概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一1內(nèi)容提要1隨機(jī)事件與概率2離散型隨機(jī)變量及其分布3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4隨機(jī)變量的數(shù)字特征5大數(shù)定律與中心極限定理6數(shù)理統(tǒng)計的基本概念7參數(shù)估計8假設(shè)檢驗內(nèi)容提要1隨機(jī)事件與概率2課程教育目標(biāo)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等學(xué)校工科本科各專業(yè)的一門重要的理論基礎(chǔ)課。通過本課程的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，了解它的基本理論和方法，從而使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)事件的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生運用概率統(tǒng)計方法分析和解決實際問題的能力。課程教育目標(biāo)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)3第一講1.1隨機(jī)事件1.3頻率與概率1.4概率的公理化定義與性質(zhì)第一講1.1隨機(jī)事件4§1.1

隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象(RandomPhenomenon)隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，事先不能斷言會出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。例：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面或反面的情況?！?.1隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象(RandomPhe52.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.問題(problem):什么是隨機(jī)試驗?(Experiment）如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)的形式加以描述.2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量6（3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預(yù)先知道。－－必然性（統(tǒng)計規(guī)律性）隨機(jī)試驗（RandomExperiment）必需滿足：（1）在相同條件下，可以進(jìn)行大量次重復(fù)試驗。――可重復(fù)性（2）每次試驗中可以出現(xiàn)不同的結(jié)果，而不能預(yù)先知道發(fā)生哪種結(jié)果。――偶然性隨機(jī)試驗一般用字母E表示。（3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預(yù)先知隨機(jī)試驗（Rando7例1E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T）出現(xiàn)的情況。例2E2：將一枚硬幣擲3次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。例3E3：擲一枚骰子，觀察點數(shù)。例4E4：記錄某網(wǎng)站在1分鐘內(nèi)的點擊次數(shù)。例5E5：觀察某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命t。例1E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T81.1.2樣本空間(SampleSpace)

定義

將隨機(jī)試驗

E所有可能的結(jié)果組成的集合稱為E

的樣本空間，記為或

S。樣本空間的元素，即E

的每個結(jié)果，稱為樣本點。

1

:{H,T}投硬幣一次H:headT:tail

2

:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}

3

:{1,2,3，4,5,6}擲骰子4

:{0,1,2,3……}

網(wǎng)站點擊次數(shù)5:

{t|t0}燈泡壽命1.1.2樣本空間(SampleSpace)定義9隨機(jī)試驗E

的樣本空間

的子集，稱為E

的隨機(jī)事件,簡稱事件.用大寫字母A,B,C……表示。試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.1.1.3隨機(jī)事件(Randomevents)基本事件:有一個樣本點組成的單點集；必然事件:樣本空間

本身；不可能事件:空集。我們稱一個隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)．實例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).隨機(jī)試驗E的樣本空間的子集，稱為E的隨機(jī)事件,10例如：

2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}

表示“第一次出現(xiàn)的是正面”

5中事件B1={t|t1000}

表示“燈泡是次品”事件B2={t|t1000}表示“燈泡是合格品”

事件B3={t|t1500}

表示“燈泡是一級品”

例如：2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT11小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1.條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.3.隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系

每一個隨機(jī)試驗相應(yīng)地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個特殊的隨機(jī)事件小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1.條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象1210事件的關(guān)系（包含、相等）例：記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

AB1.1.4事件間的關(guān)系與運算AB1.1.4事件間的關(guān)系與運算13AB

20和事件

30積事件ABAB20和事件30積事件A14ABA

40差事件AB

ABA40差事件AB15BA50互不相容事件（互斥事件）60對立事件A結(jié)論：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（互逆事件）(Mutuallyexclusive)(Mutuallyinverse)BA50互不相容事件60對立事件A結(jié)論：A、16隨機(jī)事件的運算規(guī)律冪等律:交換律:結(jié)合律:分配律:DeMorgan定律:隨機(jī)事件的運算規(guī)律冪等律:交換律:結(jié)合律:分配律:De17例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，每種球都不止一個，一次任取兩個球，觀察它們的顏色。設(shè)A＝{兩個同色球}，B＝{至少一個紅色球}，問A∪B由哪些基本事件組成？解：A={RR,YY,WW}B={RR,RY,RW}A∪B={RR,YY,WW,RY,RW}例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，解：A={RR,Y18（2）三個事件至少有一個發(fā)生；（3）A發(fā)生，B、C不發(fā)生；（4）A、B都發(fā)生，C不發(fā)生；（5）三個事件中至少有兩個發(fā)生；（6）不多于一個事件發(fā)生；（7）不多于兩個事件發(fā)生。

例2、設(shè)A、B、C為三個事件，試將下列事件用A、B、C表示出來。（1）三個事件都(不）發(fā)生；（2）三個事件至少有一個發(fā)生；例2、設(shè)A、B、C為三個事件191.3頻率與概率1.4概率的公理化定義與性質(zhì)一、事件的頻率定義：如果在n次重復(fù)隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生了nA次，那么就稱比值fn(A)為事件A發(fā)生的頻率，其中，nA稱為A在這n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)。對任意隨機(jī)試驗E，頻率具有性質(zhì)：n:number1.3頻率與概率1.4概率的公理化定義與性質(zhì)一、事件20（1）對任意事件A，。（2）。（3）對任意有限多個互不相容的事件A1、A2…Am

有。說明由頻率的定義可見，如果事件A發(fā)生的可能性愈大，頻率就愈大；另一方面，頻率還有穩(wěn)定性，即當(dāng)n很大時，頻率穩(wěn)定在一個固定值附近擺動。（1）對任意事件A，21二、概率的定義（1）概率的統(tǒng)計定義定義1：在同一組條件下所作的大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率總是在一個確定的常數(shù)

p附近擺動，并且逐漸穩(wěn)定于p，那末數(shù)p就表示事件A發(fā)生的可能性大小，并稱它為事件A的概率，記作。P:Probability二、概率的定義（1）概率的統(tǒng)計定義定義1：在同一組條件下所作22（2）概率的公理化定義定義2：設(shè)E是隨機(jī)試驗，Ω是E的樣本空間，對于E的每一個事件A對應(yīng)唯一的實數(shù)值，記為，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)滿足下列條件：（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：（2）概率的公理化定義定義2：設(shè)E是隨機(jī)試驗，Ω是E的樣本空23（3）可列可加性：是任意無窮多個互不相容的事件，有

這3條也是概率的三個基本性質(zhì)（3）可列可加性：這3條也是概率的三個基本性質(zhì)24頻率穩(wěn)定值概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義頻率25三、概率的性質(zhì)與推廣SAB加法性質(zhì)減法性質(zhì)三、概率的性質(zhì)與推廣SAB加法性質(zhì)減法性質(zhì)26SABSASABSA27重要推廣SBA重要推廣SBA28例1

假定“B發(fā)生而A不發(fā)生”

的概率是0.2，計算“A發(fā)生或者B不發(fā)生”的概率。解.轉(zhuǎn)化成符號表示，即已知P

(B–A)=0.2，需要計算的是概率：解法1.利用對立事件的概率公式解法2.利用概率的加法公式□例1假定“B發(fā)生而A不發(fā)生”的概率是0.2，計29例2

假定P(A)=0.3，P(B)=0.5，分別計算(1)

A、B

不相容；(2)

A

B；(3)P(A∪B)=0.7時概率P(B–

A)的值。

解。分析：由減法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)只需要計算出概率P(AB)。(1)

A、B互不相容即AB=，得到P

(B–A)=0.5；(2)

A

B等價于AB=A，得到P

(B–A)=0.2；(3)

利用加法公式的另一形式：

P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B–A)，得到P

(B–A)=0.4?！趵?假定P(A)=0.3，P(B)30例3

假定P(A)=0.6，P(B)=0.7，(1)什么情況下

P(AB)最大？最大值是多少？(2)什么情況下P(AB)最小？最小值又是多少？解.(1)

對任意事件

A、B，P(AB)有一個上界，

P(AB)≤

min{P(A)，P(B)}；

(2)根據(jù)概率的加法公式，P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)當(dāng)P(A∪B

)最大時，P(AB)

最小。A

B時P(AB)最大，最大值就等于P(A)=0.6A∪B=Ω

時P(AB)最小，最小值就是P(AB)=0.3□例3假定P(A)=0.6，P(B)=31例4

假定某學(xué)院一年級新生共1000人都參加期末3門課程(數(shù)學(xué)、英語、政治)考試。已知數(shù)據(jù)如下：問三門課程都不及格的有多少人？或者等價的，全部課程都不及格的學(xué)生占多大的比例？730690810數(shù)學(xué)780英語850政治9401000650例4假定某學(xué)院一年級新生共1000人都參加期32解.分析：從這1000個學(xué)生中隨機(jī)地選取一個，分別用A、B、C表示如下事件：

A={數(shù)學(xué)及格}，B={英語及格}，C={政治及格}需要求出的是概率：根據(jù)題意，有：P(A)=0.78,P(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=0.73,P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65;

利用概率的加法公式可算出P

(A∪B∪C

)=0.99，因此隨機(jī)選一個學(xué)生，他的三門課程都不及格的概率=1–P

(A∪B∪C

)=0.01□P12例1.4.2解.分析：從這1000個學(xué)生中隨機(jī)地選取一個，33第二講1.2古典概型第二講1.2古典概型341.2古典概型古典概型（等可能概型）：如果一個隨機(jī)試驗E具有如下的特征，則稱為等可能概型。（1）試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點；（2）每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.1.2古典概型古典概型（等可能概型）：如果一個隨機(jī)試（1）35定義：在古典概型中，若樣本空間包含的基本事件總個數(shù)為n，其中事件A包含的基本事件個數(shù)為k，則事件A的概率為

古典概型中概率的計算練習(xí)：分析兩顆均勻骰子拋擲出的點數(shù)和{2，3，…，12}的全部情況，它們各自對應(yīng)多少個樣本點？見課本p6定義：在古典概型中，若樣本空間包含的基古典概型中概率的計算練361.加法原理與乘法原理假設(shè)做一件事情可以采用A或B

兩類不同的方式，A方式有n種不同的方法可以完成這件事，B方式有m種不同的方法可以完成這件事。則完成這件事情一共有n＋m種不同的方法。如果有若干類方式，就把所有方式的各種方法全部相加排列組合的有關(guān)知識加法原理古典概型問題中，樣本空間的構(gòu)造必須保證其中的每個樣本點發(fā)生的可能性都相同。1.加法原理與乘法原理假設(shè)做一件事情可以采用37則從甲城市到乙城市一共有：2＋4＋3=9條線路：2：4：3城市甲城市乙則從甲城市到乙城市一共有：2＋4＋3=9條線路：38假設(shè)做一件事必須經(jīng)過A與B

兩個不同的步驟，步驟A包含了n種不同的方法，步驟B包含了m種不同的方法。則完成這件事情一共有n×m種不同的方法。如果有若干個步驟，就把所有步驟的各種方法全部相乘乘法原理假設(shè)做一件事必須經(jīng)過A與B兩個不同39：2：4：3城市甲城市乙鄉(xiāng)村丙23從甲城市到丙鄉(xiāng)村的線路一共有：9×(3＋2)條。：2：4：3城市甲城市乙鄉(xiāng)村丙40從

n

個不同的物體中，無放回地任意取出

m

個(1≤

m

≤

n)排成有順序的一列，稱為

n

取

m

的不可重復(fù)排列(又稱為：選排列

)

。(1)不可重復(fù)的排列2.基本的排列組合公式不同的排列方法一共有：

Pnm=n×(n–1)×…×(n–m+1)=————例如從26個英文字母中任取2個字母排列，所有不同的方式一共有P262=26×25=650。

n!(n–m)!P:permutationA:arrange從n個不同的物體中，無放回地任意取出m個41思考1：假定40個人的生日都是隨機(jī)地分布在一年的365天中，則“沒有兩個人的生日相同”所包含的不同排列方式一共有P36540。

把m個不同的小球隨機(jī)地放進(jìn)n個不同的盒子中，每個盒子里的小球最多只能有一個。所有不同的放法一共有Pnm

種。有限制放球模型不可重復(fù)排列思考1：把m個不同的小球隨機(jī)地放進(jìn)n個42(2)允許重復(fù)的排列從n個不同元素中允許放回，任意取m個出來排成有順序的一列(即取出的這些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有

n×n×…×n=nmm例如，一個城市的電話號碼是8位數(shù)字，那么理論上這個城市可以容納108

，即一億門電話。足球彩票有313種可能。(2)允許重復(fù)的排列從n個不同元素中43無限制放球模型允許重復(fù)排列把m個不同的小球隨機(jī)地放進(jìn)n個不同的盒子中，每個盒子里的小球個數(shù)不加任何限制。所有不同的放法一共有nm

種。思考2：假定40個人的生日都是隨機(jī)地分布在一年的365天中，則所有不同的排列方式一共有36540。

練習(xí)隨機(jī)找40個人中至少有兩個人生日相同的概率？無限制放球模型允許重復(fù)排列把m個不同44(3)二項式組合從n個不同元素中不允許放回，任意取m個(

m

≤

n)來構(gòu)成一個集合，稱為

n

取

m

的組合。構(gòu)成這個集合的不同的組合方法一共有Cnm。幾個基本的組合公式：Cnm=Cnn–m，Cn0=Cnn=1，∑mn=0

[Cnm]=2n，(x+y)n=∑mn=0

[

Cnmxmyn–m]Cnm=——————=——

n!Pnmm!(n–m)!m!C:combination(3)二項式組合從n個不同元素中不45例某人的10張100元紙幣中有3張假鈔，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽出4張。

則所有不同的取法一共有：

恰好只取出一張假鈔的所有取法一共有：□C104=——————=210種，C31×C73=3×————=105種，恰好只取出一張假鈔的概率為105/210=0.5，同理，取到的全是真幣的概率為35/210=1/6。思考3：假如這是一個賭局。當(dāng)取到的4張都是真幣，則歸你所有；否則輸100元。你是否愿意參加？

10×9×8×74!

7×6×53!例某人的10張100元紙幣中有3張假鈔46例如，把15個學(xué)生平均分到3個班里，每班5個，則所有不同的分配方案有：__________(4)多項式組合把n個不同的元素分成k個部分，各個部分包含的元素個數(shù)分別是：m1，m2，…，mk

；則全部不同的分配方式一共有：二項式組合的推廣

15!5!×5!×5!例如，把15個學(xué)生平均分到3個班里，每47

例1一口袋裝有

6只球，其中

4只白球、2只紅球.從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式：

放回抽樣

第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球.

不放回抽樣

第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球.分別就上面兩種方式求：

（1）取到的兩只都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；

（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.

例1一口袋裝有6只球，其中4只白球、48

解從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件.

設(shè)A=“

取到的兩只都是白球”，

B=“

取到的兩只球顏色相同”，

C=“

取到的兩只球中至少有一只是白球”.

有放回抽取:解從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件.49

不放回抽取:P7例1.2.2不放回抽取:P7例1.2.250

例2將

n

只球隨機(jī)的放入N(N

n)

個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）.解將

n

只球放入

N

個盒子中去,共有而每個盒子中至多放一只球, 共有例2將n只球隨機(jī)的放入N(N51

此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如用此公式可以得出：

“在一個有64人的班級里，至少有兩人生日相同”的概率為99.7%。n2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997

當(dāng)N=365時，經(jīng)計算可得下述結(jié)果：此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如用此52

例3設(shè)有

N

件產(chǎn)品，其中有

D

件次品，今從中任取

n

件，問其中恰有

k

(k

D)

件次品的概率是多少?在N－D件正品中取n－k件,所有可能的取法有又在D件次品中取k件，所有可能的取法有

解在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有（1）不放回抽樣由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

例3設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有D件53

于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式.P24習(xí)題1.8于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式.P54（2）

有放回抽樣而在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有

于是所求的概率為：從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進(jìn)行排列，可能的排列數(shù)為個，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為.此式即為二項分布的概率公式.（2）有放回抽樣而在N件產(chǎn)品中取55

例4袋中有

a

只白球，b只黑球．k個人依次在袋中取一個球.（1）作放回抽樣；（2）作不放回抽樣.求第i（i=1，2，…，k)人取到白球的概率．解（1）放回抽樣（2）不放回抽樣例4袋中有a只白球，b只黑球．k個56概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件57

例5在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解設(shè)A為事件“取到的整數(shù)能被6整除”，B為“取到的整數(shù)能被8整除”，則所求的概率為：為：6，12，18…1998共333個，所以能被6整除的整數(shù)例5在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)的取一個數(shù)，58AB

為“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率為：其中

B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，AB為“既被6整除又被8整除”或“能被24整除59

例6將15名新生隨機(jī)地平均分配到3個班中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問：(1)每個班各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？解15名新生平均分配到3個班級中去的分法總數(shù)為：例6將15名新生隨機(jī)地平均分60(1)

將3名優(yōu)秀生分配到3個班級，使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法共有3!種.其余12名新生平均分配到3個班級中的分法共有每個班各分配到一名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：(1)將3名優(yōu)秀生分配到3個班級，使每個班級都有61三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)其余12名新生，一個班級分2名，另外兩班各分5名(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率為：三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)其余12名新生，一個班級分2名，另62

例7某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的.問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.周一周二周三周四周五周六周日77777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有解例7某接待站在某一周曾接待過1263周一周二周三周四周五周六周日周二周四2222212次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為即千萬分之三.周一周二周三周四周五周六周日周二周四2222212次接待64

人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）.現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時間是有規(guī)定的.人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試65課堂練習(xí)1o

電話號碼問題

在7位數(shù)的電話號碼中,求各位數(shù)字互不相同的概率.

2o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點數(shù)之和為4的概率.課堂練習(xí)1o電話號碼問題在7位數(shù)的電話號碼中,求662o

生日問題

某班有20個學(xué)生都是同一年出生的,求有10個學(xué)生生日是1月1日,另外10個學(xué)生生日是12月31日的概率.

課堂練習(xí)1o

分房問題

將甲、乙、丙3人等可能地分配到3間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.2o生日問題某班有20個學(xué)生都課堂練習(xí)1o671.2.2幾何概率古典概型的本質(zhì)特征：

樣本空間中樣本點個數(shù)有限，每一個樣本點都是等可能發(fā)生的。問題1.假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時間不超過3分鐘的概率？問題2.已確定失事飛機(jī)的黑匣子可能落在面積1千平方公里的海域，調(diào)查人員每次出海搜索的區(qū)域面積為50平方公里,問能夠找到黑匣子的概率是多少？1.2.2幾何概率古典概型的本質(zhì)特征：樣本空間中樣本68幾何概率模型：把古典概率模型中“樣本點個數(shù)有限”的條件去掉，仍然保留“樣本點等可能發(fā)生”。

此時，不需要再給出每個樣本點發(fā)生的概率幾何概率的計算公式P(A)=———————————————隨機(jī)事件A包含的樣本點測度樣本空間S包含的樣本點測度幾何概率模型：幾何概率的計算公式P(693.古典概型中的“樣本點個數(shù)”也是一種測度。2.幾何概率里的測度一般取為長度、面積、體積等等。關(guān)于“測度”(measure)的理解1.“測度”是一個數(shù)學(xué)概念，它是我們現(xiàn)實生活中的“度量”概念的數(shù)學(xué)抽象(一種集合函數(shù))。4.前面課程中對“概率”的定義就是一種測度定義。3.古典概型中的“樣本點個數(shù)”也是一種測度。70p=—————=——=0.3。解.以兩班車出發(fā)間隔(0，10)區(qū)間作為樣本空間

S，乘客隨機(jī)地到達(dá)，即在這個長度是10的區(qū)間里任何一個點都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問題。例8假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時間不超過3分鐘的概率？□要使得等車的時間不超過3分鐘，即到達(dá)的時刻應(yīng)該是圖中

A

包含的樣本點，0←S→10

A的長度

S的長度310p=—————=——=0.3。解.71p=—————=1

–

——=5/9。解.以7點為坐標(biāo)原點，小時為單位。x，y

分別表示兩人到達(dá)的時間，(

x，y

)構(gòu)成邊長為1的正方形，顯然這是一個幾何概率問題。例9兩人相約于7時到8時在公園見面，先到者等候20分鐘就可離去，求兩人能夠見面的概率。

11

o

x

yS

1/3

1/3他們能見面的充要條件是|

x–

y|

≤1/3，因此，

A

x

–

y=–1/3

x

–

y=1/3

A的面積

S的面積49p=—————=1–——=5/9。72課外閱讀：蒲豐投針試驗

例1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(<a)的針,試求針與任一平行直線相交的概率.解課外閱讀：蒲豐投針試驗例1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Bu73概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件74蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義75歷史上一些學(xué)者的計算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長時間試驗者歷史上一些學(xué)者的計算結(jié)果(直線距離a=1)3.1795876利用蒙特卡羅(MonteCarlo)法進(jìn)行計算機(jī)模擬.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出利用蒙特卡羅(MonteCarlo)法進(jìn)行計算機(jī)模擬.單擊772.最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型

古典概率小結(jié)1.頻率(波動)概率(穩(wěn)定).2.最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型古典概率小結(jié)1.頻率78第三講1.5條件概率與隨機(jī)事件的獨立性第三講1.5條件概率與隨機(jī)事件的獨立性79

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.1.5.1條件概率如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)

在解決許多概率問題時，往往需要在80P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集A中，容易看到P(A|B)1.引例P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，81P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件82P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/832.定義定義設(shè)A、B是兩個事件，且則稱(1)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率.注：若事件A已發(fā)生,且又是B中的樣本點,則此點必屬于AB.因已知A已發(fā)生,故A成為新的樣本空間.用維恩圖表達(dá)(1)式.2.定義定義設(shè)A、B是兩個事件，且則稱(1)為在事件A發(fā)生843.性質(zhì)設(shè)B是一事件,且P(A)>0,則1.對任一事件A,2.3.設(shè)互不相容,則此外,前面所證概率的性質(zhì)都試用于條件概率.計算(1)用定義計算;(2)根據(jù)加入條件后改變了的情況來計算.3.性質(zhì)設(shè)B是一事件,且P(A)>0,則1.對任一事件A,852)從加入條件后改變了的情況去算

1)用定義計算:擲骰子例：A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)2)從加入條件后改變了的情況去算1)用定義計算:86乘法定理乘法定理87概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件88例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不89例2某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有所求概率為解例2某種動物由出生算起活20歲以上的概率為90例3在空戰(zhàn)中，若甲機(jī)先向乙機(jī)開火，則擊落乙機(jī)的概率為0.2;若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3;若甲機(jī)亦未被擊落，則再次攻擊乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為0.4,在這幾個回合中，分別計算甲、乙被擊落的概率。解P241.17例3在空戰(zhàn)中，若甲機(jī)先向乙機(jī)開火，則擊落乙機(jī)的概率為91解解92例4設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.例4設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為93摸球試驗解例5摸球試驗解例594此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.95（一）事件的相互獨立性（二）幾個重要定理（三）例題講解1.5.2隨機(jī)事件的獨立性（一）事件的相互獨立性（二）幾個重要定理（三）例題講解1.596（一）事件的相互獨立性則有1.引例（一）事件的相互獨立性則有1.引例97事件A與事件B相互獨立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).說明

2.定義事件A與事件B相互獨立,是指事件98兩事件相互獨立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考二者之間沒有必然聯(lián)系兩事件相互獨立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨立，但兩事件99由此可見兩事件互斥但不獨立.由此可見兩事件互斥但不獨立.1003.三事件兩兩相互獨立的概念3.三事件兩兩相互獨立的概念101注意三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立4.三事件相互獨立的概念注意三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立4.三事件相互獨立的102n個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立推廣n個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立推廣103證明（二）幾個重要定理證明（二）幾個重要定理104證明例題講解證明例題講解105又因為A、B相互獨立,所以有又因為A、B相互獨立,所以有106兩個結(jié)論兩個結(jié)論107例1設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問題解事件B為“擊落飛機(jī)”,（三）例題講解例1設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名108概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件109例2甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某一密碼，設(shè)甲譯出的概率0.8,乙譯出的概率0.7,丙譯出的概率0.6,求密碼能譯出的概率.解

P16例

1.5.6例2甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某一密碼，設(shè)甲譯出110例3n個人在同一時間分別破譯某一密碼，假定每人能譯出的概率都是0.7,若要以99.9999%的把握能譯出密碼，問n至少為幾？解

可靠性問題例3n個人在同一時間分別破譯某一密碼，假定每人能譯出的111例4甲、乙、丙三臺機(jī)床獨立工作，在同一段時間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.7,0.8和0.9,求在這段時間內(nèi)，最多只有一臺機(jī)床需人照管的概率.解

例4甲、乙、丙三臺機(jī)床獨立工作，在同一段時間內(nèi)它解112概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件113伯恩斯坦反例例5

一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A，B，C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否相互獨立?解由于在四面體中紅、白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此又由題意知伯恩斯坦反例例5一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，114故有因此A，B，C不相互獨立.則三事件A,B,C兩兩獨立.由于故有因此A，B，C不相互獨立.則三事件A,B,C115可靠性問題：

一個元件能正常工作的概率叫做這個元件的可靠性；若干個元件構(gòu)成的系統(tǒng)能正常工作的概率叫做這個系統(tǒng)的可靠性例如設(shè)一個系統(tǒng)由n個元件構(gòu)成的。已知第i個元件的可靠性為pi

(i=1,2,…，n)，并且各個元件能否正常工作是相互獨立的,

試討論：（1）由這n個元件串聯(lián)而成的系統(tǒng)的可靠性；（2）由這n個元件并聯(lián)而成的系統(tǒng)的可靠性。設(shè)事件Ai表示第i個元件能正常工作，則且n個事件A1,A2,…,An是相互獨立的?？煽啃詥栴}：一個元件能正常工作的概率叫做這個元件的可靠性；11612n（1）對于串聯(lián)系統(tǒng)：設(shè)B1表示該串聯(lián)系統(tǒng)正常工作。則（2）對于并聯(lián)系統(tǒng)：12n設(shè)B2表示該系統(tǒng)正常工作,則表示該系統(tǒng)不能正常工作,12n（1）對于串聯(lián)系統(tǒng)：設(shè)B1表示該串聯(lián)系統(tǒng)正常工作。117P17,例1.5.7貝努利概型與二項概型P17,例1.5.7貝努利概型與二項概型118例

考察橋式系統(tǒng)，五個元件獨立工作并組成橋式系統(tǒng)，其可靠度均是p，求此系統(tǒng)的可靠度。

由圖分析：有4條通路中至少一條正常時系統(tǒng)就正常，但并集計算太麻煩，如果把A5單獨拿掉，則剩下的就是并中串聯(lián)的問題例考察橋式系統(tǒng)，五個元件獨立工作并組成橋式系統(tǒng)，119概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件1201.5.3貝努利概型與二項概型定義：有一隨機(jī)試驗，觀察事件A發(fā)生與否，將此試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱此模型為n重貝努利概型。求在n次獨立試驗中事件A發(fā)生k次的概率。1.5.3貝努利概型與二項概型定義：有一隨機(jī)試驗，觀察事件121而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：122例6某車間有10臺同類型的機(jī)床，每臺機(jī)床配備的電動機(jī)功率為10千瓦，已知每臺機(jī)床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，且開動與否是相互獨立?，F(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門經(jīng)研究只提供50千瓦的電力給這10臺機(jī)床，問這10臺機(jī)床能夠正常工作的概率。例6某車間有10臺同類型的機(jī)床，每臺機(jī)床配備的電動機(jī)功率123概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件1241.條件概率小結(jié)乘法定理1.條件概率小結(jié)乘法定理125概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件126概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件127記住如下的獨立事件的公式會給許多運算帶來方便記住如下的獨立事件的公式會給許多運算帶來方便128例（94,3分）例(06數(shù)學(xué)一，4分）例（94,3分）例(06數(shù)學(xué)一，4分）129提示：請注意下列關(guān)系：例題提示：請注意下列關(guān)系：例題130第四講1.6全概率公式與貝葉斯公式第四講1.6全概率公式與貝葉斯公式131

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜132(1)樣本空間的劃分(1)樣本空間的劃分13321有三個罐子,1號裝有2紅1黑球,2號裝有3紅1黑球，3號裝有

2

紅

2

黑球.某人從中隨機(jī)取一罐，在從中任意取出一球，求取得紅球的概率.3引例：

如何求取得紅球的概率？？？21有三個罐子,1號裝有2紅1黑134(2)全概率公式全概率公式(2)全概率公式全概率公式135圖示證明化整為零各個擊破它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.圖示證明化整為零它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若136

某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,…,n),如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是

每一原因Bi都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解全概率公式：某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,213721解

記Bi={

球取自

i

號罐

}

i=1,2,3;

A={

取得紅球

}因為A發(fā)生總是伴隨著B1,B2,B3之一同時發(fā)生，B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分．有三個罐子,1號裝有2紅1黑球,2號裝有3紅1黑球，3號裝有

2

紅

2

黑球.某人從中隨機(jī)取一罐，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率.代入數(shù)據(jù)計算得：P(A)≈

0.639

.3再看引例１

依題意:P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=1/2,21解記Bi={球取自i號罐}i=1,138引例２：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號罐的概率.213這是“已知結(jié)果求原因”的問題．是求一個條件概率.下面就介紹為解決這類問題而引出的Bayes(貝葉斯)公式引例２：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是139稱此為貝葉斯公式.

(3)貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式.(3)貝葉斯公式140證明

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.證明該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它141

某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號罐的概率.再看引例２

21解

記Bi={

球取自

i

號罐

}

i=1,2,3;

A={

取得紅球

}B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分．代入數(shù)據(jù)計算得：3其中P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=1/2,P(Bi)=1/3,i=1,2,3，某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1142例3例3143解解1441)由全概率公式得2)由貝葉斯公式得1)由全概率公式得2)由貝葉斯公式得145概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件146例4

有一臺用來檢驗產(chǎn)品質(zhì)量的儀器，已知一只次品經(jīng)檢驗被認(rèn)為是次品的概率為0.99，而一只正品經(jīng)檢驗被認(rèn)為是次品的概率0.005，已知產(chǎn)品的次品率為４％，若一產(chǎn)品經(jīng)檢驗被認(rèn)為是次品，求它確為次品的概率．解例4有一臺用來檢驗產(chǎn)品質(zhì)量的儀器，已知一只次品經(jīng)147由貝葉斯公式，所求概率為由題設(shè)知由貝葉斯公式，所求概率為由題設(shè)知148例5、產(chǎn)品整箱出售，每箱20個。各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.7，0.2，0.1。一位顧客欲購買一箱產(chǎn)品，在購買時，營業(yè)員隨機(jī)地取一箱，而顧客從中任取4只檢查，若無次品，則買下該箱產(chǎn)品，否則退貨，求（1）顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；（2）已知顧客買下一箱產(chǎn)品，則該箱都是正品的概率為多少？例5、產(chǎn)品整箱出售，每箱20個。各箱有0，1，2個次品的概率149條件概率全概率公式貝葉斯公式4.小結(jié)乘法定理條件概率全概率公式貝葉斯公式4.小結(jié)乘法定理150貝葉斯資料ThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England貝葉斯資料ThomasBayesBorn:1702in151例1(93數(shù)學(xué)一）12個產(chǎn)品中有2個次品，，無放回連續(xù)取2次，求第二次取到次品的概率補(bǔ)充題目例1(93數(shù)學(xué)一）12個產(chǎn)品中有2個次品，，無152例2、袋中N個球，其中紅球個數(shù)從0～N等可能，每次從中任取1球，觀察其顏色后放回，如此重復(fù)了k次。結(jié)果k次都觀察到紅球，問袋中全是紅球的概率。例2、袋中N個球，其中紅球個數(shù)從0～N等可能，每次從中任取1153例3(05數(shù)學(xué)一）從1，2，3，4中任取一個數(shù)記為X,再從1，…，X中任取一個數(shù)記為Y,試求P(Y=2)例3(05數(shù)學(xué)一）從1，2，3，4中任取一個數(shù)記為X,154例4(96數(shù)學(xué)一）設(shè)工廠A和工廠B產(chǎn)品的次品率分別為1％和2％，現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60％與40％的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬A生產(chǎn)的概率是————例4(96數(shù)學(xué)一）設(shè)工廠A和工廠B產(chǎn)品的次品率分別為1155例5(97數(shù)一，3分）

袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球，今有2個人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是_______由全概率公式：例5(97數(shù)一，3分）袋中有50個乒乓156例6發(fā)報臺分別以概率0.6及0.4發(fā)出信號“·”及“-”，由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“·”時，收報臺以概率0.8及0.2收到信號“·”及“-”；又當(dāng)發(fā)出信號“-”時，收報臺以概率0.9及0.1收到信號“-”及·”，求1）當(dāng)收報臺收到信號“·”時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“·”的概率；2）當(dāng)收報臺收到信號“-”時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“-”的概率。設(shè)表示發(fā)報臺發(fā)出信號“·”，設(shè)表示發(fā)報臺發(fā)出信號“-”。B表示收報臺收到信號“·”，C表示收報臺收到信號“-”，例6發(fā)報臺分別以概率0.6及0.4發(fā)出信號“·157（1）（2）則由已知：（1）（2）則由已知：158例7

(99,3分）例7(99,3分）159例8(98數(shù)學(xué)一）分析即

例8(98數(shù)學(xué)一）分析即160概率論與數(shù)理統(tǒng)計(ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一161內(nèi)容提要1隨機(jī)事件與概率2離散型隨機(jī)變量及其分布3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4隨機(jī)變量的數(shù)字特征5大數(shù)定律與中心極限定理6數(shù)理統(tǒng)計的基本概念7參數(shù)估計8假設(shè)檢驗內(nèi)容提要1隨機(jī)事件與概率162課程教育目標(biāo)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等學(xué)校工科本科各專業(yè)的一門重要的理論基礎(chǔ)課。通過本課程的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，了解它的基本理論和方法，從而使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)事件的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生運用概率統(tǒng)計方法分析和解決實際問題的能力。課程教育目標(biāo)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)163第一講1.1隨機(jī)事件1.3頻率與概率1.4概率的公理化定義與性質(zhì)第一講1.1隨機(jī)事件164§1.1

隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象(RandomPhenomenon)隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，事先不能斷言會出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。例：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面或反面的情況?！?.1隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象(RandomPhe1652.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.問題(problem):什么是隨機(jī)試驗?(Experiment）如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)的形式加以描述.2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量166（3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預(yù)先知道。－－必然性（統(tǒng)計規(guī)律性）隨機(jī)試驗（RandomExperiment）必需滿足：（1）在相同條件下，可以進(jìn)行大量次重復(fù)試驗。――可重復(fù)性（2）每次試驗中可以出現(xiàn)不同的結(jié)果，而不能預(yù)先知道發(fā)生哪種結(jié)果。――偶然性隨機(jī)試驗一般用字母E表示。（3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預(yù)先知隨機(jī)試驗（Rando167例1E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T）出現(xiàn)的情況。例2E2：將一枚硬幣擲3次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。例3E3：擲一枚骰子，觀察點數(shù)。例4E4：記錄某網(wǎng)站在1分鐘內(nèi)的點擊次數(shù)。例5E5：觀察某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命t。例1E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T1681.1.2樣本空間(SampleSpace)

定義

將隨機(jī)試驗

E所有可能的結(jié)果組成的集合稱為E

的樣本空間，記為或

S。樣本空間的元素，即E

的每個結(jié)果，稱為樣本點。

1

:{H,T}投硬幣一次H:headT:tail

2

:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}

3

:{1,2,3，4,5,6}擲骰子4

:{0,1,2,3……}

網(wǎng)站點擊次數(shù)5:

{t|t0}燈泡壽命1.1.2樣本空間(SampleSpace)定義169隨機(jī)試驗E

的樣本空間

的子集，稱為E

的隨機(jī)事件,簡稱事件.用大寫字母A,B,C……表示。試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.1.1.3隨機(jī)事件(Randomevents)基本事件:有一個樣本點組成的單點集；必然事件:樣本空間

本身；不可能事件:空集。我們稱一個隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)．實例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).隨機(jī)試驗E的樣本空間的子集，稱為E的隨機(jī)事件,170例如：

2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}

表示“第一次出現(xiàn)的是正面”

5中事件B1={t|t1000}

表示“燈泡是次品”事件B2={t|t1000}表示“燈泡是合格品”

事件B3={t|t1500}

表示“燈泡是一級品”

例如：2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT171小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1.條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗來研究的.3.隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系

每一個隨機(jī)試驗相應(yīng)地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個特殊的隨機(jī)事件小結(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1.條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象17210事件的關(guān)系（包含、相等）例：記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

AB1.1.4事件間的關(guān)系與運算AB1.1.4事件間的關(guān)系與運算173AB

20和事件

30積事件ABAB20和事件30積事件A174ABA

40差事件AB

ABA40差事件AB175BA50互不相容事件（互斥事件）60對立事件A結(jié)論：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（互逆事件）(Mutuallyexclusive)(Mutuallyinverse)BA50互不相容事件60對立事件A結(jié)論：A、176隨機(jī)事件的運算規(guī)律冪等律:交換律:結(jié)合律:分配律:DeMorgan定律:隨機(jī)事件的運算規(guī)律冪等律:交換律:結(jié)合律:分配律:De177例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，每種球都不止一個，一次任取兩個球，觀察它們的顏色。設(shè)A＝{兩個同色球}，B＝{至少一個紅色球}，問A∪B由哪些基本事件組成？解：A={RR,YY,WW}B={RR,RY,RW}A∪B={RR,YY,WW,RY,RW}例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，解：A={RR,Y178（2）三個事件至少有一