數(shù)學(xué)建模-2014國賽針對問題一為確定近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)位置先

針對問題一，為確定近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，先基于坐標(biāo)變換通過理論分析確定兩點(diǎn) 表達(dá)式。實(shí)際計(jì)算時，通過拋物線定位模型求解得到近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的具置及距月球表面的高度。以這兩點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)為研究對象基于 第二定律和能量守恒定律建立物理方程，求解得到三號在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月針對問題二，首先將 過程劃分為三個階段進(jìn)行分析，并分別建立 動力學(xué)模型。結(jié)合后續(xù)工作對前三個階段消耗的優(yōu)化控制，可仿真得三 首先建立適當(dāng)坐標(biāo)系，以 消耗量為目標(biāo)函數(shù)，以三號的始末位置和初末速度為約束條件建立優(yōu)化模型。然后建立沖量、質(zhì)量和速度變化的微分關(guān)系，通過沖量定律與功能關(guān)系的定性討論，得到在階段初期保持的最大輸出的初步控制策略。進(jìn)一步結(jié)合實(shí)際情況，調(diào)節(jié)推力夾角隨時間的變化，通過對微分方程為求解粗避障段的最優(yōu)控制策略，先將數(shù)字高程圖劃分為100×100m2的子區(qū)域塊，并將標(biāo)準(zhǔn)化后的最高海拔、最低海拔、最小坡度角作為指標(biāo)，評價各子區(qū)域著陸安全程度，進(jìn)而利用隸屬函數(shù)對定量評價，作出安全程度灰度圖。然后綜合考慮消耗，采用模擬退火算法找到最佳的落月位置。最后仿真作并通過各發(fā)的脈沖組合調(diào)整使三號水平飛行至關(guān)系建立線性規(guī)劃模型，即可實(shí)現(xiàn)該段最少針對問題三，姿態(tài)調(diào)整消耗的為著陸軌道誤差的主要來源，首先通過計(jì)算三號的轉(zhuǎn)動慣量得到?jīng)_量與轉(zhuǎn)動角度之間的關(guān)系，再基于沖量與消耗量的正比關(guān)系得到轉(zhuǎn)動角度與消耗量之間的關(guān)系，然后在進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真時加入消耗修正項(xiàng)，得到消耗計(jì)算產(chǎn)生的誤差大??；控制策略方面，為防止在粗避障階段定量評價各子區(qū)域的安全程度時出現(xiàn)個別錯判現(xiàn)象，在定義錯判率的基礎(chǔ)上不斷調(diào)整各個指標(biāo)權(quán)重，根據(jù)相對應(yīng)的錯判率選擇最優(yōu)權(quán)重分配，從而降低錯判率。最后，分析主段消耗增量對推動力、飛行器質(zhì)量等四項(xiàng)參數(shù)的敏感性針對三號飛行過程中姿態(tài)調(diào)整問題，本文在模型拓展中通過對其俯仰角和側(cè)傾角變化規(guī)律進(jìn)行分析，進(jìn)一步探究三號16臺小型姿態(tài)調(diào)整發(fā)的分布及各動力源配合實(shí)現(xiàn)移動、旋轉(zhuǎn)、調(diào)姿的方法和忽略月球自轉(zhuǎn) ZZX建立月心經(jīng)緯坐標(biāo)系(r,θ,φ)，原點(diǎn)位于月心，r為空到該空間點(diǎn)的向徑在赤道平面內(nèi)的投影的夾角，即月心緯度。為求得三號運(yùn)動前后的經(jīng)緯變化△θ,△φ,ZZXCCX

180 [x,y,z]TCT[X1,Y1, xrsin90arctany/x90arccosz/rt 非常繁瑣，此處在三號著陸現(xiàn)場數(shù)據(jù)資料的基礎(chǔ)設(shè)橢圓軌道近月點(diǎn)P0

180近月點(diǎn)處拋物線切線方向與O1軸夾角可近似為90度，因此在處對y求導(dǎo)可得y0b0,y0c15。最后，可通過兩方程作比求0 30.44 y15 14.89 0 0 44.12 y 02求解φ019.06W，28.96N，距月球表面15km111

mv2

a

1222

a近月點(diǎn)處三號的速度大小為1.685km/s，遠(yuǎn)月點(diǎn)處為1.607km/s。三號在遠(yuǎn)月點(diǎn)處的方向可確定為沿著160.94E由北向南，與指向月心的矢徑垂直。嫦娥三號在近月點(diǎn)處的方向可確定為沿著19.06W由南向在主階段，通過控制主發(fā)的推力的大小和方向控制三號的速度。題中要求在滿足階段要求的情況下能夠達(dá)到消耗的最小，故將問題轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題。參考附件一提供的信息，發(fā)的消耗量和 三號的沖量之間 性zv

Fdt0 F為主發(fā)推力，單位為Ne為主減速發(fā)比沖，即發(fā)單位質(zhì)量推進(jìn)劑產(chǎn)生的沖量，m/std 預(yù)著陸點(diǎn)的經(jīng)緯坐標(biāo)為Wt,Nt， 沿X軸方向運(yùn)動距離為：

|

N0| 在Y軸方向運(yùn)動的距離可近似為：SyH0td

vdt

|

N0|

td

dt mdv x, 月球表面重力加速度滿足g 附件一提供的信息，則在t時 mm

t1vet1vzmin

Fdt

N0|

vdt

F Fsinmgsindt

eFvy ve三號在近月點(diǎn)速度大小為1685m/s，方向在模型中近似認(rèn)為速度方向與Y軸垂直。取月球半徑737km求解重力加速度 g1.62m/ 。水平離sx464.14kmsy12.6km 根據(jù) 三號質(zhì)量與推力的關(guān)系， 三號的質(zhì)量減小將最快，此時，根據(jù)上述公式，引力的沖量和即消耗的最小。確定在階段初期F的控制策略為調(diào)節(jié)發(fā)推力達(dá)到最大至7500N。為了保證三號的穩(wěn)定性，人為控制三號在Y方向上0.05m/s2主階段和快速調(diào)整階段經(jīng)歷時間695s，階段結(jié)水平方向飛行的距離為463.5km，在豎直方向飛行的距離為12.56km，與預(yù)期的464.1km與12.6km分別相差主階段和快速調(diào)整階段經(jīng)歷時間695s，階段結(jié)置，計(jì)算能源消耗這三個步驟，完成粗避障段最優(yōu)策取距月球2400m處的數(shù)字高程圖中任一100×100m2h， iarctan

hmin最低海拔為mi。采用極差變換法對各子區(qū)域的hx進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。為避免三號落入隕石坑中，即各子區(qū)域的hmi不能過小，因此將hmi進(jìn)行反向標(biāo)準(zhǔn)化， Hmaxhmin

max同理，對子區(qū)域的最小可能坡角i進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，，由于坡度角不超過π/2，因此將i與π/2的比值作為標(biāo)準(zhǔn)為使 三號最終降月球面可以開隕坑、巖石、斷層與較陡的坡地，應(yīng)使得標(biāo)準(zhǔn)化后的三個參數(shù)均盡可能小。設(shè)子區(qū)域的著陸安全度為D，定義其D11 i 標(biāo)準(zhǔn)化后的三個參數(shù)均屬于[0,1]，且越小，對應(yīng)子按各子區(qū)域的安全狀況，將其分為著陸區(qū)，不適于著陸區(qū)，勉強(qiáng)著陸區(qū)，適于著陸區(qū)和理想著陸區(qū)五類，并按1至5標(biāo)號。利用D定量描述五類子區(qū)域的安全度，對于偏大型分布隸屬函數(shù)：DxDx令D10.1D30.4,D50.75D20.289,D40.62。因此，當(dāng)子區(qū)域的著陸安全度大于等于0.62時，則認(rèn)為三號可以將此子區(qū)域視為較好23×23的子區(qū)域方陣。計(jì)算得到每一個子區(qū)域的安全由于在粗避障段，三號行駛軌跡弧度較小，為尋求最優(yōu)策略，不需實(shí)時控制行駛方向和受力情況。假設(shè)在這一階段，三號以加速、勻速和t三種方式依次下落，三號朝著陸位置行駛時行駛方向與水平面的夾角為θ。設(shè)在此階段初始速度為v。設(shè)加速下落時，所用時間為t主推動器vt速主推動器推力為3。為使消耗tfdtfdt dt

t1t2

t1t2t3

mgF1sint1mvmv0 mgFsin

vmt2sin 料消耗最優(yōu)，即目標(biāo)函數(shù)f最小，采用模擬退火法進(jìn)一位置隨機(jī)抖動的方法產(chǎn)生，即在當(dāng)前最優(yōu)解附近隨機(jī)選取坐標(biāo)，作為新的著陸子區(qū)域的左下角坐標(biāo)。若新著陸子區(qū)域的安全程度D大于等于0.62，則進(jìn)一步求解 P

fexp( T f參考相關(guān)文獻(xiàn)，設(shè)降溫系數(shù)α=0.999，并用終止溫性，在求解初始時刻三號在2300×2300m2區(qū)域的中心位置后，考慮初始位置在其他點(diǎn)時的退火結(jié)果。相關(guān)結(jié)果如表1示，其中著陸子區(qū)域坐標(biāo)表示耗油量位置和耗油量后，通過計(jì)算及仿真的方法直觀描繪出 當(dāng)三號以57m/s的速度進(jìn)入粗避障段且初始位通過對加速下落時間、勻速下落時間和加速下落時間求和，可得到粗避障段總耗時25.7s。并由前面的表格可知，最優(yōu)消耗63.86kg。為使三號降至月球表面時可以精確地避開較小的隕石坑，并合理調(diào)動各姿態(tài)調(diào)整發(fā)以減少能源消耗，需要探求飛三號在精避障段的最優(yōu)控制策基于距月球100m處的數(shù)字高程圖，三號需要在月球表面精確尋求安全著陸子區(qū)域，考慮到三號的大小參數(shù)和著陸后月球車的行駛空間大小，將嫦娥三號精確尋得的安全著陸子區(qū)域選為平坦且無小隕同樣，繪制出距月球100m觀測所得地形的等高線圖和安全程度灰度圖。白色方框所圍部分表示著陸安由于精避障段中安全著陸位置的選取對三號后續(xù)任務(wù)的保證尤為重要，且精避障段的范圍區(qū)間僅長70m，時間和消耗總量相比之前各個階段可以忽略不計(jì)。因此，應(yīng)盡可能提高著陸位置的安全程度，而忽略三號在此階段對時間和消耗的控制。兩個最安全著陸10×10m2子區(qū)域，其中心位置坐標(biāo)分別為(35,15,35)和(55,85,38)，單位m。因此有兩個著陸方案可供選擇。與粗避障段不同，此階段要求三號通過計(jì)算機(jī)仿真法得到三號在精避障段兩個方案水平分辨率為0.1m/像素，高度數(shù)值單位為0.1m， 三號在精避障段首先水平調(diào)至最理想的10×10m2安全著陸子區(qū)域上空，再通過合理控制多個發(fā)的脈沖組合調(diào)整姿態(tài)，使三號水平速度降為0，最終垂直降落至月面上空30m。當(dāng)三號進(jìn)入精避障段且初始位置為(50,50,211)時，得到兩個最理想10×10m2子區(qū)域，其中心位置坐標(biāo)分t1

t2F2dtmin

0

dt t1mgFdt vm t2Fmgdt 01m 1m

mg F 過程，三號在緩速下降段總行駛距離僅為主段總行駛距離的0.0057%，因此緩速下降段消耗可忽略不計(jì)。誤差分析中主要探討姿態(tài)調(diào)整所消耗的質(zhì)量：假設(shè)其質(zhì)量分布均勻，將其抽象成半徑R0，高度a的圓柱體。圓柱體在調(diào)整姿態(tài)時，將以垂直其中軸且過其RJR

a

2dr

1mR

1ma

0 0FtJJ m 在計(jì)算機(jī)仿真時，對 的消耗加入修正項(xiàng)m， 階狀主主段可知，在主階段，若考慮姿態(tài)調(diào)整的消耗，在該階段結(jié)束前，增加的消耗量為19.1kg，消耗量增加了1.8%，其余參數(shù)基本保持不變；在快速調(diào)整階段，由于時間較短，且對姿態(tài)的調(diào)整也較小，姿態(tài)調(diào)整消耗的對三號的狀態(tài)參數(shù)的影響可忽略。 的消耗而減少，為對 消耗問題進(jìn)行有效優(yōu)化，需 設(shè)△t時間段內(nèi)質(zhì)量的變化量△m，由前面的表達(dá)式m1 m1 ?2

定義目標(biāo)函數(shù)y相對于原值y的變化率與x相對于0的變化率的比值稱為對的敏感性，其化簡后的表達(dá)式Syx0

dx0上述S敏感性實(shí)際上是函數(shù)變化幅度對參數(shù)變化幅Fthrust7500,2.3,81,m2000,g1.62,v?x3,t△t時間段內(nèi)質(zhì)量變化量△m S

m0

120vx0 120vx0可知，△m對推動力的敏感性較低，在有效水平速度范圍內(nèi)其敏感性絕對值均小于0.1，僅考慮優(yōu)化時，三號不必實(shí)時精確測定的值；而△m對平和最小可能坡角這三個指標(biāo)衡量子區(qū)域的著陸安全程度，整體上滿足評價要求，但個別子區(qū)域出現(xiàn)錯判的現(xiàn)象,比如盆地地區(qū)。以理想著陸子區(qū)域錯判率?衡量0.9。調(diào)整指標(biāo)權(quán)重前，錯判率為2.2%。不斷隨機(jī)調(diào)整三個指標(biāo)的權(quán)重，并計(jì)算相應(yīng)的錯判率，部分隨機(jī)結(jié)指標(biāo)1權(quán)指標(biāo)2權(quán)指標(biāo)3權(quán)D1

ax0.93~

in 他兩個指標(biāo)對應(yīng)權(quán)重較小。實(shí)際計(jì)算各子區(qū)域安全度及模擬退火求解時已采用優(yōu)化后的子區(qū)域安全度計(jì)算 尤其在最后的15km動力下降階段表現(xiàn)得更為明顯。在三號進(jìn)行月面勘探工作時，微小的各方位姿態(tài)調(diào)整也有利于勘探工作的多樣化。因此我們需要針對嫦娥三號的不同狀態(tài)，調(diào)整其姿態(tài)，確保其不出現(xiàn)大距離偏離軌道的情況。此處根據(jù) 三號擁有的16臺小姿態(tài)調(diào)整發(fā) ，將其分為平移動力源、抬升動力源與旋轉(zhuǎn)動力源三類。tan