通信原理-chapter9.part第九章差錯控制編碼

ErrorControl 特別感謝 教1PreviouslyonPrinciplesof

）‘信道編碼’在系統(tǒng)中的位置(對比sourcecoding去冗余分類：分組碼，卷積碼2PreviouslyonPrinciplesofFEC參數(shù)(nk,k信息碼元數(shù)量r—差錯控制(冗余)碼元數(shù)量n—k+kn—編碼效率（碼速Codekn 碼重：非零碼元的數(shù) 碼距：兩個等長碼組之間相應(yīng)位取值不同的3PreviouslyonPrinciplesof最小碼距d0：決定分組碼的糾錯和檢錯能力糾糾錯：d0≥2t+1檢錯：d0≥e1糾檢結(jié)合：d0≥te+14LinearBlock59.3.0線性分組碼(nkr):線性：其監(jiān)督位r和信息位k的關(guān)系由線性代數(shù)方程決定例：碼(n,n-A1

12[an1,an2, a12k線性線性分組碼性質(zhì)MinimumDistance等價于MinimumWeight（證明稍后）‘最小碼距’不易求 0例，(7，43)線性分組碼，7個碼 0輸出碼元里面含有信息碼的稱為：系統(tǒng)碼Systematic監(jiān)督碼元：線性組合（僅限于模二和）7例，這種線性生成關(guān)系為（可隨意設(shè)計，但BER性能會不同a2a6a5aa

a3a0a6a4a3寫成矩陣形

111110a2a1a0a6a5a4a3 101 011 Q矩陣Q：監(jiān)督位的生成關(guān) 0001G a6a5

a3

a1

a6a5a4AA1k 具有[IkQ]形式典型生成矩陣Generatormatrix:唯一的n[IkQkr910001111000111010011000101010001 IkQ011a6a5

a3

a1

a6a5a4生成矩

Gk

[IkQkr‘各行’獨立：單獨每個信息位的檢校位，其他 可以通它組合（告訴我們單獨每個字母怎么用，就可以組合所有反之，如果有k個‘獨立’的碼組，則有生成矩陣G 接收端檢測方法：再編碼一次應(yīng)該有a6a5a4a3a2a1再編碼一次a2a6a5a4a a 即

S1a6a5a4a2 aaaa

a6

a3a0檢校子 S1a6a5a4a2 aaaa

a6a4a3a0寫成矩陣形

a6a a 50a4

0 0a0 3

1a2 a1A1A1 nHT01

S檢校矩陣檢校矩陣 0 0r r

或者接收碼字A無錯條件：H矩陣與碼字A的轉(zhuǎn)置乘積為零 rrHnHnIra6a 10100 5a40 01010a0 3 11001a2 a1右邊點乘：對一個矩陣的列操監(jiān)督矩陣性質(zhì)P為rk階矩陣；Irrr階單位方陣；將具有[PIr形式的H矩稱為典型監(jiān)督矩陣H矩陣的各行應(yīng)該是線性‘獨立’G和H 在都寫成‘典型矩陣’的條件

a6a5

a3

a1

a6a5a4

PTQGPTQ

Gk

[IkQk r接收

a6a a11010110100a40101010a0 3

r [ I H

1a2 a1

S

寫成此形式，對應(yīng)硬件實現(xiàn)。其實兩者本質(zhì)相同 MinimumWeight==Minimum封封閉性：若A1和A2是一種線性碼中的兩個碼組，則(A1+A2)[證

若A1和A2是兩個碼組，則有：A1HT=兩式相加A1HTA2HT(A1A2HT

A2HT=所以，(A1A2)也是一個碼 那么，A1和A2距離（,）是另一個碼組(A1+A2)的重量（即“1）。因此，線性碼的最小距離就是碼（全“0”碼組除外）的最小重量樣我們知道，傳輸正確S1a6a5a4a2 aaaa

a6a4a3a0AAT1 nH01

有錯誤發(fā)生（假設(shè)只有一位錯誤發(fā)生）如

S1a6a5a4a2 aaaa

a6

a3a0（6430）都是對的因此，是a5錯了；下表列出所有可S1S2S1S2無錯樣 給出‘錯誤圖樣’，等價于給出‘監(jiān)督矩陣（生成矩陣樣S1S2S1S2無錯例，當(dāng)S1=1時，與a2a4a5a6有關(guān)S1a6a5a4a2 aaaa

a6a4a3a0發(fā)送碼組A是一個n列的行矩Aan1an2a1a0接收碼組B是一個n列的行矩B=A+E就是錯碼的行矩 若接收碼組中無錯碼BHT=BHT=BHT=SST1S2 r當(dāng)接收碼組有錯時（在未超過檢錯能力時校正子S和錯誤圖樣E之間有確定的一一對應(yīng)線性變換關(guān)S1S1S2S1S2無錯漢明要求：能‘糾正’任意一個錯碼的線性分組碼2r1n 例 稱此分組碼(n,k)為能糾t=1個錯誤的‘完備推廣：能糾任意2個錯誤的‘完備碼’條件2r2r1C1nn漢明碼的碼率k1rnn當(dāng)n很大時，上式趨近于1。所以漢明碼是一糾正t=1個隨機錯誤，則漢明碼的 檢錯能力 可知，可知，此碼能夠檢測2個錯碼，或糾正1個錯碼 【例】已知（7，3，4）分組碼的監(jiān)督關(guān)系a6a3a2a1 a a a1 aa

a a 求其監(jiān)督矩陣、生成矩陣、全部9.3.29.3.2線性分組碼例監(jiān)督關(guān)系 寫成監(jiān)督矩陣

a6a

1001110

5

a4 0a

a

a

0100111

a

0 1100010

3 a6a5a1

a2

0110001 a

1

（檢校矩陣寫成‘典型監(jiān)督矩1001110 101 10000100111 111 0100H 1100010 110 0010

（碼字 [PIr9.3.2線性分組碼 生成矩陣滿足關(guān)系

a6a5a4a3a2a1其中，Q

a6a5a4[Ik生成矩陣

100 1110 G[IPT] 0011101（7，3）分組碼的全部碼字如下表所碼碼1最小碼距d0=4，可糾錯119.3.3—循環(huán)碼 組循環(huán)一位后仍然是該編碼中的一個碼組主要用于【例】：一種(7,3，4)循環(huán)碼的全部碼組碼碼碼15263748—若(an-1an-2…a0)是循環(huán)碼的一個碼組，則循環(huán)移位后的碼左循環(huán)2…

(an-2an-3…a0an-1)(an-3an-4…an-1an-左循環(huán)n-1位(a0an-1a2仍是可用碼組注注：一種循環(huán)碼可能有多個循環(huán)分組，只在每個分組內(nèi)滿足循環(huán)—單碼.循環(huán)碼的多項式表示法(為何用多項式，而不用生成矩TT(x)xn1xn2ax10例：碼組1100101可以表示T(x)1x61x50x40x31x20xx6x5x2多項式乘法，左移“i”xiT(x)右側(cè)添加i個 9.3.3—多項式除法，右移“i”位（碼分為2部分，放在商和余項里T(例，右移“i=3x4x21(10101)

商Nx余數(shù)R

x2

x21TTxR ?！h(huán)碼 組循環(huán)一位后仍然是該編碼中的一個碼組這件事情用多項式描設(shè)T(x)是一個長度為n的碼則，循環(huán)左移‘i’位之后T(x)也是一個碼組xxiT(x)T 模xn—xxiT(x)T 模xn【例】一循環(huán)碼（n=4）abcd，求循環(huán)左