專題復(fù)習(xí)與圓的切線有關(guān)的證明與計(jì)算

關(guān)于專題復(fù)習(xí)與圓的切線有關(guān)的證明與計(jì)算第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日切線的性質(zhì)定理：圓的切線________于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．技巧：圓心與切點(diǎn)的連線是常用的輔助線．切線的判定垂直垂直第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日有交點(diǎn)，連半徑，證垂直第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日1.如圖9所示，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C.

（1）求證：直線PB與⊙O相切

（2）PO的延長線與⊙O交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，PC=4.求弦CE的長．第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日（1）證明:過點(diǎn)O作OD⊥PB,連接OC.∵AP與⊙O相切,∴OC⊥AP.又∵OP平分∠APB,∴OD=OC.∴PB是⊙O的切線.

∵∴（2）解:過C作CF⊥PE于點(diǎn)F.在Rt△OCP中，OP=在Rt△COF中，∴在Rt△CFE中，第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日【教材原型】如圖，⊙O的切線PC交直徑AB的延長線于點(diǎn)P，C為切點(diǎn)，若∠P＝30°，⊙O的半徑為1，則PB的長為_______第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日

【解析】連結(jié)OC，因?yàn)镻C為⊙O的切

線，所以∠PCO＝90°，

在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，

所以O(shè)P＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB

＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圓的切線，可得切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；(2)已知圓的切線，常作過切點(diǎn)的半徑，得到切線與半徑垂直。第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日練習(xí)：如圖，AB是⊙O

的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC.求證：DE與⊙O相切.一題多解第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日變式訓(xùn)練規(guī)范書寫(昆明）如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)E的直線EF與AB的延長線交于點(diǎn)F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC。求證：CF是⊙O的切線。（5分）第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日（1）證明：連接OE……………1分∵AE平分∠FAC∴∠CAE=∠OAE又∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE…………..…2分∴∠CAE=∠OEA∴OE∥AC…....…3分∴∠OEF=∠ACF又∵AC⊥EF∴∠OEF=∠ACF=90°∴OE⊥CF…...…4分又∵點(diǎn)E在⊙O上∴CF是⊙O的切線…………..…5分看看你能得幾分？第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日變式

（廣州）如圖，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD，設(shè)⊙O是△BDE的外接圓。求證：AC是⊙O的切線。DE⊥BD，設(shè)⊙O是△BDE的外接圓變式訓(xùn)練第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日

例：如圖，已知：為角平分線上一點(diǎn)，于，以為圓心，為半徑作圓。求證：是⊙的切線。無交點(diǎn)，作垂直，證半徑證明：過O作OE⊥AC于E∵AO平分∠BAC

OD⊥AB∴OE＝OD∵OE是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線E第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日【教材原型】已知：如圖，A是圓⊙O外一點(diǎn)，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B在圓上，且AB＝BC，∠A＝30°，求證：直線AB是⊙O的切線．第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日

證明：連結(jié)OB，∵OB＝OC，AB＝BC，

∠A＝30°，

∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，

∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.

∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，

∴AB⊥OB，∴AB為⊙O的切線．

【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法“連半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑”．第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日【中考變形】1．如圖，點(diǎn)C是⊙O的直徑AB延長線上的一點(diǎn)，且有BO＝BD＝BC.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若半徑OB＝2，求AD的長．第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日

解：(1)證明：連結(jié)OD，

∵BO＝BC，∴BD為△ODC的中線．

又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°.

又∵OD為⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線； (2)∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，

∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.（2015?昆明）如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．（1）求證：直線FG是⊙O的切線；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日證明：（1）如圖1，連接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵點(diǎn)E在圓上，OE是半徑，∴GF是⊙O的切線．第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日（2）∵四邊形ABCD是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，設(shè)OA=OE=x，則OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，∴（10﹣x）2+52=x2，∴∴⊙O的直徑為．

第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日【中考預(yù)測】如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為6cm，D，E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點(diǎn)，P為AB延長線上一點(diǎn)，且PC＝PE.(1)求AC，AD的長；(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日解：(1)如圖，連結(jié)BD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日

(2)直線PC與⊙O相切．

理由：如圖，連結(jié)OC，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.

∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.

∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，

∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，

∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB