第5章-數(shù)值積分-計(jì)算方法-《代碼優(yōu)化》課件

第5章數(shù)值積分§1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式§2復(fù)合求積公式§3龍貝格(Romberg)積分方法第5章數(shù)值積分§1牛頓―柯特斯(Newton

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式

在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原?函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式

(5―1)

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式來(lái)求定積分。公式(5―1)雖然在理論上或在解決實(shí)際問(wèn)題中都起了很大的作用,?但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問(wèn)題。因?yàn)槎ǚe分的計(jì)算常常會(huì)碰到以下三種?情況:(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡(jiǎn)單的函?數(shù),例如等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。來(lái)求定積分。公式(5―1)雖然在理論(2)被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表?示,無(wú)法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。例如定?積分的被積函數(shù)的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計(jì)算角度來(lái)?看,計(jì)算量太大。

(2)被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式

同樣可得到右矩形公式(5―2)(5―3)如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊圖5.1圖5.1如圖5.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計(jì)算定積分?的梯形公式(5―4)如圖5.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(?或辛普生公式)(5―5)如圖5.2,若用梯形的面積近似地代圖5.2圖5.3圖5.2圖5.31.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個(gè)既簡(jiǎn)單又有足夠精度的函數(shù)φ(x),?用φ(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有現(xiàn)用第四章介紹的插值多項(xiàng)式Pn(x)來(lái)代替被積函數(shù)f(x),即有

取基點(diǎn)為等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b

1.1牛頓―柯特斯(Newto利用拉格朗日插值多項(xiàng)式(5―6)其中(5―7)利用拉格朗日插值多項(xiàng)式(5―6)其中(5―7這里yi=f(xi),對(duì)式(5―6)兩邊積分得這里yi=f(xi),對(duì)式(5―6)兩邊積分得為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f)為牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)。令x=x0+sh,0≤s≤n(5―8)(5―9)(5―10)我們稱為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f(5―11)(5―11)稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。很顯然,當(dāng)n=1時(shí),可算得此時(shí)式(5―10)為(5―12)稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。此時(shí)式(5―10這是梯形公式。當(dāng)n=2時(shí),可得于是(5―13)這是梯形公式。于是(5―13)這是拋物線公式。當(dāng)n=3時(shí),這是拋物線公式。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)類似地可分別求出n=4,5,…時(shí)的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果見(jiàn)表5―1。從表中可以看出,當(dāng)n≤7時(shí),柯特斯系數(shù)為正;從n≥8開始,柯特斯系數(shù)有正有負(fù)。因此,當(dāng)n≥8時(shí),誤差有可能傳播擴(kuò)大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)柯特斯系數(shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān),且滿足(5―15)事實(shí)上,式(5―10)對(duì)f(x)=1是準(zhǔn)確成立的?？绿厮瓜禂?shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),例1試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積分解利用梯形公式利用拋物線公式例1試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積原積分的準(zhǔn)確值原積分的準(zhǔn)確值表5―1表5―11.2誤差估計(jì)現(xiàn)對(duì)牛頓―柯特斯求積公式所產(chǎn)生的誤差作一個(gè)分析。由式(5―9),牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)為易知,牛頓―柯特斯求積公式(5―10)對(duì)任何不高于n次的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。這是因?yàn)閒(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡01.2誤差估計(jì)一般說(shuō)來(lái),若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立(即Rn(f)≡0),而對(duì)于某一次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立(即Rn(f)0),則稱這一求積公式的代數(shù)精確度為m。

牛頓―柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n。通常在基點(diǎn)個(gè)數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。定理1(梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式的誤差為

一般說(shuō)來(lái),若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高由于ω1(x)=(x-a)(x-b)

證由式(5―9)知,梯形公式的余項(xiàng)為(5―16)由于證由式(5―9)知,梯形公式的余項(xiàng)為(在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(ξ)是x的函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理參見(jiàn)有關(guān)《數(shù)學(xué)分析》教材中“一元函數(shù)積分學(xué)第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(定理2(拋物線公式的誤差)設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則拋物線公式的誤差為(5―17)證由式(5―9)知定理2(拋物線公式的誤差)設(shè)f(§2復(fù)合求積公式2.1復(fù)合梯形公式對(duì)于定積分(5―1),將積分區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［xi,xi+1］,這里步長(zhǎng)在每一個(gè)子區(qū)間［xi,xi+1］上使用梯形公式,則§2復(fù)合求積公式2.1復(fù)合梯相加后得(5―18)(5―19)若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得相加后得(5―18)(5―19)因而于是得到復(fù)合梯形公式(5―21)其余項(xiàng)為因而于是得到復(fù)合梯形公式(5―21)其余例2若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分問(wèn)積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字解由余項(xiàng)(5―21)式則當(dāng)0＜x＜1時(shí),有因?yàn)橛止世?若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分則當(dāng)由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足兩邊取對(duì)數(shù)得整理后得到由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此2.2復(fù)合拋物線公式類似復(fù)合梯形公式的做法,把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),設(shè)每個(gè)子區(qū)間上的中點(diǎn)為x2i+1(i=0,1,…,n-1),且

在每一個(gè)子區(qū)間［x2i,x2i+2］上利用拋物線公式得(5―22)2.2復(fù)合拋物線公式(5―22)相加后得(5―23)相加后得(5―23)圖5.4圖5.4圖5.4圖5.4若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則從而得到復(fù)合拋物線公式(5―24)若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則其余項(xiàng)為(5―25)復(fù)合拋物線公式的計(jì)算框圖見(jiàn)5.4。例3根據(jù)給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表5―2,分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計(jì)算其余項(xiàng)為(5―25)復(fù)合拋物線公式的計(jì)算框圖見(jiàn)表5―2表5―2解用復(fù)合梯形公式,這里解用復(fù)合梯形公式,這里用復(fù)合拋物線公式可得而I的準(zhǔn)確值為0.9460831…,可見(jiàn)用復(fù)合拋物線公式比用復(fù)合梯形公式精確。用復(fù)合拋物線公式可得而I的準(zhǔn)確2.3變步長(zhǎng)公式前面介紹的復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式的步長(zhǎng)都是預(yù)先確定的。它的主要缺點(diǎn)是事先很難估計(jì)出n的大小(或步長(zhǎng)h的大小),使結(jié)果達(dá)到預(yù)先給定的精度。在實(shí)際計(jì)算中,我們常常借助于計(jì)算機(jī)來(lái)完成積分步長(zhǎng)h的自動(dòng)選擇,即采用變步長(zhǎng)求積公式。具體地講,就是將步長(zhǎng)逐次折半,反復(fù)利用復(fù)合求積公式,直到滿足精度要求為止。2.3變步長(zhǎng)公式下面介紹變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式(變步長(zhǎng)復(fù)合梯形公式留給讀者作為練習(xí))。逐次將區(qū)間［a,b］分成21,22,…,2m等分,并按復(fù)合拋物線公式逐次計(jì)算積分得到S1,S2,…,Sm,而(5―26)其中再把每個(gè)子區(qū)間分成兩半,用下面介紹變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式(變步長(zhǎng)圖5.5圖5.5圖5.5圖5.5作步長(zhǎng),按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的近似值S2m。對(duì)于相鄰兩次的積分近似值Sm、S2m,考察當(dāng)｜S2m｜＜1當(dāng)｜S2m｜≥1(5―27)設(shè)預(yù)先給定的精度為ε,若｜d｜＜ε則以S2m作為所要求的積分近似值,否則繼續(xù)將區(qū)間分半,利用復(fù)合拋物線公式求積分,直到滿足預(yù)給的精度為止。作步長(zhǎng),按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的§3龍貝格(Romberg)積分方法我們已經(jīng)知道,當(dāng)被積函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)時(shí),要使得復(fù)合梯形公式或復(fù)合拋物線公式比較精確地代替定積分可將分點(diǎn)(即基點(diǎn))加密,也就是將區(qū)間［a,b］細(xì)分,然后利用復(fù)合梯形公式或復(fù)合拋物線公式求積?！?龍貝格(Romberg)積分方法若用Tm表示把［a,b］作m等分并按復(fù)合梯形公式求積的結(jié)果,將每一小段再對(duì)分,令新的小段的長(zhǎng)h′=h/2,則T2m與Tm之間有如下關(guān)系:(5―28)其中若用Tm表示把［a,b］作m等分并按另外,若用Sm表示把［a,b］分成m(偶數(shù))個(gè)小段按復(fù)合拋物線公式計(jì)算的結(jié)果,那么只要把Sm中的m改為2m,h改為h′就有從Tm的定義可得到關(guān)系式(5―29)另外,若用Sm表示把［a,b］分成m我們?cè)倥e一個(gè)計(jì)算上半單位圓面積的例子(它的準(zhǔn)確面積為π/2)。現(xiàn)用內(nèi)接正多邊形的逼近方法來(lái)計(jì)算。如圖5.6,圖(a)、圖(b)是用同樣的內(nèi)接正多邊形計(jì)算上半單位圓的面積。圖(a)是用梯形方法計(jì)算其面積,圖(b)是用三角形方法計(jì)算其面積。我們?cè)倥e一個(gè)計(jì)算上半單位圓面積的例子圖5.6圖5.6設(shè)正多邊形邊數(shù)為n=2k,則由圖(b)利用三角形公式算得面積為同理設(shè)正多邊形邊數(shù)為n=2k,則由圖(b如果組合一下,就會(huì)得到更精確的結(jié)果,即同理如果組合一下,就會(huì)得到更精確的結(jié)果,再以類似方法組合得這樣繼續(xù)下去,其值越來(lái)越接近上半單位圓面積π/2。這種方法可以用到計(jì)算定積分再以類似方法組合得這樣繼續(xù)下為了推廣公式(5―29)和上述計(jì)算上半單位圓面積的組合方法,我們引進(jìn)龍貝格求積算法。龍貝格求積算法本來(lái)是利用所謂外推法構(gòu)造出的一種計(jì)算積分的方法。為了避免從外推引入而帶來(lái)理論上的麻煩,我們將直接從構(gòu)造一個(gè)T數(shù)表開始。首先將［a,b］依次作20,21,22,…等分,記為了推廣公式(5―29)和上述計(jì)算上按復(fù)合梯形公式(5―20)算得的值相應(yīng)地記為T(k)0(k=0,1,2,…);把按式(5―29)算得的S2m依次記為T(k)1(k=0,1,2,崐…),而這每一個(gè)S2m又理解為由T2m與Tm的線性組合得到的改進(jìn)值,即我們可按照類似的方法繼續(xù)進(jìn)行改進(jìn),也即由S2m與Sm的線性組合得到改進(jìn)值,依次記為T(k)2(k=0,1,2,…),即

按復(fù)合梯形公式(5―20)算得的值這樣就可構(gòu)造出一個(gè)數(shù)表(5-30)這樣就可構(gòu)造出一個(gè)數(shù)表(5-30)其中除第0列(即最左一列)的T(k)0是按復(fù)合梯形公式計(jì)算外,其余各列都按下述規(guī)則(對(duì)m)(5―31)遞推地計(jì)算出來(lái)。箭頭表示計(jì)算流程。其計(jì)算步驟為:(1)將區(qū)間［a,b］等分為20,用梯形公式計(jì)算T(0)0,即其中除第0列(即最左一列)的T(k)(2)將區(qū)間［a,b］等分為21,用梯形公式算出T(1)0,即再由T(0)0,T(1)0根據(jù)公式(5―31)算出T(0)1,即若｜T(0)1-T(0)0｜＜ε,(ε為預(yù)給的精度)則停止計(jì)算;否則繼續(xù)往下計(jì)算;(2)將區(qū)間［a,b］等分為21,用梯形公(3)依次分別算出T(2)0,T(1)1,T(0)2,…,這一行地往下推算,每一行算完,就得驗(yàn)證T(0)m(m=1,2,…)是否滿足預(yù)給的精度,即若則停止計(jì)算;否則繼續(xù)進(jìn)行下一行。為了便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),可運(yùn)用下列公式編制程序:(3)依次分別算出T(2)0,T(1第5章--數(shù)值積分-計(jì)算方法-《代碼優(yōu)化》課件圖5.7圖5.7圖5.7圖5.7例4計(jì)算積分精確到10-4。解例4計(jì)算積分精確到10-4。第5章--數(shù)值積分-計(jì)算方法-《代碼優(yōu)化》課件第5章--數(shù)值積分-計(jì)算方法-《代碼優(yōu)化》課件第5章--數(shù)值積分-計(jì)算方法-《代碼優(yōu)化》課件于是由于實(shí)際上于是由于實(shí)際上第5章數(shù)值積分§1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式§2復(fù)合求積公式§3龍貝格(Romberg)積分方法第5章數(shù)值積分§1牛頓―柯特斯(Newton

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式

在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原?函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式

(5―1)

1.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式來(lái)求定積分。公式(5―1)雖然在理論上或在解決實(shí)際問(wèn)題中都起了很大的作用,?但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問(wèn)題。因?yàn)槎ǚe分的計(jì)算常常會(huì)碰到以下三種?情況:(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡(jiǎn)單的函?數(shù),例如等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。來(lái)求定積分。公式(5―1)雖然在理論(2)被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表?示,無(wú)法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。例如定?積分的被積函數(shù)的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計(jì)算角度來(lái)?看,計(jì)算量太大。

(2)被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式

同樣可得到右矩形公式(5―2)(5―3)如圖5.1,若用?左矩形近似地代替曲邊圖5.1圖5.1如圖5.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計(jì)算定積分?的梯形公式(5―4)如圖5.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(?或辛普生公式)(5―5)如圖5.2,若用梯形的面積近似地代圖5.2圖5.3圖5.2圖5.31.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個(gè)既簡(jiǎn)單又有足夠精度的函數(shù)φ(x),?用φ(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有現(xiàn)用第四章介紹的插值多項(xiàng)式Pn(x)來(lái)代替被積函數(shù)f(x),即有

取基點(diǎn)為等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b

1.1牛頓―柯特斯(Newto利用拉格朗日插值多項(xiàng)式(5―6)其中(5―7)利用拉格朗日插值多項(xiàng)式(5―6)其中(5―7這里yi=f(xi),對(duì)式(5―6)兩邊積分得這里yi=f(xi),對(duì)式(5―6)兩邊積分得為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f)為牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)。令x=x0+sh,0≤s≤n(5―8)(5―9)(5―10)我們稱為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f(5―11)(5―11)稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。很顯然,當(dāng)n=1時(shí),可算得此時(shí)式(5―10)為(5―12)稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。此時(shí)式(5―10這是梯形公式。當(dāng)n=2時(shí),可得于是(5―13)這是梯形公式。于是(5―13)這是拋物線公式。當(dāng)n=3時(shí),這是拋物線公式。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)類似地可分別求出n=4,5,…時(shí)的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果見(jiàn)表5―1。從表中可以看出,當(dāng)n≤7時(shí),柯特斯系數(shù)為正;從n≥8開始,柯特斯系數(shù)有正有負(fù)。因此,當(dāng)n≥8時(shí),誤差有可能傳播擴(kuò)大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用。代入(5―10)式得到求積公式(5―14)柯特斯系數(shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān),且滿足(5―15)事實(shí)上,式(5―10)對(duì)f(x)=1是準(zhǔn)確成立的。柯特斯系數(shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),例1試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積分解利用梯形公式利用拋物線公式例1試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積原積分的準(zhǔn)確值原積分的準(zhǔn)確值表5―1表5―11.2誤差估計(jì)現(xiàn)對(duì)牛頓―柯特斯求積公式所產(chǎn)生的誤差作一個(gè)分析。由式(5―9),牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)為易知,牛頓―柯特斯求積公式(5―10)對(duì)任何不高于n次的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。這是因?yàn)閒(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡01.2誤差估計(jì)一般說(shuō)來(lái),若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立(即Rn(f)≡0),而對(duì)于某一次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立(即Rn(f)0),則稱這一求積公式的代數(shù)精確度為m。

牛頓―柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n。通常在基點(diǎn)個(gè)數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。定理1(梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式的誤差為

一般說(shuō)來(lái),若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高由于ω1(x)=(x-a)(x-b)

證由式(5―9)知,梯形公式的余項(xiàng)為(5―16)由于證由式(5―9)知,梯形公式的余項(xiàng)為(在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(ξ)是x的函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理參見(jiàn)有關(guān)《數(shù)學(xué)分析》教材中“一元函數(shù)積分學(xué)第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(定理2(拋物線公式的誤差)設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則拋物線公式的誤差為(5―17)證由式(5―9)知定理2(拋物線公式的誤差)設(shè)f(§2復(fù)合求積公式2.1復(fù)合梯形公式對(duì)于定積分(5―1),將積分區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［xi,xi+1］,這里步長(zhǎng)在每一個(gè)子區(qū)間［xi,xi+1］上使用梯形公式,則§2復(fù)合求積公式2.1復(fù)合梯相加后得(5―18)(5―19)若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得相加后得(5―18)(5―19)因而于是得到復(fù)合梯形公式(5―21)其余項(xiàng)為因而于是得到復(fù)合梯形公式(5―21)其余例2若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分問(wèn)積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字解由余項(xiàng)(5―21)式則當(dāng)0＜x＜1時(shí),有因?yàn)橛止世?若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分則當(dāng)由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足兩邊取對(duì)數(shù)得整理后得到由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此2.2復(fù)合拋物線公式類似復(fù)合梯形公式的做法,把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),設(shè)每個(gè)子區(qū)間上的中點(diǎn)為x2i+1(i=0,1,…,n-1),且

在每一個(gè)子區(qū)間［x2i,x2i+2］上利用拋物線公式得(5―22)2.2復(fù)合拋物線公式(5―22)相加后得(5―23)相加后得(5―23)圖5.4圖5.4圖5.4圖5.4若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則從而得到復(fù)合拋物線公式(5―24)若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則其余項(xiàng)為(5―25)復(fù)合拋物線公式的計(jì)算框圖見(jiàn)5.4。例3根據(jù)給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表5―2,分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計(jì)算其余項(xiàng)為(5―25)復(fù)合拋物線公式的計(jì)算框圖見(jiàn)表5―2表5―2解用復(fù)合梯形公式,這里解用復(fù)合梯形公式,這里用復(fù)合拋物線公式可得而I的準(zhǔn)確值為0.9460831…,可見(jiàn)用復(fù)合拋物線公式比用復(fù)合梯形公式精確。用復(fù)合拋物線公式可得而I的準(zhǔn)確2.3變步長(zhǎng)公式前面介紹的復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式的步長(zhǎng)都是預(yù)先確定的。它的主要缺點(diǎn)是事先很難估計(jì)出n的大小(或步長(zhǎng)h的大小),使結(jié)果達(dá)到預(yù)先給定的精度。在實(shí)際計(jì)算中,我們常常借助于計(jì)算機(jī)來(lái)完成積分步長(zhǎng)h的自動(dòng)選擇,即采用變步長(zhǎng)求積公式。具體地講,就是將步長(zhǎng)逐次折半,反復(fù)利用復(fù)合求積公式,直到滿足精度要求為止。2.3變步長(zhǎng)公式下面介紹變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式(變步長(zhǎng)復(fù)合梯形公式留給讀者作為練習(xí))。逐次將區(qū)間［a,b］分成21,22,…,2m等分,并按復(fù)合拋物線公式逐次計(jì)算積分得到S1,S2,…,Sm,而(5―26)其中再把每個(gè)子區(qū)間分成兩半,用下面介紹變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式(變步長(zhǎng)圖5.5圖5.5圖5.5圖5.5作步長(zhǎng),按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的近似值S2m。對(duì)于相鄰兩次的積分近似值Sm、S2m,考察當(dāng)｜S2m｜＜1當(dāng)｜S2m｜≥1(5―27)設(shè)預(yù)先給定的精度為ε,若｜d｜＜ε則以S2m作為所要求的積分近似值,否則繼續(xù)將區(qū)間分半,利用復(fù)合拋物線公式求積分,直到滿足預(yù)給的精度為止。作步長(zhǎng),按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的§3龍貝格(Romberg)積分方法我們已經(jīng)知道,當(dāng)被積函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)時(shí),要使得復(fù)合梯形公式或復(fù)合拋物線公式比較精確地代替定積分可將分點(diǎn)(即基點(diǎn))加密,也就是將區(qū)間［a,b］細(xì)分,然后利用復(fù)合梯形公式或復(fù)合拋物線公式求積。§3龍貝格(Romberg)積分方法若用Tm表示把［a,b］作m等分并按復(fù)合梯形公式求積的結(jié)果,將每一小段再對(duì)分,令新的小段的長(zhǎng)h′=h/2,則T2m與Tm之間有如下關(guān)系:(5―28)其中若用Tm表示把［a,b］作m等分并按另外,若用Sm表示把［a,b］分成m(偶數(shù))個(gè)小段按復(fù)合拋物線公式計(jì)算的結(jié)果,那么只要把Sm中的m改為2m,h改為h′就有從Tm的定義可得到關(guān)系式(5―29)另外,若用Sm表示把［a,b］分成m我們?cè)倥e一個(gè)計(jì)算上半單位圓面積的例子(它的準(zhǔn)確面積為π/2)?，F(xiàn)用內(nèi)接正多邊形的逼近方法來(lái)計(jì)算。如圖5.6,圖(a)、圖(b)是用同樣的內(nèi)接正多邊形計(jì)算上半單位圓的面積。圖(a)是用梯形方法計(jì)算其面積,圖(b)是用三角形方法計(jì)算其面積。我們?cè)倥e一個(gè)計(jì)算上半單位圓面積的例子圖5.6圖5.6設(shè)正多邊形邊數(shù)為n=2k,則由圖(b)利用三角形公式算得面積為同理