慣性傳感器及發(fā)展概述課件

第二章

慣性傳感器第二章

慣性傳感器1機(jī)械轉(zhuǎn)子式陀螺儀的概述陀螺的基本部件

陀螺轉(zhuǎn)子(Rotator)內(nèi)、外框架(Gimbal)（支承部件）附件（電機(jī)、力矩器、傳感器等）陀螺的分類（機(jī)械轉(zhuǎn)子式）

二自由度(Two-Degree-of-Freedom)單自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率、積分）機(jī)械轉(zhuǎn)子式陀螺儀的概述陀螺的基本部件陀螺的分類（機(jī)械轉(zhuǎn)子式）2二自由度陀螺儀進(jìn)動(dòng)性進(jìn)動(dòng)性(Proceeding)轉(zhuǎn)子沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，給陀螺懸掛重物

二自由度陀螺儀進(jìn)動(dòng)性進(jìn)動(dòng)性(Proceeding)轉(zhuǎn)子沒(méi)有旋3進(jìn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)動(dòng)性：陀螺儀受到外力矩時(shí)，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與外力矩方向相垂直的現(xiàn)象進(jìn)動(dòng)、進(jìn)動(dòng)角速度

進(jìn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)動(dòng)性：陀螺儀受到外力矩時(shí)，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與4用動(dòng)量矩定理解釋進(jìn)動(dòng)：近似推導(dǎo)動(dòng)量矩定理

H的近似表示：動(dòng)量矩定理+苛氏定律

此即二自由度陀螺儀的進(jìn)動(dòng)方程

用動(dòng)量矩定理解釋進(jìn)動(dòng)：近似推導(dǎo)動(dòng)量矩定理H的近似表示：5進(jìn)動(dòng)角速度的方向和大小進(jìn)動(dòng)角速度的方向：最短路徑法則（H沿最短路徑趨向M）進(jìn)動(dòng)角速度的大小：根據(jù)

M=ω×H，寫成標(biāo)量形式：

M=ω·H·sinθ

因此

ω=M/（H·sinθ）進(jìn)動(dòng)角速度大小與外力矩的大小成正比，與轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩的大小成反比。進(jìn)動(dòng)角速度的方向和大小進(jìn)動(dòng)角速度的方向：最短路徑法則（H6陀螺動(dòng)力效應(yīng)：陀螺力矩外加力矩

陀螺力矩(GyroTorque)：反作用力矩

陀螺力矩的方向判斷陀螺力矩的作用對(duì)象

陀螺動(dòng)力效應(yīng)：陀螺力矩外加力矩陀螺力矩(GyroTorq7陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)外框架有效陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)外框架有效8陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)內(nèi)框架無(wú)效陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)內(nèi)框架無(wú)效9定軸性；漂移、章動(dòng)二自由度陀螺儀的定軸性二自由度陀螺儀具有抵抗干擾力矩，力圖保持其自轉(zhuǎn)軸相對(duì)慣性空間方位不變的特性（定軸性、或穩(wěn)定性）。

定軸性的相對(duì)性(一)：陀螺漂移

ωd=Md/H

定軸性的相對(duì)性(二)：章動(dòng)(Nutation)現(xiàn)象陀螺受沖擊力矩時(shí)，自轉(zhuǎn)軸將在原來(lái)的空間方位附近作錐形振蕩運(yùn)動(dòng)

定軸性；漂移、章動(dòng)二自由度陀螺儀的定軸性二自由度陀螺儀具有抵10二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：初步分析從定性到定量：引入坐標(biāo)系

外、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系任務(wù)：描述當(dāng)沿著內(nèi)外框架軸施加力矩時(shí)，陀螺框架角α、β的變化規(guī)律方法：動(dòng)量矩定理+苛氏定律

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：初步分析從定性到定量：引入坐標(biāo)系外11二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：分解表示內(nèi)框架坐標(biāo)系的牽連角速度：轉(zhuǎn)子相對(duì)內(nèi)框架的角速度：轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩：二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：分解表示內(nèi)12二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定律

其中

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定律其中13二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出方程

以上稱變態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程實(shí)際的陀螺中，一般赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx=Jy，由第三式可得

陀螺穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，Mz=0，因此

對(duì)前兩式，忽略角速度高階小量，得到簡(jiǎn)化方程

關(guān)于框架角速度和外加力矩的方向

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出方程14二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影兩種角速度的關(guān)系

內(nèi)框架坐標(biāo)系xyz的ω等于兩個(gè)歐拉角速度的矢量和

根據(jù)投影

代入簡(jiǎn)化方程，得到

求導(dǎo)式展開，忽略高階小量，得到

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影兩種角速度的關(guān)系內(nèi)框架坐15二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影力矩的變換代入上式，得到

實(shí)際β角很小，上式簡(jiǎn)化成

上式稱為陀螺儀的技術(shù)方程。技術(shù)方程的物理意義（慣性力矩和進(jìn)動(dòng)力矩）

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影力矩的變換代入上式，得到實(shí)16二自由度陀螺系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程

拉氏變換整理當(dāng)初始條件都為零，得到二自由度陀螺系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程拉17二自由度陀螺系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程改寫方程，畫出系統(tǒng)方塊圖每個(gè)力矩都同時(shí)引起陀螺儀的兩種運(yùn)動(dòng)，陀螺力矩起耦合作用二自由度陀螺系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程改寫方程，畫18二自由度陀螺系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)由拉氏變換方程求解兩個(gè)框架角α、β，得到

由此可以得到從Mx1、My分別到α和β的四個(gè)傳遞函數(shù)

改寫分母項(xiàng)固有振蕩頻率二自由度陀螺系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)由拉氏變換方程求解兩個(gè)框架角19二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：輸入輸出沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)，數(shù)值極大，時(shí)間極短，對(duì)時(shí)間的積分是一個(gè)有限值

代入系統(tǒng)的拉氏變換模型：

求解α(s)和β(s)，得到

其中二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：輸入輸出沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)20二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡假設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，部分分式展開，反拉氏變換得：

可見，力矩Mx1引起轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外兩個(gè)框架作等幅振蕩，相位相差90度。消去時(shí)間變量，得軌跡方程

軌跡圓，半徑…圓心…頻率…

二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡假設(shè)Jx=Jy=J21二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子例子：設(shè)Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，H=5160克·厘米·秒，Mx1=36200克·厘米×10-5秒（注：克=克重，相當(dāng)于每克物體的重量）

章動(dòng)的幅度（半徑）角分章動(dòng)的特點(diǎn)：高頻、微幅

二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子例子：設(shè)Jx=Jy=22二自由度陀螺階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數(shù)表示：陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時(shí)，頻域輸出響應(yīng)為：

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，23設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H/(Jx·Jy)反拉氏變換，得時(shí)域響應(yīng)：

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)：章動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：進(jìn)動(dòng)和等效彈簧效應(yīng)設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H/(Jx·24二自由度陀螺階躍響應(yīng)：軌跡對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)子軸的軌跡方程

旋輪線：圓周運(yùn)動(dòng)（章動(dòng)）和平移運(yùn)動(dòng)（進(jìn)動(dòng)）的合成。解釋：圓周運(yùn)動(dòng)線速度：圓心移動(dòng)速度：兩種運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果：車輪無(wú)摩擦滾動(dòng)——旋輪線其中進(jìn)動(dòng)起主導(dǎo)作用

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：軌跡對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)25二自由度陀螺階躍響應(yīng)：計(jì)算例子例題：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干擾力矩作用時(shí)間t=60秒。

陀螺漂移率漂移的角度章動(dòng)振幅章動(dòng)頻率常值干擾力矩的產(chǎn)生原因及影響二自由度陀螺階躍響應(yīng)：計(jì)算例子例題：My=1克·厘米26二自由度陀螺正弦響應(yīng)：輸入輸出如果外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡(jiǎn)諧函數(shù)描述

初始條件都為零時(shí)，陀螺頻域輸出響應(yīng)為：

令ω02=H2/(Jx·Jy)，并部分分式展開及反拉氏變換，得二自由度陀螺正弦響應(yīng)：輸入輸出如果外加力矩方向不斷改變，大27二自由度陀螺正弦響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)章動(dòng)項(xiàng)強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)常值項(xiàng)設(shè)ωa《ωo，Jx=Jy=Je，則上述響應(yīng)式可以簡(jiǎn)化成：二自由度陀螺正弦響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)章動(dòng)項(xiàng)強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)常值28二自由度陀螺正弦響應(yīng)：軌跡可見Mx1使轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外框架軸做受迫振蕩。消去時(shí)間變量，得到軌跡方程橢圓：長(zhǎng)、短半軸的判斷不同類型的干擾力矩對(duì)陀螺儀精度影響程度的比較：常值>正弦>沖擊二自由度陀螺正弦響應(yīng)：軌跡可見Mx1使轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外29二自由度陀螺對(duì)外加力矩響應(yīng)的總結(jié)外加力矩二自由度陀螺儀動(dòng)態(tài)響應(yīng)（雙軸）章動(dòng)靜態(tài)響應(yīng)（同軸）等效彈簧靜態(tài)響應(yīng)（正交軸）進(jìn)動(dòng)二自由度陀螺對(duì)外加力矩響應(yīng)的總結(jié)外二動(dòng)態(tài)響應(yīng)（雙軸）章動(dòng)靜態(tài)30靜電陀螺靜電陀螺概述發(fā)展概況結(jié)構(gòu)組成：總述靜電陀螺靜電陀螺概述31靜電陀螺概述框架陀螺：精度追求、三浮結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本高昂靜電陀螺(ElectrostaticGyro)：較徹底的支承革新球形轉(zhuǎn)子;電極球腔靜電懸浮;超高真空靜電陀螺優(yōu)點(diǎn)：精度高，真正的自由轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可靠性高應(yīng)用：戰(zhàn)略武器、火箭缺點(diǎn)：工藝復(fù)雜

靜電陀螺概述框架陀螺：精度追求、三浮球形轉(zhuǎn)子;32發(fā)展概況發(fā)展階段

1952年提出1970s初期0.01（0/h）1970s中期0.0001（0/h）1970s末期進(jìn)入實(shí)用1995年0.00001（0/h）04年斯坦福大學(xué)10-11（0/h）

主要研制機(jī)構(gòu)：1950s后期，美國(guó)Honeywell和Autonetics開始研制

從1960s末到1980s，法國(guó)、英國(guó)、前蘇聯(lián)、中國(guó)也相繼展開靜電陀螺的研制

發(fā)展概況發(fā)展階段1952年提出主要研制機(jī)構(gòu)：從1960s33結(jié)構(gòu)組成：總述球形轉(zhuǎn)子陶瓷球腔凹形球面電極高電壓/小間隙/強(qiáng)電場(chǎng)/懸浮/控制回路穩(wěn)定

驅(qū)動(dòng)線圈：轉(zhuǎn)子起旋定中線圈：轉(zhuǎn)子軸對(duì)準(zhǔn)鈦離子泵：抽真空光電傳感：讀取角度

結(jié)構(gòu)組成：總述球形轉(zhuǎn)子高電壓/小間隙/強(qiáng)電場(chǎng)/懸浮/控制回路34振動(dòng)陀螺振動(dòng)陀螺35振動(dòng)陀螺儀概述機(jī)械陀螺：基于牛頓力學(xué)原理

轉(zhuǎn)子陀螺：三浮、靜電，制造工藝復(fù)雜、成本高

振動(dòng)陀螺：原理：利用高頻振動(dòng)的質(zhì)量在被基座帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的苛氏加速度特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、重量輕、可靠性高、承載能力大、性能穩(wěn)定、成本低發(fā)展：1940s-50s，美國(guó)研制音叉陀螺1960s美國(guó)壓電振動(dòng)陀螺（通用）

1970s后，美國(guó)研制殼體諧振陀螺1980s初，大規(guī)模集成電路工藝，研制微型振動(dòng)陀螺（Sperry，Draper）精度：音叉、壓電、微機(jī)械：精度較低（戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、車輛、坦克、雷達(dá)）殼體諧振陀螺：精度較高，可達(dá)慣性級(jí)，是光學(xué)陀螺儀的競(jìng)爭(zhēng)者。

振動(dòng)陀螺儀概述機(jī)械陀螺：基于牛頓力學(xué)原理轉(zhuǎn)子陀螺：三36音叉振動(dòng)陀螺基本原理、結(jié)構(gòu)基本原理：利用音叉(SonicProng)端部的振動(dòng)質(zhì)量被基座帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的苛氏效應(yīng)來(lái)敏感角速度基本結(jié)構(gòu)：音叉的雙臂為彈性臂，受激振時(shí)，音叉雙臂作對(duì)稱彎曲振蕩端部質(zhì)量作對(duì)稱直線振動(dòng)等幅振蕩，相位相反，頻率幾百至幾千赫，振幅百分之幾毫米。音叉下部通過(guò)撓性軸與基座相連。

音叉振動(dòng)陀螺基本原理、結(jié)構(gòu)基本原理：利用音叉(Sonic37光學(xué)陀螺光學(xué)陀螺38光學(xué)陀螺概述1機(jī)械陀螺：轉(zhuǎn)子和振動(dòng)陀螺

激光陀螺：針對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)需求基本原理：Sagnac效應(yīng)，工作物質(zhì)是激光束，全固態(tài)陀螺優(yōu)點(diǎn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性能穩(wěn)定、動(dòng)態(tài)范圍寬、啟動(dòng)快、反應(yīng)快、過(guò)載大、可靠性高、數(shù)字輸出發(fā)展1960激光器出現(xiàn)1963Sperry制成首臺(tái)樣機(jī)1970s中精度突破，達(dá)慣性級(jí)1980s初開始應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域

光學(xué)陀螺概述1機(jī)械陀螺：轉(zhuǎn)子和振動(dòng)陀螺激光陀螺：針對(duì)捷聯(lián)39早期研制的機(jī)構(gòu)Honeywell：三角諧振腔，機(jī)械抖動(dòng)偏頻Litton：四邊形諧振腔，機(jī)械抖動(dòng)偏頻Sperry：三角諧振腔，磁鏡偏頻國(guó)內(nèi)研制、應(yīng)用狀況1970s中后期開始研制，1990前后進(jìn)入實(shí)用1990s中后期應(yīng)用達(dá)到高峰面臨問(wèn)題成本較高、體積偏大、不能完全適應(yīng)捷聯(lián)系統(tǒng)的要求

早期研制的機(jī)構(gòu)40光學(xué)陀螺概述2光纖陀螺儀：適應(yīng)捷聯(lián)系統(tǒng)需求

基本原理：同激光陀螺，只是用外部激光源，用光導(dǎo)纖維傳播。優(yōu)點(diǎn)：成本低、體積小重量輕。發(fā)展：1970s光纖技術(shù)發(fā)展1976年猶它大學(xué)瓦里設(shè)想和演示1978麥道研制出第一個(gè)實(shí)用產(chǎn)品1980s后，Littion，Honeywell，Draper等公司以及英、法、德、日、蘇等國(guó)也展開了研制。

國(guó)內(nèi)1980s初，原理研究、試驗(yàn)（少數(shù)大學(xué)）1980s末，實(shí)質(zhì)性研制2000s，進(jìn)入實(shí)用階段精度：國(guó)外0.0010/h國(guó)內(nèi)0.010/h光學(xué)陀螺概述2光纖陀螺儀：適應(yīng)捷聯(lián)系統(tǒng)需求基本原理：同激光41演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！42第二章

慣性傳感器第二章

慣性傳感器43機(jī)械轉(zhuǎn)子式陀螺儀的概述陀螺的基本部件

陀螺轉(zhuǎn)子(Rotator)內(nèi)、外框架(Gimbal)（支承部件）附件（電機(jī)、力矩器、傳感器等）陀螺的分類（機(jī)械轉(zhuǎn)子式）

二自由度(Two-Degree-of-Freedom)單自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率、積分）機(jī)械轉(zhuǎn)子式陀螺儀的概述陀螺的基本部件陀螺的分類（機(jī)械轉(zhuǎn)子式）44二自由度陀螺儀進(jìn)動(dòng)性進(jìn)動(dòng)性(Proceeding)轉(zhuǎn)子沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，給陀螺懸掛重物

二自由度陀螺儀進(jìn)動(dòng)性進(jìn)動(dòng)性(Proceeding)轉(zhuǎn)子沒(méi)有旋45進(jìn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)動(dòng)性：陀螺儀受到外力矩時(shí)，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與外力矩方向相垂直的現(xiàn)象進(jìn)動(dòng)、進(jìn)動(dòng)角速度

進(jìn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)動(dòng)性：陀螺儀受到外力矩時(shí)，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與46用動(dòng)量矩定理解釋進(jìn)動(dòng)：近似推導(dǎo)動(dòng)量矩定理

H的近似表示：動(dòng)量矩定理+苛氏定律

此即二自由度陀螺儀的進(jìn)動(dòng)方程

用動(dòng)量矩定理解釋進(jìn)動(dòng)：近似推導(dǎo)動(dòng)量矩定理H的近似表示：47進(jìn)動(dòng)角速度的方向和大小進(jìn)動(dòng)角速度的方向：最短路徑法則（H沿最短路徑趨向M）進(jìn)動(dòng)角速度的大?。焊鶕?jù)

M=ω×H，寫成標(biāo)量形式：

M=ω·H·sinθ

因此

ω=M/（H·sinθ）進(jìn)動(dòng)角速度大小與外力矩的大小成正比，與轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩的大小成反比。進(jìn)動(dòng)角速度的方向和大小進(jìn)動(dòng)角速度的方向：最短路徑法則（H48陀螺動(dòng)力效應(yīng)：陀螺力矩外加力矩

陀螺力矩(GyroTorque)：反作用力矩

陀螺力矩的方向判斷陀螺力矩的作用對(duì)象

陀螺動(dòng)力效應(yīng)：陀螺力矩外加力矩陀螺力矩(GyroTorq49陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)外框架有效陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)外框架有效50陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)內(nèi)框架無(wú)效陀螺動(dòng)力（穩(wěn)定）效應(yīng)，對(duì)內(nèi)框架無(wú)效51定軸性；漂移、章動(dòng)二自由度陀螺儀的定軸性二自由度陀螺儀具有抵抗干擾力矩，力圖保持其自轉(zhuǎn)軸相對(duì)慣性空間方位不變的特性（定軸性、或穩(wěn)定性）。

定軸性的相對(duì)性(一)：陀螺漂移

ωd=Md/H

定軸性的相對(duì)性(二)：章動(dòng)(Nutation)現(xiàn)象陀螺受沖擊力矩時(shí)，自轉(zhuǎn)軸將在原來(lái)的空間方位附近作錐形振蕩運(yùn)動(dòng)

定軸性；漂移、章動(dòng)二自由度陀螺儀的定軸性二自由度陀螺儀具有抵52二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：初步分析從定性到定量：引入坐標(biāo)系

外、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系任務(wù)：描述當(dāng)沿著內(nèi)外框架軸施加力矩時(shí)，陀螺框架角α、β的變化規(guī)律方法：動(dòng)量矩定理+苛氏定律

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：初步分析從定性到定量：引入坐標(biāo)系外53二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：分解表示內(nèi)框架坐標(biāo)系的牽連角速度：轉(zhuǎn)子相對(duì)內(nèi)框架的角速度：轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩：二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：分解表示內(nèi)54二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定律

其中

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定律其中55二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出方程

以上稱變態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程實(shí)際的陀螺中，一般赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx=Jy，由第三式可得

陀螺穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，Mz=0，因此

對(duì)前兩式，忽略角速度高階小量，得到簡(jiǎn)化方程

關(guān)于框架角速度和外加力矩的方向

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出方程56二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影兩種角速度的關(guān)系

內(nèi)框架坐標(biāo)系xyz的ω等于兩個(gè)歐拉角速度的矢量和

根據(jù)投影

代入簡(jiǎn)化方程，得到

求導(dǎo)式展開，忽略高階小量，得到

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影兩種角速度的關(guān)系內(nèi)框架坐57二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影力矩的變換代入上式，得到

實(shí)際β角很小，上式簡(jiǎn)化成

上式稱為陀螺儀的技術(shù)方程。技術(shù)方程的物理意義（慣性力矩和進(jìn)動(dòng)力矩）

二自由度陀螺運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影力矩的變換代入上式，得到實(shí)58二自由度陀螺系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程

拉氏變換整理當(dāng)初始條件都為零，得到二自由度陀螺系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程拉59二自由度陀螺系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程改寫方程，畫出系統(tǒng)方塊圖每個(gè)力矩都同時(shí)引起陀螺儀的兩種運(yùn)動(dòng)，陀螺力矩起耦合作用二自由度陀螺系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程改寫方程，畫60二自由度陀螺系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)由拉氏變換方程求解兩個(gè)框架角α、β，得到

由此可以得到從Mx1、My分別到α和β的四個(gè)傳遞函數(shù)

改寫分母項(xiàng)固有振蕩頻率二自由度陀螺系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)由拉氏變換方程求解兩個(gè)框架角61二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：輸入輸出沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)，數(shù)值極大，時(shí)間極短，對(duì)時(shí)間的積分是一個(gè)有限值

代入系統(tǒng)的拉氏變換模型：

求解α(s)和β(s)，得到

其中二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：輸入輸出沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)62二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡假設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，部分分式展開，反拉氏變換得：

可見，力矩Mx1引起轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外兩個(gè)框架作等幅振蕩，相位相差90度。消去時(shí)間變量，得軌跡方程

軌跡圓，半徑…圓心…頻率…

二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：響應(yīng)軌跡假設(shè)Jx=Jy=J63二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子例子：設(shè)Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，H=5160克·厘米·秒，Mx1=36200克·厘米×10-5秒（注：克=克重，相當(dāng)于每克物體的重量）

章動(dòng)的幅度（半徑）角分章動(dòng)的特點(diǎn)：高頻、微幅

二自由度陀螺脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子例子：設(shè)Jx=Jy=64二自由度陀螺階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數(shù)表示：陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時(shí)，頻域輸出響應(yīng)為：

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，65設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H/(Jx·Jy)反拉氏變換，得時(shí)域響應(yīng)：

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)：章動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：進(jìn)動(dòng)和等效彈簧效應(yīng)設(shè)Jx=Jy=Je，并令ω02=H/(Jx·66二自由度陀螺階躍響應(yīng)：軌跡對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)子軸的軌跡方程

旋輪線：圓周運(yùn)動(dòng)（章動(dòng)）和平移運(yùn)動(dòng)（進(jìn)動(dòng)）的合成。解釋：圓周運(yùn)動(dòng)線速度：圓心移動(dòng)速度：兩種運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果：車輪無(wú)摩擦滾動(dòng)——旋輪線其中進(jìn)動(dòng)起主導(dǎo)作用

二自由度陀螺階躍響應(yīng)：軌跡對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)67二自由度陀螺階躍響應(yīng)：計(jì)算例子例題：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干擾力矩作用時(shí)間t=60秒。

陀螺漂移率漂移的角度章動(dòng)振幅章動(dòng)頻率常值干擾力矩的產(chǎn)生原因及影響二自由度陀螺階躍響應(yīng)：計(jì)算例子例題：My=1克·厘米68二自由度陀螺正弦響應(yīng)：輸入輸出如果外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡(jiǎn)諧函數(shù)描述

初始條件都為零時(shí)，陀螺頻域輸出響應(yīng)為：

令ω02=H2/(Jx·Jy)，并部分分式展開及反拉氏變換，得二自由度陀螺正弦響應(yīng)：輸入輸出如果外加力矩方向不斷改變，大69二自由度陀螺正弦響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)章動(dòng)項(xiàng)強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)常值項(xiàng)設(shè)ωa《ωo，Jx=Jy=Je，則上述響應(yīng)式可以簡(jiǎn)化成：二自由度陀螺正弦響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)章動(dòng)項(xiàng)強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)常值70二自由度陀螺正弦響應(yīng)：軌跡可見Mx1使轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外框架軸做受迫振蕩。消去時(shí)間變量，得到軌跡方程橢圓：長(zhǎng)、短半軸的判斷不同類型的干擾力矩對(duì)陀螺儀精度影響程度的比較：常值>正弦>沖擊二自由度陀螺正弦響應(yīng)：軌跡可見Mx1使轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外71二自由度陀螺對(duì)外加力矩響應(yīng)的總結(jié)外加力矩二自由度陀螺儀動(dòng)態(tài)響應(yīng)（雙軸）章動(dòng)靜態(tài)響應(yīng)（同軸）等效彈簧靜態(tài)響應(yīng)（正交軸）進(jìn)動(dòng)二自由度陀螺對(duì)外加力矩響應(yīng)的總結(jié)外二動(dòng)態(tài)響應(yīng)（雙軸）章動(dòng)靜態(tài)72靜電陀螺靜電陀螺概述發(fā)展概況結(jié)構(gòu)組成：總述靜電陀螺靜電陀螺概述73靜電陀螺概述框架陀螺：精度追求、三浮結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本高昂靜電陀螺(ElectrostaticGyro)：較徹底的支承革新球形轉(zhuǎn)子;電極球腔靜電懸浮;超高真空靜電陀螺優(yōu)點(diǎn)：精度高，真正的自由轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可靠性高應(yīng)用：戰(zhàn)略武器、火箭缺點(diǎn)：工藝復(fù)雜

靜電陀螺概述框架陀螺：精度追求、三浮球形轉(zhuǎn)子;74發(fā)展概況發(fā)展階段

1952年提出1970s初期0.01（0/h）1970s中期0.0001（0/h）1970s末期進(jìn)入實(shí)用1995年0.00001（0/h）04年斯坦福大學(xué)10-11（0/h）

主要研制機(jī)構(gòu)：1950s后期，美國(guó)Honeywell和Autonetics開始研制

從1960s末到1980s，法國(guó)、英國(guó)、前蘇聯(lián)、中國(guó)也相繼展開靜電陀螺的研制

發(fā)展概況發(fā)展階段1952年提出主要研制機(jī)構(gòu)：從1960s75結(jié)構(gòu)組成：總述球形轉(zhuǎn)子陶瓷球腔凹形球面電極高電壓/小間隙/強(qiáng)電場(chǎng)/懸浮/控制回路穩(wěn)定

驅(qū)動(dòng)線圈：轉(zhuǎn)子起旋定中線圈：轉(zhuǎn)子軸對(duì)準(zhǔn)鈦離子泵：抽真空光電傳感：讀取角度

結(jié)構(gòu)組成：總述球形轉(zhuǎn)子高電壓/小間隙/強(qiáng)電場(chǎng)/懸浮/控制回路76振動(dòng)陀螺振動(dòng)陀螺77振動(dòng)陀螺儀概述機(jī)械陀螺：基于牛頓力學(xué)原理

轉(zhuǎn)子陀螺：三浮、靜電，制造工藝復(fù)雜、成本高

振動(dòng)陀螺：原理：利用高頻振動(dòng)的質(zhì)量在被基座帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的苛氏加速度特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、重量輕、可靠性高、承載能力大