高一數(shù)學(xué)向量小結(jié)與復(fù)習(xí)二 人教

第五章向量小結(jié)與復(fù)習(xí)(2)閬中東風(fēng)中學(xué)編輯ppt課題：向量小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）教學(xué)目的：1、熟悉向量的性質(zhì)及運算律；

2、能根據(jù)向量性質(zhì)特點構(gòu)造向量；3、熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4、熟練向量求解的坐標化思路；5、認識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；6、認識向量的工具性作用，加強數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識。教學(xué)重點：向量的坐標表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用。教學(xué)難點：構(gòu)造向量法的適用題型特點的把握。編輯ppt授課類型：復(fù)習(xí)課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式針對向量坐標表示的應(yīng)用，通過非坐標形式解法與坐標化解法的比較來加深學(xué)生對于向量坐標表示的認識，同時要加強學(xué)生選擇建立坐標系的意識對于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點內(nèi)容數(shù)量積的坐標表示，目的要使學(xué)生把握坐標表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點，同時增強學(xué)生的解題技巧，提高解題能力。教學(xué)過程：編輯ppt一、范例講解：例1利用向量知識證明下列各式(1)

x2+y2

≥2xy(2)|x|2＋|y|2≥2x·y分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解.

編輯ppt證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x），則a·b＝xy＋yx＝2xy｜a｜·｜b｜＝又a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b

＞≤｜a｜·｜b｜

∵∴x2+y2≥2xy編輯ppt(2)設(shè)x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ

≤｜x｜·｜y｜≤∴|x|2＋|y|2≥2x·y評述：(1)、上述結(jié)論表明，重要不等式a2+b2≥2ab,無論對于實數(shù)還是向量，都成立;(2)、在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證.編輯ppt例2、利用向量知識證明(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22)分析：此題形式對學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標表示產(chǎn)生聯(lián)系故需要構(gòu)造向量。證明：設(shè)a＝（a1,a2），b＝（b1,b2）則a·b＝a1a2+b1b2∵a2=a12+a22,b2=b12+b22

編輯ppt∵|a·b|＝｜a·bcosθ|

＝｜a｜·｜b｜·|cosθ|≤｜a｜·｜b｜(其中θ為a，b夾角)∴(a·b)2≤|a|2·|b|2∴(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22)評述：此題證法難點在于向量的構(gòu)造，若能恰當構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論，這一技巧要認真注意體會。編輯ppt例3、已知ｆ（x）＝求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜≤｜a－b｜分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需兩次平方才能達到去根號的目的；也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證。下面給出兩種證明：證法一：∵ｆ（a）＝，

ｆ（b）＝，

∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜≤｜a－b｜只需證明

編輯ppt即1＋a2＋1＋b2－2

≤a2＋b2－2ab即≥1＋ab即只需證明1+a2+b2+a2b2≥1+a2b2+2ab即證a2+b2≥2ab∵a2+b2≥2ab顯然成立∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜編輯ppt證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b）則｜a｜＝，｜b｜＝，

a－b＝（0，a－b）｜a－b｜＝｜a－b｜∵｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當｜a｜＝｜b｜即a＝b時，取“＝”，）即｜－｜≤｜a－b｜∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜≤｜a－b｜評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點，加深對向量工具性作用的認識。上述三個例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性。下面，我們通過以下的例題分析，讓大家體會向量坐標運算的特點，以及“向量坐標化”思路在解題中的具體應(yīng)用。編輯ppt例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線。求證：AC⊥BD分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件。證法一：∵＝＋，＝－，∴·＝（＋）·（－）＝=0∴⊥編輯ppt證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設(shè)B(0，0)，A(a，b)，C（c，0）則由｜AB｜＝｜BC｜得a2+b2=c2

∵＝（c，0）－（a，b）＝（c－a，－b），＝（a，b）＋（c，0）＝（c＋a，b）∴·＝c2-a2-b2＝0∴⊥，即AC⊥BD評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認識和掌握.編輯ppt例5若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜,證明：a⊥b分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法:證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設(shè)＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等∴平行四邊形OACB是矩形，∴⊥，∴a⊥b編輯ppt證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜∴

(a+b)2=(a-b)2∴a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b

∴a·b＝0，即a⊥b證法三：設(shè)a＝（ｍ，ｎ），b＝（ｐ，ｑ），｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，∴＝，化簡得：ｍｐ＋ｎｑ＝0，∴a·b＝0，∴a⊥b編輯ppt例6、已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標。分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點坐標，然后表示a的坐標，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程解：設(shè)a的終點坐標為（ｍ，ｎ）則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）由題意①

②

由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得

編輯ppt

25m2－150ｍ＋209＝0

解得∴a的終點坐標是（評述：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆。上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來。編輯ppt二、課堂練習(xí)：

1、已知a＝（1，0），b＝（1，1），當λ為何值時，a＋λb與a垂直。（當λ＝－1時，a＋λb與a垂直）2、已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為30°，求｜a＋b｜，｜a－b｜（｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝1）編輯ppt3、已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b，是否存在實數(shù)ｍ使得c與d是否垂直?（當m=29/14時，c與d垂直）4、已知：a＋b＝c，a－b＝d求證：｜a｜＝｜b｜

c⊥d編輯ppt三、小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進一步熟悉向量的性質(zhì)及運算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法。四、課后作業(yè)：教本第五章復(fù)習(xí)參考題五：B組題編輯ppt五、課后記及備用資料：

1、三角形內(nèi)角和性質(zhì)定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個內(nèi)角，則A＋B＋C＝18０°推論(1)若B＝6０°則2B＝A＋C推論(2)若A＜9０°，則有sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC

推論(4)編輯ppt2、三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1△ABC中，若求證：A、B、C成等差數(shù)列證明：由條件得由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA

∴sin（B－C）＝sinA－sinC∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sinC∵sinC≠0，∴cosB＝1/2，∴B＝，故由推論(1)得2B＝A＋C∴A、B、C成等差數(shù)列編輯ppt例2、在銳角△ABC中，