兩因素及多因素方差分析

關(guān)于兩因素及多因素方差分析第一頁，共七十頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容9.1兩因素方差分析中的基本概念9.2固定模型9.3隨機模型9.4混合模型9.5兩個以上因素的方差分析9.6缺失數(shù)據(jù)的估計9.7變換第二頁，共七十頁，2022年，8月28日9.1兩因素方差分析中的基本概念9.1.1模型類型交叉分組設(shè)計(crossoverdesign)：假設(shè)A藥物有a水平，B藥物有b水平，有ab個劑量混合，每組重復(fù)n次。共有abn名病人參加實驗。對于兩因素交叉分組設(shè)計的實驗要采用兩因素方差分析固定模型：兩因素實驗中，兩個因素都是固定因素時；隨機模型：兩因素實驗中，兩個因素都是隨機因素時；混合模型：兩因素實驗中，一個因素是固定因素，另一個是隨機因素時。第三頁，共七十頁，2022年，8月28日9.1.2主效應(yīng)與交互作用主效應(yīng)(maineffect):因素水平的改變造成因素效應(yīng)的改變，稱該因素的主效應(yīng)。A1A2B11824B23844A因素的主效應(yīng)為(24+44)/2-(18+38)/2=6第四頁，共七十頁，2022年，8月28日9.1.2主效應(yīng)與交互作用9.1.2主效應(yīng)與交互作用交互作用(interaction):某一因素在另一因素不同水平上產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則兩因素間存在交互作用。A1A2B11828B23844交互作用的大小用A1B1+A2B2-A1B2-A2B1來估計A(在B1的水平上)=A2B1-A1B1A(在B2的水平上)=A2B2-A1B2第五頁，共七十頁，2022年，8月28日當(dāng)A、B間不存在交互作用時，從B1變化到B2不以A水平的變化而改變，所以B1-B1，B2-B2兩線平行(圖9-1a);當(dāng)存在交互作用時，A的效應(yīng)依B的水平而不同，所以B1-B1，B2-B2

兩線不平行(圖9-1b)。第六頁，共七十頁，2022年，8月28日9.1.3兩因素交叉分組實驗設(shè)計的一般格式兩因素實驗的典型設(shè)計：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復(fù)有ab次實驗，設(shè)試驗重復(fù)n次，則試驗總次數(shù)為abn。數(shù)據(jù)以表9-1的形式出現(xiàn)。第七頁，共七十頁，2022年，8月28日第八頁，共七十頁，2022年，8月28日

表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有觀測值的和；x.j.表示B因素第j水平的所有觀測值的和；xij.表示A的第i和B的第j水平的所有觀測值的和；x…表示所有觀測值的和。第九頁，共七十頁，2022年，8月28日9.2固定模型9.2.1線性統(tǒng)計模型觀測值可以用以下線性統(tǒng)計模型描述：其中是總平均效應(yīng)；i是A因素第i水平的處理效應(yīng)；βj是B因素第j水平的處理效應(yīng)；(αβ)ij

是交互作用效應(yīng)，

εijk為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，σ2)。

第十頁，共七十頁，2022年，8月28日兩因素交叉分組設(shè)計中，固定模型方差分析的零假設(shè)為：

第十一頁，共七十頁，2022年，8月28日9.2.2平方和與自由度的分解A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用引起的平方和SSAB及誤差平方和分別是：第十二頁，共七十頁，2022年，8月28日相應(yīng)的自由度為：相應(yīng)均方為：

第十三頁，共七十頁，2022年，8月28日9.2.3均方期望與統(tǒng)計量F的確定第十四頁，共七十頁，2022年，8月28日第十五頁，共七十頁，2022年，8月28日9.2.4平方和的簡易計算方法將(9.9)~(9.11)變形得：其中為校正項，用C表示。誤差平方和是通過計算重復(fù)間平方和得到的。(9.13)可以改寫為：

第十六頁，共七十頁，2022年，8月28日交互作用平方和為：例9.1

第十七頁，共七十頁，2022年，8月28日9.2.5無重復(fù)實驗時的兩因素方差分析觀測值的線性模型：

Σαi=Σβj=0;第十八頁，共七十頁，2022年，8月28日

例9.2第十九頁，共七十頁，2022年，8月28日

9.2.6交互作用的判斷(Tukey,1949)將殘余項平方和(SST-SSA-SSB)分解為具有1自由度的非累加（交互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的誤差成分：例9.3第二十頁，共七十頁，2022年，8月28日9.2.7多重比較固定效應(yīng)模型中，如果主效應(yīng)顯著，還應(yīng)該在每一因素（例如A)的各水平的平均數(shù)之間做多重比較，仍然使用Duncan多范圍檢驗；如果交互作用顯著，則將B固定在某一水平，在該特定水平上，比較A因素各水平的平均數(shù)。例如，將例9.1中的A因素固定在第二種原料上，比較不同溫度對產(chǎn)量的影響。將產(chǎn)量依次排序：第二十一頁，共七十頁，2022年，8月28日

如果考慮交互作用的話，就要比較全部ab次處理，才能得出哪些差異是顯著的。這樣比較的結(jié)果不僅包括主效應(yīng)，而且包括交互作用。第二十二頁，共七十頁，2022年，8月28日9.3隨機模型9.3.1線性統(tǒng)計模型隨機模型的線性統(tǒng)計模型如下:

第二十三頁，共七十頁，2022年，8月28日9.3.2均方期望與統(tǒng)計量F的確定

方差分析與固定模型的分析一樣，分別計算出SST，SSA，SSB，SSe。各均方的數(shù)學(xué)期望分別為：

從均方的數(shù)學(xué)期望可以看出，的檢驗統(tǒng)計量是：第二十四頁，共七十頁，2022年，8月28日第二十五頁，共七十頁，2022年，8月28日

隨機分析模型的方差分析表：例9.4第二十六頁，共七十頁，2022年，8月28日9.4混合模型9.4.1線性統(tǒng)計模型

混合模型中，每一觀測值xijk的線性統(tǒng)計模型為：其中αi是固定效應(yīng)，βj是隨機效應(yīng)，交互作用(αβ)ij為隨機效應(yīng)。Σαi=0，βj是服從N(0，)的隨機變量。交互作用效應(yīng)是平均數(shù)為0，方差為正態(tài)隨機變量。因為固定因素的全部交互作用效應(yīng)之和為0，所以在固定因素的某個水平上，交互作用的成分不是獨立的。第二十七頁，共七十頁，2022年，8月28日9.4.2均方期望與統(tǒng)計量F的確定第二十八頁，共七十頁，2022年，8月28日固定因素效應(yīng)的估計為：例9.5第二十九頁，共七十頁，2022年，8月28日在隨機模型和混合模型中，不設(shè)置重復(fù)，同樣會有固定模型中的問題，即因素間的交互作用與實驗誤差無法區(qū)分，全部歸于誤差項。特別是在混和模型中，隨機因素的個水平之間存在的差異，往往檢查不出來，結(jié)果降低了實驗的可靠性。因而，在條件允許的情況下，不論哪種模型，最好都設(shè)置重復(fù)。第三十頁，共七十頁，2022年，8月28日9.5兩個以上因素的方差分析9.5.1平方和與自由度分解的一般規(guī)律將兩種方式分組的方差分析，擴展到一般情況。例如，在一個實驗中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平，假設(shè)每一處理都有n次重復(fù)(n≥2)，那么總觀測次數(shù)為abcn，線性統(tǒng)計模型為：第三十一頁，共七十頁，2022年，8月28日第三十二頁，共七十頁，2022年，8月28日自由度的分解：

dfA=a-1dfB=b-1dfC=c-1dfAB=(a-1)(b-1)dfAC=(a-1)(c-1)dfBC=(b-1)(c-1)dfABC=(a-1)(b-1)(c-1)dfe=abc(n-1)第三十三頁，共七十頁，2022年，8月28日9.5.2均方期望的表格化推演表格法推演均方期望有以下規(guī)定：1.線性統(tǒng)計模型中誤差εijk的下標(biāo)寫為ε(ij)k，括號內(nèi)的下標(biāo)為死下標(biāo)(deadsubscript);括號外的下表為活下標(biāo)(livesubscript)。αi,βi，(αβ)ij中的下標(biāo)都為活下標(biāo)；2.固定模型中各因素的效應(yīng)分別用該模型分量的平方和除以自由度表示；3.隨機模型中各因素的效應(yīng)分別用以希臘字母為下標(biāo)的方差表示；4.混合模型中，交互作用的兩個因素只要有一個是隨機的，則交互作用是隨機的，其方差分量記為σ2αβ；5.不論哪種模型，誤差的方差一律極為σ2.第三十四頁，共七十頁，2022年，8月28日以固定模型為例，說明推演步驟：第三十五頁，共七十頁，2022年，8月28日第三十六頁，共七十頁，2022年，8月28日9.5.3統(tǒng)計量F的確定一般規(guī)律：為了得到檢驗?zāi)硞€因素或某個交互作用的統(tǒng)計量，在計算F時分子均方的組成比分母均方的組成僅多出欲檢驗的分量(固定因素)或方差分量(隨機因素)，除此之外的其他成分應(yīng)完全相同。以三因素交叉分組實驗的方差分析為例，說明檢驗統(tǒng)計量的確定。線性統(tǒng)計模型為：第三十七頁，共七十頁，2022年，8月28日設(shè)A、C為固定因素，B為隨機因素，構(gòu)成混合模型，各均方期望由下表給出第三十八頁，共七十頁，2022年，8月28日交互作用的檢驗統(tǒng)計量分別為：三個主效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量分別為：第三十九頁，共七十頁，2022年，8月28日9.6缺失數(shù)據(jù)的估計實驗過程中，由于意外原因，使全部數(shù)據(jù)中的一個或兩個缺失，又沒有重做實驗的可能性，可以采用補救。補救原則：補上缺失的數(shù)據(jù)以后，所得到的誤差平方和最小。第四十頁，共七十頁，2022年，8月28日9.6.1缺失一個數(shù)據(jù)設(shè)表9-13中x23是缺失的第四十一頁，共七十頁，2022年，8月28日

為了使SSe達到最小，令，則可以計算出x=2159.6.2缺失兩個數(shù)據(jù)

設(shè)表9-14中缺失x23和x42，分別稱為x和y。

第四十二頁，共七十頁，2022年，8月28日方程的解，即為x和y的值從而，x=213.55,y=366.05第四十三頁，共七十頁，2022年，8月28日9.6.3缺失數(shù)據(jù)資料的方差分析缺失數(shù)據(jù)的估計，可以使計算得以完成，但并不能提供更多的信息。因此，實驗工作一定要認真操作，數(shù)據(jù)要仔細記錄。由于缺失數(shù)據(jù)是估計值，當(dāng)缺失一個數(shù)據(jù)時，總自由度和誤差自由度都相應(yīng)減1，但A、B兩因素各自的自由度不變。同樣，缺失兩個數(shù)據(jù)時，總自由度和誤差自由度都相應(yīng)減2。如果缺失數(shù)據(jù)不是很多，對處理平均數(shù)之間的檢驗影響不大，在缺失數(shù)據(jù)估計出來之后，按照一般方法進行方差分析，只要將總自由度和誤差自由度減去缺失數(shù)據(jù)個數(shù)即可。第四十四頁，共七十頁，2022年，8月28日9.7變換方差分析應(yīng)該滿足三個條件：可加性、正態(tài)性和方差齊性。數(shù)據(jù)變換的目的主要是滿足方差齊性的要求，同時正態(tài)性和可加性都可以得到較好的滿足。9.7.1平方根變換此法適用于各組均方與其平均數(shù)之間有某種比例關(guān)系的資料，尤其適用于總體呈泊松分布的資料。轉(zhuǎn)換的方法是求出原數(shù)據(jù)的平方根。第四十五頁，共七十頁，2022年，8月28日

若原觀測值中有為0的數(shù)或多數(shù)觀測值小于10，則把原數(shù)據(jù)變換成。對于穩(wěn)定均方，使方差符合同質(zhì)性的作用更加明顯。變換也有利于滿足效應(yīng)可加性和正態(tài)性的要求。

9.7.2反正弦變換(arcsinetransformation)

反正弦轉(zhuǎn)換也稱角度轉(zhuǎn)換。此法適用于服從二項分布的資料。轉(zhuǎn)換的方法是求出每個原數(shù)據(jù)平方根的(用百分?jǐn)?shù)或小數(shù)表示)的反正弦，轉(zhuǎn)換后的數(shù)值是角度值。第四十六頁，共七十頁，2022年，8月28日9.7.3對數(shù)變換(logarithmictransformation)

如果各組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的平方大體成比例，或者效應(yīng)為相乘性或非相加性，則將原數(shù)據(jù)變換為對數(shù)(lgx)后，可以使方差變成比較一致而且使效應(yīng)由相乘性變成相加性。如果原數(shù)據(jù)包括有0，可以采用lg(x+1)變換的方法。第四十七頁，共七十頁，2022年，8月28日謝謝第四十八頁，共七十頁，2022年，8月28日例9.1為了從3中不同原料和3中不同發(fā)酵溫度中，選出最適宜的條件，設(shè)計了一個兩因素試驗，并得到表9-3(P125)。在這個實驗中，溫度和原料均為固定因素。每一處理有4次重復(fù)。將表中的每一位數(shù)字減去30，列成表9-4.1。第四十九頁，共七十頁，2022年，8月28日利用xij.列，列成表9-4.2。由表9-4.1可以計算出第五十頁，共七十頁，2022年，8月28日

由表9-4.2可以計算出第五十一頁，共七十頁，2022年，8月28日

列成方差分析表原料和溫度在α=0.01水平上拒絕H0，交互作用在α=0.05水平上拒絕H0。因此，酒精的產(chǎn)量，不僅與原料及發(fā)酵溫度有關(guān)，而且與兩者的交互作用有關(guān)。第五十二頁，共七十頁，2022年，8月28日圖9-2為原料與溫度的交互作用，可以明顯看出3條折線的非平行關(guān)系。在30oC時，原料2的產(chǎn)量高于原料3，而當(dāng)35oC時原料2的產(chǎn)量反而低于原料3。因此，在選擇因素的最優(yōu)水平時，一定要考慮交互作用的影響。

第五十三頁，共七十頁，2022年，8月28日由于存在交互作用，在固定模型中，每一處理都應(yīng)設(shè)置重復(fù)。重復(fù)之間的平方和為誤差平方和。有了誤差平方和，才能把交互作用從總平方和中分解出來。如果不設(shè)重復(fù)，所得到的殘余項平方和，包括由誤差及交互作用兩部分所引起的平方和，σ2和η2αβ混雜在一起無法分開。因此在因素間存在交互作用時，不設(shè)重復(fù)是無意義的?！谖迨捻?，共七十頁，2022年，8月28日F1，8，0.05=5.32，F(xiàn)<F0.05。因此，沒有充分根據(jù)說明數(shù)據(jù)見存在交互作用。

▲第五十五頁，共七十頁，2022年，8月28日例9.2題目及相關(guān)數(shù)據(jù)見P127

解密度和施肥量都是固定因素。根據(jù)經(jīng)驗，密度與施肥量之間不存在交互作用。將表9-6中每個xij減去700，列成表9-7。第五十六頁，共七十頁，2022年，8月28日第五十七頁，共七十頁，2022年，8月28日結(jié)論是，密度間的產(chǎn)量差異在α=0.05水平上顯著；施肥量之間的差異在α=0.01的水平上顯著。再經(jīng)過多重比較，便可以從選定的水平中選出最佳密度和最佳施肥量?！谖迨隧?，共七十頁，2022年，8月28日例9.3判斷例9.2中密度與施肥量是否存在交互作用。解根據(jù)表9-7中的數(shù)據(jù)，得代入9.23式，得

第五十九頁，共七十頁，2022年，8月28日F1，8，0.05=5.32，F(xiàn)<F0.05，所以，沒有充分根據(jù)說明數(shù)據(jù)間存在交互作用。

▲第六十頁，共七十頁，2022年，8月28日

例9.4為了研究施用不同數(shù)量的農(nóng)家肥及不同農(nóng)工的田間管理對作物產(chǎn)量的影響,設(shè)計了一個兩因素實驗,實驗結(jié)果如下:第六十一頁，共七十頁，2022年，8月28日

解將表中每個數(shù)據(jù)減去9.5，列成表9-9.1：第六十二頁，共七十頁，2022年，8月28日

利