線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件

行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等.復(fù)習(xí)行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等.復(fù)習(xí)1性質(zhì)2:互換行列式的兩行(列),行列式變號.性質(zhì)2:互換行列式的兩行(列),行列式變號.2性質(zhì)3:推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常數(shù)乘行列式任意一行的諸元素,等于用乘這個行列式.性質(zhì)3:推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零3性質(zhì)4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零.性質(zhì)5:注:性質(zhì)3,性質(zhì)5又稱為線性性質(zhì)性質(zhì)4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零4性質(zhì)6:在行列式中,把某行各元素分別乘非零常數(shù)再加到另一行的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.性質(zhì)6:在行列式中,把某行各元素分別乘非零常數(shù)再加到另一行的5重要公式重要公式6線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件7行列式計算(利用性質(zhì))方法:(1)化上(下)三角形法(2)降階法(3)遞歸法行列式計算(利用性質(zhì))方法:(1)化上(下)三角形法(2)降8例題例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法:化上(下)三角形法;降階法.例題例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法:化上(下)三9法2(降階法)可直接用對角線法則計算三階行列式法2(降階法)可直接用對角線法則計算三階行列式10例2計算先觀察再計算解:例2計算先觀察再計算解:11或或12矩陣1.運算:+,-,數(shù)乘,乘法等.注意能運算的條件.矩陣乘法定義:規(guī)定:與的乘積是一個陣記作:矩陣1.運算:+,-,數(shù)乘,乘法等.注意能運算的條件.矩陣乘13

2.注意:(1)矩陣乘法不滿足交換律.但不是說對任意兩個矩陣一定有例(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.(有別于數(shù)的乘法)例2.注意:(1)矩陣乘法不滿足交換律.但不是說對任意兩個矩14而若稱是的左零因子.稱是的右零因子.(3)一個非零矩陣如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.結(jié)論:矩陣乘法不適合消去律.不能推出而若稱是的左零因子.稱是的右零因子.(3)一個非零矩陣如有左15滿足運算律(乘法有意義的前提下)結(jié)合律:數(shù)乘結(jié)合律:左分配律:右分配律:又例滿足運算律(乘法有意義的前提下)結(jié)合律:數(shù)乘結(jié)合律:左分配律163.特殊矩陣:單位矩陣,數(shù)量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣3.特殊矩陣:單位矩陣,數(shù)量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣17線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件184.重要矩陣及運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣可逆矩陣正交矩陣4.重要矩陣及運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣可逆矩陣正交矩陣19滿足運算規(guī)律:矩陣的轉(zhuǎn)置滿足運算規(guī)律:矩陣的轉(zhuǎn)置20對稱矩陣:反對稱矩陣:對稱矩陣:反對稱矩陣:21可逆矩陣的逆矩陣定義,唯一性,充要條件及推論,可逆矩陣的性質(zhì)定義:可逆矩陣的逆矩陣定義,唯一性,充要條件及推論,可逆矩陣的性質(zhì)22奇異矩陣非奇異矩陣?yán)娈惥仃嚪瞧娈惥仃嚴(yán)?3解:解:24線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件25例例例例26正交矩陣及其性質(zhì)定義:定理:定理:正交矩陣及其性質(zhì)定義:定理:定理:275.矩陣的初等變換及性質(zhì)掌握初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣5.矩陣的初等變換及性質(zhì)掌握初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣28一般結(jié)論:一般結(jié)論:29初等矩陣是可逆的結(jié)論:可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積.初等矩陣是可逆的結(jié)論:可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積30線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件31例3例332線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件33線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件34向量概念:線性組合,線性相關(guān),線性無關(guān),極大無關(guān)組,秩,向量組的等價,內(nèi)積等有關(guān)線性相關(guān),無關(guān),秩的重要定理,結(jié)論.向量概念:線性組合,線性相關(guān),線性無關(guān),極大無關(guān)組,秩,向35結(jié)論:1.m個n維向量必線性相關(guān).(m>n)特別:m=n+12.n個n維向量線性無關(guān)它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零.3.n維向量空間任一線性無關(guān)組最多只能包含n個向量.4n維向量空間n個向量線性無關(guān),則任一向量可由這n個線性無關(guān)向量表示,且表法唯一.結(jié)論:2.n個n維向量線性無關(guān)它們所構(gòu)成36定理(1)若向量組A:線性相關(guān),則向量組B:也線性相關(guān).反之,若向量組B線性無關(guān),向量組A也線性無關(guān).若部分相關(guān)，則整體相關(guān)；若整體無關(guān)，則部分無關(guān)(2)設(shè)定理(1)若向量組A:37若向量組A:線性無關(guān),則向量組B:也線性無關(guān).反之,若向量組B線性相關(guān),向量組A也線性相關(guān).若r維向量線性無關(guān)，則在每個向量上添加m個分量所得到的新向量也線性無關(guān).等價的說法：m個分量所得到的新向量也線性相關(guān).若r維向量線性相關(guān)，則在每個向量上去掉若向量組A:線性無關(guān)38定義:注意:只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.規(guī)定:它的秩為零.極大線性無關(guān)組定義:注意:只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.規(guī)定:它的秩為39問題:極大無關(guān)組是否唯一?定理:向量組與它的任意一個極大無關(guān)組等價.結(jié)論:問題:極大無關(guān)組是否唯一?定理:向量組與它的任意一個極大無關(guān)40推論1:等價的無關(guān)向量組包含相同個數(shù)的向量.定理:向量組的任意兩個極大無關(guān)組相互等價,從而所含向量個數(shù)相同.推論1:等價的無關(guān)向量組包含相同個數(shù)的向量.定理:向量組的任41向量組的秩的求法介紹的簡便而有效的方法:(1)以向量組中各向量作為列向量,構(gòu)成矩陣A;(2)對A施行初等行變換化為階梯形矩陣B,B的非零行數(shù)即矩陣A的秩,亦即原向量組的秩;(3)求出B的列向量組的極大無關(guān)組;(4)A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)的部分列向量組,即為向量組的極大無關(guān)組向量組的秩的求法介紹的簡便而有效的方法:(2)對A施行初等行42線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件43線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件44秩的性質(zhì)1.(推論3.4.4)等價矩陣有相同的秩.2.(推論3.4.5)對任意矩陣A,3..(推論3.4.6)任何矩陣與可逆矩陣相乘,其秩不變.秩的性質(zhì)1.(推論3.4.4)等價矩陣有相同的秩.2.(推45B可逆,r(B)=3又r(AB)=2,r(A)=2,即B可逆,r(B)=3又r(AB)=2,r(A)=2,即46矩陣的秩與行列式的關(guān)系矩陣的秩與行列式的關(guān)系47例向量組線性無關(guān),證明:用定義.設(shè)例向量組線性無關(guān),證明:用定義.設(shè)48只有零解.所以,只有零解.所以,49線性方程組齊次系數(shù)矩陣基礎(chǔ)解系解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)非齊次增廣矩陣解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)線性方程組齊次系數(shù)矩陣基礎(chǔ)解系50二.齊次線性方程組解的理論和解的結(jié)構(gòu)對(1)我們關(guān)心何時有非零解.必有非零解.定理1給出結(jié)論.解的理論二.齊次線性方程組解的理論和解的結(jié)構(gòu)對(1)我們關(guān)心何時有非51特別:特別:52解向量:解的性質(zhì):解的結(jié)構(gòu)解向量:解的性質(zhì):解的結(jié)構(gòu)53解空間:定義:基礎(chǔ)解系解空間:定義:基礎(chǔ)解系54線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件55對(2)我們關(guān)心何時有解,及何時有唯一解,無窮多解.解的理論對(2)我們關(guān)心何時有解,及何時有唯一解,無窮多解.解的理論56解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)57例解例解58線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件59考慮1.有無解2.有解(唯一解還是無窮多解)討論:考慮1.有無解討論:60特解:令A(yù)x=0的基礎(chǔ)解系通解特解:令A(yù)x=0的基礎(chǔ)解系通解61方法2由本題的特點:方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想到先求系數(shù)行列式,利用克萊姆法則方法2由本題的特點:方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想62線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件63矩陣的特征值與特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的性質(zhì):矩陣的特征值與特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的64方陣的特征值與特征向量(一)特征值與特征向量的定義和計算定義1:注:方陣的特征值與特征向量(一)特征值與特征向量的定義和計算定義65特征方程:求特征值求特征向量即求齊次線性方程組的非零解.小結(jié):特征方程:求特征值求特征向量即求齊次線性方程組的非零解.小結(jié)66(二)特征值和特征向量的性質(zhì)定理1:定理2:(二)特征值和特征向量的性質(zhì)定理1:定理2:67性質(zhì)1(關(guān)于特征值的)性質(zhì)3性質(zhì)2一個特征向量不能屬于不同的特征值(即不同的特征值所對應(yīng)的特征向量不同)(對于同一個矩陣)性質(zhì)1(關(guān)于特征值的)性質(zhì)3性質(zhì)2一個特征向量不能屬于不同的68例2例269相似矩陣及性質(zhì)定義:相似是等價關(guān)系:1.自反性2.對稱性3.傳遞性相似矩陣及性質(zhì)定義:相似是等價關(guān)系:1.自反性2.對稱性3.70性質(zhì)1.相似矩陣有1.相同的行列式.2.相同的特征多項式和相同特征值.3.有相同的跡.4.有相同的秩.性質(zhì)1.相似矩陣有71(二)矩陣可對角化的條件(二)矩陣可對角化的條件72定理1.實對稱矩陣A的任一個特征值都是實數(shù).二.實對稱矩陣的特征值和特征向量P146定理5.4.1推論:實對稱矩陣A的特征向量均為實向量.定理2.實對稱矩陣A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的.定理1.實對稱矩陣A的任一個特征值都是實數(shù).二.實對稱矩陣的73定理3.(實對稱矩陣必可對角化)本定理證明不要求實對稱矩陣對角化時,求正交矩陣的步驟:(P151)定理3.(實對稱矩陣必可對角化)本定理證明不要求實對稱矩陣對74線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件75線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件76線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件77二次型的定義二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法二次型正定的充要條件實對稱矩陣正定的充要條件二次型的定義二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法二次型正定78(二).二次型的定義及矩陣表示(二).二次型的定義及矩陣表示79注:2.討論的主要問題:尋求線性變換,消去交叉項,使二次型只含平方項.注:2.討論的主要問題:尋求線性變換,消去交叉項,使二次型只80解:解:81例2求對稱矩陣所對應(yīng)的二次型例2求對稱矩陣所對應(yīng)的二次型82矩陣的合同設(shè)線性變換(非退化的)矩陣的合同設(shè)線性變換(非退化的)83因為標(biāo)準(zhǔn)化問題變成尋找一個合適的可逆矩陣因為標(biāo)準(zhǔn)化問題變成尋找一個合適的可逆矩陣84定義:設(shè)A,B是數(shù)域P上兩個n階對稱矩陣,若存在P上n階可逆矩陣C,使則稱A與B是合同的.記作合同是等價關(guān)系(自反性,對稱性,傳遞性)定義:設(shè)A,B是數(shù)域P上兩個n階對稱矩陣,若存在P上n階可逆85二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形的定義:如果二次型二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形的定義:如果二次型86二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法87線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件88解:解:89正交化正交化90在將單位化為在將單位化為91單位化為單位化為92令則T是正交矩陣,且令則T是正交矩陣,且93于是,經(jīng)過正交變換X=TY原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形于是,經(jīng)過正交變換X=TY原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形94正慣性指數(shù):標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個數(shù)負(fù)慣性指數(shù):標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)系數(shù)的個數(shù).慣性定理和規(guī)范形正慣性指數(shù):標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個數(shù)慣性定理和規(guī)范形95正定二次型正定二次型96線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件97解:解:98行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等.復(fù)習(xí)行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等.復(fù)習(xí)99性質(zhì)2:互換行列式的兩行(列),行列式變號.性質(zhì)2:互換行列式的兩行(列),行列式變號.100性質(zhì)3:推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常數(shù)乘行列式任意一行的諸元素,等于用乘這個行列式.性質(zhì)3:推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零101性質(zhì)4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零.性質(zhì)5:注:性質(zhì)3,性質(zhì)5又稱為線性性質(zhì)性質(zhì)4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零102性質(zhì)6:在行列式中,把某行各元素分別乘非零常數(shù)再加到另一行的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.性質(zhì)6:在行列式中,把某行各元素分別乘非零常數(shù)再加到另一行的103重要公式重要公式104線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件105行列式計算(利用性質(zhì))方法:(1)化上(下)三角形法(2)降階法(3)遞歸法行列式計算(利用性質(zhì))方法:(1)化上(下)三角形法(2)降106例題例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法:化上(下)三角形法;降階法.例題例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法:化上(下)三107法2(降階法)可直接用對角線法則計算三階行列式法2(降階法)可直接用對角線法則計算三階行列式108例2計算先觀察再計算解:例2計算先觀察再計算解:109或或110矩陣1.運算:+,-,數(shù)乘,乘法等.注意能運算的條件.矩陣乘法定義:規(guī)定:與的乘積是一個陣記作:矩陣1.運算:+,-,數(shù)乘,乘法等.注意能運算的條件.矩陣乘111

2.注意:(1)矩陣乘法不滿足交換律.但不是說對任意兩個矩陣一定有例(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.(有別于數(shù)的乘法)例2.注意:(1)矩陣乘法不滿足交換律.但不是說對任意兩個矩112而若稱是的左零因子.稱是的右零因子.(3)一個非零矩陣如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.結(jié)論:矩陣乘法不適合消去律.不能推出而若稱是的左零因子.稱是的右零因子.(3)一個非零矩陣如有左113滿足運算律(乘法有意義的前提下)結(jié)合律:數(shù)乘結(jié)合律:左分配律:右分配律:又例滿足運算律(乘法有意義的前提下)結(jié)合律:數(shù)乘結(jié)合律:左分配律1143.特殊矩陣:單位矩陣,數(shù)量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣3.特殊矩陣:單位矩陣,數(shù)量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣115線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件1164.重要矩陣及運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣可逆矩陣正交矩陣4.重要矩陣及運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣可逆矩陣正交矩陣117滿足運算規(guī)律:矩陣的轉(zhuǎn)置滿足運算規(guī)律:矩陣的轉(zhuǎn)置118對稱矩陣:反對稱矩陣:對稱矩陣:反對稱矩陣:119可逆矩陣的逆矩陣定義,唯一性,充要條件及推論,可逆矩陣的性質(zhì)定義:可逆矩陣的逆矩陣定義,唯一性,充要條件及推論,可逆矩陣的性質(zhì)120奇異矩陣非奇異矩陣?yán)娈惥仃嚪瞧娈惥仃嚴(yán)?21解:解:122線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件123例例例例124正交矩陣及其性質(zhì)定義:定理:定理:正交矩陣及其性質(zhì)定義:定理:定理:1255.矩陣的初等變換及性質(zhì)掌握初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣5.矩陣的初等變換及性質(zhì)掌握初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣126一般結(jié)論:一般結(jié)論:127初等矩陣是可逆的結(jié)論:可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積.初等矩陣是可逆的結(jié)論:可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積128線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件129例3例3130線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件131線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件132向量概念:線性組合,線性相關(guān),線性無關(guān),極大無關(guān)組,秩,向量組的等價,內(nèi)積等有關(guān)線性相關(guān),無關(guān),秩的重要定理,結(jié)論.向量概念:線性組合,線性相關(guān),線性無關(guān),極大無關(guān)組,秩,向133結(jié)論:1.m個n維向量必線性相關(guān).(m>n)特別:m=n+12.n個n維向量線性無關(guān)它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零.3.n維向量空間任一線性無關(guān)組最多只能包含n個向量.4n維向量空間n個向量線性無關(guān),則任一向量可由這n個線性無關(guān)向量表示,且表法唯一.結(jié)論:2.n個n維向量線性無關(guān)它們所構(gòu)成134定理(1)若向量組A:線性相關(guān),則向量組B:也線性相關(guān).反之,若向量組B線性無關(guān),向量組A也線性無關(guān).若部分相關(guān)，則整體相關(guān)；若整體無關(guān)，則部分無關(guān)(2)設(shè)定理(1)若向量組A:135若向量組A:線性無關(guān),則向量組B:也線性無關(guān).反之,若向量組B線性相關(guān),向量組A也線性相關(guān).若r維向量線性無關(guān)，則在每個向量上添加m個分量所得到的新向量也線性無關(guān).等價的說法：m個分量所得到的新向量也線性相關(guān).若r維向量線性相關(guān)，則在每個向量上去掉若向量組A:線性無關(guān)136定義:注意:只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.規(guī)定:它的秩為零.極大線性無關(guān)組定義:注意:只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.規(guī)定:它的秩為137問題:極大無關(guān)組是否唯一?定理:向量組與它的任意一個極大無關(guān)組等價.結(jié)論:問題:極大無關(guān)組是否唯一?定理:向量組與它的任意一個極大無關(guān)138推論1:等價的無關(guān)向量組包含相同個數(shù)的向量.定理:向量組的任意兩個極大無關(guān)組相互等價,從而所含向量個數(shù)相同.推論1:等價的無關(guān)向量組包含相同個數(shù)的向量.定理:向量組的任139向量組的秩的求法介紹的簡便而有效的方法:(1)以向量組中各向量作為列向量,構(gòu)成矩陣A;(2)對A施行初等行變換化為階梯形矩陣B,B的非零行數(shù)即矩陣A的秩,亦即原向量組的秩;(3)求出B的列向量組的極大無關(guān)組;(4)A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)的部分列向量組,即為向量組的極大無關(guān)組向量組的秩的求法介紹的簡便而有效的方法:(2)對A施行初等行140線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件141線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件142秩的性質(zhì)1.(推論3.4.4)等價矩陣有相同的秩.2.(推論3.4.5)對任意矩陣A,3..(推論3.4.6)任何矩陣與可逆矩陣相乘,其秩不變.秩的性質(zhì)1.(推論3.4.4)等價矩陣有相同的秩.2.(推143B可逆,r(B)=3又r(AB)=2,r(A)=2,即B可逆,r(B)=3又r(AB)=2,r(A)=2,即144矩陣的秩與行列式的關(guān)系矩陣的秩與行列式的關(guān)系145例向量組線性無關(guān),證明:用定義.設(shè)例向量組線性無關(guān),證明:用定義.設(shè)146只有零解.所以,只有零解.所以,147線性方程組齊次系數(shù)矩陣基礎(chǔ)解系解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)非齊次增廣矩陣解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)線性方程組齊次系數(shù)矩陣基礎(chǔ)解系148二.齊次線性方程組解的理論和解的結(jié)構(gòu)對(1)我們關(guān)心何時有非零解.必有非零解.定理1給出結(jié)論.解的理論二.齊次線性方程組解的理論和解的結(jié)構(gòu)對(1)我們關(guān)心何時有非149特別:特別:150解向量:解的性質(zhì):解的結(jié)構(gòu)解向量:解的性質(zhì):解的結(jié)構(gòu)151解空間:定義:基礎(chǔ)解系解空間:定義:基礎(chǔ)解系152線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件153對(2)我們關(guān)心何時有解,及何時有唯一解,無窮多解.解的理論對(2)我們關(guān)心何時有解,及何時有唯一解,無窮多解.解的理論154解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)155例解例解156線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件157考慮1.有無解2.有解(唯一解還是無窮多解)討論:考慮1.有無解討論:158特解:令A(yù)x=0的基礎(chǔ)解系通解特解:令A(yù)x=0的基礎(chǔ)解系通解159方法2由本題的特點:方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想到先求系數(shù)行列式,利用克萊姆法則方法2由本題的特點:方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想160線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)課件161矩陣的特征值與特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的性質(zhì):矩陣的特征值與特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的162方陣的特征值與特征向量(一)特征值與特征向量的定義和計算定義1:注:方陣的特征值與特征向量(一)特征值與特征向量的定義和計算定義163特征方程:求特征值求特征向量即求齊次線性方程組的非零解.小結(jié):特征方程:求特征值求特征向量即求齊次線性方程組的非零解.小結(jié)164(二)特征值和特征向量的性質(zhì)定理1:定理2:(二)特征值和特征向量的性質(zhì)定理1:定理2:165性質(zhì)1(關(guān)于特征值的)性質(zhì)3性質(zhì)2一個特征向量不能屬于不同的特征值(即不同的特征值所對應(yīng)的特征向量不同)(對于同一個矩陣)性質(zhì)1(關(guān)于特征值的)性質(zhì)3性質(zhì)2一個特征向量不能屬于不同的166例2例2167相似矩陣及性質(zhì)定義:相似是等價關(guān)系:1.自反性2.對稱性3.傳遞性相似矩陣及性質(zhì)定義:相似是等價關(guān)系:1.自反性2.對稱性3.168性質(zhì)1.相似矩陣有1.相同的行列式.2.相同的特征多項式和相同特征值.3.有相同的跡.4.有相同的秩.性質(zhì)1.相似矩陣有169(二)矩陣可對角化的條件(二)矩陣可對角化的條件