2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)

2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)xxx公司2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）一、單選題（每小題5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，則M∩N等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）2．（5分）i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1+mi）（1+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或13．（5分）若x，y滿足約束條件，則的最小值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（5分）數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)四尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等．如圖，是源于其思想的一個(gè)程序框圖．若輸入的a，b分別為8、2，則輸出的n＝（）A．2 B．3 C．5 D．45．（5分）“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥26．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，則∠C＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．（5分）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有（）A．30種 B．50種 C．60種 D．90種8．（5分）一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．29π B．30π C． D．216π9．（5分）△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2++＝，||＝||，則?等于（）A． B． C．3 D．10．（5分）已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，以PF為邊作一個(gè)等邊三角形PFQ，若點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上，則|PF|＝（）A．1 B．2 C．2 D．211．（5分）一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時(shí)，如圖，水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半．若將該正方體任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）A．1 B． C． D．12．（5分）定義在R上的函數(shù)y＝f（x），滿足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，則有（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＝f（x2） D．不確定二、填空題（每小題5分，共20分）13．（5分）已知直線y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于．14．（5分）已知曲線f（x）＝x3在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為α，則的值為．15．（5分）設(shè)a＝（sinx+cosx）dx，則二項(xiàng)式（a）6展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是16．（5分）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“●”，具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）對(duì)任意a∈R，a●0＝a；（3）對(duì)任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．則函數(shù)f（x）＝x●（x＞0）的最小值為．三、解答題（每小題12分，共60分）17．（12分）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）若bn＝nan（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．18．（12分）某市場(chǎng)研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司2018年連續(xù)6個(gè)月的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤(rùn)y（單位：百萬元）與月代碼x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2019年3月份的利潤(rùn)；（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購(gòu)一批新型材料，現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個(gè)月，但新材料的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致材料損壞的年限不相同，現(xiàn)對(duì)A，B兩種新型材料對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品各100件進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩種新型材料使用壽命的聘書統(tǒng)計(jì)如下表：壽命類型1個(gè)月2個(gè)月3個(gè)月4個(gè)月總計(jì)A20353510100B10304020100經(jīng)甲公司測(cè)算平均每包新型材料每月可以帶來5萬元收入，不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，A材料每包的成本為10萬元，B材料每包的成本為12萬元．假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月，且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人，以每包新型材料產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：．參考公式：回歸直線方程為．19．（12分）在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求證：AE⊥BD；（Ⅱ）求直線AF與平面BDF所成角的正弦值．20．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長(zhǎng)為3，直線y＝﹣與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在直線l：y＝k（x+c）與橢圓C相交于E，D兩點(diǎn)，使得（）＜1？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由！21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，不等式f（x）≥bx﹣2對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，證明不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）選做題（共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做第一題計(jì)分．）22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，0＜α＜π）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，求α．23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣2|（x∈R，a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）若f（x）≥﹣1在x∈R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2019年甘肅省天水一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）參考答案與試題解析一、單選題（每小題5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，則M∩N等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣3，1）【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題；5J：集合．【分析】由二次不等式的解法得：M＝（﹣1，3），由集合交集及其運(yùn)算得：M∩N＝（﹣1，1），得解．【解答】解：解二次不等式（x+1）（x﹣3）＜0得：﹣1＜x＜3，即M＝（﹣1，3），又集合N＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），所以M∩N＝（﹣1，1），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次不等式的解法及集合交集及其運(yùn)算，屬簡(jiǎn)單題．2．（5分）i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1+mi）（1+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：∵（1+mi）（1+i）＝（1﹣m）+（1+m）i是純虛數(shù)，∴，即m＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（5分）若x，y滿足約束條件，則的最小值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5T：不等式．【分析】先根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，然后平移直線y＝﹣2x，當(dāng)過點(diǎn)（0，﹣1）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，從而求出所求．【解答】解：x，y滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖所示：平移直線y＝﹣2x，由圖易得，當(dāng)x＝0，y＝﹣1時(shí)，即經(jīng)過A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x+y的最小值為：﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)四尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等．如圖，是源于其思想的一個(gè)程序框圖．若輸入的a，b分別為8、2，則輸出的n＝（）A．2 B．3 C．5 D．4【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4B：試驗(yàn)法；5K：算法和程序框圖．【分析】根據(jù)條件進(jìn)行模擬運(yùn)算即可．【解答】解：n＝1，a＝8+4＝12，b＝4，a＜b否，n＝2，n＝2，a＝12+6＝18，b＝8，a＜b否，n＝3，n＝3，a＝18+9＝27，b＝16，a＜b否，n＝4，n＝4，a＝27+＝，b＝32，a＜b否，n＝5，n＝5，a＝+＝，b＝64，a＜b是，輸出n＝5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和識(shí)別，結(jié)合條件進(jìn)行模擬運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．5．（5分）“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】11：計(jì)算題；5L：簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由二次不等式恒成立問題得：：“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的充要條件為：“（﹣2）2﹣4m≤0“即”m≥1“，由充分必要條件得：“m≥2“是”m≥1“的充分不必要條件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是：”m≥2“，得解．【解答】解：“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的充要條件為：“（﹣2）2﹣4m≤0“即”m≥1“，又“m≥2“是”m≥1“的充分不必要條件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是：”m≥2“，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次不等式恒成立問題及充分必要條件，屬簡(jiǎn)單題．6．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，則∠C＝（）A．30° B．60° C．120° D．150°【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．【分析】結(jié)合題意，由余弦定理可得2c×＝2a+b，變形可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，根據(jù)余弦定理可求cosC的值，結(jié)合C的范圍，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若2c?cosB＝2a+b，則有：2c×＝2a+b，整理得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，可得：cosC＝＝＝﹣，又在△ABC中，0°＜C＜180°，∴C＝120°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有（）A．30種 B．50種 C．60種 D．90種【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】32：分類討論；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】討論甲同學(xué)選擇的兩種不同的情況，確定乙，丙的個(gè)數(shù)．【解答】解：①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有1×2×10＝20種，②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有1×3×10＝30種，所以總共有20+30＝50種．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，屬于簡(jiǎn)單題．8．（5分）一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．29π B．30π C． D．216π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積；LR：球內(nèi)接多面體．【專題】11：計(jì)算題．【分析】幾何體復(fù)原為底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是外接球的直徑，然后求其的表面積．【解答】解：由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐；把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，兩者有相同的外接球，它的對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑：，球的半徑為：．該三棱錐的外接球的表面積為：，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖，幾何體的外接球的表面積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．9．（5分）△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2++＝，||＝||，則?等于（）A． B． C．3 D．【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡(jiǎn)得到，得到BC為直徑，故△ABC為直角三角形，求出三邊長(zhǎng)可得∠ACB的值，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出的值．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共線，BC為圓的直徑，如圖∴AB⊥AC．∵，∴＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．則，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件等基本知識(shí)．求出△ABC為直角三角形及三邊長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．10．（5分）已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，以PF為邊作一個(gè)等邊三角形PFQ，若點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上，則|PF|＝（）A．1 B．2 C．2 D．2【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），利用拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求出直線方程，然后求出結(jié)果．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），可得直線PF：y＝（x﹣），可得：，可得：x＝，則y＝，|PF|＝＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．11．（5分）一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時(shí)，如圖，水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半．若將該正方體任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）A．1 B． C． D．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)水的體積為容器體積的一半可知液面高度為物體新位置高度的一半．【解答】解：正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2，故當(dāng)正方體旋轉(zhuǎn)的新位置的最大高度為2，又水的體積是正方體體積的一半，∴容器里水面的最大高度為對(duì)角線的一半，即最大液面高度為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）定義在R上的函數(shù)y＝f（x），滿足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，則有（）A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）＝f（x2） D．不確定【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；62：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】由“f（3﹣x）＝f（x）”，知函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，再由“f′（x）＜0”可知：當(dāng)x＞時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)當(dāng)x＜時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，最后由“x1＜x2，且x1+x2＞3”，得知x1，x2∈（，+∞），應(yīng)用單調(diào)性定義得到結(jié)論．【解答】解：∵f（3﹣x）＝f（x），∴函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，又∵f′（x）＜0∴當(dāng)x＞時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)當(dāng)x＜時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)∵x1＜x2，且x1+x2＞3∴x1，x2∈（，+∞）∴f（x1）＞f（x2）故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，這里還考查了導(dǎo)數(shù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)．二、填空題（每小題5分，共20分）13．（5分）已知直線y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于﹣1．【考點(diǎn)】IA：兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題．【分析】利用斜率都存在的兩直線垂直，斜率之積等于﹣1，解方程求出實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：∵直線y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，∴他們的斜率之積等于﹣1，即a×（a+2）＝﹣1，∴a＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜率都存在的兩直線垂直，斜率之積等于﹣1．14．（5分）已知曲線f（x）＝x3在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為α，則的值為．【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線斜率，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式即可化簡(jiǎn)得解．【解答】解：因?yàn)椋呵€f（x）＝x3．所以：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝2x2，可得：f′（1）＝2，因?yàn)椋呵€f（x）＝x3在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為α，所以：tanα＝f′（1）＝2，所以：＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，同時(shí)考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)a＝（sinx+cosx）dx，則二項(xiàng)式（a）6展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是﹣192【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】根據(jù)題意，由定積分計(jì)算公式可得a＝（sinx+cosx）dx＝sinxdx+cosxdx＝（﹣cosx）+sinx＝2，即可得a的值，由二項(xiàng)式定理分析可得該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，a＝（sinx+cosx）dx＝sinxdx+cosxdx＝（﹣cosx）+sinx＝2，二項(xiàng)式（a）6即（2）6，其展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝（2）6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r××26﹣rx3﹣r，當(dāng)r＝1時(shí)，有T2＝（﹣1）××25x2＝﹣192；故答案為：﹣192．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及定積分的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“●”，具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）對(duì)任意a∈R，a●0＝a；（3）對(duì)任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．則函數(shù)f（x）＝x●（x＞0）的最小值為3．【考點(diǎn)】7F：基本不等式及其應(yīng)用．【專題】23：新定義；35：轉(zhuǎn)化思想；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】令c＝0，代入得（a?b）?0＝0?（ab）+（a?0）+（b?0）＝ab+a+b．求出f（x）解析式，進(jìn)而得到f（x）最小值．【解答】因?yàn)樵冢?）中，對(duì)任意對(duì)任意a∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．令c＝0，代入得（a?b）?0＝0?（ab）+（a?0）+（b?0）．由（1）中a●b＝b●a可得（a?b）?0＝0?（ab）+（a?0）+（b?0）．由（2）中a●0＝a，化簡(jiǎn)可得（a?b）?0＝ab+a+b．所以f（x）＝f（x）?0＝（x●）?0＝1+x+，因?yàn)閤＞0，由基本不等式可得f（x）＝1+x+≥1+2＝3，故填：3．【點(diǎn)評(píng)】本題為新定義題，理解好定義并合理使用定義中的條件，是解題關(guān)鍵．還考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題（每小題12分，共60分）17．（12分）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）若bn＝nan（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）根據(jù){an}是遞增等比數(shù)列，a1+a5＝，a2a4＝4．即可求解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）由bn＝nan（n∈N*），可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求解前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）由{an}是遞增等比數(shù)列，a1+a5＝，a2a4＝4＝a32＝4∴a1+a1q4＝，；解得：a1＝，q＝2；∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an＝2n﹣2；（2）由bn＝nan（n∈N*），∴bn＝n?2n﹣2；∴S1＝；那么Sn＝1×2﹣1+2×20+3×21+……+n?2n﹣2，①則2Sn＝1×20+2×21+3×22+……+（n﹣1）2n﹣2+n?2n﹣1，②將②﹣①得：Sn＝+n?2n﹣1；即：Sn＝﹣（2﹣1+20+2+22+2n﹣2）+n?2n﹣1＝+n?2n﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的求解，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．18．（12分）某市場(chǎng)研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司2018年連續(xù)6個(gè)月的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤(rùn)y（單位：百萬元）與月代碼x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2019年3月份的利潤(rùn)；（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購(gòu)一批新型材料，現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個(gè)月，但新材料的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致材料損壞的年限不相同，現(xiàn)對(duì)A，B兩種新型材料對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品各100件進(jìn)行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩種新型材料使用壽命的聘書統(tǒng)計(jì)如下表：壽命類型1個(gè)月2個(gè)月3個(gè)月4個(gè)月總計(jì)A20353510100B10304020100經(jīng)甲公司測(cè)算平均每包新型材料每月可以帶來5萬元收入，不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，A材料每包的成本為10萬元，B材料每包的成本為12萬元．假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月，且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人，以每包新型材料產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：．參考公式：回歸直線方程為．【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，即可得出結(jié)論；（2）分別計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由折現(xiàn)圖可知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（，）共6組，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21），計(jì)算可得＝（1+2+3+4+5+6）＝，＝y(tǒng)i＝?96＝16，故＝＝2，故＝﹣＝16﹣2?＝9，∴x關(guān)于y的線性回歸方程為＝2x+9，故x＝11時(shí)，則＝2×11+9＝31，即預(yù)測(cè)公司2018年1月份（即x＝7時(shí)）的利潤(rùn)為31百萬元；（2）由頻率估計(jì)概率，A型材料可使用1個(gè)月，2個(gè)月，3個(gè)月、4個(gè)月的概率分別為，，，，∴A型材料利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望為（5﹣10）×+（10﹣10）×+（15﹣10）×+（20﹣10）×＝萬元；B型材料可使用1個(gè)月，2個(gè)月，3個(gè)月、4個(gè)月的概率分別為，，，，∴B型材料利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望為（5﹣12）×+（10﹣12）×+（15﹣12）×+（20﹣12）×＝萬元；∵＞，∴應(yīng)該采購(gòu)A型材料．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查學(xué)生的閱讀能力，對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力，屬于中檔題．19．（12分）在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求證：AE⊥BD；（Ⅱ）求直線AF與平面BDF所成角的正弦值．【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角．【專題】14：證明題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AD⊥BD，AD⊥DE，DC⊥DE，從而DE⊥平面ABCD，進(jìn)而BD⊥DE，由此能證明BD⊥平面ADE，從而AE⊥BD．（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與平面BDF所成角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）∵AD＝DE＝1，四邊形EDCF是正方形，∠ADC＝∠DCB＝120°．∴AD＝DC＝BC＝1，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，∴AD⊥DE，DC⊥DE，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥DE，∵AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴AE⊥BD．解：（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），F(xiàn)（0，1，1），B（0，，0），D（0，0，0），E（0，0，1），＝（1，﹣1，﹣1），＝（0，，0），＝（0，0，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），設(shè)直線AF與平面BDF所成角為θ，則cosθ＝＝＝．∴直線AF與平面BDF所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長(zhǎng)為3，直線y＝﹣與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在直線l：y＝k（x+c）與橢圓C相交于E，D兩點(diǎn)，使得（）＜1？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由！【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的綜合．【專題】15：綜合題；38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）由題意可得＝3，以及直線y＝﹣與橢圓C相切，可得b＝，解之即得a，b，從而寫出橢圓C的方程；（Ⅱ）聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算，即可求出k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得y＝±，∵過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長(zhǎng)為3，∴＝3，∵直線y＝﹣與橢圓C相切，∴b＝，∴a＝2∴a2＝4，b2＝3．故橢圓C的方程為+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，則直線l的方程為y＝k（x+1），聯(lián)立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，則△＝64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝k2（x1+1）（x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴?＜1，∴（x2﹣1，y2）（x1﹣1，y1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1﹣＜1，整理可得k2＜4，解得﹣2＜k＜2，∴直線l存在，且k的取值范圍為（﹣2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，不等式f（x）≥bx﹣2對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，證明不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6C：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】11：計(jì)算題；15：綜合題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由f（x）＝ax﹣1﹣lnx，求得f′（x）＝．然后分a≤0與a＞0兩種情況討論，從而得到f′（x）的符號(hào)，可得f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，最后綜合可得答案；（2）函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，由（1）的討論可得a＝1．將不等式f（x）≥bx﹣2化簡(jiǎn)整理得到1+﹣≥b，再構(gòu)造函數(shù)g（x）＝1+﹣，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，得到[g（x）]min＝1﹣]．由此即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F（t）＝，其中t＞e﹣1．利用導(dǎo)數(shù)研究F（x）的單調(diào)性，得到得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函數(shù)．從而得到當(dāng)x＞y＞e﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（y）即＞，變形整理即可得到不等式exln（1+y）＞eyln（1+x）成立．【解答】解：（1）∵f（x）＝ax﹣1﹣lnx，∴f′（x）＝a﹣＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)．（2）∵函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，∴根據(jù)（1）的結(jié)論，可得a＝1，∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣lnx≥bx，兩邊都除以正數(shù)x，得1+﹣≥b，令g（x）＝1+﹣，則g′（x）＝﹣﹣＝﹣（2﹣lnx），由g′（x）＞0得，x＞e2，∴g（x）在（0，e2）上遞減，由g′（x）＜0得，0＜x＜e2，∴g（x）在（e2，+∞）上遞增，∴g（x）min＝g（e2）＝1﹣，可得b≤1﹣，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（﹣∞，1﹣]．（3）令F（t）＝，其中t＞e﹣1可得F'（t）＝＝再設(shè)G（t）＝ln（1+t）﹣，可得G'（t）＝+＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立∴G（t）是（e﹣1，+∞）上的增函數(shù)，可得G（t）＞G（e﹣1）＝lne﹣＝1﹣＞0因此，F(xiàn)'（t）＝＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立，可得F（t）＝是（e﹣1，+∞）上的增函數(shù)．∵x＞y＞e﹣1，∴F（x）＞F（y），可得＞∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式兩邊都乘以ln（1