數(shù)學(xué)物理方法：第四章 留數(shù)定理及其應(yīng)用

第四章留數(shù)定理及其應(yīng)用§4·1留數(shù)定理一、留數(shù)定義（1）設(shè)

f（z）在以孤立奇點(diǎn)z0為中心的環(huán)域內(nèi)解析，將f（z）展成洛朗級數(shù)：積分路徑C是位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針方向繞z0點(diǎn)一周的任一閉合曲線稱為f（z）在z0點(diǎn)的留數(shù)記作：積分路徑C是位于環(huán)域內(nèi)按順時(shí)針方向繞z0點(diǎn)一周的任一閉合曲線記作：（2）設(shè)

f（z）在無限遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域內(nèi)解析，將f（z）展成洛朗級數(shù)：稱為f（z）在

點(diǎn)的留數(shù)二、留數(shù)定理[定理]設(shè)函數(shù)f（z）在閉合回路l所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b1，b2，···，bn外解析；在閉區(qū)域B上除b1，b2，···，bn外連續(xù)，則：[證明]（1）若l只包圍一個(gè)孤立奇點(diǎn)z0：在z0鄰域?qū)（z）展成洛朗級數(shù)·z0在R內(nèi)作包圍z0的小圓形回路l0逐項(xiàng)積分：·z0（2）若l包圍b1，b2，···，bnn個(gè)孤立奇點(diǎn)·b1·b2·b3·bn作包圍各孤立奇點(diǎn)的小圓形回路l1、

l2、l3、···、ln根據(jù)柯西定理（3）對點(diǎn)，若f（z）在環(huán)域上解析對環(huán)域中一個(gè)正向（順時(shí)針）回路l’，另作一個(gè)圍繞點(diǎn)半徑r很大的圓形環(huán)路C。根據(jù)柯西定理：[推論]函數(shù)f（z）在全平面上所有各點(diǎn)（有限遠(yuǎn)和無限遠(yuǎn)）的留數(shù)和為零。三、留數(shù)的計(jì)算根據(jù)定義，設(shè)f（z）在以孤立奇點(diǎn)z0為中心的環(huán)域?qū)（z）展成洛朗級數(shù)：內(nèi)解析，※對本性奇點(diǎn)一般只能用此法2、極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算：設(shè)z0

是f（z）的m階極點(diǎn)1、一般方法：對單極點(diǎn)（m=1）：對m階極點(diǎn)：[定理]設(shè)z0

是f（z）的m階極點(diǎn)，則[證明]z0

是f（z）的m階極點(diǎn)在z=z0點(diǎn)解析，且······[推論]若，其中

和z0點(diǎn)解析，且都在則：[證明]z0是f（z）的單極點(diǎn)3·無限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算[例1]求的極點(diǎn)及留數(shù)[解]是f（z）的單極點(diǎn)是f（z）的三階極點(diǎn)[例2]求在z0=1的留數(shù)[解1]是f（z）的單極點(diǎn)[解2][例3]求的極點(diǎn)及其留數(shù)[解]是f（z）的單極點(diǎn)[例]求的極點(diǎn)及其留數(shù)[解]是f（z）的單極點(diǎn)是f（z）的三階極點(diǎn)[例5]計(jì)算其中閉合回路C：（1）圓周（2）圓周（n為正整數(shù)）[解]以為單極點(diǎn)（1）在圓周內(nèi)無奇點(diǎn)（2）在圓周內(nèi)有2n個(gè)單極點(diǎn)[例]計(jì)算沿單位圓的回路積分[解]令解得：z1，z2是f（z）的兩個(gè)單極點(diǎn)z2在回路外z1在回路內(nèi)[例]計(jì)算沿單位圓的回路積分[解]z0=0是f（z）的唯一奇點(diǎn)（本性奇點(diǎn)）[例]計(jì)算回路積分f（z）的奇點(diǎn)由確定[解]是三階極點(diǎn)在積分回路內(nèi)只有極點(diǎn)§4·2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分基本方法：··容易求出或等于零類型一特征：被積函數(shù)是關(guān)于的有理函數(shù)積分區(qū)間方法：作變量代換一、[例1]計(jì)算[解][例2]計(jì)算[解]單極點(diǎn):類型二特征：在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析。(1)在實(shí)軸上無奇點(diǎn),(2)在上半平面和實(shí)軸上解析延拓若為有理分式則上述兩條件即：(1)無實(shí)數(shù)根；關(guān)于x的次數(shù)至少高兩次。(2)二、方法：解析延拓考慮積分回路當(dāng)（可以證明）[引理]設(shè)f（z）在圓弧CR：連續(xù)，且滿足；則當(dāng)[證明]由長大不等式[例1]計(jì)算[解]f（z）有單極點(diǎn)：[解]f（z）有三階極點(diǎn)：[例2]計(jì)算[解]f（z）有n階極點(diǎn)：[例3]計(jì)算[例4]計(jì)算[解]f（x）為偶函數(shù)類型三特征：在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析。(3)F（z）、G（z）在實(shí)軸上無奇點(diǎn),三、(2)F（x）是偶函數(shù)，G（x）是奇函數(shù)(1)積分區(qū)間(4)在上半平面和實(shí)軸上當(dāng)方法：應(yīng)用奇、偶函數(shù)性質(zhì)作變換兩積分變?yōu)椤邦愋投?。根?jù)[約當(dāng)引理]，其條件可放寬為：當(dāng)時(shí)，則有：[約當(dāng)引理]（p.60)設(shè)m為正數(shù)，CR為以原點(diǎn)為圓心，R為半徑，位于上半平面的半圓周；若當(dāng)z在上半平面或?qū)嵼S上趨于時(shí)考慮積分回路當(dāng)（約當(dāng)引理）[例1]計(jì)算[解]判斷條件：(1)積分區(qū)間(2)是偶函數(shù)在上半平面只有單極點(diǎn)(3)F（z）在實(shí)軸上無奇點(diǎn),(4)[例2]計(jì)算[解]判斷條件：(1)積分區(qū)間(2)是奇函數(shù)(3)G（z）在實(shí)軸上無奇點(diǎn),在上半平面只有二階極點(diǎn)(4)四、實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情況滿足類型二滿足類型三f（z）、F（z）、G（z）在實(shí)軸上有單極點(diǎn)·a考慮積分回路（繞過奇點(diǎn)）·a當(dāng)（留數(shù)定理）（約當(dāng)引理）[結(jié)果]若實(shí)軸上有有限個(gè)單極點(diǎn)[解][例]計(jì)算除在實(shí)軸上有單極點(diǎn)z=0 外，滿足“類型三”條件第五章傅里葉變換§5·1傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉展開若函數(shù)f（x）以2l為周期則：三角函數(shù)族：是正交的也是完備的展開系數(shù)是用三角函數(shù)族的正交性求得傅里葉級數(shù)的收斂條件（狄里希利定理）若函數(shù)f（x）滿足條件：（1）處處連續(xù)，或在每個(gè)周期（-l，l）中只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）在每個(gè)周期（-l，l）中只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則級數(shù)收斂；且級數(shù)和（在連續(xù)點(diǎn)）（在間斷點(diǎn)）[例]交流電壓經(jīng)半波整流后削去負(fù)壓。求半波整流電壓的傅里葉級數(shù)。[解]二、奇、偶函數(shù)的傅里葉展開1·若周期函數(shù)f（x）是奇函數(shù)則：2·若周期函數(shù)f（x）是偶函數(shù)則：[例]將矩形波展為傅里葉級數(shù)[解]奇函數(shù)[例]將三角波展為傅里葉級數(shù)[解]偶函數(shù)三、定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開若函數(shù)f（x）定義在有限區(qū)間（0，l）內(nèi)，可將f（x）延拓為周期函數(shù)g（x），令在區(qū)間（0，l）內(nèi)有：g（x）=f（x）；對g（x）作傅里葉級數(shù)展開，則1·無附加邊界條件：或延拓為奇函數(shù)2·f（x）滿足邊界條件：3·f（x）滿足邊界條件：延拓為偶函數(shù)[例]設(shè)函數(shù)f(x)=x定義在區(qū)間(0,l)上試將它展為傅里葉級數(shù)[解](1)看作三角波的一段(2)看鋸齒波的一段四、復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)可以復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基本函數(shù)族:將周期函數(shù)f(x)展開為復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)※復(fù)指數(shù)函數(shù)族具有正交性利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的正交性求展開系數(shù):※展開系數(shù)[例]將矩形波展開為復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)[解]§5·2傅里葉積分與傅里葉變換周期函數(shù)f(x)可以展開為傅里葉級數(shù)非周期函數(shù)f(x)可以展開為傅里葉積分一、實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換時(shí)的極限;對g(x)作傅里葉級數(shù)設(shè)f(x)是定義在上的非周期函數(shù)，將f(x)看成是周期函數(shù)g(x)在其周期展開:令傅里葉積分傅里葉變換上絕對可積[傅里葉積分定理]若函數(shù)f（x）在區(qū)間滿足：（1）狄里希利條件；（2）f（x）在區(qū)間則f（x）可表示成傅里葉積分。；二、奇、偶函數(shù)的傅里葉積分表示1·奇函數(shù)的傅里葉積分表示設(shè)且2·偶函數(shù)的傅里葉積分表示設(shè)且[例]將矩形脈沖展為傅里葉積分[解]偶函數(shù)[例]將有限正弦波展為傅里葉積分[解]奇函數(shù)三、復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換寫成對稱形式：f（x）=F原函數(shù)F（）=F像函數(shù)[例]求矩形脈沖復(fù)數(shù)形式傅里葉積分[解]四、傅里葉變換的基本性質(zhì)1·導(dǎo)數(shù)定理F2·積分定理FF設(shè)則有：3·相似性定理4·延遲定理5·位移定理6·卷積定理FFFF卷積運(yùn)算五、三維傅里葉積分和傅里葉變換若f(x)是三維空間上的非周期函數(shù)，可將其展為三維傅里葉積分其三維傅里葉變換為§5·3函數(shù)為了描述質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、瞬時(shí)沖量的密度分布，引入廣義函數(shù)——函數(shù)一、函數(shù)的定義[質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量密度]質(zhì)量m均勻分布在線段上對x=0處質(zhì)點(diǎn)[點(diǎn)電荷的電荷密度]電荷Q均勻分布在線段上對x=0處點(diǎn)電荷沖量K均勻分布在時(shí)間內(nèi)[瞬時(shí)沖量的力]對t=0時(shí)瞬時(shí)力函數(shù)描述引入、、將自變量x平移至x0,得x0處函數(shù)位于x0處質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量線密度位于x0處電量為Q的點(diǎn)電荷的電荷線密度作用于t0時(shí)刻沖量為K的瞬時(shí)力二、函數(shù)的性質(zhì)1·函數(shù)的挑選性2·函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階躍函數(shù)3·函數(shù)的奇偶性4·5·設(shè)的實(shí)根全為單根,則:[例]三、函數(shù)和某些函數(shù)的關(guān)系四、函數(shù)的傅里葉積分與傅里葉變換第六章拉普拉斯變換§6·1拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換的定義[定義]設(shè)f(t)是定義在[0,)上的實(shí)(或復(fù))

函數(shù)，則由積分定義的復(fù)函數(shù)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換函數(shù)（像函數(shù)）

f(t)稱為原函數(shù)，該積分稱為拉普拉斯變換。記作：L或：=··二、拉普拉斯變換和傅里葉變換的關(guān)系L令則FLf（t）拉普拉斯變換等于的傅里葉變換乘以可以應(yīng)用拉氏變換和傅氏變換的關(guān)系求拉氏變換的逆變換：FLLg（t）=F記作：L或：=··=··=··三、拉普拉斯變換存在的條件[定理]拉普拉斯變換（1）函數(shù)f（t）在實(shí)軸的任一有限區(qū)間內(nèi)逐段光滑。即：f（t）及其導(dǎo)數(shù)除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外，處處連續(xù)。存在的條件是：（2）存在常數(shù)M>0

和，使對任何t值，有：四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1·=··=··2·=··=··3·=··4·=··=··5·=··設(shè)則=··即：L同理=··五、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1·線性定理=··若=··則=··[例]LLLLL2·導(dǎo)數(shù)定理LLL若=··則=··=··=··3·積分定理若=··則=··4·相似性定理若=··則=··6·延遲定理若=··則=··5·位移定理若=··則=··7·卷積定理若則=··=··=··卷積運(yùn)算§6·2拉普拉斯變換的反演拉普拉斯變換：由原函數(shù)f（t），求像函數(shù)由像函數(shù)，求原函數(shù)f（t

）拉普拉斯變換的反演：一、有理分式反演法若像函數(shù)是有理分式，可將其分解成最簡分項(xiàng)分式，然后用拉普拉斯變換基本公式得到相應(yīng)原函數(shù)。[例]求的原函數(shù)[解]（1）將分母分解因式（2）將有理分式分解成幾個(gè)最簡分式的和通分展開，比較分子系數(shù)求待定常數(shù)：（3）找