子集的個(gè)數(shù)有多少

簡(jiǎn)單例題中隱含的數(shù)學(xué)思想和方法廣西桂林市田家炳中學(xué)（541004）孔祥勝E-mail:mszxkxs@QQ:249820648Tel教版數(shù)學(xué)必修1，1.1.2集合間的基本關(guān)系僅配有一個(gè)例題：寫出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解：集合的所有子集為，，，。其中真子集為，，。這里題目和解答都非常簡(jiǎn)潔，一般學(xué)生也都能看得懂，例題后的練習(xí)題第1題是：寫出集合的所有子集。讓學(xué)生依葫蘆畫瓢，結(jié)果卻讓老師大失所望：一個(gè)班（普通學(xué)校普通班）中竟有近半學(xué)生寫出，，后就不懂寫了；還有些學(xué)生把集合寫成元素形式即把答案寫成：等，有些學(xué)生把空集寫成；有些學(xué)生把和當(dāng)成不同集合；有些學(xué)生漏寫了或；更有少數(shù)學(xué)生一臉茫然，不懂寫，問其原因，答是不懂怎么求和！課后老師反思，雖然這道例題簡(jiǎn)單得不能再簡(jiǎn)單，但是其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容卻不簡(jiǎn)單，而是非常的豐富！值得我們師生一起把書讀厚，把例題研究透徹。1、懂符號(hào)在集合中我們通常用小寫字母，表示集合的元素，用花括號(hào){}把集合元素括起表示集合（集合的列舉法表示）。上面所列有些學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是不懂元素和集合的區(qū)別，還有和的區(qū)別等都是初學(xué)集合容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤。更有學(xué)困生僅懂得一些由整數(shù)構(gòu)成元素的集合，而由非整數(shù)或字母構(gòu)成元素的集合則有理解上的一些困難。用字母表示數(shù)的思想是最基本的數(shù)學(xué)思想之一。字母化、符號(hào)化是數(shù)學(xué)抽象化和簡(jiǎn)潔化的重要特征。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要正確地認(rèn)識(shí)并運(yùn)用眾多的數(shù)學(xué)符號(hào)；行有行規(guī)，不識(shí)行規(guī)，不按行規(guī)辦事是入不了行的。2、懂空集空集是一個(gè)特殊的集合，它沒有任何元素；規(guī)定它是任何集合的子集。在解有關(guān)子集的題目時(shí)，我們千萬不要忘記空集這個(gè)特殊的集合。特別是集合用描述法表示時(shí)，若元素的共同特征是方程的根或不等式的解，則要注意此集合可能是空集。例：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)等等?？占袑Ｓ梅?hào)，注意不能寫成。特殊化或一般化是數(shù)學(xué)基本思想方法之一，有些數(shù)學(xué)概念中就有特殊規(guī)定，比如，中規(guī)定；指數(shù)和對(duì)數(shù)中規(guī)定底數(shù)且，向量關(guān)系中規(guī)定零向量和任意向量平行（共線），組合數(shù)中規(guī)定，等等。3、懂分類一個(gè)含有個(gè)元素的集合的所有子集可以依據(jù)子集的元素個(gè)數(shù)分為類：0個(gè)元素，1個(gè)元素，2個(gè)元素，…，個(gè)元素，個(gè)元素共類。分類討論是重要數(shù)學(xué)思想方法之一，有些數(shù)學(xué)概念或定義本身就包括著分類討論，比如絕對(duì)值概念，指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)等。有些數(shù)學(xué)問題直接求解可能較復(fù)雜而無從下手，若能按一定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)問題進(jìn)行分類分解則可能容易解決。高中階段分類討論思想的運(yùn)用是很常見的，高一新生可能有點(diǎn)不適應(yīng)，需要一定的適應(yīng)過程。4、懂樹圖要我們寫出一個(gè)集合的所有子集時(shí)，應(yīng)懂得畫樹圖，才會(huì)不重不漏不亂。集合的元素是不考慮順序的，但我們列舉元素時(shí)應(yīng)按一定順序列舉，以免出現(xiàn)混亂，此時(shí)采用畫樹圖的方法比較直觀且易操作。“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對(duì)數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括。面對(duì)代數(shù)問題，有時(shí)候畫個(gè)圖，則問題直觀明了。5、懂對(duì)應(yīng)一個(gè)集合含有個(gè)元素，則從中取出1個(gè)元素構(gòu)成它的一個(gè)子集與剩下元素也構(gòu)成它的一個(gè)子集相對(duì)應(yīng)，取出2個(gè)元素與剩下元素對(duì)應(yīng)，…。懂得一一對(duì)應(yīng)，運(yùn)用這種對(duì)應(yīng)在寫出所有子集時(shí)可以事半功倍。圖1兩個(gè)數(shù)量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是一種函數(shù)關(guān)系，用運(yùn)用變化的觀點(diǎn)看待問題就是數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想和方法。圖1例1：寫出集合的所有子集。解：依子集元素的個(gè)數(shù)分六類（1）0個(gè)元素，；（2）1個(gè)元素，，，，，；（3）2個(gè)元素，，，，；，，；，；；為了不重不漏不亂，應(yīng)懂畫樹圖如圖1所示；（4）3個(gè)元素，與上面（3）中2個(gè)元素對(duì)應(yīng)所剩下的3個(gè)元素，具體略；（5）4個(gè)元素，與上面（2）中1個(gè)元素對(duì)應(yīng)所剩下的4個(gè)元素，具體略；（6）5個(gè)元素，即自身。6、懂推廣顯然在子集的個(gè)數(shù)上例題可以推廣為：若一個(gè)集合含有個(gè)元素，則它的所有子集共有個(gè)，其中真子集共有個(gè)，非空真子集共有。在以后學(xué)習(xí)排列和組合以及二項(xiàng)式定理后很容易證明此結(jié)論，此處從略。先從特殊情況入手，再推廣到一般情況是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法，從特殊到一般符合我們的認(rèn)知規(guī)律。比如研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們就先從簡(jiǎn)單的入手；證明正弦定理時(shí)我們先從特殊的直角三角形入手等等。7、懂轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。數(shù)學(xué)中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，這三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題來實(shí)現(xiàn)的。例2：已知集合A、B、C滿足其中A、B分別含有、，個(gè)元素，求所有滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)。解：要?jiǎng)tC中一定要有A的全部元素，要?jiǎng)tC的其它元素還可以在B中除了A的全部元素外所剩下的個(gè)元素中取0個(gè)元素，1個(gè)元素，2個(gè)元素，…，個(gè)元素。這樣問題轉(zhuǎn)化為