使用留成利潤A改善職工生活條件C3提高技術(shù)水平C2調(diào)動職工積極性C1引進設(shè)備技術(shù)P3福利P2獎金P110.3應(yīng)用舉例合理使用留成利潤A改善職工提高技術(shù)調(diào)動職工引進設(shè)備技術(shù)P3A-C判斷矩陣:

AC1C2C3

w(2)

C111/51/30.105

C25130.637

C331/310.258

λmax=3.038，歸一化特征向量w(2)

C.I.=0.019，

C.R.=0.03276<0.1

滿意的一致性10.3應(yīng)用舉例A-C判斷矩陣:10.3應(yīng)用舉例C1-P:

C1

P1P2

U1(3)

P111/30.25

P2310.75

λmax=2C.I.=0

10.3應(yīng)用舉例C1-P:10.3應(yīng)用舉例C2-P:

C2P2

P3

U2(3)

P211/50.167

P3510.833λmax=2C.I.=010.3應(yīng)用舉例C2-P:10.3應(yīng)用舉例C3-P:

C3

P1P3

U3(3)

P1

120.667

P2

1/210.333

λmax=2C.I.=0

10.3應(yīng)用舉例C3-P:10.3應(yīng)用舉例

0.2500.667U(3)=0.750.1670.33300.8330w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.271，0.531)T得到P3優(yōu)于P2又優(yōu)于P1，從分配上可以用53.1%來引進新設(shè)備、新技術(shù)；用19.8%來發(fā)獎金；用27.1%來改善福利。10.3應(yīng)用舉例0.2502.層次分析法對于下面幾種情況的優(yōu)化問題特別適用：⑴問題中除可計量的量外，還存在不可計量的量時，可用AHP通過對不可計量的量與可計量的量的相對比較，而獲得相對的量測；⑵當優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)難以事先確定，而在很大程度上取決于決策者的經(jīng)驗時；10.3應(yīng)用舉例2.層次分析法對于下面幾種情況的優(yōu)化問題特別適用：10.3⑶各變量不獨立，有內(nèi)部相關(guān)性時；⑷目標與約束、約束與約束之間緊密聯(lián)系時；⑸多目標問題；10.3應(yīng)用舉例⑶各變量不獨立，有內(nèi)部相關(guān)性時；10.3應(yīng)用舉例

在用AHP法解決優(yōu)化問題時，常用的有兩種方式：⑴當模型中涉及不可計量的量時，用AHP法的比例標度來確定目標函數(shù)，約束函數(shù)的權(quán)重（系數(shù)）；⑵直接采用AHP模型。

AHP法有廣泛的應(yīng)用前景，可以用來決定其他方面的一些問題。下面舉一個解決優(yōu)化問題的例子。10.3應(yīng)用舉例在用AHP法解決優(yōu)化問題時，常用的有兩種方式：10.3例食品最佳搭配問題

假設(shè)某人有3種食品可供選擇：肉、面包、蔬菜它們所含營養(yǎng)成分及單價如下表所示：食品維生素A維生素B2/

熱量/單價/搭配量

（國際（mg/g）（kcal/g）

（元/g）單價/g）肉0.35270.00212.860.0055x1面包00.00062.760.0012x2蔬菜25.00.0020.250.0014x310.3應(yīng)用舉例例食品最佳搭配問題10.3應(yīng)用舉例該人體重55kg，每天對各種營養(yǎng)的最小需求為：維生素A：7500國際單位維生素B2：1.6338mg熱量：2050kcal問題：應(yīng)如何搭配食品？（自然的想法是：使在保證營養(yǎng)的情況下支出最?。?0.3應(yīng)用舉例該人體重55kg，每天對各種營養(yǎng)的最小需求為：10.3應(yīng)

容易建立如下線性規(guī)劃模型：minz=0.0055x1+0.0012x2+0.0014x3s.t.0.3527x1+25.0x3≥7500

0.0021x1+0.0006x2+0.002x3≥1.6338

2.86x1+2.76x2+0.25x3≥2050x1，x2，x3≥0利用單純形法可得解x*=(0,689.44,610.67)Tz*<1.67⑴10.3應(yīng)用舉例容易建立如下線性規(guī)劃模型：⑴10.3應(yīng)用舉例

即不吃肉，面包689.44g，蔬菜610.67g，每日支出1.67元。顯然這個最優(yōu)方案是行不通的，它沒有考慮此人對食品的偏好。我們可根據(jù)偏好加約束:

x1≥140,x2≤450,x3不限得到線性規(guī)劃解：

x*=(245.44,450.00424.19)T

z*=2.48元⑵10.3應(yīng)用舉例即不吃肉，面包689.44g，蔬菜610.67g，每日其次，在這里各營養(yǎng)成分被看成同樣重要，起決定因素的是支出。但實際上，營養(yǎng)價值與支出都需要考慮，只是地位（權(quán)重）不同。這樣無法建立目標函數(shù)。下面用層次分析法來處理問題：層次結(jié)構(gòu)：10.3應(yīng)用舉例其次，在這里各營養(yǎng)成分被看成同樣重10.3應(yīng)用舉例每日需求R支出C

營養(yǎng)N維生素A維生素B2熱量Q肉

me面包

br蔬菜ve10.3應(yīng)用舉例每日需求R支出C營養(yǎng)N維生素A維生素B2熱量Q對于一個中等收入的人，滿足營養(yǎng)要求比支出更重要。于是

R

NCw(2)

N130.75

C1/310.25

λmax=2C.I.=010.3應(yīng)用舉例對于一個中等收入的人，滿足營養(yǎng)要求λmax=2

NA

B2Q

w1(3)A1120.4B21120.4

Q1/21/210.2

λmax=3C.I.=010.3應(yīng)用舉例NA

0.40w(3)=0.400.750.200.25=(0.3,0.3,0.15,0.25)T01最底層（方案層）對準則層的單排列權(quán)重，只需對題目給的數(shù)據(jù)歸一化即可。由于要支出最小價格倒數(shù)，價格倒數(shù)歸一：(181.818，833.333，714.286)T

于是得到10.3應(yīng)用舉例0.4010.3應(yīng)用舉A

B2QC(價格)

me

0.01390.44680.48720.1057U(4)

br

0.00000.12770.47020.4819

ve

0.98610.42550.04260.4310合成權(quán)重w(4)=U(4)w(3)=(0.24,0.23,0.53)T10.3應(yīng)用舉例A設(shè)x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.53k則

Minz=0.002338ks.t.13.3346k

≥7500(2)0.0017k

≥1.63381.4537k≥2050

k≥0

解得k

=1410.20⑴變?yōu)?0.3應(yīng)用舉例設(shè)x1=0.24k,x2=0.23k,x3=0.x1=338.45g，x2=324.35g，x3=749.41gz=3.30元滿足式⑵此時各營養(yǎng)成分含量如下：維生素A：18804.52國際單位維生素B2：2.400mg熱量Q：2050.01kcal若認為總支出太大，可適當降低第二層中營養(yǎng)的權(quán)重。10.3應(yīng)用舉例x1=338.45g，x2=324.35g，x3=749.4若改為

RNC

w(2)

N110.5

C110.5λmax=2C.I.=010.3應(yīng)用舉例若改為10.3應(yīng)用舉例

其余不變：

0.40w(3)=0.400.5=(0.2,0.2,0.1,0.5)T

0.200.501

w(4)=U(4)w(3=(0.193,0.314,0.493)T10.3應(yīng)用舉例其余不變：10.3應(yīng)用舉

類似上面可解得：設(shè)x1=0.193k,x2=0.314k,x3=0.493kMinz=0.0021285k

則s.t.12.3931k≥75000.0016k≥1.63381.54187k≥20500.193k≥140,0.314k≤450,k≥0式⑴、式⑵變?yōu)?0.3應(yīng)用舉例類似上面可解得：設(shè)式⑴、式⑵10.3得解

k=1329.56于是x1=256.61g，x2=419.48g，

x3=655.47g，z=2.83元即每日肉256.61g，面包419.48g，蔬菜655.47g，總支出2.83元。10.3應(yīng)用舉例得解k=1329.5610.3應(yīng)用舉例各營養(yǎng)成分