學(xué)案科學(xué)測量：用單擺測量重力加速度

13/13科學(xué)測量：用單擺測量重力加速度【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過單擺測量重力加速度?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】能分析實(shí)驗(yàn)誤差的來源，并能采用適當(dāng)方法減小測量誤差。【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】能分析實(shí)驗(yàn)誤差的來源，并能采用適當(dāng)方法減小測量誤差?！緦W(xué)習(xí)過程】一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?．用單擺測量重力加速度。2．會(huì)使用秒表測量時(shí)間。3．能分析實(shí)驗(yàn)誤差的來源，并能采用適當(dāng)方法減小測量誤差。二、實(shí)驗(yàn)器材長約1m的細(xì)線、開有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺(tái)、刻度尺、秒表、游標(biāo)卡尺。三、實(shí)驗(yàn)原理與設(shè)計(jì)單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，由周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可得g＝eq\f(4π2l,T2)。因此，測出單擺擺長和振動(dòng)周期，便可計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。四、?shí)驗(yàn)步驟（1）取長約1m的細(xì)線，細(xì)線的一端連接小球，另一端用鐵夾固定在鐵架臺(tái)上，讓擺球自由下垂，如圖所示。（2）用刻度尺測擺線長度l線，用游標(biāo)卡尺測小球的直徑D．測量多次，取平均值，計(jì)算擺長l＝l線＋eq\f(d,2)。（3）將小球從平衡位置拉至一個(gè)偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內(nèi)振動(dòng)。待振動(dòng)穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始用秒表計(jì)時(shí)，測量N次全振動(dòng)的時(shí)間t，則周期T＝eq\f(t,N)。如此重復(fù)多次，取平均值。（4）改變擺長，重復(fù)實(shí)驗(yàn)多次。（5）將每次實(shí)驗(yàn)得到的l、T代入g＝eq\f(4π2l,T2)計(jì)算重力加速度，取平均值，即為測得的當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。五、?shù)據(jù)處理（1）平均值法：將測量的數(shù)據(jù)記入表格，并計(jì)算求出重力加速度g。實(shí)驗(yàn)次數(shù)擺長l/m周期T/s加速度g/m·s－2g的平均值1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)23（2）圖像法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l，作出T2－l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸，其斜率k＝eq\f(4π2,g)。由圖像的斜率即可求出重力加速度g。六、注意事項(xiàng)1．?dāng)[線長度要遠(yuǎn)大于擺球直徑，且擺線無明顯伸縮性，擺球要選取密度大且質(zhì)量分布均勻的鋼球。2．單擺擺球應(yīng)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，且擺角應(yīng)小于5°。3．?dāng)[長l應(yīng)為懸點(diǎn)到球重心的距離，球質(zhì)量分布均勻時(shí)等于擺線長加上小球半徑。4．從擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，以擺球從同一方向通過平衡位置時(shí)計(jì)數(shù)。5．適當(dāng)增加測量的全振動(dòng)次數(shù)，以減小測量周期的誤差，一般30～50次即可。七、誤差分析1．系統(tǒng)誤差：空氣阻力的影響、擺線有彈性、振動(dòng)不嚴(yán)格在豎直平面內(nèi)、振幅過大等。2．偶然誤差：周期測量、擺長測量時(shí)出現(xiàn)誤差。核心探究核心要點(diǎn)1教材原型實(shí)驗(yàn)[例1]根據(jù)單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，可以通過實(shí)驗(yàn)測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。如圖甲所示，將細(xì)線的上端固定在鐵架臺(tái)上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。（1）用游標(biāo)卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________mm。（2）以下是實(shí)驗(yàn)過程中的一些做法，其中正確的有________。A．?dāng)[線要選擇細(xì)些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些B．?dāng)[球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的C．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時(shí)拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度D．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在釋放擺球的同時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)擺球回到開始位置時(shí)停止計(jì)時(shí)，此時(shí)間間隔Δt即為單擺周期TE．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，釋放擺球，當(dāng)擺球振動(dòng)穩(wěn)定后，從平衡位置開始計(jì)時(shí)，記下擺球做50次全振動(dòng)所用的時(shí)間Δt，則單擺周期T＝eq\f(Δt,50)[思路點(diǎn)撥]（1）游標(biāo)卡尺讀數(shù)時(shí)應(yīng)注意游標(biāo)卡尺的零刻度線和邊界線的區(qū)別。（2）測重力加速度時(shí)應(yīng)注意單擺的模型以及擺長和周期的測量。解析（1）根據(jù)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)方法，小鋼球的直徑＝（18＋6×0.1）mm＝18.6mm（2）因?yàn)閱螖[的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))與θ無關(guān)，c項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閿[球會(huì)以較快的速度通過平衡位置，所以在平衡位置開始計(jì)時(shí)誤差較小，同時(shí)為了減小偶然誤差應(yīng)測多次振動(dòng)的時(shí)間并求平均值，綜合看d項(xiàng)錯(cuò)誤，a、b、e項(xiàng)正確。答案（1）18.6（2）abe[針對訓(xùn)練1]實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。（1）實(shí)驗(yàn)前他們根據(jù)單擺周期公式導(dǎo)出了重力加速度的表達(dá)式g＝eq\f(4π2l,T2)，其中l(wèi)表示擺長，T表示周期。對于此式的理解，四位同學(xué)說出了自己的觀點(diǎn)：同學(xué)甲：T一定時(shí)，g與l成正比同學(xué)乙：l一定時(shí)，g與T2成反比同學(xué)丙：l變化時(shí)，T2是不變的同學(xué)丁：l變化時(shí)，l與T2的比值是定值其中觀點(diǎn)正確的是同學(xué)________（選填“甲”“乙”“丙”“丁”）。（2）實(shí)驗(yàn)室有如下器材可供選用：A．長約1m的細(xì)線B．長約1m的橡皮繩C．直徑約2cm的均勻鐵球D．直徑約5cm的均勻木球E．秒表F．時(shí)鐘G．最小刻度為毫米的米尺實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)選用了最小刻度為毫米的米尺，他們還需要從上述器材中選擇：________________（填寫器材前面的字母）。（3）他們將符合實(shí)驗(yàn)要求的單擺懸掛在鐵架臺(tái)上，將其上端固定，下端自由下垂（如圖所示）。用刻度尺測量懸點(diǎn)到________________之間的距離記為單擺的擺長l。（4）在小球平穩(wěn)擺動(dòng)后，他們記錄小球完成n次全振動(dòng)的總時(shí)間t，則單擺的周期T＝________________。（5）如果實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果是g＝10.09m/s2，比當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎荡?，分析可能是哪些不?dāng)?shù)膶?shí)際操作造成這種結(jié)果，寫出其中一種：__________________。解析（1）因?yàn)間是定值，則l變化時(shí)，l與T2的比值是定值，丁同學(xué)觀點(diǎn)正確。（2）根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理及要求易知，他們還需要從上述器材中選擇：A．長約1m的細(xì)線；C．直徑約2cm的均勻鐵球；E。秒表。（3）用刻度尺測量懸點(diǎn)到小球球心之間的距離記為單擺的擺長l。（4）單擺的周期T＝eq\f(t,n)。（5）可能是振動(dòng)次數(shù)n計(jì)多了；可能是測量擺長時(shí)從懸點(diǎn)量到了小球底部；可能在計(jì)時(shí)的時(shí)候秒表開表晚了。答案（1）?。?）ACE（3）小球球心（4）eq\f(t,n)（5）可能是振動(dòng)次數(shù)n計(jì)多了；可能是測量擺長時(shí)從懸點(diǎn)量到了小球底部；可能在計(jì)時(shí)的時(shí)候秒表開表晚了（合理即可）核心要點(diǎn)2實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)與創(chuàng)新[例2]用單擺測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示。（1）測出懸點(diǎn)O到小球球心的距離（擺長）l及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝________（用l、n、t表示）。（2）下表是某同學(xué)記錄的3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并做了部分計(jì)算處理。組次123擺長l/cm80.0090.00100.0050次全振動(dòng)時(shí)間t/s90.095.5100.5振動(dòng)周期T/s1.801.91重力加速度g/（m·s－2）9.749.73請計(jì)算出第3組實(shí)驗(yàn)中的T＝________s，g＝________m/s2．（3）用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2－l圖像，也可以求出重力加速度g。已知三位同學(xué)作出的T2－l圖線的示意圖如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點(diǎn)，圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?。則相對于圖線b，下列分析正確的是________（選填選項(xiàng)前的字母）。A．出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長lB．出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將49次全振動(dòng)記為50次C．圖線c對應(yīng)的g值小于圖線b對應(yīng)的g值（4）某同學(xué)在家里測重力加速度。他找到細(xì)線和鐵鎖，制成一個(gè)單擺，如圖所示，由于家里只有一根量程為0～30cm的刻度尺，于是他在細(xì)線上的A點(diǎn)做了一個(gè)標(biāo)記，使得懸點(diǎn)O到A點(diǎn)間的細(xì)線長度小于刻度尺量程。保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長度不變，通過改變O、A間細(xì)線長度以改變擺長。實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)O、A間細(xì)線的長度分別為l1、l2時(shí)，測得相應(yīng)單擺的周期為T1、T2．由此可得重力加速度g＝________（用l1、l2、T1、T2表示）。解析（1）單擺的振動(dòng)周期T＝eq\f(t,n)。根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(4π2n2l,t2)。（2）T3＝eq\f(t3,50)＝2.01s。根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)≈9.76m/s2．（3）根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))，得T2＝eq\f(4π2,g)l，即當(dāng)l＝0時(shí)，T2＝0.出現(xiàn)圖線a的原因是計(jì)算擺長時(shí)過短，可能是誤將懸點(diǎn)O到小球上端的距離記為擺長，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于圖線c，其斜率k變小了，根據(jù)k＝eq\f(T2,l)，可能是T變小了或l變大了，選項(xiàng)B中誤將49次全振動(dòng)記為50次，則周期T變小，選項(xiàng)B正確；由eq\f(4π2,g)＝k得g＝eq\f(4π2,k)，則k變小，重力加速度g變大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。（4）設(shè)A點(diǎn)到鐵鎖重心的距離為l0.根據(jù)單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得T1＝2πeq\r(\f(l1＋l0,g))，T2＝2πeq\r(\f(l2＋l0,g))。聯(lián)立以上兩式，解得重力加速度g＝eq\f(4π2（l1－l2）,Teq\o\al(2,1)－Teq\o\al(2,2))。答案（1）eq\f(4π2n2l,t2)（2）2.019.76（3）B（4）eq\f(4π2（l1－l2）,Teq\o\al(2,1)－Teq\o\al(2,2))[針對訓(xùn)練2]將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h（未知）且開口向下的小筒中（單擺的下部分露于筒外），如圖甲所示，將懸線拉離平衡位置一個(gè)小角度后由靜止釋放，設(shè)單擺擺動(dòng)過程中懸線不會(huì)碰到筒壁，如果本實(shí)驗(yàn)的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應(yīng)的擺動(dòng)周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數(shù)關(guān)系圖像，那么就可以通過此圖像得出小筒的深度h和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。（1）測量單擺的周期時(shí)，某同學(xué)在擺球某次通過最低點(diǎn)時(shí)，按下秒表開始計(jì)時(shí)，同時(shí)數(shù)“1”，當(dāng)擺球第二次通過最低點(diǎn)時(shí)數(shù)“2”，依此法往下數(shù)，當(dāng)他數(shù)到“59”時(shí)，停止計(jì)時(shí)，讀出這段時(shí)間t，則該單擺的周期為（）A．eq\f(t,29) B．eq\f(t,29.5)C．eq\f(t,30) D．eq\f(t,59)（2）如果實(shí)驗(yàn)中所得到的T2－L關(guān)系圖像如圖乙所示，那么真正的圖像應(yīng)該是a、b、c中的________。（3）由圖像可知，小筒的深度h＝________m；當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝________m/s2．（π＝3.14，后一空結(jié)果取3位有效數(shù)字）解析（1）58個(gè)“半周期”，這段時(shí)間t含有29個(gè)周期，該單擺的周期為eq\f(t,29)，選項(xiàng)A正確。（2）設(shè)擺線在筒內(nèi)部分的長度為h，由T＝2πeq\r(\f(L＋h,g))得，T2＝eq\f(4π2,g)L＋eq\f(4π2,g)h，可知T2－L關(guān)系圖線為A．（3）將T2＝0，L＝－30cm代入上式可得h＝30cm＝0.3m將T2＝1.20s2，L＝0代入上式可求得g＝π2≈9.86m/s2．答案（1）A（2）a（3）0.39.86效果反饋1．某實(shí)驗(yàn)小組在利用單擺測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)中：（1）用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖所示，則該擺球的直徑為________cm。（2）小組成員在實(shí)驗(yàn)過程中有如下說法，其中正確的是________。（填選項(xiàng)前的字母）A．把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時(shí)開始計(jì)時(shí)B．測量擺球通過最低點(diǎn)100次的時(shí)間t，則單擺周期eq\f(t,100)C．用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計(jì)算得到的重力加速度值偏大D．選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小2．（1）在“探究單擺周期與擺長的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，兩位同學(xué)用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑的操作如圖甲、乙所示。測量方法正確的是________（選填“甲”或“乙”）。（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，若擺球在垂直紙面的平面內(nèi)擺動(dòng)，為了將人工記錄振動(dòng)次數(shù)改為自動(dòng)記錄振動(dòng)次數(shù)，在擺球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)的左、右兩側(cè)分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動(dòng)記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時(shí)間t的變化圖線如圖丁所示，則該單擺的振動(dòng)周期為________。若保持懸點(diǎn)到小球頂點(diǎn)的繩長不變，改用直徑是原小球直徑2倍的另一小球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則該單擺的周期將________（填“變大”“不變”或“變小”），圖丁中的Δt將________（填“變大”“不變”或“變小”）。3．在“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：（1）擺動(dòng)時(shí)偏角滿足的條件是偏角小于5°，為了減小測量周期的誤差，計(jì)時(shí)開始時(shí)，擺球應(yīng)是經(jīng)過最________（填“高”或“低”）點(diǎn)的位置，且用停表測量單擺完成多次全振動(dòng)所用的時(shí)間，求出周期。圖甲中停表示數(shù)為一單擺全振動(dòng)50次所需時(shí)間，則單擺振動(dòng)周期為________。（2）用最小刻度為1mm的刻度尺測擺長，測量情況如圖乙所示。O為懸掛點(diǎn)，從圖乙中可知單擺的擺長為________m。（3）若用l表示擺長，T表示周期，那么重力加速度的表達(dá)式為g＝________。（4）考慮到單擺振動(dòng)時(shí)空氣浮力的影響后，學(xué)生甲說：“因?yàn)榭諝飧×εc擺球重力方向相反，它對球的作用相當(dāng)于重力加速度變小，因此振動(dòng)周期變大。”學(xué)生乙說：“浮力對擺球的影響好像用一個(gè)輕一些的擺球做實(shí)驗(yàn)，因此振動(dòng)周期不變”，這兩個(gè)學(xué)生中________。A．甲的說法正確B．乙的說法正確C．兩學(xué)生的說法都是錯(cuò)誤的4．在做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用擺長l和周期T計(jì)算重力加速度的公式是g＝________。若已知擺球直徑為2.00cm，讓刻度尺的零點(diǎn)對準(zhǔn)擺線的懸點(diǎn)，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長是________m。若測定了40次全振動(dòng)的時(shí)間如圖乙中秒表所示，則秒表讀數(shù)是________s，單擺擺動(dòng)周期是________。為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應(yīng)的T值。現(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標(biāo)示在以l為橫坐標(biāo)、以T2為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系上，如圖所示，則：單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的條件是______________________________________。試根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)作出T2和l的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝________m/s2．（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）5．在“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：（1）利用游標(biāo)卡尺測得金屬小球直徑如圖甲所示，小球直徑d＝________cm。（2）某同學(xué)測量數(shù)據(jù)如下表，請?jiān)趫D乙中畫出l－T2圖像。l/m0.4000.5000.6000.8001.200T2/s21.602.102.403.204.80由圖像可得重力加速度g＝________m/s2（保留3位有效數(shù)字）。（3）某同學(xué)在實(shí)驗(yàn)過程中，擺長沒有加小球的半徑，其他操作無誤，那么他得到的實(shí)驗(yàn)圖像可能是下列圖像中的________。

答案效果反饋1．答案（1）0.97（2）C解析（1）主尺讀數(shù)加游標(biāo)尺讀數(shù)的總和等于最后讀數(shù)，0.9cm＋7×eq\f(1,10)mm＝0.97cm，不需要估讀。（2）單擺符合簡諧運(yùn)動(dòng)的條件是最大偏角不超過5°，并從平衡位置計(jì)時(shí)，故A錯(cuò)誤；若第一次過平衡位置計(jì)為“0”則周期T＝eq\f(t,50)，若第一次過平衡位置計(jì)為“1”，則周期T＝eq\f(t,49.5)，B錯(cuò)誤；由T＝2πeq\r(\f(l,g))得g＝eq\f(4π2l,T2)，其中l(wèi)為擺長，即懸線長加擺球半徑，若為懸線長加擺球直徑，由公式知g偏大，故C正確；為了能將擺球視為質(zhì)點(diǎn)和減少空氣阻力引起的相對誤差，應(yīng)選密度較大體積較小的擺球，故D錯(cuò)誤。2．答案（1）乙（2）2t0變大變大解析（1）游標(biāo)卡尺應(yīng)該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是圖乙。（2）一個(gè)周期內(nèi)小球應(yīng)該兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，使光敏電阻的阻值發(fā)生變化，故周期為t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直徑變大后，擺長變長，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，周期變大；每次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)小球的擋光的時(shí)間變長，即Δt變大。3．答案（1）低2.05s（2）0.9980（3）eq\f(4π2l,T2)（4）A解析（1）擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)小球速度最大，容易觀察和計(jì)時(shí)，測量周期誤差??；圖