夏顯奇矢量三角形法則在物理解題中的應用

夏顯奇（師大學

2011

級學科教學（物理）教育碩士）摘要：

矢量合成的平行四邊形定則可以用矢量三角形法則來等效替理問題迅速得到解決,而且非常直觀顯見、簡捷。關鍵詞：矢量三角形；動態(tài)平衡；極值；拋體運動；直觀1.

引言矢量概念是高中物理教學中引進的重要概念之一，在物理中，將有大小和方向的量稱為矢量，如力、位移、速度、加速度、動量、沖四邊形法則導出的矢量三角形法則進行分析求解就顯得很方便快捷。矢量三角形法則作圖簡單，線條較少，圖象清晰，在討論某些變化的矢量或矢量的增量時，有時比平行四邊形法則更清楚、方便。矢量三角形不但可以處理力的問題，它同樣可以處理與速度、加速度、動量等有關的矢量問題。2.

矢量三角形的建立2.1

矢量三角形

1

o

F

FF

F

o

F

F

o

F

F

F

在

圖

1

甲中，

F

是共點力F

和

F

的合力，構成平行四邊形，該

乙所示，從點出發(fā)，把代表F

和F

的線段

、首尾相接地畫出來，

連接和C，從指向C的矢量就表示合力

F

的大小和方向。上述作首尾相接，分矢量與合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形，如圖

1

丙所示，同樣可以求出

F

和F

的合力F

。圖1

乙、丙中矢量三角

uur

uur

形的數(shù)學表達式為:F

F

F。

2.2

矢量三角形

2F

F

FF

F

F

F

三個力F

、F

、

F

使物體處于平衡狀態(tài)，如圖2

甲，由力的平衡知 識知道，

F

、F

的合力

F與力F

等大、反向，如果把

F

平移到

F的

2

2

乙中矢量三角形的數(shù)學表達式為:F

F

F

。若一個物體在三個共點力作用下處于平衡狀態(tài)， 則代表三個力的有向線段必定構成首尾相接的封閉三角形。3.

用矢量三角形解動態(tài)平衡問題衡。因此，我們也可以把動態(tài)平衡稱為準靜態(tài)平衡。

3.1

常見動態(tài)平衡問題的分類3.1.1

三個參量不變高中階段接觸的力學動態(tài)平衡問題，一般物體只受三個力，分析這三個力的大小、方向總共六個參量中，大都會有三個參量不變。力的大小或方向。3.1.1.1

一力為恒力，另一個力方向恒定情形三力中有一個力確定，即大小、方向不變，另一個力方向確定，這個力的大小及第三個力的大小、方向變化情況待定。如圖

3

中F

的大小和方向恒定，力F

的方向確定，三個力構成閉合矢量三角

F

F

F

態(tài)。F

的大小單調變化，F(xiàn)

的大小變化不單

F

調，存在極小值，且方向將變化。3.1.1.2

一力為恒力，另一個力大小恒定情形這個力的方向及第三力的大小、方向變化情況待定。圖4中若力F

F

的 方向將變化，F(xiàn)

的大小單調變化，方向可

F

能出現(xiàn)重復性。如果題目對力

F

的角度加

F以限制，那么F

的方向變化也可能是單調

F

的。因此，常規(guī)的動態(tài)平衡問題總體形態(tài)

F

分布比較明確，抓住三個不變的參量，構建合理的力的矢量三角形，

利得解。例

1

如圖

5

所示，在“驗證力的平行四邊形定則”實驗中，用Ａ、Ｂ兩只彈簧稱把橡皮條上的節(jié)點拉到某一位置Ｏ，這時兩繩套ＡＯ、

示

數(shù)

不

變

而改

簧稱Ｂ的拉力大小及β角，則下列調整方法中可行的是（Ａ）增大Ｂ的拉力，增大β角（Ｂ）增大Ｂ的拉力，β角不變（Ｃ）增大Ｂ的拉力，減小β角（Ｄ）Ｂ的拉力大小不變，增大β角解析：因為節(jié)點Ｏ不變，故左邊橡皮條上的拉力Ｆ大小和方向均F

圖

6

F

均為力F

的拉力F

矢量，這樣就畫出了表示可能的三力關系的三角形集合圖，3.1.2

兩個參量不變這樣的動態(tài)平衡問題就很特殊。進一步分析可知，這兩個不變的參量往往是某個力的大小、方向同時不變，即有一個力是恒力。恒力外的其他兩力方向受條件（如空間方位、大小尺寸、運動軌跡等）

的定性約束，從而可以判斷方向變化趨勢，在這類特殊習題中，挖掘并正確解讀這些信息對解決問題是至關重要的。3.1.2.1

三力中有一個力確定，即大小方向不變，另二力方向變化有依據(jù)，判斷二力大小變化情況。例

2

建筑工人通過安裝在樓頂?shù)囊粋€定滑輪，將建筑材料運送

7

工人（未畫出）要用繩

拉住材料，使它與豎直墻面總保持一定的距離l。若不計兩根繩的重力，在建筑材料被提起的過程中，繩的拉力F

和繩的拉力F

的大小將如何變化。 F

解析：

點在拉力F

、F

和F

(材料

F

對點的拉力，大小等于材料的重力)3

個力作用下處于動態(tài)平衡狀

l

F

的F

F

大小和方向不變，

F

和水平方向間的夾角逐漸減小，F(xiàn)

和水平方向間的夾角逐漸增大，點受力情況用矢量三角形如圖

7

乙所示，從圖中可以看出，F(xiàn)

、F

都在增大。 3.1.2.2

一力為恒力，另兩力夾角恒定情形束關系，兩力夾角始終不變。例

3

如圖

8

所示，物體

用兩根繩子懸掛，開始時繩

水平，現(xiàn)將兩繩同時順時針緩慢轉過

，轉動過程中始終保持

角不變

（

的拉力為

的拉力為

，

則在此旋轉過程中(A)

先減小后增大(B)

先增大后減小(C)

逐漸減小(D)

最終變?yōu)榱憬馕觯?/p>

、

的合力

的大小、方

從水

平到豎直的順時針轉動過程中，設繩

與豎直方向的夾角為

，且不斷減小。選取繩子在轉動過程中的任一狀態(tài)，并構成如圖

9

所示的力的矢量三角形

如圖

9

所示。由幾何知識可知，力的矢量三角形的三個定點C、

、位于同一圓周上，是長度、位置均不變的固定弦，因此所對的圓周角大小也不變（角大小為

，如圖所示。 弦依據(jù)題意，

沿圓周從水平方向緩慢轉到豎直位置的過程中，

弦

；弦 一直變短，當弦

與弦重合時，弦

為零，即表明力

的大小 一直減小，存在的極小值為零。3.1.2.3

一個力恒定不變，另外兩個力的大小方向均發(fā)生變化例

4

光滑半球固定在水平面上，懸點

處有一大小不計的定滑緩慢上滑一段距離。則半球對小球的支持力N

和細繩對小球的拉力

的大小將如何變化。

解析：

在小球沿半球面緩慢上滑過程中，除重力大小和方向之外的四個參量都可能變化，但小球在上滑時，繞半球的球心在轉動，

長度始終不變是該題的重要特征。依題意知，與恒定的重力對應的豎直邊

長度一定，且其余的對應邊都互相平行或共線，將力的矢量三角形與幾何三角形類比，對應邊成比例。如圖

10

所示，由三角形相似關系得

N

逐漸變短，故支持力N

大小不變，拉力

變小。4.

用矢量三角形求物理量的極值點。如果能熟練運用它，不僅節(jié)省時間，而且不容易出現(xiàn)錯誤。例

5

質量為m

的物體放在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因素為

，欲使物體勻速向右運動，求拉力F

的最小值？ F

N

F

FF

F

FNFN

mg

mg

11

所示）。F

和

F

F

。在F

、mg和F

三力構成的矢量三角形中，N 當F

和F

正交時，F(xiàn)

取最小值。由圖可知：

FFN

，

(1)而F

mg

，故F

mg

(2)力與水平方向的夾角

例

6

表面光滑的均質球重mg，置于傾角為

的斜面上，如圖12所示。當擋板與斜面的夾角

為何值時，F(xiàn)

擋板對球的作用力有極小值。NFNF

N

mg

mg

F

N甲

解析：

圖

12

時，量三角形可看出，當

F

與

F

正交時，

F

取極小值。即

時，N N N

。

。

(3)N

mg

例

7

把重為mg的物體放在

F

傾角為

的斜面

FF

N

mg上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為

。若使物體沿斜面向上滑動，求拉力的最小值。FF

N

F

F

mg

受力如圖

13

mg、F

、F

、F

4

個力。根據(jù)力的平衡條件，做矢量圖，F(xiàn)

與F

正N N 交，合力為F

。在F

、

mg和F

三力構成的矢量三角形中，當

F

和F 正交時，F(xiàn)

取最小值。則F

mg

)。

(4)因

F

mg

)。

(5)例

8

水面上有、兩船，

船以速度

沿MN

直線，從點如船從距直線為d

的

點勻速追趕

M

NL

d船，

L。若能趕上船，求船的最小速度。

船解析：根據(jù)速度矢量的合成，若?。链瑸閰⒖枷担?/p>

形如圖

14，只有當

與ｖ正交時，

才取極小值。

故：

dL

(6)方向：

d

，即圖中

的方向。L5.

用矢量三角形法研究拋體運動根據(jù)物體在剛拋出時的速度方向不同，拋體運動分為平拋運動和斜拋運動，描述運動狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，拋體運動是高中物理教學的重點,是曲線運動的重要形式之一。在處理拋體運動問題時，學生往往是死搬硬套位移、速度大小公式，而忽視了它們的方向。實際上從它們的方向這一角度去處理拋體運動問題，會使問題迎刃而解，思路變得簡單而又清晰。為此拋體運動中的位移矢量三角形、速度矢量三角形，值得老師和同學們高度重視。下面就幾個例子說明這兩個矢量三角形及其應用。拋體運動是勻變速運動，加速度恒定，為重力加速度g

。由于位移形和速度三角形。圖

15

為平拋運動，圖16

為斜拋運動時的情形。

l

l

gt

gt

r

gt

gt

r

例

9

如圖

17

所示，從傾角為

的斜面頂端，以初速度

水平拋出一小球，不計空氣阻力，若斜面足夠長，則小球拋出后離開斜面的最大距離是多少？解析：此題常見的解決方法是分解法，即將小球的初速度和加速度

l

d

gt

沿斜面和垂直于斜面分解。這樣分

解比沿水平方向和豎直方向分解要

簡單。該解法見諸各種資料，此不贅述。下面從分析拋體運動的兩個度矢量三角形，如圖度矢量三角形，如圖17，在位移矢量三角形中有

(7)在速度矢量三角形中有

gt (8)

g由幾何知識有d

(9)代入數(shù)據(jù)得d

g

(10)例

10

如圖

18

所示，大炮在山腳直接對著傾角為

的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度為

，要在山坡上達到盡可能遠的射程，則大炮的瞄準角θ應為多少？最遠射程有多計空氣阻力）

少？（不

l

l

l

取前一個等號并化簡得

解析：此題常見解法是把速度與加速度沿斜面和垂直于斜面分解，形來解此題。如圖

18

所示，作炮彈運動的位移矢量三角形。

g代入第二個等號并解得

l

g

g

(12)

由式可知，當

即

時，得 l

g

(13)例

11 從高ｈ處斜向上拋出一初速度大小為

角θ為多大時，物體落地的水平位

解析：例

10

用到了位移矢量三

gt來討論。設落地時速度大小為，

作速度矢量三角形，如圖19

所示的大小

mgh (14)設矢量三角形的面積為，則

(15)式中

即為物體水平方向的位移因此，只需考慮何時矢量三角形有最大面積即可。由于三角形面積也可以寫成

(16)因

，的大小確定，則當

時，有最大值。此時

gh

(17) 得水平位移最大值為

(18)由面積相等

得水平位移最大值為

(18)

gh g6.

結論矢量運算在力學中占有重要的地位，利用矢量三角形法則可以使

很多物