往年-線性代數(shù)第二章

a11

a12

a1n

線性方程

a22

a2n

an2

ann

系i的解取決i

aiji,j常數(shù)

bi線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排

b1

a2

b2

an

bnDD某航空公司在A,B,C,D城市之間開辟了若干航線如圖所示表示了四城市間 則用帶箭頭的線連接A與四城市間的航班圖情況常用表格來表示到 A發(fā)站 D其 表示有航班為了便于計(jì)算,把表中 改成1,空白地方填0,就得到一個(gè)數(shù)表 0110101010010100這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況mn

i

1,2,,

j1,2,,排成m行n列的數(shù)

a22am

a2n稱為mn矩陣.簡(jiǎn)稱mn矩陣.記主對(duì)角

a1nA

a2n 矩陣A矩陣Amn副對(duì)角

am

am

amn簡(jiǎn)記

A

a這mn個(gè)數(shù)稱為A的元素,簡(jiǎn)稱為元.例

5

是一33

2

實(shí)矩陣13 2i

1

是一

3

復(fù)矩陣 2 2

4

是一

3

矩陣是一個(gè)1

矩陣

是一

11

矩陣幾種特殊矩行數(shù)與列數(shù)都等于

An方陣.也可記13

2i例

2 2

是一個(gè)3階方陣只有一行的矩Aa1,a2,,an稱為行矩陣(或行向量只有一列的矩1a1 Ba2

稱為列矩陣(或列向量 an

不全為

的方陣,稱為對(duì)

矩陣(或?qū)顷噉記 A

diag1,2,,n元素全為零的矩陣稱為零矩陣mn矩陣記

omn或o注 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的例

0 0 0 0

方

EEn

1 全為例

2 6

3 為同型矩陣 與 43793 3793 兩個(gè)矩A對(duì)應(yīng)元素相等,

為同型矩陣,并

i

1,2,,

j1,2,,則稱矩陣A與B相等,

AB.例 n個(gè)變量x1,x2,,xn與m個(gè)變量y1

y2

ym間的關(guān)系

a11a21

a12a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxn表示一個(gè)從變量x1x2,xn到變線性變換其中aij為常數(shù)

y2

a11a21

a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxnA

a1n a2n

系數(shù)矩am

am

amn例 3A 2

,B,

3,, z已知A

B,

y,z. AB,x

y

z一、矩陣的一、矩陣的加設(shè)有兩個(gè)mnA

那末矩A與B的和記作A

B，規(guī)定AB

a2

b2n am

bm

am

bm

amn

bmn說明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)12 例 6 13 13

6 62陣加法的運(yùn)算規(guī)

ABB2A

BC

A

C3

A

a2

a am

am

amn稱為矩陣A的負(fù)矩陣

A

A

AB

A

1數(shù)與矩陣A的乘積記A或A,規(guī)定A

A

a21

a22

a1n. a2n.

amn2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)（設(shè)A、B

m

矩陣，,為數(shù)123A

B

A

矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.三、矩陣與三、矩陣與矩陣相設(shè)A

是一個(gè)m

矩陣B

是一sn矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘是一個(gè)mn矩陣C

，其

ai1b1

ai2b2

ais

aiksksi

j1,2,,并把此乘積記

CAB例

4 4

C1

2 6

例

22

0303412131

A

2

B 0 1405 405 A

B

C

C

2 2注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣 3例 198983

不存在

2

13

1 ２、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)1ABCABC

C

AB

AC,

BC3AB

（其中為數(shù)4AE

EA5若A

階矩陣

為Ak次冪，Ak AAAAm

Am

Amkm,k為正整數(shù)注意矩陣不滿換律，即AB

BA,

ABk

AkBkA

1 B 1例

1 1,, AB 0 BA 2,,故AB

0

2但也有例外，比如 0

B

1,A , 2

12則 2AB

2BA 2 AB例3計(jì)算下列乘積2

2 3 2

1

22 4

1

212 3

32

4.6 2 b2b311解

=(

a22b2

b2b3 0例 設(shè)A 1求Ak0 0

0

0

1 1000 000

1 100

2. 2

1 A3

A2A

2 2

1

300

32

由此歸納

kk

kk

1k2Ak 0000

2kk

2用數(shù)學(xué)歸納法證k

2時(shí)，顯然成立k

n時(shí)成立，則

n1時(shí)

nn1n2

0An1

AnA 0000

1,

n

n1nn1 00

0

n , 所以對(duì)于任意的k都

kk

kk

1k2Ak 0000

kk . 定義把矩陣A的行換成同序數(shù)的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記

A A 2 8

,AT,22

45;88B

BT

18. 6轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性1AT

2A34

例 已 A

求ABT解法

ABT

3,,17 10解法

BT

2 0

1 232

1713.

1

102、方陣的行列由

階方

的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣

的行列式，記

Adet例A 3 8

A6

38運(yùn)算性質(zhì)1

A;

23

AB

BA.3、對(duì)稱陣與伴隨矩An階方陣，如果滿A

i,

1,2,,n

稱為對(duì)稱陣12

1例如A

06 6

為對(duì)稱陣說明對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相如果T

A例6設(shè)列矩陣

,

,,

XT

E為n階單位矩陣

E

2XXT,證明H是對(duì)稱矩陣,且HHTE.證明HT

2XXT

2XXTE2XXTHH是對(duì)稱矩陣HHTH

E2XXTE4XXT

4XXTXXT

E4XXT

4XXTXXE4XX

4XX

E.例7證明任一

階矩陣

都可表示成對(duì)稱 稱陣之和證則

設(shè)A

A

AT

C所以C為對(duì)稱矩陣設(shè)B

AAT

則

A

AT

AB,所以B為稱矩陣TAAT

A

CB

命題得證 定義行列式A的各個(gè)元素的代 式A構(gòu)成的如下矩

An1An2 Ann

稱為矩陣的伴隨矩陣性 AA證 設(shè)Aa

記AA iij212

Aij故

A

A

AE同理可

A