2020屆高考數(shù)學(xué)(理)刷題首選卷 數(shù)列中的典型題型與創(chuàng)新題型

專題突破練(4)數(shù)列中的典型題型與創(chuàng)新題型一、選擇題如果等差數(shù)列｛aj中，a3+a4+a5=12，那么ax+a2Ha7等于()A．14B．21C．28D．35答案C解析。3+。4+。5=12,?：3。4=12,。4=4.?：。1+。2+…+°7=(。1+。7)+(°2+°6)+(°3+°5)+。4=7。4=28.故選C.在等比數(shù)列｛an｝中，。］=1,公比lqlH1.若am=a］a2a3a4a5,則m等于()A.9B.10C.11D.12答案C解析°朋=。1。2。3。4。5—(。［。厶)，(。2。4)?=a］?a#?a3=a3=a：.q10.因?yàn)閍=1,lqlH1,所以am=a5q10=a1q10,所以m=11.故選C.在遞減等差數(shù)列｛an｝中，若a1+a5=0,則S”取最大值時(shí)n等于()A.2B.3C.4D.2或3答案D解析?。1+。5=2。3=0,..。3=0.???dv0,「.｛a｝的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)為正值，從第四項(xiàng)開始為負(fù)值，故S取最nJn大值時(shí)n等于2或3.故選D.在等差數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)a1=0,公差dH0,若ak=a10+a11+a100,則k=()A.496B.469C.4914D.4915答案D解析因?yàn)閿?shù)列｛aj是等差數(shù)列，所以an=a1+(n—1)d=(n—1)d,因?yàn)閍k=a10+a11+???+a100，所以a=100a1+100^"d—9a1+9=a10+a11+???+a100，所以k1212k(k—1)d,所以(k—1)d=4914d,所以k=4915.故選D.5.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)為an=logn+1(n+2)(neN*),我們把使乘積a^a2?a3??…a”為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)"，則在(0,2018］內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)"的和為()A．1024B．2012C．2026D．2036答案C解析設(shè)a.a2?a3…?a=log23^log34^log45^^??log^1(n+2)=log2(n+2)=k,keZ,貝寸0vn=2k—2W2018,2v2kW2020,IvkWIO,二所有“優(yōu)數(shù)”之和為(222—S)=3a1,所以a2=4a〔—S)=3a1,所以a2=4a〔，當(dāng)a〔H0時(shí)，易知a〔H0,所以n12=4,由+1+1+2+11+1a+1an+]=3Sn，得a2=3a1，即牛=3,此時(shí)數(shù)列｛a」既不是等比數(shù)列又不是等差數(shù)列，故A不正確，C正確.故選C.(2018?江西南昌測(cè)試二)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為—2)+(23—2)+——(210—2)=——18=211—22=2026.故選C.1—2約瑟夫規(guī)則：將1,2,3,…，n按逆時(shí)針方向依次放置在一個(gè)單位圓上，然后從1開始，按逆時(shí)針方向，每隔一個(gè)數(shù)刪除一個(gè)數(shù)，直至剩余一個(gè)數(shù)為止，刪除的數(shù)依次為1,3,5,7,???.當(dāng)n=65時(shí)，剩余的一個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.4D.8答案B解析將1,2,3,…，65按逆時(shí)針方向依次放置在一個(gè)單位圓上，然后從1開始，按逆時(shí)針方向，每隔一個(gè)數(shù)刪除一個(gè)數(shù)，首先刪除的數(shù)為1,3,5,7,…，65(刪除33個(gè),剩余32個(gè))；然后循環(huán),刪除的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為16,8,4,2,1,最后剩余2.故選B.已知數(shù)列｛an｝中，an+]=3Sn，則下列關(guān)于｛a」的說法正確的是()—定為等差數(shù)列—定為等比數(shù)列可能為等差數(shù)列，但不會(huì)為等比數(shù)列可能為等比數(shù)列，但不會(huì)為等差數(shù)列答案C解析若數(shù)列｛a｝中所有的項(xiàng)都為0,則滿足a1=3S,所以數(shù)列｛a｝可能+1為等差數(shù)列，故B,D不正確；由a1=3S，得a2=3S[，則a廠a1=3(S+1+2+1+2+1TOC\o"1-5"\h\zS滿足2\[S=a+1,b=-at；，若S，b2,b成等差數(shù)列，則m的最大值為()a+112mmnA23-35A.7b.5c.8d.4答案D解析由題2\；S=a+1,則4S—(a+1)2，4S.—(a〔+1)2,作差得a.+1n+1n+1—a=2,2、..；S]=a〕+ma〕=1,a=2n—1,由b.,b2,b成等差數(shù)列，可得b2m－1614=2b?—b],2m一1+t=3+t—1+t，分離m化間得m=3+t~J，故(t，m)=(2,7),(3,5),(5,4),纟=4.故選D.mmax49.(2018?河南信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)模擬)給定函數(shù)y=f(x)的圖象在下列四個(gè)選項(xiàng)中，并且對(duì)任意a1e(0,1),由關(guān)系式an+1=f(a)得到的數(shù)列｛a」?jié)M足a”+耳.則該函數(shù)的圖象可能是()答案A解析由題對(duì)于給定函數(shù)y=f(x)的圖象在下列四個(gè)選項(xiàng)中，并且對(duì)任意a1G(0,1),由關(guān)系式a”*1=f(an)得到的數(shù)列｛a”｝滿足a”*嚴(yán)?！?則可得到f(a)<a”,所以f(a1)<a1在Va1^(0,1)上都成立，即Vx^(0,1),fx)Vx,所以函數(shù)圖象都在y=x的下方.故選A.10.楊輝三角,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角形?帕斯卡(1623?1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年,比賈憲遲600年.右圖的表在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了,這又是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示,在“楊輝三角”中,從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,33,3,6,4,10,5,…，則此數(shù)列前16項(xiàng)和為（）A．120B．163C．164D．165答案CS,hA．120B．163C．164D．165答案CS,h中最大的項(xiàng)為（）a15C.丄D.耳a9a10A上a7答案解析^>0,a2S最大.a912.SSS…，9>0,攜<0,^<0,-a9a10a11故選C.已知數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列,的取值范圍是（）aie(0,又TS^SzVySg,a1>a2>^>a9，則1),a2e(1,2),a3e(2,3),則a4解析考查每行第二個(gè)數(shù)組成的數(shù)列：2,3,4,5,…，歸納推理可知其通8X7項(xiàng)公式為bn=n+1，其前8項(xiàng)和S8=8X2+丁X1=44；每行第三個(gè)數(shù)組成的數(shù)列：1,3,6,10,…，歸納推理可知其通項(xiàng)公式為c”="JD=2（n2+n）,其前8項(xiàng)和T8=lx8x（8+1）x（2X8+1）+十=120,據(jù)此可得題中數(shù)列前16項(xiàng)和為120+44=164.故選C.11.（2018.河南林州調(diào)研）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，且滿足S17>0,S18<0,則％訂-B.丄a8C???等差數(shù)列｛an｝中,S17>0,且S18<0,即S17=17a9>0,S18=9(a9+a10)<0,/.a9+a10<0,a9>0,.：a10<0,二等差數(shù)列｛a」為遞減數(shù)列，故可知a1，a2，…,a9為正，a10,。]],…為負(fù)；.：S],S2,…,S17為正，S18,S&…為負(fù),A.（3,4）B.（2払4）C.（2,9）D.（2、社,9）答案D解析設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,0<a1<1,①由已知得'1<a1q<2,②^2<a1q2<3.③由①②得q=a0q>1=1；由①③得勺2=誓>2=2;由②③得q=0q>1且q=；占<3，故“J2vqv3.因?yàn)閍4=a也3=（a也2）.q,所以2\;2<a^<9.故選D.二、填空題（2018?湖南張家界模擬）定義“等積數(shù)列”，在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛an｝是等積數(shù)列且a1=2,公積為10,則a2Q18=.答案5解析已知數(shù)列｛an｝是等積數(shù)列且a1=2,公積為10,可得a2=5,a3=2,a4=5,a5=2,…,由此奇數(shù)項(xiàng)為2,偶數(shù)項(xiàng)為5,所以a2018=5.設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a2+a4=10，點(diǎn)P（n,a）對(duì)任意的n^N*,都有向量PPn24nnnnTOC\o"1-5"\h\z+]=（1,2）,則數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和S=.答案n2解析TP(n,a),:.P,n+1,aJ,:.PP4=(1,a~a)=(1,2),nnn＋1n＋1nn＋1n＋1n.°.a.—a=2,.°.{a}是公差d為2的等差數(shù)列.又由a2+a.=2a.+4d=2a.+n+1nn24114X2=10,解得a,=1,.°.S=“+"""「)X2=n2.1n215.（2018?湖北荊州中學(xué)模擬一）“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8,…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和?已知數(shù)列｛an｝為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若a2020=M，則S2018—-（用M表示）答案M－1解析???數(shù)列為:1,1,2,3,5,8,…,即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始,

每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和，ac=a+a’=a+a’+a—a+a’+a小+a’=a+a’+a^+an＋2nn＋1nn－1nnn－1n－2n－1nn－1n－2n?+a—…―。+a+a+aa+a+1,貝寸S=a—1=M—1.－3n－2nn－1n－2n－3212018202016.(2018?衡水金卷壓軸卷二)已知曲線C1的方程為(x—1)=,n^N*.an=,n^N*.an+2求｛a」的通項(xiàng)公式；設(shè)化=(—1)n.(log2an)2，求數(shù)列｛bn｝的前2n項(xiàng)和T解(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,則q>0,112112因?yàn)?—訂—叮？所以莎1—麗—而因?yàn)閝>0,解得q=2,所以an=￡x2n-匸2“-7,用N*.(2)bn=(—1)n?(log2an)2=(—1)n?(log22n-7)2=(—1)n?(n—7)2,設(shè)c=n—7,則b=(—1)n?(c)2.nnnn平面上一點(diǎn)P]作C1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A],B],且滿足ZA]P]B]=3.記P1的軌跡為C2，過平面上一點(diǎn)P2作C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A2,B2，且滿n足ZA9P9B9=3-記尸2的軌跡為C3，按上述規(guī)律一直進(jìn)行下去，…，記a=IAA222323nnn1Ii,且S為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和,則滿足S—5n>0的最小正整數(shù)n為.+1minnnn答案5解析由題設(shè)可知軌跡C1,C2,C3,…，C分別是半徑為1,2,4,8,16,123n32,…，2的圓.因?yàn)閍=IAAI.,所以a=1,a=2,a=4,a.=8,…,nnn+1min12342n—1a=2n—1,所以S=a+a+a+a=1+2+42n-1==2n—1.由nn123n2—1S—5n>0,得2n—1—5n>02“>5n+1,故最小的正整數(shù)n為5.n三、解答題17.(2018?17.(2018?山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)已知等比數(shù)列｛an｝中，an>0,1a164丄_丄an%12n2n+b2n=b1+b2+b3+b4+…+b2+b2n=_cf+c2+(_c3)+c4+…=(_C1+C2)(Ci+c2)+(-C3+C4)(C3+C4)+^+(_C2n_1+GGn—1+C2n)=C1+C2+C3+C4+^+C2n_1+C2n2n[-6+(2n-7)]=2=n(2n—13)=2n2—13n.18.(2018?山東青島統(tǒng)測(cè))已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2,等比數(shù)列｛化｝的公比為2,且ab=n?2n?nn(1)求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；13⑵令c=_—，記數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和為T,試比較T與反的大小.na?logbennn8n2n＋3解(1)Vab=n?2n，a】％a】％=2,a2b2=8a1b1=2,(a]+2)?2b]=8,解得a1=2,b1=1,?a^2+2(n1)^2n，b2n—1?nn(2)?a=2n,b=2n—1,nn11111c———…na?log2b32n(n+2)4nn+2'n2n+3T=C]+c2+c3+c4c]+cn1234n—1n=11.11.11.11..11.11=41―3+2―4+3―5+4―1―n+1+n―n+2=1+1-丄-丄42n+1n+2=3_11+384n+1n+2<8,

(2)設(shè)直線x=an與函數(shù)f(x)=x2的圖象交于點(diǎn)An，與函數(shù)g(x)=log2x的圖象交于點(diǎn)B，記B=0A?OB(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求數(shù)列｛B｝的前n項(xiàng)和T.nnnn'n解(1)證明：???點(diǎn)(an，S”)在直線2x-y-2=0上,2a—S—2=0.①nn當(dāng)n=1時(shí)，2a1—a】一2=0,??。］=2?當(dāng)n三2時(shí)，2a】—S】—2=0，②n—1n—1①—②，得a=2a1．nn—1?數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則a=2n?n(2)由(1)及已知易得An(2n，4n)，Bn(2n，n)，?B=OA?OB，.'.b=(n+1)?4n?nnnn則Tn=2X41+3X42+4X43——(n+1)?4”，③4Tn=2X42+3X43+4X44——(n+1)?4”+1，④③—④，得—3^=8+42+434”一(n+1)?4n+1=8+=8+16(1—4n-1)1—(n+1)?4n+1，.“n,2t8

??Tn=3+94n+1—9?20.（2018?湖南六校聯(lián)考）已知函數(shù)fx）=x2+x+c（c為常數(shù)），且xe—2，013時(shí),，x）的最大值為一4,數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)點(diǎn)（an，a”+丿在函數(shù)fx）的圖象上，其中n±1，neZ.（1）證明：數(shù)列l(wèi)gan+|是等比數(shù)列；⑵記匕=竹+2A2+2?…an+2,求Rn?解（1）證明：依題意，fx）=x2+x+c,C為常數(shù)，當(dāng)xe—|,0時(shí)，f（x）±0,fx）單調(diào)遞增，所以f(所以f(x)max=f(0)=C14,所以fx)所以fx)=x2+x14.又點(diǎn)(an，a”*丿在函數(shù)fx)的圖象上,所以a1=a2