清華大學(xué)高數(shù)競(jìng)賽培訓(xùn)

1，2，3，5章及其經(jīng)典習(xí)題第一部分例題精講與習(xí)題第一章極限與連續(xù)性1.1基本概念與內(nèi)容提要1）.極限的條件：左極限等于右極限。（1函數(shù)連續(xù)性和可導(dǎo)性的（2第一類間斷點(diǎn)（左右極限：>可去間斷點(diǎn)：左右極限且相等但函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)b>跳躍間斷點(diǎn)fxfx0（3）im，xxxx0fx0xx0處可導(dǎo)且f'。所以，可導(dǎo)性就是極限0fxfx0是否1，2，3，5章及其經(jīng)典習(xí)題第一部分例題精講與習(xí)題第一章極限與連續(xù)性1.1基本概念與內(nèi)容提要1）.極限的條件：左極限等于右極限。（1函數(shù)連續(xù)性和可導(dǎo)性的（2第一類間斷點(diǎn)（左右極限：>可去間斷點(diǎn)：左右極限且相等但函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)b>跳躍間斷點(diǎn)fxfx0（3）im，xxxx0fx0xx0處可導(dǎo)且f'。所以，可導(dǎo)性就是極限0fxfx0是否；(4)求函數(shù)的漸近線：①水平漸近線：limfxA，則limxxxxx0fxxx0yfxxx0fxxykxb其中klim,blimf xkx；xx有兩條。2）.連續(xù)函數(shù)的極限a0,lim limnnnnx2limarccote4）.極限的四則運(yùn)算2xx0ex05）恒等變形、約去零因子、有理化等常用化簡(jiǎn)方法6）.極限準(zhǔn)則（定理、單調(diào)有界定理）sinx1x elimxxx0x08）.洛法則（重點(diǎn)，常與洛法則一起交替使用，?？嫉墓灿衅叻N不定式極限：大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)0①型，常用方法：約去零因子；等價(jià)無(wú)窮小替換；變量代換；洛0② 型，常用方法：分母同時(shí)除以最高次冪項(xiàng)；變量替換；洛法則型，常用方法：通分；倒代換；有理化0型，常用方法：變形；變量代換；取倒數(shù)化為型00型，常用方法：取對(duì)數(shù)化為0型；恒等變形；變量代換⑥0型，常用方法：取對(duì)數(shù)化為0型；恒等變形消除不定式；利用重要極1im1xxe；等價(jià)替換x01⑦型，常用方法：取對(duì)數(shù)化為0型；利用重要極限im10①型，常用方法：約去零因子；等價(jià)無(wú)窮小替換；變量代換；洛0② 型，常用方法：分母同時(shí)除以最高次冪項(xiàng)；變量替換；洛法則型，常用方法：通分；倒代換；有理化0型，常用方法：變形；變量代換；取倒數(shù)化為型00型，常用方法：取對(duì)數(shù)化為0型；恒等變形；變量代換⑥0型，常用方法：取對(duì)數(shù)化為0型；恒等變形消除不定式；利用重要極1im1xxe；等價(jià)替換x01⑦型，常用方法：取對(duì)數(shù)化為0型；利用重要極限im1ex09）.無(wú)窮小得比較x0，則xx即為無(wú)窮小量，0xx0時(shí)x是比x高階的無(wú)窮limxxx（1）limxxx小，記為xoxx0時(shí)x是比x低階的無(wú)窮??；xCC0xx0時(shí)x是與x同（2）limxxxC=1xx0時(shí)x與x是等價(jià)無(wú)窮小，記為xx0；xCC0xx0時(shí)x是與xlimxkxxk階無(wú)窮小。等價(jià)無(wú)窮小替換求極限（注意：有界函數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小指在乘積型極限中，一個(gè)無(wú)窮小因式可以用與它等價(jià)的無(wú)窮小因式代替。x0時(shí)，ex,11xa1ax,ax1xn11 coxarctanxx。注意：高階無(wú)窮小、k階無(wú)窮小補(bǔ)充：無(wú)窮大量比較：①當(dāng)n 時(shí)，無(wú)窮大的階lnn,n0,n0,ana1,nn；及應(yīng)用。數(shù)由低到高排列為：x 時(shí)，無(wú)窮大的階x。②當(dāng)數(shù)由低到高排列為：ln9）.利用公式、中值定理求極限，求極限常用公式有：xnn!oxne...2!2n1ox2nsinx2n1!5!2nox2n1x12n!x5ox52!4!1x3215tan3nox9）.利用公式、中值定理求極限，求極限常用公式有：xnn!oxne...2!2n1ox2nsinx2n1!5!2nox2n1x12n!x5ox52!4!1x3215tan3noxnln11nxnoxn的定義求極限11x10）.利用定11） 證明數(shù)列極限的方法：①定理②單調(diào)有界定理③級(jí)數(shù)斂散法：若級(jí)數(shù)④級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)an收斂，則n1aa liman n1nnn1an0。n補(bǔ)充：給定數(shù)列an，則liman的充要條件是級(jí)數(shù)anan1收斂。nn1級(jí)數(shù)的斂散性。所以，數(shù)列的斂散性可以轉(zhuǎn)化為0,nmbaxnaxn1.a 0公式：lim0 1 n0,nm，數(shù)列極限也可用。12）bxmbxm1...bx,nm01n13）中值定理求極限：關(guān)鍵是將欲求的極限寫(xiě)成中值定理的形式，在求函數(shù)式具有規(guī)律比或其分母之項(xiàng)具有中值定理那樣的關(guān)聯(lián)或函數(shù)式非常復(fù)雜難以化簡(jiǎn)時(shí)，尤其是像求類未定的極限如imsin x1sin x，可以考慮使用中值定理。xfnlimfnlimfx0。14）nxn1級(jí)數(shù)的斂散性等。求極限可以轉(zhuǎn)化為求定、1.2etnxesinxlim。xsinxx0etnxsinx在sinxesinx中值定理得etnx與tnxx0時(shí),e1etnxsinxetnxesinxsc2xsxlimlimxxx0imsc2方法二：先處理一下，在使用等價(jià)無(wú)窮小和洛法則1esinxetanxesinxxsinxlimetnxesinxlim。xsinxx0etnxsinx在sinxesinx中值定理得etnx與tnxx0時(shí),e1etnxsinxetnxesinxsc2xsxlimlimxxx0imsc2方法二：先處理一下，在使用等價(jià)無(wú)窮小和洛法則1esinxetanxesinxxsinxlimlim3limx1xn2.求lim。2 1xn0n21n111xnxn解：0, 使得dxlim0dx2 2 ，n211x1x2n001exycosxydxdy=2 23.D:x2y2r2lim.rr0r2Dr,Dexycosxydxdyr2ecos，2 2 2 2使得rDr當(dāng)r0時(shí),00，1exycosxydxdylimecos2 2 2 2r0r200Drlim(cos2cos22nn1)cos24.nnncosn .n12n12222 cosxdx...cos lim cos0nnnnx1 1cos2 21020 2nk1n1k nClim。nnk1 kk1k2...2 1解：當(dāng)kn1n1k11n2n3...nknn20n1k1kn1nCkn2n12n1nn0 n1k2n2n12n1nk1即0n1k nC0，n22nnnnk1n1k0limnC由nnk1例6.證明：數(shù)列7求其極限。7, 777777,7,...收斂，并7xnfxxnxn12n1nn0 n1k2n2n12n1nk1即0n1k nC0，n22nnnnk1n1k0limnC由nnk1例6.證明：數(shù)列7求其極限。7, 777777,7,...收斂，并7xnfxxnxn2777x，證明：設(shè)該數(shù)列通f(2)=2xn2fxnxn22fxnf2，由中值定理得：x，2之間，使得fxf2fx2，1fx，4 7x77xfxf2f'xx2，由題意得0x7，n2nnnn11f0 7,1nn4 7n7n 477 7 14'n即x2k由0xn2,012fxn2，則k122,k1limk1x 2x2x20，2k22k20limx2n2limx2n12，由 定理得limx2kknnxn22。n1,x1x2，又設(shè)yfx的反函數(shù)7.fx 2ygx的不可導(dǎo)點(diǎn)中橫坐標(biāo)最小者和最大者。求：（1）求,（2）設(shè)n。n1x、、或f x 0的點(diǎn)的、（1g，g(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)即f x不x、ffxf2x2x24f00，又f28,lim'limx24，x2x2fxf2x38lim2不、f 、lim1不存x2x2x2x2在，gxx1f00x2f11x31,8f28處均不可導(dǎo)，21x、、或f x 0的點(diǎn)的、（1g，g(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)即f x不x、ffxf2x2x24f00，又f28,lim'limx24，x2x2fxf2x38lim2不、f 、lim1不存x2x2x2x2在，gxx1f00x2f11x31,8f28處均不可導(dǎo)，2n2，xn2（2）由題意得xn1 2xn22，xn222n2n0limnxlim20，22x2x2n00nxn0,limxn2n1n8.lim。21i ni1nni2i2 i2i1i211i,由介值定理得使得2解： ,i n，in2n21n2n21n1111nnn11limnlimlimnlimi1121222i nni 1n 1nnii11n1nin2nndx1101x24nlimn。nnnnC kCnn k1C n Ck2knnn111n12n2n2n1nn kn14limnk kn1例10.求極限lim1 sin 。2nk1nnk k1解：由 公式得sin n2o，n221nk3n1kk k1nn11lim1 sin1limno 22nk1nnnnk1 nn2n5 x1xdx 106f3x3x2x關(guān)于x的階為 。5115 x3 15on14limnk kn1例10.求極限lim1 sin 。2nk1nnk k1解：由 公式得sin n2o，n221nk3n1kk k1nn11lim1 sin1limno 22nk1nnnnk1 nn2n5 x1xdx 106f3x3x2x關(guān)于x的階為 。5115 x3 15ox3x3解：113x15ox55x5 1 5 26是關(guān)于x的 階。fxoo5315 3 151例12.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f01,limfxA，且f x、xx0，求證：1A1ln2。1證明：由f x0f(x)單調(diào)遞增，fxf01，、ex11dtxx、exf xf 01lnex1ln2f,01etex1fx1ln2lne 1xexfxexfxexfxnx213.fxlimn1xn的表。2nn2n2x222fxx解：當(dāng)；n當(dāng)1x2fx；nn當(dāng)2x1nfx， nnx,n為奇數(shù)nx213.fxlimn1xn的表。2nn2n2x222fxx解：當(dāng)；n當(dāng)1x2fx；nn當(dāng)2x1nfx， nnx,n為奇數(shù)fn，即fx不 ；當(dāng)2x1時(shí)該極限不f11,f2limn12n12，n1當(dāng)x1時(shí)，若n為偶數(shù)f11，若n為奇數(shù)f1 ,f1不；2x2nf22nf21,f2不；，其定義域?yàn)?1x2,fx2122n13517知xn = 。n12 4 16n22222224...22n122n1，解：1222...2n1分母22 ，22n112。nnnnn221221演練：設(shè)x 1a1a2..1a2n,其中1limx。annn11an1x21 1x2例15.求lim2 。x0sxex2sinx2公式得：ox41x4解：由81x2ox22cose 3x2ox222111lim2 lim 8 8演練：設(shè)x 1a1a2..1a2n,其中1limx。annn11an1x21 1x2例15.求lim2 。x0sxex2sinx2公式得：ox41x4解：由81x2ox22cose 3x2ox222111lim2 lim 8 813122nnlnnlnnlim。nnlnnnnlnn2nnlnnlnn2lnn2lnnnlnn2nlim1explimlimnnlnnnnnlnnn2x2e2explimxxlnx11xn1x11例17.求lim1 2 3nnn111解：設(shè)Sn1 ...，則2 3n11...11...S 111...12n112n122n2n2 33 4111... 211...112n22n2 3 4111... 111...112nn2 3 2 31111111......nnn1 n2nn12n111 nn1 1 1 1 1 1x1limSnlim111... 211...112n22n2 3 4111... 111...112nn2 3 2 31111111......nnn1 n2nn12n111 nn1 1 1 1 1 1x1limSnlim2nnn11121n0 nnnlimSlimS1ln2limSnn2n2n12n2nnn111limSnlim1 ...ln22 3nnnn2011，求的值。limn1nnnn1n解：n111nxn2011,0,0limlimn1x011xnn12011又limx010,12011,2010,120112011xA0，求。19.已知有整數(shù)nn4使極限limxxnx4nlimxx1由極限的 性得n1,n，1tn4tn1xnxlimlimxtt0tn42tnlim7tn52tn1A0,n5, 1 1limt0tn 5t02311 1 13343n3lim..313141 n1333n2k1由極限的 性得n1,n，1tn4tn1xnxlimlimxtt0tn42tnlim7tn52tn1A0,n5, 1 1limt0tn 5t02311 1 13343n3lim..313141 n1333n2k2k1k31k1nn式limlimnk2k 1 nk2k13k k12n2n1223limnnn13k36k211k5k3!nlimnk1n11式limnk1k! k3!1 11115 2! 3! n1! n2! n3! 3n22n2lim。3 21k2n23 2nnk23 2nnk2k2n2,3nn3 2nk32n131n又k nn12n1,26nn12n1xnn12n16n3n2nn12n16n31nn12n16n31n13limn6n3n2n22n2113 lim...3 21n23 2nn3 23nnnn12kn21limnk11112n1式limn...limn2n21n22n1nk0n2k2n22n211112n1 ,n1n1 k0nn2n2kn2k12n22n22n2113 lim...3 21n23 2nn3 23nnnn12kn21limnk11112n1式limn...limn2n21n22n1nk0n2k2n22n211112n1 ,n1n1 k0nn2n2kn2k12n22n22n1limn2,nn1n12nnn2kk01n2kn2klimn!n1!2!...n1!limn!n!nn01!2!...n1!n2n2!n1!2n3nn1n!n!lim2n30,lim1!2!...n1!0nnn1n!nn!nn25.limsinn2n n2n 式limsinn2nnlimsin1nnnnfxx0Rf0。RlimxxFxfxxlimFxlimFN0FN0FN0，RF0f0nbnan27.求limn22 nanb2nnba b2an nn nnnab22limn=lim1n2211a b211annn1bnexplimnexp lim1n1n2xlimFN0FN0FN0，RF0f0nbnan27.求limn22 nanb2nnba b2an nn nnnab22limn=lim1n2211a b211annn1bnexplimnexp lim1n1n22nn1lna1lnbe2ab2處可導(dǎo),f'(1)1,求limxx0limxx0fx)ff2x)ff3tanx)f=limxx03tanxxxxx0x0例29.F(xx0x1F(xFx11x，xF(x。FxFx11x(1)xx1,xxx11x1x1 1x12x1xx1FFF 1x1F(2)xx xxx 11x11111 x2x1FFx代換成，F(xiàn)F(3)1x1x1x1x1x1 x1(1)+(3)-(2)得22x1x3x21(2F(=x1 x21x(x1)x(x1)F(設(shè)0n123,...,a2an 1a a) (1a)(1a)(1axn，)11212n證明:limxnnn22x1x3x21(2F(=x1 x21x(x1)x(x1)F(設(shè)0n123,...,a2an 1a a) (1a)(1a)(1axn，)11212n證明:limxnnnn,...,n111，1a11a211111x 1121a 1a1a)112111211(1a1)(1a2)11(1a)(1a)(1a)n112anx xn1n(1a)(1a)(1a)121annan1an) )(1an)11(1a1)(1a2)(1an)n,xnimn.x031.n為自然數(shù),f(x在[0,n]f(0)f(n，aa1[0n]f(a)f(a1。試證：證明：當(dāng)n=1,當(dāng)n>1,g(x)f(x1f(xg(x在[0,n-1]上連續(xù),mM，m1g(0)g(1)g(n1)Mn由介值定理,a[0n1即有aa1[0n]),使g(a)1g(0)g(1)g(n1)n=1f(1)f(0)f(2)f(1)f(n)f(n1)1f(n)f(0)0nn即有aa1[0n],g(a)f(a1f(a=0,f(a)f(a11例32.如果f(x)是,上的周期函數(shù)，且limf ，求f(x)。xx0解：對(duì)xT0fxfx即有aa1[0n],g(a)f(a1f(a=0,f(a)f(a11例32.如果f(x)是,上的周期函數(shù)，且limf ，求f(x)。xx0解：對(duì)xT0fxfxnT11由limf 0得：fxlimfxnTlimftlimf 0xxx0nxtx0xlxx時(shí)解：有界，ln7x2limxx22102x252x27解：x時(shí)arctanarctanx21x227x2xx 2217x2limxx 2212x252x27x22limx52x271x21 x 223x435limx2x252x27cosxexcosxex35.求limx03xxexexx 2sinsin式lim 2 2 x3x0xexxxeexex1 2 2 2limx0 lim3x2xx01x14xx lim2x0例.求im x1x2..anxnxa2an ...1 1式 limxx x11a1a2anlimx 1nxxlim1a1t1a2t...1axexxxeexex1 2 2 2limx0 lim3x2xx01x14xx lim2x0例.求im x1x2..anxnxa2an ...1 1式 limxx x11a1a2anlimx 1nxxlim1a1t1a2t...1ant1a1a2anntnt0x37.求limx11x1n11x1)式limx11xn11x11n!21xn1limx1lnxex38.lim4x2x2x1x 1x11ex111411 13 xlim式x2xx14131ttttttt2 3 4231limtt01tt2t3t41tt2t3112lim4 3 tt0fy39.Fxy0,...,Fxn2xnn12limxnxn1，并求此極限值。nx=1得：F1,yfy11y2y5,fy1y22y10y129，22yx29fyxfy39.Fxy0,...,Fxn2xnn12limxnxn1，并求此極限值。nx=1得：F1,yfy11y2y5,fy1y22y10y129，22yx29fyxyx9,Fx,y2，2x..0n11911即3xx2n1 nx2xnnxn單調(diào)遞減且有下界，limxnnA299，對(duì)AA3，2Annlimxn3n12111140.設(shè)a1 2 22 2n21解：設(shè)，則a1cos2a2cos cos ,...2222由數(shù)學(xué)歸納法可得ancos n，2n2cos cos ...cos sin2 22 2n 2ncos 2...cos lim2nn2nn22n2nsinsin limsin sin 2 n2nn2nsin2n2nan例41.設(shè)a3,a2a2 1n2，求lim。n11nn2naa...a12 n1解：由a131an2a211及數(shù)學(xué)歸納法得an1na 11a1a12a aa222242a2212an1 n1n1n2 n2nnn2...22n2a22na22 212a2...a222aa...an...a a 12 an1n2 1 1n1n2 112 n1a211得 n a 11a1a12a aa222242a2212an1 n1n1n2 n2nnn2...22n2a22na22 212a2...a222aa...an...a a 12 an1n2 1 1n1n2 112 n1a211得 n 2，又an1，lim0，2n2aa...a12 n110，n2n12n12a2a211 n lim n limlimn2222nnnnn2aa...a2aa...a2aa...a12 n1an12 n112 n12arctanxxfx42.f"01，求，且lim3xx0f0,f0,f"0的值。arctan解：由1lim得：x33x2x0x01f00f01 1 2x 2fxxf"x22由1 1得:3x26xx0x0、 21f00,由1lim得:6x0fx83f"063f"08,f"022limxx0f01,f00,f"0831lim( arctanx)lnx2xlnarctanx x 1lim2 2x21arctanx)lnx lnxarctanxlimee2xx1x21x22 1 1x2x1limlim1limarctanx1xx1x22x1x221( arctanx)lnxe12x44.f(xx6的鄰域內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù),tlnarctanx x 1lim2 2x21arctanx)lnx lnxarctanxlimee2xx1x21x22 1 1x2x1limlim1limarctanx1xx1x22x1x221( arctanx)lnxe12x44.f(xx6的鄰域內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù),tx 6f(u)dudt且limf(x)0,limf(x)2010,求極限lim6t 。(6x)3x6x6x6t f(u)dudtx66x f(u)du6t limxlim3x6(6x)32x6x66f(u)duxfx6x62fxxf'xlimlim2010x6x6x611tet45.求極限lim.112t0tetarctant111et1tetxexlim t lim11et21t21tt0t0xexextetarctant1exlimlim1x2x41x22xexxex1x2x2xtdtxt20.limx11xx0x2x22xxtdtxttdtxt200limx11x0xexcosx1xexcosx1x23xxx0exsinx2323x6xx0x0x2xe247.求極限limx)]x04o(x4)cosx22x2x2x2x411 ( )2o(xx2x22xxtdtxttdtxt200limx11x0xexcosx1xexcosx1x23xxx0exsinx2323x6xx0x0x2xe247.求極限limx)]x04o(x4)cosx22x2x2x2x411 ( )2o(x4)1 o(x4)e2 2! 22 8由此得到：)2o(2o(x2)x2x44112!o(4!o(x)]x12o(x)44418原式limlim2o(x2)]x22x4o(x4) 24[2x0x0f(00f(00f(00.在曲線例48.f(x具有yf(x上任意一點(diǎn)(x,f(x（x0）x軸上的截距記作xf()f(x)，求limx0解：過(guò)點(diǎn)(x,f(xyf(xYf(x)f()f(0)0f(0)0x0f(x)0x軸上的截f(x)f(x)f(x)f(x)x，且limlimxlim0；x0f(xx00處公式得：f(x)f(0)f(0)x11)x)x在0x之間；22f(f(11122x代入得：f()f(0)f(0)11f()2f()2，在0與 之間；22222))limxf()limlim2xxx0x0x012limxf(x)f(x)limf(x)f(0)f(0)1x0f(x)xf(x)2x0f(x)xx1的等價(jià)無(wú)窮小則m____設(shè)當(dāng)11xx1 m mx mxm1 m11xxm11limx12m350.求lim1111n))limxf()limlim2xxx0x0x012limxf(x)f(x)limf(x)f(0)f(0)1x0f(x)xf(x)2x0f(x)xx1的等價(jià)無(wú)窮小則m____設(shè)當(dāng)11xx1 m mx mxm1 m11xxm11limx12m350.求lim1111nnnn n12n nn113nx1limxn1n n1n 3nn nn2n11n11231111lim n n n n nx1dx 2tdt11 21t22ln201t010xC0，試確定51.已知極限limn和C的值。nxx011x)x22x33ox]2x xo(x)，2333][2131x2o31x3o(x3)，3又1x22(x1x3 o(24x3ox3o(x3))3原式lim 3 3 lim3 Cxnxnx0x0n3C4.3法2：運(yùn)用洛必達(dá)法則可知：4x22112C原式lim1n1xx0故n3C4.352.fx2sinx...2010sinx，求f(0)fxsinxgxg...2010sinxf'xsinxg'xcosxgx,f'0g02010!法2：運(yùn)用洛必達(dá)法則可知：4x22112C原式lim1n1xx0故n3C4.352.fx2sinx...2010sinx，求f(0)fxsinxgxg...2010sinxf'xsinxg'xcosxgx,f'0g02010!則kennlim53.求。nk1n1kkenknnlimnlim1 edxe1xnk1nknk11k0ken1ene1nnen1limlimlime1nk1n1nn11ennk1n1k1kennlime1nk1n1k1.)1時(shí)，有f(x)，x2f2(x)π（2）limf(x1 。（1）imf(x)4xx10fx遞增,fx（1f(x)x2f2(x)111xx0f(x)dxx2x2f即fx1arctanx,fx1arctanx441fxlim1arctanx1x44f(x)limf(x)x（2）由fx1 ：4limfxlim1arctanx1x44x55.yy(xx3y33axy0（a0）確定，求limy。xxxy且3axyxyx2xyy2x3y33axy,xy,（2）由fx1 ：4limfxlim1arctanx1x44x55.yy(xx3y33axy0（a0）確定，求limy。xxxy且3axyxyx2xyy2x3y33axy,xy,xyy2x213ay6aylimy1y2xy2xyy2xx2xln11ln1nln12 n n n56.求極限limn ...n1n1n112nln1kln1k n nnn1ln1xdx2ln21n1nnk1nk10kln1kln1kln1k n n nnnnnlim n1n1nn1k1nnk1nk1kln1kn n 1 ln1xdxln21lim2ln21n10nk1ktan(tanx)sin(sinx)57.求極限limxsinxx0x33!ox3tan解：由tan 3x33ox3tantanxtanxx333x2x3ox33sin 3!x33ox3sinsinxsinxxx1x3ox331tan(tan lim tanx33x3oxtan 3x33ox3tantanxtanxx333x2x3ox33sin 3!x33ox3sinsinxsinxxx1x3ox331tan(tan lim tanx33x3oxx ox33x3! ox3x3lim21x3ox3x021exe2x...enxx58.求極限limnnx01xnexe2xexnnexe2x...enxlimex0xnex2e2x...nenxx0n12limex0eex 2xnxee...en11x(n2)sin59.設(shè)數(shù)列{xnnsin，則n1。n1n1nxlimn1k1knSTOLZ(定理)：xx設(shè){y}嚴(yán)格單增，且y+，如果limn n1a(a)yynnnn n1x則lim n1=ayyynnn n1n推論：x，則li xxnnnnnnx)xx xn1limn(n1)nnnnn（2）設(shè)limxnnnlnx由（1）可證lim nlimlnxnnnnlimlnx即limlnnnnnn設(shè)limnnlimnn11x(n2)sinx1；nn1n1nnnnxxim1x，則li xxnnnnnnx)xx xn1limn(n1)nnnnn（2）設(shè)limxnnnlnx由（1）可證lim nlimlnxnnnnlimlnx即limlnnnnnn設(shè)limnnlimnn11x(n2)sinx1；nn1n1nnnnxxim1nnnkkxlimlim1 n1k1 nn1 nknnnnn1)60.x00，分析：證明數(shù)列極限（n123,...）.證明limxn，并求之.n1的方法：①定理②單調(diào)有界定理③級(jí)數(shù)斂散法：若級(jí)數(shù)④級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)n收斂，則aa liman n1nnn1n10。給定數(shù)列an，則liman的充要條件是級(jí)數(shù)anan1收斂，所以，nnn1數(shù)列的斂散性可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)的斂散性。下面對(duì)各種解法給出示例。證明：方法一（單調(diào)有界定理）.xn0，對(duì)于一切的n恒有21，x22，因此知數(shù)列{x}有界；又n2xnn1n1212)(2)2xn1n2(xnxn1)12(xn)1x 2),...，xn1)1)}x1x0時(shí)數(shù)列n單調(diào)遞減.即數(shù)列n為單調(diào)數(shù)列，從而數(shù)列n必有極限.2(1xn1)2(1A)設(shè)limxnAAlimxnlimA2，2xn12Annn即limxn2.n方法二（級(jí)數(shù)斂散法）由方法一得1xn22(1x)2x22x2x x nx n n1 2x 32xn1 n2xn2xn1n1nn2x2x x11xn1 n1,列n單調(diào)遞減.即數(shù)列n為單調(diào)數(shù)列，從而數(shù)列n必有極限.2(1xn1)2(1A)設(shè)limxnAAlimxnlimA2，2xn12Annn即limxn2.n方法二（級(jí)數(shù)斂散法）由方法一得1xn22(1x)2x22x2x x nx n n1 2x 32xn1 n2xn2xn1n1nn2x2x x11xn1 n1, 1n1 nxn2xn1xn132xn1 5xn由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法得：級(jí)數(shù)xn1xn絕對(duì)收斂，n1limxn收斂，以下同方法一。n方法三（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）2(1xn1)2xn2xn12 2xn2xn322222(1xn1)xn2 2xnxn22222xn1xn由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法得：級(jí)數(shù)2絕對(duì)收斂xn2n1limxn20即limx2nxn2nnn1例61.設(shè)f CcosxC...cos1 x，求證：122n nnnnn1（1）對(duì)于任意自然數(shù)n，方程f x 在0, 內(nèi)僅有一解；n2210, 滿足f x ，則limx 。n 2nn2n2n（1）fx11osx,fx在2上連續(xù)，n nnf01,f0根據(jù)介值定理得x0, 使得fx1。n n 2n 2n2fxnsinnx 得f x在0, '2n2n一。n111,nn nnlimfarccos11lim111111fxnnnne 2n n2n1fxfn n故N0當(dāng)n>N時(shí)f arccos x在0, 上遞減得nnn2又limarccos1lim nn2n2 2nfxnsinnx 得f x在0, '2n2n一。n111,nn nnlimfarccos11lim111111fxnnnne 2n n2n1fxfn n故N0當(dāng)n>N時(shí)f arccos x在0, 上遞減得nnn2又limarccos1lim nn2n2 2n2nnnFxx2n例62.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0,F x t fx tdt，求limxnn。x001n解：令ux t則F x t fx t dtxnxfudun nn n001xnfudunfxnxn1Fx0limlimlim2nx2n1x0fxnfxnf0'0f11 lim limxnxn2n2n2nx0x011例63.求im nnnn1nn1ilimln 1lnxdx1n!1解：im nnimnni1 neee10nnnnnf(x)在(-L,L)x=0f'00；64.（101）求證：對(duì)于任意給定的0<x<L，使得xxf tt fttxfxfx；00（2）lim。x0xf tdt ftdt，則F(0)=0,F(x)在[0,x]上可微，由x定00得 FxF0F'xx,01中值理即xxf tt fttxfxfx00xxf tdt ftdtfxfx00（2）解：由（1）得2x2f00得上式的：x0f(0)fxfx120'f4xx0fxfx1210limlim'f2x0x0x0lnxex65.limxxf tdt ftdtfxfx00（2）解：由（1）得2x2f00得上式的：x0f(0)fxfx120'f4xx0fxfx1210limlim'f2x0x0x0lnxex65.lim4x2x2x1x1x11ex111411 13 lim 式x2xxx14131tttt1ttt2 3423limtt01tt2t3t41tt2t3112lim4 3 tt0266.f(x)exsinx2的值域。2解：要求f(x)exsinx2的值域，只需求出函數(shù)的最大值與最小值即可.注意到函數(shù)2f(x)exsinx2為偶函數(shù)，故只需考慮x0的情況.為計(jì)算方便，令tx2，得到g(t)etsint，t0，顯然，g(t)與f(x)有相同的值域.g(t)etsintetcostet(costsint)求g(t)的駐點(diǎn)：k(k0,1,2,，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為k4(k)4(k)42sin( k)(1)k eg(t)ek424；22顯然，當(dāng)k2m(m0,1,2,g(t2m0g(t0e5222當(dāng)k2m1(m0,1,2,時(shí)，g(t2m0g(t1e .452于是得到函數(shù)g(t)的值域，亦即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋? e ,e4）.42267.fxCa,bxa,bya,b使得fy1fx，證明：至少xfx0。200證明：假設(shè)xa,b有fx0，則fx0或fx0僅取其一。不妨設(shè)fx0,xa,b，由f(x)在a,b上連續(xù)得f0infx0，由題意得a,b使得f(x)有最小值，證明：假設(shè)xa,b有fx0，則fx0或fx0僅取其一。不妨設(shè)fx0,xa,b，由f(x)在a,b上連續(xù)得f0infx0，由題意得a,b使得f(x)有最小值，記f1ffxfxfx是最小值。20001.3.練習(xí)題nx2x1.求lim1 。2n2nn1 1212...n ...。333nnnnxn。2n2n22b1nlim1nlimn2。ax0。n1cosx6.求limx0。2x1axn7.設(shè)a0,x10，定義xn1 3xnlimx。n34ln(1t)dtn2sinx0x0x0,8.f(x)，在x0處連續(xù)，則a 2e2x22ex1a,x1 9. limxx2sinx1n2。n21n222...n210.計(jì)算lim= nn2fxfx1ln14，則lim11.已知lim211cosxx3xx0x012.yfx在點(diǎn)(10y軸上的截距為1,nnx22213.若當(dāng)xx1 9. limxx2sinx1n2。n21n222...n210.計(jì)算lim= nn2fxfx1ln14，則lim11.已知lim211cosxx3xx0x012.yfx在點(diǎn)(10y軸上的截距為1,nnx22213.若當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x) (xt)f(t)dt的導(dǎo)數(shù)與x為等價(jià)無(wú)窮小，求f(0)。0xfxlimsintsintsinx，求limfx14.設(shè)sinxtxx01e3xsinx15.求lim3x01xxaa16.求極限lim1 2 n,ai0,i1,2,...。nx01nfan17.f(x)afa0，試求lim。fan18.求極限im1[ 12 22(n)(n)2]。n2n2n2n3n2，則a 。19.若limn12x)c1ex)x0a,10在區(qū)間(,)上連續(xù)，則a .x020.f(1f(x)tanx13，則limf(x) 。21.已知lime 12xx0x0sin sin2 n nsin...22.計(jì)算limnn1n2n1 nn12n2n2n2n...23.求極限lim1n1n1nnn224.第二章微分學(xué)2.1.基本概念與內(nèi)容提要fx0x1.fxx0x2.平面曲線的切線和法線方程3.一元求導(dǎo)法則xxt（1）.參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：所確定的函數(shù)的一階、數(shù)分別是：yyty、txtytyt12n2n2n2n...23.求極限lim1n1n1nnn224.第二章微分學(xué)2.1.基本概念與內(nèi)容提要fx0x1.fxx0x2.平面曲線的切線和法線方程3.一元求導(dǎo)法則xxt（1）.參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：所確定的函數(shù)的一階、數(shù)分別是：yyty、txtytytxtxt3dyd2y,x xtx2（2）.xdyF時(shí)y、別忘了；②公式法：由Fx,y0得 x③利用微分形式不變性，對(duì)方dxFydy程兩邊同時(shí)取微分，然后解出 。dx、1 d2x 1y"dx1dydxdx（3）.反函數(shù)求導(dǎo)： dy 3,y2y dy ydyx3y"2yy、d3x y、dxdy"y35dyyxvnnCkunkvk。nk0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)（兩種方法、兩種類型）之后直接求導(dǎo)。 n之和再將有理真分式寫(xiě)成部分分式之和最后仿x 的表m寫(xiě)出給定的有理函數(shù)和差與倍角公式把函數(shù)的次數(shù)逐次降低，最后變成sinkxcoskx之和或之差的形式，n再用公式sin kxksinkxn,nn2cos kxkcoskxnn，n2n幾個(gè)常見(jiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式：sin kxvnnCkunkvk。nk0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)（兩種方法、兩種類型）之后直接求導(dǎo)。 n之和再將有理真分式寫(xiě)成部分分式之和最后仿x 的表m寫(xiě)出給定的有理函數(shù)和差與倍角公式把函數(shù)的次數(shù)逐次降低，最后變成sinkxcoskx之和或之差的形式，n再用公式sin kxksinkxn,nn2cos kxkcoskxnn，n2n幾個(gè)常見(jiàn)高階導(dǎo)數(shù)公式：sin kxksinkxn,n2、n!n1snxknosn1lnk1!nnx n! nk! kk0knnkn1kn,xnxx4.必須掌握的三種常見(jiàn)變限函數(shù)求導(dǎo)是：hx⑴yf tdt,則yfhxh xf、'gxg x；gx⑵y fxgtdt，則yf x gtdt，xx00y、f x gtdtfxgx；x0y fxtdt，方法是變量代換，令uxt則tudt1du，x0xxfuduy0 ,yx；x2②y fxtdtx，方法也是變量代換，令uxt,則0txudtduy fuduy、fxx05.利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)遞減。6.極值的判別方法（1）fxx=0f(x)（例.f(x)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim）x01cosxBf00A．不可導(dǎo)C．取得極大值D．取得極小值fxcosx0性得：xU0,0，性得f(0)=0，又由極限的解：由極限的fx0f0，f(0)是極小值。（2）利用導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性后得出極值點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的左右符號(hào)不同f'x0,f"x0若 0fxx=0f(x)（例.f(x)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim）x01cosxBf00A．不可導(dǎo)C．取得極大值D．取得極小值fxcosx0性得：xU0,0，性得f(0)=0，又由極限的解：由極限的fx0f0，f(0)是極小值。（2）利用導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性后得出極值點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的左右符號(hào)不同f'x0,f"x0若 0則fx為"f x（3）極小值；若0000fx0則fx為極大值007.函數(shù)的最值：閉區(qū)間內(nèi)最值可能出現(xiàn)在極值點(diǎn)、斷點(diǎn)8.函數(shù)圖象的凹凸性與數(shù)改變符號(hào)的點(diǎn)）即為拐點(diǎn)。fxxfx0fx0的點(diǎn)；極fxfx改變符號(hào)的點(diǎn)。6.多元函數(shù)微分學(xué)及應(yīng)用zdyudz具有形式不變性。xyxyzfx,yz、、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f x,y 和f x,y 曲線x 00y 00y0。全微分的近似計(jì)算：zdzfx(xy)xfy(xy)yv多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf[u(tv(t)]dt ut vtzzf[u(x,y),v(x,y)]x ux vx當(dāng)uu(xy)，vv(xy)時(shí)，duudxudyvdyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：2dyFF隱函數(shù)F(xy0，xF ydx2dxFdxyyy(xyz0zFx，zFyx y FuGuFvGvF(x,y,u,v)0(F,G)GGJG(x,y,u,v)0(u,v)uvu1(F,G)v 1(F,G)u1(F,G)v 1(F,G), x J J y J (u,y)(u,x),y,x J (x,v)(y,v)7.多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用：x(t)xx0yy0zz0，F(xiàn)uGuFvGvF(x,y,u,v)0(F,G)GGJG(x,y,u,v)0(u,v)uvu1(F,G)v 1(F,G)u1(F,G)v 1(F,G), x J J y J (u,y)(u,x),y,x J (x,v)(y,v)7.多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用：x(t)xx0yy0zz0，1).空間曲線y(t在點(diǎn)M(x處的切線方程： ,y,z)0 0 0(t0) (t0) (t)z(t)0曲線在點(diǎn)M處的切向量為T(mén)(t0，(t0，(t0，同時(shí)也是法平面的法向量，在點(diǎn)M處的法平面方程：(t0)(xx0(t0yy0(t0)(zz0)02).空間曲線y=yx,zzx在點(diǎn)x，y，z,z'x0 0 000yy0zz2法平面方程為'xyyz'xzz0y'x z'x0002100F(x,y,z)0過(guò)該曲線的曲面束方程為F(x,yzG(x,yz)0G(x,y,z)0FyFy量TF,F,