《高等數(shù)學(xué)一》期末復(fù)習(xí)題與答案-26011462418282891

......下載可編輯.《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題一、選擇題x2x2xx

x)的結(jié)果是（ ）（A）0 （B） （C）12

不存在2、方程x33x10在區(qū)間(0,1)內(nèi) （ ）（A）無(wú)實(shí)根 （B）有唯一實(shí)根 （C）有兩個(gè)實(shí)根（D）有三個(gè)實(shí)3、f(x)是連續(xù)函數(shù),則f(x)dx是f(x)的 （ ）一個(gè)原函數(shù)；(B)一個(gè)導(dǎo)函數(shù)；(C)全體原函數(shù)；(D)全體導(dǎo)函數(shù)4、由曲線ysinx(0x)和直線y0所圍的面積是 （ ）（A）1/2 (B)1 (C)2 (D)5、微分方程yx2滿足初始條件y| 2的特解是 ( )x01 1（A）x

（B）

x3 （C）x32 （D）x33 36、下列變量中，是無(wú)窮小量的為（ ）1 x2(A)lnx(x(B)ln(x0)(C)cosx(x0) (D) (x2)x x247、極限lim(xsin11sinx)的結(jié)果是（ ）x0 x x（A）0 （B）1 （C）（D）不存在8、函數(shù)yexarctanx在區(qū)間上（ ）單調(diào)增加 （B）單調(diào)減小 （C）無(wú)最大值 （D）無(wú)最小值9、不定積分

xx21

dx= （ ）1 1arctanx2C (B)ln(x21)C (C)2arctanxC10、由曲線yex(0x和直線y0所圍的面積是（ ）（A）e1 (B)1 (C)2 (D)edyxy

ln(x21)C211、微分方程dx

的通解為 （ ）（A）

yCe2

（）

1x2yyCe

yeCx

（D）

yCex212、下列函數(shù)中哪一個(gè)是微分方程y3x20的解( )（A）yx2 （B） yx3 （C）y3x2 （D）yx313、函數(shù)

ysinxcosx1 是 （ ）x1奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)14、當(dāng)x0x1（A）ex1

(B)ln(x1) (C)sin(x(D)15、當(dāng)x時(shí)，下列函數(shù)中有極限的是 （ ）x1（A）

(B)

cos

1(C)

arctanxx21 ex16、方程x3px10(p0)的實(shí)根個(gè)數(shù)是（ ）（A）零個(gè) （B）一個(gè) （C）二個(gè)（D）三個(gè)17、(

)dx（ ）（A）

1x211x2

11x2

C （C）arctanx （D）arctanxc18、定積分ba

f(x)dx是 （ ）（A）一個(gè)函數(shù)族 （B）f(x)的的一個(gè)原函數(shù)（C）一個(gè)常數(shù) （D）一個(gè)非負(fù)常數(shù)x2x2119、函數(shù)

yln x

是（ ）（A）奇函數(shù)（B）偶函數(shù) （C）非奇非偶函數(shù)（D）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)20、設(shè)函數(shù)

fx在區(qū)間,上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且fx0，則( )(A)

f00 (B)ff0 (C)f0 (D)ff0221y

1e

2，則下列選項(xiàng)成立的是（ ）沒有漸近線 (B)僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (D)僅有水平漸近22、(cosxsinx)dx( )（A）sinxcosxC

sinxcosxC（C） sinxcosxC sinxcosx（C） n(1)n23、數(shù)列{ n }的極限為（ ）（A）1 (B)1 (C)0 (D)不存24、下列命題中正確的是（ ）（A）有界量和無(wú)窮大量的乘積仍為無(wú)窮大量（B）有界量和無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量?jī)蔁o(wú)窮大量的和仍為無(wú)窮大量 （D）兩無(wú)窮大量的差為零25、若f(x)g(x)，則下列式子一定成立的有（ ）(A)

f(x)g(x) (B)df(x)dg(x)(C)(df(x))(dg(x)) (D)f(x)g(x)126、下列曲線有斜漸近線的是( )yxsinx (B)yx2sinx1 1yx

yx2sinx x二、填空題lim1cosx1、x0 x22、 311

f(x)e2x2，則f'(0)(x3cosx5x4

etdx5、微分方程yy0滿足初始條件y| 2的特解為x0limx246、x2

x3limx2x27、極限

x2 x248、設(shè)

yxsinx1,

f( )29

1(xcosx1)dx110、

31x2

dx11、微分方程ydyxdx的通解為1211

5x4dx13x

xsin2xx14、設(shè)ycosx2，則dy15、設(shè)

yxcosx3,f(16、不定積分

exdex17、微分方程ye2x的通解為dy 1yy2e2x

y2e2xdx y2

dye2xdx11dye2xdx1 e2xC1y2 y 2x0,y2代入上式可得到C01 1所求的特解為

e2x或者y2e2xy 218、微分方程lnyx的通解是219、)3x＝2x x20、設(shè)函數(shù)

yxx,則y21、

lim(1

2

n)的值是n

n2 n2 n2limx(x1)(x2)22、x 2x3

x323、設(shè)函數(shù)

yxx,則dylim

2x23x124、

x0 x425、若f(x)e2xsin

，則f'(0)626

a2(1sin5x)dx (a為任意實(shí)數(shù)).a27、設(shè)yln(ex1)，則微分dy .28、

2(cosx2

x31x2

)dx .三、解答題1（9）

y x16 2x 的定義域。2（10）

f(x)x(x1)(x2)L(x2014)，求f(0)。1 13（本題滿分10分）設(shè)曲線方程為y x3 x26x1,求曲線在點(diǎn)(1)處的切線方程。3 24（10）yxyx2所圍成的平面區(qū)域的面積。x2 x15（10）

f(x)3x x

在x1處的連續(xù)性。

2x36（本題滿分10分）求微分方程dx 的特解。y|

3x17（9）

y2 x4cos 5x 的定義域。8（10）

fxxx1)(x2)Lxn) (n2)f(0)。9（10）x22xy3y23，求曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程。10（10）yexy1x1所圍成的平面圖形的面積（如下圖．11（10）

x xf(x)ex1 x0

在x0處的連續(xù)性。12（10）求方程

y2)dx(1x2)dy0的通解。13（10）x57x4在區(qū)間(1,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。14（10）

fxxx1)(x2)Lx2015)f(0)。15（10）eyxye在點(diǎn)（0，1）處的法線方程。16（10）ycosxy2,x

及y軸所圍成平面圖形的面積。217（10）

cosx x0f(x)x1 x

在x0處的連續(xù)性。 1xy218（10）dx

xy

的特解。y|

1x019（20）曲線a2yx2 (0a1)將邊長(zhǎng)為1的正方形分成A、B兩部分如圖所示其中A 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體,記其體積為V

，B繞y,記其體積為V.A B問當(dāng)a取何值時(shí),VA

V的值最小.Ba2a2yx21BAoa120（20）4底線的方向帶球前進(jìn)，問：該球員應(yīng)在離底線多少米處射門才

x 65.2221（10）

f(x)xln(1t

0)，

f(x)

1f( ).dt (1 tdt (22、證明題（本題滿分10分）f(x在上連續(xù),在0,3內(nèi)可導(dǎo),f(0)f(1)f(2)3f(3)1。試證必存在一點(diǎn)0,3f0.23、（本題滿分20分）一火箭發(fā)射升空后沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，在距離發(fā)射臺(tái)4000m處裝有攝像機(jī)，攝像機(jī)對(duì)準(zhǔn)火箭。用h 表示高度，假設(shè)在時(shí)刻t ，火箭高度h=3000m，運(yùn)動(dòng)速度等于300m/s,（1）用L表示火箭與攝像機(jī)的距離，求在t時(shí)刻L的增加速度.0 0（）用表示攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度，求在t時(shí)刻的增加速度.0《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題答案一、選擇題( x2x( x2xx)( x2xx)( x2xx)( x2xx)x2x2x

x)lim

(x2xx2

lim x( x2x( x2xx)

x

x(x2x1)x2(x2x1)x2x

lim 1 1(111)xx(111)x2、B 解答：設(shè)f(x)x33x1，

f(0)1,f(1)1有零點(diǎn)定理得f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因，fx)3x230 可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。3、C，4、Csinxdx205、D解答：直接積分法y

1x3C3

代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得C2，6、A解答：因?yàn)閘imlnxln1x1

所以此時(shí)是無(wú)窮小量。，7、Clim(xsin11sinx011x0 x x18、Ayex

1x2

0，所以單調(diào)增加。9、D解答：

dx1

1dx2

1

1 d(x21)

ln(x21)C1x21 2 x21 2 x21 2110、A1exdxex011、B解答：先分離變量，兩端再積分

1e10dyxy1dyxdx1dyxdxlny1x2Cdx y y 2 1所求通解為

yCe1x2212、D解答：直接積分法2

yx3C C0yx3，13、C解答：

ysinxcosx1是奇函數(shù)加上偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)。14、Blimln(x1)ln1x0

所以此時(shí)是無(wú)窮小量。，15、A解答：limx1lim x1 lim 1 0 其它三項(xiàng)極限都不存在。xx21 x(x1)(x1) x(x1) ，16、B解答：設(shè)f(x)x3px1，則

f(0)1,f(1)p0，有零點(diǎn)定理得f(x)在區(qū)間(1,0)內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因，f(x)3x2p0 可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。，17、B解答：求導(dǎo)與求積分是互逆的運(yùn)算，先求導(dǎo)再求積分，是所有原函數(shù)所以選B......下載可編輯.18、C解答：考察定積分的概念，定積分計(jì)算完以后是一個(gè)確切的常數(shù)，可能是正數(shù)，也可能是0，還可能是負(fù)數(shù)。19、A解答：由偶函數(shù)的定義去判斷即可，設(shè)yf(xln x x21，則 xxx21

x21x2xx21x2x

x21x2f(x)lnx

ln

1x

ln

x21xx21 1 x21ln

x21x

ln x

f(x)20、B

fx0ff021、C解答：lim

2 =2y2

2 =x0x是鉛直漸近線。

1ex2

x01ex222、D考查定積分的性質(zhì)與基本的積分表(cosxsinx)dxsinxcosxCn(1)nn23、A解答：分子分母同時(shí)除以n可以得到lim 1nn24、B解答：考查無(wú)窮小量的重要性質(zhì)之一，有界量和無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量，其它選項(xiàng)都不一定正確。25、Cf(xg(xdf(xdg(x(df(x))dg(x))，其它選項(xiàng)都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜漸近線的方法可得xsin1yxsin1klimylim xlim101blim(ykxlim(xsin1xlimsin10，所x xx x

x

x

x x x求斜漸近線為yx。其它選項(xiàng)都沒有。二、填空題1 1cos

12x2 11、 解答：1cosx~1x2 lim lim 2 2 x0

x2x0

x2 2或者用羅比達(dá)法則也可以求解。22解答：f(x)e2x2fx2e2xf(0)23、2 解答：應(yīng)用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的積分為01(x3cosx5x1dx

(05xx=

(0+01dx=1dx=21 1 1 14、etxC 分析：被積函數(shù)et相對(duì)于積分變量來(lái)說(shuō)是常數(shù)，所以etdxetxC5、y2ex 解答：yy0yCex，代入初始條件y|x02得到2Ce0C2所求特解為y2exx24 224 06、0解:lim lim lim 0x2x3 x223 x253 x2x2 (x2)(x1) (x1) 21 37、 解:lim lim lim lim 4 x2

x24

x2(x2)(x2) x2(x2) x222 48、1解:

yxsinx1ysinxxcosx

( )sincos12 2 2 29、2解：應(yīng)用性質(zhì)，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為01(xcosx013arctanxC

11dx21

3 dx3arctanxC10、

1x211y2x2C解對(duì)方程ydyxdx兩端積分ydyxdxy2x2C122

15x4dx215x4dx2x1 01sin2x

12013、1 解

lim

xsin2x

x lim101x x

x 1

x 1142xsinx2dxdyydx，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分ycosx2ysinx22x2xsinx2dy2xsinx2dx15、1 解：yxcosx3ycosxxsinxf)cossin116、

1e22

C 解：將ex看成一個(gè)整體，利用湊微元法得exdex e2xC121117、y e2xC 解：先分離變量，再積分得通解12ye2xdye2xdye2xdxdye2xdxy1e2xCdx 218、yexC 解：先整理，再分離變量求通解lnyxyexydyexdxyexCe6

2 2(x)(6)19、

lim(1)3

lim(1)

e6x x x x20、xx(1) 解：本題是冪指函數(shù)，利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)yxxlnyxlnx1

lnxx 1lnxyy(1lnx)xx(1lnx)y 1y y 121、2 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次冪都是2次冪，自變量趨于無(wú)窮大，極限等于最高次冪的系數(shù)之比(1n)nlim(12L

n 123...)lim

lim 2 1nn2

n2 n n2

n n2 222、

1 x(x1)(x2) 1解：分子分母最高次冪都是3次冪，自變量趨于無(wú)窮大，極限等于最高次冪的系數(shù)之比lim 2 x 2x3x3 223、xx(lnx1)dx解：由微分的定義dyydx，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分，本題是冪指函數(shù)可以利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)y 1yxxlnyxlnxdyxx(1lnx)dx

lnxx 1lnxyy(1lnx)xx(1lnx)y x1 2x23x1 01 124、 解：lim lim 4 x0

x4

x004 425、2 解：先求導(dǎo)數(shù)，再代入具體數(shù)值f(x)2e2xf(0)2e0226、2 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)a2(1sin5x)dxa21dx227、

ex

dy

a a，先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分ex1yln(ex

1)y

ex dy ex dxex1 ex128、2 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)2(cosx2

x31x

)dx222

cosxdx2

2cosxdx2.0三、解答題1（9）x102x0x1解得x 2所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1，2]2（10）f(0)x0

f(x)f(0)x0lim(x1)(x2)L(x2014)2014!x03（10）xyx2x6x0

6(0,1)從而可得：切線方程為

y16(x0) y6x14（10）y10解：作平面區(qū)域，如圖示yx

y=x=x2y1xyx2（，（，）x2 x31 10所求陰影部分的面積為：S1(xx2)dx= =005（10）

2 3 6解：Q

limf(x)limx23f(1)x1 x1limf(x)lim3x3f(1)x1 x1fx)x1處是連續(xù)的。6（10）解：將原方程化為dy

(2x兩邊求不定積分，得

dy

(2x

yx23xC將y| 3代入上式，有313C，所以C1，x1故原方程的特解為

yx23x1。7（9）x405x0......下載可編輯.x4解得x 5所以函數(shù)的定義域?yàn)閇4，5]8（10）f(0)x0

f(x)f(0)x0lim(x1)(x2)L(xn)n!x09（10）x2xy

xy)6yy0將點(diǎn)（2，1）

y 1(2,1)10（10

y1x2) xy30解：所求陰影部分的面積為S

1(ex0(exx)10e211（10）解：Q

limf(x)limex

10f(0)x0 x0limf(x)limx0f(0)x0 x0fx)x0處是連續(xù)的。12（10）解：由方程(1

y2)dx(1x2)dy0，得dy dx1y2 1x2

dy 1y2

dx1x2得arctanyarctanxCarctan

arctanxCytan(arctanxC)13（10）解：令Fxx57x4，F(xiàn)x在上連續(xù)F(1)100，F(xiàn)(2)140由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)，使得函數(shù) Fx57x40在區(qū)間(1,214（10）

5740，f(0)limfxf(0)lim(x1)(x2)Lx2015)2015!x015（10

x

x0解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得eyyyxy0將點(diǎn)（0，1）

y(0,1)

1e從而可得： 法線方程

yex1y=22xy=cosx2y=22xy=cosx2x02220S2(2cosx)dx (2xsinx)0(2 sin )012 217（10）解：Q limf(x)limcosx1f(0)x0 x0limf(x)lim(x1)1f(0)x0 x0fx)x0處是連續(xù)的。18（10dy解：將原方程化為dx

y21

dy1y2

(1x)dx兩邊求不定積分，得arctanyx

2x2Cy

x0

1得到C41 1 故原方程的特解為arctan

x x2 或ytan(x x2 ).2 4 2 419（20）解：A由以[0,a

x2的曲邊梯形和 ya2ya2yx21BAoa1以[a為高的矩形兩部分構(gòu)成.由切片法可得：V A

ay2dx12a)0a 4 a4 0

x4dx(1a)(1a)，5 x1 1 V x2dy a2 ydy a21 1 B 0 0 24 1F(a)VA

V a) a2，a(B 5 2由F(a)4a0，駐點(diǎn)為:a5 5F(aF(aa

4F(a).5或者,又F(a)4a5

0, a4為極小值點(diǎn)，亦最小值點(diǎn)，5可見：當(dāng)a4時(shí)，V5 A

V.B20（2020（20）解：由題意可得張角x滿足arctan10arctan6xxddx10x2661100 136x210x236 x2100 240