2015-2016-1復(fù)變函數(shù)與積分變換A卷(2015年12月)(良心出品)

2上作解答，請(qǐng)另附該試題圖。3、請(qǐng)?jiān)谠嚲眍愋汀⒖荚嚪绞胶蟠蚬醋⒚?。（?PAGE4頁）試題2015 年~ 2016 年第一學(xué)期課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換 專業(yè)年級(jí)考生學(xué)號(hào)： 考生姓名：試卷類型：A卷√ B卷□ 考試方:開卷□ 閉卷√……………………（315分）1iz

1

，則z20z10z5的值等于 （ ）A.1 B. 1 C.i D. i設(shè)ez1i，則Im(z)的值等于 （ ）A． B．

C．2k

D．2k4 4 4 4下列函數(shù)中為解析函數(shù)的是 （ ）A．z B．zRe(z) C．ezez21

D．zcoszz0fz

zmsinz

的3階極點(diǎn)，那么m的值為 （ ）A．5 B．4 C．3 D．25．傅里葉積分定理要求f(t)在任何有限區(qū)間上連續(xù)或者只有 （ A.有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn) B.無限多個(gè)第一類間斷點(diǎn)C.有限多個(gè)間斷點(diǎn) D.有限多個(gè)第二類間斷點(diǎn)二、填空題。（每小題3分，共21分）6f(z1z,z1

23i,z2

2i, 則fz1

z .27．f(z)x2yix2，則f(i) ．冪級(jí)數(shù)n1

nz2n

的收斂半徑.設(shè)C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+2i的直線段，則ò2zdz= .C1函數(shù)f(z)zez在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)．1設(shè)ft)是一個(gè)無窮次可微函數(shù)，t)為單位脈沖函數(shù)，那么(t)f(t)t ．積分e3tcos2tdt的值．0三、計(jì)算題。（每小題8分，共16分）( 3i)(1i)z

( 3i)(1

化為三角形式與指數(shù)形式.利用留數(shù)計(jì)算積分

xeix dx.x21四、計(jì)算下列復(fù)變函數(shù)的積分（816分）設(shè)Cz2

e2z dz.C(z設(shè)Cz1

1Csin

dz.五、解答題。（每小題8分，共16分）試證函數(shù)ux2y2x是調(diào)和函數(shù)，并求函數(shù)v(x,yf(z)u(x,yiv(x,y為解析函f(i)1．f(z)分）

1z(1z)2

10z1（1z1（8六、解答題。（每小題8分，共16分）f(tF)，求函數(shù)t2f(2t.利用Laplacey4y3yet，y(0)y(0)1．2015~2016~1復(fù)變函數(shù)與積分變換A卷參考答案一、單項(xiàng)選擇題。（每小題3分，共15分）1．C 3．D 4．B 5．A二、填空題。（每小題3分，共21分）6．1+4i 7．0 8．2 9．5 10．1/2 f(0) 12．3/13三、計(jì)算題。（每小題8分，共16分）解:將z的分子與分母同乘以( 3i)(1i)，得( 3i)2(1i)2z3i21i2

(22 3i)(2i) 31i， （4）8 2 2z1argzarctan(

3)3

·············································（6）

的三角形式與指數(shù)形式：

zcos()isin()ei6 （86 （8解：由于

eiz

在上半平面有且僅有一個(gè)孤立奇點(diǎn)zi，因此 （3分）z21xeix

dxRe

zeiz

,i]

zeiz

e1i. （8）1x2 1z2

2zzi四、計(jì)算下列復(fù)變函數(shù)的積分（每小題8分，共16分）15z1z2的內(nèi)部，故由高階導(dǎo)數(shù)公式得··························(2分)原式=

2pi(e2z)ⅱ4pie2. ·····························································(8分)2!1解：

z=1z1z0，為1

的1階極點(diǎn).·······················(2分)sinz sinz所以，由留數(shù)定理得

1 dziRes[

0]································(5分)sinz sinzC2ilim zz0sinz

2i················································(8分)五、解答題。（本大題共2小題，每小題8分，共16分）2u解：由于

2，2u

2，

2u

2u

0，2x 2y 2x 2y因此ux2y2x2分）因?yàn)閒(z)

ui

2x12yi2(xyi12z1 （5）x x故f(z)f(z)dz(2zz2zC （7分）f(i)1得Cifz)z2zifz)x2y2x(2xyy·（8）1 驏1 ￠ ￥解：在圓環(huán)域0z1中，

=? ÷=?

nzn-1··························(3分)(1-z)2 1-z

n=1故fz

1 z(1z)2

nzn-2 ·····························································(4分)n=1在圓環(huán)域1z1中，￥1 1 ￥

1

(z-n=

1)n(zn-1 ··················(6分)z 1(z1) z-1

n=01 ￥

n=0￥fz

= 1)n(z-n-1z(1z)2 (1- z)2

(zn-3 ····(8分)n=0 n=0（2816分）,由相似性質(zhì)

f(2t)

1 2F(2), （4）再由像函數(shù)的微分性質(zhì)得F(2t)

d 1 d2F2. （6）1Ft2f(2t) i1

d2 1 d2 F( F( ) （8）2 d2 2 2d2 2解：原方程兩邊取Laplace變換，得s2Y(s)sy(0)y(0)4[sY(s)y(0)](s)

1s1

， （3）y(0)y(0)1帶入得：Y(s