2023屆北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則A∩B=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解出集合A,再進行A∩B.【詳解】解：∵A={x|﹣1<x<1}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0}.故選：D.【點睛】集合的交并運算：(1)離散型的數(shù)集用韋恩圖；(2)連續(xù)型的數(shù)集用數(shù)軸．2．已知向量，且，則（

）A． B． C．6 D．8【答案】C【分析】由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得m的值．【詳解】解：∵向量，，則m=6，故選：C.【點睛】方法點睛：判斷向量垂直或平行的方法：（1）若，則；（2）若，則.3．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系可以求出的值且，再利用即可求解.【詳解】由得，因為，所以，所以，所以，故選：A4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義及判斷方法判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)是偶函數(shù)，在遞減，不合題意；故A錯誤，對于B，函數(shù)是偶函數(shù)，在遞增，合題意；故B正確，對于C，函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合題意；故C錯誤，對于D，函數(shù)在不是單調(diào)遞增，不符合題意；故D錯誤.故選：B.5．函數(shù)的零點一定位于區(qū)間A．（1,2） B．（2,3） C．（3,4） D．（4,5）【答案】B【詳解】試題分析：因為，，所以，根據(jù)根的存在性定理可知，函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi).【解析】零點存在性定理.6．已知a，3，b，9，c成等比數(shù)列，且，則等于（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出.【詳解】a，3，b，9，c成等比數(shù)列，則，，∴，∴，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)等比數(shù)列與對數(shù)運算的綜合題，涉及到的知識點有等比數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)式運算法則，屬于基礎(chǔ)題目.7．函數(shù)的部分圖象如圖示，則將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由圖像知A="1,",,得，則圖像向右移個單位后得到的圖像解析式為，故選D．8．已知函數(shù)，則下列命題錯誤的是（

）A．該函數(shù)圖象關(guān)于點對稱；B．該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；C．該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；D．將該函數(shù)圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位后與函數(shù)的圖象重合．【答案】C【分析】依題意可得，再根據(jù)函數(shù)的平移變換及反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：把向右，向上分別平移1個單位即可得到的圖象，因為為奇函數(shù)，關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；則將的圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位得到，故D正確由于函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，根據(jù)函數(shù)的圖象的平移可知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故B正確在，上單調(diào)遞減，但在整個定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，故C錯誤故選：C．9．設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時，，此時，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．10．已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由知只要函數(shù)與的圖象在時有交點即可．也即在上有解，分離參數(shù)后求出相應(yīng)函數(shù)的值域即得．【詳解】∵存在非零實數(shù)，使得成立，由把關(guān)于軸對稱后的圖象與有交點，它們都過原點，如圖，，，，即的圖象在原點處切線斜率為1，∴，即．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)方程有解問題，解題時根據(jù)對稱性轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象有交點，由于兩個函數(shù)圖象均過原點，因此求出曲線在原點處切線的斜率，結(jié)合圖形可得解．二、填空題11．函數(shù)的定義域為___________.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，分母不為零可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】由題意得，解得：且，故函數(shù)的定義域是.故答案為：.12．已知向量滿足，則的最大值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)量積公式，可得，分析可得當(dāng)同向共線時，最大，即可得答案.【詳解】因為向量滿足，則.當(dāng)向量同向共線時，，此時取得最大值.故答案為：.13．已知，則的大小關(guān)系是__________．（用“<”號聯(lián)結(jié)）【答案】【分析】將分別與中間量比較大小即可得出間的大小關(guān)系.【詳解】，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故答案為：14．已知直線和是曲線的相鄰的兩條對稱軸，則滿足條件的一個的值是___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)周期求，再根據(jù)函數(shù)的對稱性求.【詳解】由條件可知，得，當(dāng)時，，，得，，當(dāng)時，.故答案為：（答案不唯一）15．定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果，使得，則稱為區(qū)間上的“中值點”，下列函數(shù)：①；②；③；④中，在區(qū)間上“中值點”多于一個的函數(shù)序號為__________．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）【答案】①④【詳解】①∵，，∴，均符合題意．②∵，．∵，∴，∴，不符合題意；③∵，∴，∴不符合題意；④∵，．∴．符合題意．點睛：本題考查了新定義的命題真假的判斷問題，重點是對導(dǎo)數(shù)及其幾何意義的理解與應(yīng)用問題，根據(jù)“中值點”的幾何意義是在區(qū)間[a，b]上存在點，使得函數(shù)在該點的切線的斜率等于區(qū)間[a，b]的兩個端點連線的斜率值．由此定義并結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于四個選項逐一判斷，即得出正確答案．三、解答題16．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n?1.（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進行求解；（Ⅱ）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.

17．已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最小值及此時的取值．【答案】(1)1(2)(3)當(dāng)時，取到最小值【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得，代入運算求值；（2）以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間運算求解；（3）先求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象分析運算.【詳解】（1）∵，∴.（2）∵，則，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）∵，則，∴，即，故當(dāng)，即時，取到最小值.18．在△ABC中，，，再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：；條件②：.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選①，先利用余弦定理列出關(guān)于，，的表達式，然后將及代入，得到關(guān)于的方程，解出，再利用正弦定理解出,則；若選②，由可解出的值，然后可利用求解的值；（2）若選①，根據(jù)（1）的結(jié)果可直接得出的值，然后運用求面積；若選②，根據(jù)（1）的結(jié)果先計算得出的值，然后再聯(lián)立可解出，的值，再運用正弦定理解得，從而得出面積.【詳解】解：選擇條件①：（1）在中，由余弦定理，可得，解得，由正弦定理，所以，因此，在△ABC中，，有.（2）當(dāng)時，，則.選擇條件②：（1）在中，，因為，則，又因為，所以，即.（2）在△ABC中，由正弦定理，又因為，所以，，又，利用正弦定理可解得則.【點睛】在利用正弦定理、余弦定理解三角形時，一般已知兩角和其中一角的對邊或或已知兩邊和其中一邊的對角，可采用正弦定理求解；當(dāng)已知兩邊及其夾角或已知一角及三邊關(guān)系時可采用余弦定理求解.在解答的過程中有時需要用到三角恒等變換的公式，如和差角公式、降冪公式等.19．已知函數(shù)在及時取得極值．(1)求的值；(2)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，可得的兩根為和，再由韋達定理列方程組求解；（2）將條件轉(zhuǎn)化為時，，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，從而求解出，從而可求解出答案.【詳解】（1），由題意，的兩根分別為和，由韋達定理得，，解得經(jīng)檢驗，符合題意所以（2）對于任意的，都有成立，只需當(dāng)時，，由（1）知，，或，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，又，所以函數(shù)在上的最大值為.所以，即的取值范圍為.20．已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線斜率為1，求實數(shù)a的值；（2）當(dāng)時，求證：；（3）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出其最小值，即可證明；（3）分類討論的值，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以.由題知，解得.（2）當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以是在區(qū)間上的最小值.所以.（3）由（1）知，.若，則當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時無極值.若，令，則.因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.因為，而，所以存在，使得.和的情況如下：x0極小值因此，當(dāng)時，有極小值.綜上，a的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用等，屬于中檔題.21．已知函數(shù)(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個零點，①求的取值范圍；②求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)①；②證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負即可得到的單調(diào)區(qū)間；（2）①將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個不同的交點，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果；②由①可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進而得到，即，根據(jù)的范圍和單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】（1）定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間