熱力學統(tǒng)計物理統(tǒng)計熱力學課件第八章

第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計12/13/20221第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計12/12/20221§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、玻色系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式12/13/20222§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、玻色系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計12/13/2022312/12/202235、熵12/13/202245、熵12/12/2022412/13/2022512/12/2022512/13/2022612/12/20226（6.7.4)——玻耳茲曼關系6、巨熱力勢12/13/20227（6.7.4)——玻耳茲曼關系6、巨熱力勢12/12/20二、費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式巨配分函數(shù)對數(shù)：12/13/20228二、費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式巨配分函數(shù)對數(shù)：12/1§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體非簡并系統(tǒng)：弱簡并系統(tǒng)：強簡并系統(tǒng)：12/13/20229§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體非簡并系統(tǒng)：弱簡并系統(tǒng)不考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只有平動自由度，分子能量為：則在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為：g——粒子可能的自旋而引入的簡并度。考慮平動自由度的能級是連續(xù)的，系統(tǒng)總分子數(shù)滿足：12/13/202210不考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只有平動自由度，分子能量為：則在系統(tǒng)的內(nèi)能為：令：12/13/202211系統(tǒng)的內(nèi)能為：令：12/12/202211

展開式保留第一項相當于近似為玻爾茲曼分布，弱簡并情形下，保留兩項。積分可得：12/13/202212展開式保留第一項相當于近似為玻爾茲曼分布，弱簡并情形第一項是根據(jù)玻爾茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項是微觀全同性原理引起的量子統(tǒng)計關聯(lián)所導致的附加內(nèi)能。在弱簡并情形下，附加內(nèi)能的數(shù)值是一個小量。費米氣體的附加內(nèi)能為正，而玻色氣體的附加內(nèi)能為負。可以認為，量子統(tǒng)計關聯(lián)使費米子之間出現(xiàn)等效的排斥作用，而玻色粒子之間出現(xiàn)等效的吸引作用。12/13/202213第一項是根據(jù)玻爾茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項是微觀全同性原§8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，價電子脫離原子在整個金屬中運動，稱為公有電子。公有電子在離子產(chǎn)生的勢場中運動，電子之間存在庫侖相互作用。在初步的近似下，可以把公有電子看作封閉在金屬體積中的自由粒子，稱為自由電子。經(jīng)典統(tǒng)計的困難：根據(jù)能量均分定理，一個自由電子對金屬的熱容量將有3k/2的貢獻。但實驗發(fā)現(xiàn)，除在極低溫度下，金屬中自由電子的熱容量基本可以忽略。12/13/202214§8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，價電子脫離金屬中自由電子的費米統(tǒng)計理論金屬中自由電子形成強簡并費米氣體。以Cu原子為例：金屬中自由電子的費米統(tǒng)計根據(jù)費米分布，溫度為T時處在能量為的一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：12/13/202215金屬中自由電子的費米統(tǒng)計理論金屬中自由電子形成強簡并費米則在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，電子的微觀狀態(tài)數(shù)為：在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)為：12/13/202216則在體積V內(nèi)，在到的能量范T=0K時的電子分布T=0K時，電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一個量子態(tài)最多只能容納一個電子。電子從的狀態(tài)起，依次填充至。是T=0K時電子的最大能量。12/13/202217T=0K時的電子分布T=0K時，電子將盡可能占據(jù)能量最低的——費米能量。令：——費米動量?！M米速率?！M米溫度。12/13/202218——費米能量。令：——費米動量?！M米速率?！M米溫度。大小的數(shù)值估計，以Cu為例：費米溫度：12/13/202219大小的數(shù)值估計，以Cu為例：費米溫度：12/12/20K時電子氣體的總能量為：0K時電子氣體的平均內(nèi)能：0K時電子氣體的壓強為：費米氣體在絕對零度下：具有很高的平均能量、動量，并且產(chǎn)生很大的壓強。微觀狀態(tài)數(shù)確定，熵為0。12/13/2022200K時電子氣體的總能量為：0K時電子氣體的平均內(nèi)能：0K時電T〉0K時的電子分布：12/13/202221T〉0K時的電子分布：12/12/202221T〉0K時，只在μ附近量級為kT的范圍內(nèi)，電子的分布與0K時的分布有差異。12/13/202222T〉0K時，只在μ附近量級為kT的范圍內(nèi)，電子的分布與0K時自由電子熱容量的定量計算12/13/202223自由電子熱容量的定量計算12/12/20222312/13/20222412/12/202224當時，有：將C代入，有：12/13/202225當時，有：將C代入，有：12/12/202225電子的熱容量：12/13/202226電子的熱容量：12/12/202226常溫范圍電子的熱容量遠小于離子振動的熱容量。但在低溫范圍，離子振動的熱容量按T3迅速下降,而電子的熱容量與T成正比下降比較緩慢。所以，在足夠低的溫度下，電子的熱容量就不能忽略。12/13/202227常溫范圍電子的熱容量遠小于離子振動的熱容量。但在低溫熱力學統(tǒng)計物理統(tǒng)計熱力學課件第八章第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計12/13/202229第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計12/12/20221§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、玻色系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式12/13/202230§8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、玻色系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計12/13/20223112/12/202235、熵12/13/2022325、熵12/12/2022412/13/20223312/12/2022512/13/20223412/12/20226（6.7.4)——玻耳茲曼關系6、巨熱力勢12/13/202235（6.7.4)——玻耳茲曼關系6、巨熱力勢12/12/20二、費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式巨配分函數(shù)對數(shù)：12/13/202236二、費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式巨配分函數(shù)對數(shù)：12/1§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體非簡并系統(tǒng)：弱簡并系統(tǒng)：強簡并系統(tǒng)：12/13/202237§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體非簡并系統(tǒng)：弱簡并系統(tǒng)不考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只有平動自由度，分子能量為：則在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為：g——粒子可能的自旋而引入的簡并度?？紤]平動自由度的能級是連續(xù)的，系統(tǒng)總分子數(shù)滿足：12/13/202238不考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只有平動自由度，分子能量為：則在系統(tǒng)的內(nèi)能為：令：12/13/202239系統(tǒng)的內(nèi)能為：令：12/12/202211

展開式保留第一項相當于近似為玻爾茲曼分布，弱簡并情形下，保留兩項。積分可得：12/13/202240展開式保留第一項相當于近似為玻爾茲曼分布，弱簡并情形第一項是根據(jù)玻爾茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項是微觀全同性原理引起的量子統(tǒng)計關聯(lián)所導致的附加內(nèi)能。在弱簡并情形下，附加內(nèi)能的數(shù)值是一個小量。費米氣體的附加內(nèi)能為正，而玻色氣體的附加內(nèi)能為負?？梢哉J為，量子統(tǒng)計關聯(lián)使費米子之間出現(xiàn)等效的排斥作用，而玻色粒子之間出現(xiàn)等效的吸引作用。12/13/202241第一項是根據(jù)玻爾茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項是微觀全同性原§8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，價電子脫離原子在整個金屬中運動，稱為公有電子。公有電子在離子產(chǎn)生的勢場中運動，電子之間存在庫侖相互作用。在初步的近似下，可以把公有電子看作封閉在金屬體積中的自由粒子，稱為自由電子。經(jīng)典統(tǒng)計的困難：根據(jù)能量均分定理，一個自由電子對金屬的熱容量將有3k/2的貢獻。但實驗發(fā)現(xiàn)，除在極低溫度下，金屬中自由電子的熱容量基本可以忽略。12/13/202242§8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，價電子脫離金屬中自由電子的費米統(tǒng)計理論金屬中自由電子形成強簡并費米氣體。以Cu原子為例：金屬中自由電子的費米統(tǒng)計根據(jù)費米分布，溫度為T時處在能量為的一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：12/13/202243金屬中自由電子的費米統(tǒng)計理論金屬中自由電子形成強簡并費米則在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，電子的微觀狀態(tài)數(shù)為：在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)為：12/13/202244則在體積V內(nèi)，在到的能量范T=0K時的電子分布T=0K時，電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一個量子態(tài)最多只能容納一個電子。電子從的狀態(tài)起，依次填充至。是T=0K時電子的最大能量。12/13/202245T=0K時的電子分布T=0K時，電子將盡可能占據(jù)能量最低的——費米能量。令：——費米動量?！M米速率?！M米溫度。12/13/202246——費米能量。令：——費米動量?！M米速率。——費米溫度。大小的數(shù)值估計，以Cu為例：費米溫度：12/13/202247大小的數(shù)值估計，以Cu為例：費米溫度：12/12/20K時電子氣體的總能量為：0K時電子氣體的平均內(nèi)能：0K時電子氣體的壓強為：費米氣體在絕對零度下：具有很高的平均能量、動量，并且產(chǎn)生很大的壓強。微觀狀態(tài)數(shù)確定，熵為0。12/13/2022480K時電子氣體的總能量為：0K時電子氣體的平均內(nèi)能：0K時電T〉0K時的電子分布：12/13/202249T〉0K時的電子分布：12/12/202221T〉0K時，只在μ附近量級為kT的范圍內(nèi)，電子的分布與0K時的分布有差異。12/13/202250T〉0K時，只在μ附近量級為kT的范圍內(nèi)，電子的分布與0K時自由電子熱容量的定量計算12/13/202251自由電子熱容量的定量計算12/12/20222312/13/20225212/12/202224當時，有：將C代入，有：12/13/2