人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件 空間直角坐標(biāo)系

1.3.1空間直角坐標(biāo)系1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示第一章1.3人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件RENJIAOBANXINJIAOCAIGAOZHONGSHUXUEYOUZHIKEJIAN普通高中教科書內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,了解空間直角坐標(biāo)系,感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性.2.會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示.4.掌握空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示.5.借助空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式.6.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、空間直角坐標(biāo)系【問題思考】1.回憶我們以前學(xué)過的平面直角坐標(biāo)系和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,思考下列問題:(1)平面直角坐標(biāo)系是由什么組成的?類比平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成,你能得出空間直角坐標(biāo)系是由什么組成的嗎?提示:平面直角坐標(biāo)系是由平面內(nèi)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸組成的.空間直角坐標(biāo)系是由空間中三條兩兩垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸組成的.(2)在平面向量中,根據(jù)單位正交基底,我們是怎樣建立平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的?提示:在平面內(nèi)選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j},以O(shè)為原點(diǎn),分別以i,j的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立兩條數(shù)軸:x軸、y軸,這樣我們就建立了平面直角坐標(biāo)系.(3)類似平面向量中直角坐標(biāo)系的建立,我們怎樣建立空間直角坐標(biāo)系呢?提示:在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k}.以O(shè)為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,這樣我們就建立了空間直角坐標(biāo)系.2.填空:空間直角坐標(biāo)系(1)定義:在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k}.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以

i,j,k

的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz

,O叫做原點(diǎn),

i,j,k

都叫做坐標(biāo)向量,通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為

Oxy

平面,

Oyz

平面,

Ozx

平面,它們把空間分成八個(gè)部分.(2)畫法:畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135°(或45°),

∠yOz=90°.(3)右手直角坐標(biāo)系:在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.(5)空間向量的坐標(biāo):在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作

=a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),上式可簡記作a=(x,y,z).答案:(1)(1,1,0)

(1,1,1)

(2)(1,0,1)

(0,1,1)

(3)(0,0,1)

(0,1,0)3.做一做:如圖,在棱長為1的正方體中,寫出下列各點(diǎn)和向量的坐標(biāo):(1)B

,B'

;

二、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【問題思考】1.對于空間的一個(gè)單位正交基底{i,j,k},有i·i=j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k=0.設(shè)兩個(gè)非零的空間向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),類比平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示回答下列問題:(1)如何表示a+b,a-b,λa(λ∈R)?提示:a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3).(2)如何根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律推導(dǎo)a·b的坐標(biāo)表示?提示:a=(a1,a2,a3)=a1i+a2j+a3k,b=(b1,b2,b3)=b1i+b2j+b3k,所以a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)

=a1b1i2+a2b2j2+a3b3k2+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1j·i+a2b3j·k+a3b1k·i+a3b2k·j=a1b1+a2b2+a3b3.2.填表:設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

3.做一做:(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)C.a·b=10 D.|a|=6(2)與向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量為(

)A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5)解析:(1)易驗(yàn)證A,B,C均不正確;(2)只有C選項(xiàng)中向量與a,b的數(shù)量積都為0.答案:(1)D

(2)C三、空間兩點(diǎn)間的距離公式【問題思考】1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),根據(jù)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示回答下列問題:2.填空:設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),則

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.合作探究釋疑解惑探究一空間點(diǎn)、向量的坐標(biāo)表示【例1】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點(diǎn),試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求:(1)點(diǎn)B,C1,B1,M,N的坐標(biāo);所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,1,0).同理,點(diǎn)C1的坐標(biāo)是(0,0,2).點(diǎn)B1在x軸、y軸、z軸上的射影分別為C,B,C1,它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為0,1,2,所以點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(0,1,2).反思感悟1.建立空間直角坐標(biāo)系,必須牢牢抓住相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線,要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線,因此要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系,即線線垂直、線面垂直、面面垂直,要使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,盡可能多的線段平行于坐標(biāo)軸,有直角的把直角邊放在坐標(biāo)軸上.2.求空間點(diǎn)、向量的坐標(biāo)的一般步驟(1)建系:根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系;(2)運(yùn)算:找出點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影的坐標(biāo);綜合利用向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表示向量;(3)定結(jié)果:根據(jù)射影坐標(biāo)寫出點(diǎn)的坐標(biāo);將所求向量用已知的基向量表示出來確定坐標(biāo).【變式訓(xùn)練1】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱BB1,DC的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo);解:(1)設(shè)x軸、y軸、z軸的單位向量分別為i,j,k.因?yàn)檎襟w的棱長為2,因?yàn)镈(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).

探究二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q);(4)cos<p,q>.分析:先由點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得到向量p,q的坐標(biāo),然后再進(jìn)行各種運(yùn)算.解:因?yàn)锳(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15).(3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26.反思感悟1.一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).2.空間向量進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律是首先進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算,再進(jìn)行加法、減法運(yùn)算,最后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算,先算括號里,后算括號外.【變式訓(xùn)練2】

已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求:(1)a+b;(2)a-b;(3)a·b;(4)2a·(-b);(5)(a+b)·(a-b).解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).(2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6).(3)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7.(4)∵2a=(4,-2,-4),∴(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14.(5)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+4-(0+1+16)=-8.探究三利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,1.若把本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,則結(jié)果又是什么?2.本例中若G是A1D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xDy上,且GH∥BD1,試判斷點(diǎn)H的位置.反思感悟向量平行與垂直問題的兩種類型(1)平行與垂直的判斷.①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行,只需判斷兩直線的方向向量是否共線.②判斷兩直線是否垂直,關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直,即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用.①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb,其中λ∈R),建立關(guān)于參數(shù)的方程.②選擇坐標(biāo)表示,以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.【變式訓(xùn)練3】

已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,DC的中點(diǎn),求證:(1)AE⊥D1F;(2)AE⊥平面A1D1F.證明:設(shè)正方體的棱長為1,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,由(1)知AE⊥D1F.∵D1A1∩D1F=D1,D1A1,D1F?平面A1D1F,∴AE⊥平面A1D1F.探究四利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、距離問題【例4】

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱CD上,且CG=

CD,H是C1G的中點(diǎn).利用空間向量解決下列問題:(1)求EF與C1G所成角的余弦值;(2)求F,H兩點(diǎn)間的距離.分析:建系Dxyz→得各點(diǎn)的坐標(biāo)→數(shù)量積運(yùn)算→夾角、長度公式→幾何結(jié)論反思感悟運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題的一般步驟:(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求坐標(biāo):①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);②寫出向量的坐標(biāo);(3)論證、計(jì)算:結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算;(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.【變式訓(xùn)練4】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求:(1)BN的長;(2)A1B與B1C所成角的余弦值.解:以C為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

(1)由題意得B(0,1,0),N(1,0,1),【易錯(cuò)辨析】

轉(zhuǎn)化不等價(jià)致誤【典例】

已知向量a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是(

)錯(cuò)解:因?yàn)閍與b的夾角為鈍角,所以a·b=3×(-1)+(-2)(x-1)+(-3)×1<0,解得x>-2,所以x的取值范圍是(-2,+∞).答案:A以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:空間向量a,b的夾角為鈍角與a·b<0并不等價(jià),a·b<0中包含著<a,b>=180°的情形.<a,b>=180°的情形,可利用a=λb(λ<0),也可利用a·b=-|a||b|,即cos<a,b>=-1求得.同樣a·b>0也包含著<a,b>=0°的情形.解題時(shí)應(yīng)把這種情況剔除.正解:因?yàn)閍與b的夾角為鈍角,所以a·b<0,且<a,b>≠180°.由a·b<0,得(3,-2,-3)·(-1,x-1,1)=3×(-1)+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0,解得x>-2.若a與b的夾角為180°,則存在λ<0,使b=λa,即(-1,x-1,1)=λ(3,-2,-3).答案:B

防范措施1.對題目中的條件要認(rèn)真分析,找出一些隱含或限制條件,對題目條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,對于公式中的特殊情形要記清,不要漏掉;2.此類題目中夾角為鈍角要在a·b<0中剔除夾角為180°的情況,夾角為銳角要在a·b>0中剔除夾角為0°的情況.隨堂練習(xí)1.點(diǎn)A(-1,2,1)在x軸上的射影和在xOy平面上的射影的坐標(biāo)分別為(

)A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:點(diǎn)A在x軸上的射影的橫坐標(biāo)不變,縱、豎坐標(biāo)都為0,在xOy平面上的射影橫、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)為0,故應(yīng)選B.答案:B2.已知向量a=