2019年北京市朝陽區(qū)二模試題數(shù)學(xué)【理科】試題及答案Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習(xí)數(shù)2018．5（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．（1）已知集合，集合，則（A）（B）開始i=0結(jié)束i=開始i=0結(jié)束i=i+1a>13?輸出i是否a=2a+輸入a（2）如果，那么下列不等式一定成立的是（A）（B）（C）（D）（3）執(zhí)行如右圖所示的程序框圖．若輸出的結(jié)果為，則輸入的正整數(shù)的可能取值的集合是（A）（B）（C）（D）（4）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（A）（B）（C）（D）（5）已知命題：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限；命題：，，則下列

（A）（B）（C）（D）整理為word格式整理為word格式整理為word格式（6）若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（7）某工廠分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品1箱時所需要的煤、電以及獲得的純利潤如下表所示．煤（噸）電（千度）純利潤（萬元）箱甲產(chǎn)品箱乙產(chǎn)品若生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品可使用的煤不超過噸，電不超過千度，則可獲得的最大純利潤和是（A）萬元（B）萬元（C）萬元（D）萬元（8）如圖放置的邊長為的正△沿邊長為的正方形的各邊內(nèi)側(cè)逆時針方向滾動．當(dāng)△沿正方形各邊滾動一周后，回到初始位置時，點的軌跡長度是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡上．（9）已知平面向量，滿足，，與的夾角為，則____．（10）的展開式中項的系數(shù)為___．（用數(shù)字表示）（11）如圖，為圓的直徑，,過圓上一點作圓的切線，交的延長線于點，過點作于點，若是中點，則=_____．（12）由兩個四棱錐組合而成的空間幾何體的三視圖如圖所示，則其體積是；表面積是．整理為word格式整理為word格式整理為word格式（第11題圖）（第12題圖）（第11題圖）（第12題圖）（13）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則；數(shù)列的前項和為．（14）若存在正實數(shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)在上是有界函數(shù)．下列函數(shù)①；②；③；④，其中“在上是有界函數(shù)”的序號為．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（15）（本小題滿分13分）在△中，角，，的對邊分別是，，，且，，△的面積為．（Ⅰ）求邊的長；（Ⅱ）求的值．（16）（本小題滿分13分）某市規(guī)定，高中學(xué)生三年在校期間參加不少于小時的社區(qū)服務(wù)才合格．教育部門在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段，，，，（單位：小時）進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)，并估計從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參組距頻率組距頻率0.0050.07575808590950.0201000.0400.060服務(wù)時間/小時O整理為word格式整理為word格式整理為word格式（Ⅱ）從全市高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任意選取3位學(xué)生，記為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的人數(shù)．試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（17）（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點，．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．（18）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)時，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．（19）（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點的直線：，使得成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.（20）（本小題滿分13分）已知，是函數(shù)的兩個零點，其中常數(shù)，，設(shè)．（Ⅰ）用，表示，；（Ⅱ）求證：；整理為word格式整理為word格式整理為word格式（Ⅲ）求證：對任意的．北京市朝陽區(qū)高三年級第二次綜合練習(xí)數(shù)2018．5一、選擇題（滿分40分）題號12345678答案BCCDDACB二、填空題（滿分30分）題號91011121314答案②③三、解答題（滿分80分）15．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由得，．所以．由得，，所以．……………7分（Ⅱ）由得，，所以．整理為word格式整理為word格式整理為word格式所以．……………13分16．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段小時的學(xué)生人數(shù)為（人），參加社區(qū)服務(wù)時間在時間段小時的學(xué)生人數(shù)為（人）．所以抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)為人．所以從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率估計為……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的概率為由已知得，隨機(jī)變量的可能取值為．所以；；；．隨機(jī)變量的分布列為0123因為~，所以．……………13分17．（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)．因為底面是正方形，所以與互相平分．又因為是中點，所以是中點．在△中，是中點，是中點，所以∥．又因為平面，平面，整理為word格式整理為word格式整理為word格式所以∥平面．……………4分（Ⅱ）取中點．在△中，因為，所以．因為面底面，且面面，所以面．因為平面所以．又因為是中點，所以．如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．因為，所以，則，，，，，，，．于是，，．因為面，所以是平面的一個法向量．設(shè)平面的一個法向量是．因為所以即令則．所以．由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．…10分（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點，使面．設(shè)，則．由（Ⅱ）可知平面的一個法向量是．因為面，所以．于是，，即．又因為點在棱上，所以與共線．整理為word格式整理為word格式整理為word格式因為，，所以．所以，無解．故在棱上不存在一點，使面成立．……………14分18．（本小題滿分13分）（Ⅰ）由已知得．因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以．所以．所以．……………3分（Ⅱ）函數(shù)的定義域是，．（1）當(dāng)時，成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為．（2）當(dāng)時，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是；令，得，所以的單調(diào)減區(qū)間是．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是．……………8分（Ⅲ）當(dāng)時，成立，．“當(dāng)時，恒成立”等價于“當(dāng)時，恒成立．”設(shè)，只要“當(dāng)時，成立．”．令得，且，又因為，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；令得，，又因為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．所以函數(shù)在處取得最小值，且．所以．又因為，整理為word格式整理為word格式整理為word格式所以實數(shù)的取值范圍．……………13分（Ⅲ）另解：（1）當(dāng)時，由（Ⅱ）可知，在上單調(diào)遞增，所以．所以當(dāng)時，有成立．（2）當(dāng)時，可得．由（Ⅱ）可知當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，所以在上單調(diào)遞增，又，所以總有成立．（3）當(dāng)時，可得．由（Ⅱ）可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以函數(shù)在處取最小值，且．當(dāng)時，要使成立，只需，解得．所以．綜上所述，實數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿分14分）（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.依題意，由右焦點到右頂點的距離為，得．解得，．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．……………4分（Ⅱ）解：存在直線，使得成立.理由如下：由得．，化簡得．設(shè)，則，．若成立，即，等價于．所以．整理為word格式整理為word格式整理為word格式，，,化簡得，．將代入中，，解得，．又由，，從而，或．所以實數(shù)的取值范圍是．……………14分20．（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由，．因為，所以．．…………3分（Ⅱ）由，得．即，同