陜西省商洛市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

商洛市2021~2022學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2.請將各題答案填寫在答題卡上．3.本試卷主要考試內(nèi)容：必修1和必修2.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以．故選：A.2.若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即．故選：A.3.已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)函數(shù)值表：1245612313615.55210.88-52.488-232.064在以下區(qū)間中，一定有零點(diǎn)的是（）A.（1，2） B.（2，4） C.（4，5） D.（5，6）【答案】C【解析】【分析】由表格數(shù)據(jù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】∵∴，，，,又函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上一定有零點(diǎn)．故選：C.4.下列說法中正確的是（）A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形【答案】B【解析】【分析】對于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對于C：由正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，即可判斷；對于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷．【詳解】對于A：棱柱最少有5個面，則A錯誤；對于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對于C：正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等，則C錯誤；對于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯誤．故選：B5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助中間量比較大小即可.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以．故選：A6.《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其外形由圓柱和長方體組合而成.已知某組合體由圓柱和長方體組成，如圖所示，圓柱的底面直徑為1寸，長方體的長、寬、高分別為3.8寸，3寸，1寸，該組合體的體積約為12.6立方寸，若取3.14，則圓柱的母線長約為（）A.0.38寸 B.1.15寸 C.1.53寸 D.4.59寸【答案】C【解析】【分析】先求出長方體的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積，利用求出的圓柱體體積和圓柱的底面半徑為0.5寸，求出圓柱的母線長【詳解】由題意得，長方體的體積為(立方寸)，故圓柱的體積為(立方寸).設(shè)圓柱的母線長為l，則由圓柱的底面半徑為0.5寸，得，計(jì)算得：(寸).故選：C7.如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進(jìn)而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.8.若函數(shù)滿足，，則下列判斷錯誤的是（）A. B.C.圖象的對稱軸為直線 D.f（x）的最小值為－1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知求出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷得解.【詳解】解：由題得，解得，，所以，因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；所以，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)D正確；因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以選項(xiàng)C錯誤．故選：C9.盡管目前人類還無法精準(zhǔn)預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系式為．年月日，日本東北部海域發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年月日我國四川九寨溝縣發(fā)生里氏級地震的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】設(shè)里氏級和級地震釋放出的能量分別為和,可得出，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)里氏級和級地震釋放出的能量分別為和,由已知可得，則，故．故選：C.10.已知，分別是圓和圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則解得，則．因?yàn)?，分別在圓和圓上，所以，，則．因?yàn)?，所以．故選：B.11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】借助正方體模型還原幾何體，進(jìn)而求解表面積即可.【詳解】解：如圖，在邊長為的正方體模型中，將三視圖還原成直觀圖為三棱錐，其中，均為直角三角形，為等邊三角形，，所以該幾何體的表面積為．故選：D12.已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的的零點(diǎn)，，，，且，則（）A.a的取值范圍是(0,) B.的取值范圍是(0,1)C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個不同的交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量關(guān)系，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】有四個不同的零點(diǎn)、、、，即有四個不同的解．的圖象如下圖示，由圖知：，所以，即的取值范圍是(0,＋∞)．由二次函數(shù)的對稱性得：，因?yàn)?，即，故．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍或數(shù)量關(guān)系.第II卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上．13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為2，寫出點(diǎn)A的一個坐標(biāo)：____________．【答案】（2，0，0）（答案不唯一）【解析】【分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以，故答案為：（2，0，0）（答案不唯一）14.已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝____________．【答案】6【解析】【分析】先求圓心到直線的距離，再根據(jù)弦心距、半徑、弦長的幾何關(guān)系求|AB|.【詳解】因?yàn)閳A心C(3,1)到直線的距離，所以．故答案為：615.若，則__________．【答案】【解析】【分析】先求出的值,然后再運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則求解出和的值,最后求解答案.【詳解】若,則,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算法則,熟練掌握對數(shù)的各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵,并能靈活運(yùn)用法則來解題,并且要計(jì)算正確,本題較為基礎(chǔ).16.在棱長為2的正方體ABCD－中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，，的中點(diǎn)，將該正方體挖去兩個大小完全相同的四分之一圓錐，得到如圖所示的幾何體，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①CG//平面ADE；②該幾何體的上底面的周長為；③該幾何體的的體積為；④三棱錐F－ABC的外接球的表面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①③④【解析】【分析】由面面平行的性質(zhì)判斷①；由題設(shè)知兩段圓弧的長度之和為，即可得上底周長判斷②；利用正方體體積及圓錐體積的求法求幾何體體積判斷③；首先確定外接球球心位置，進(jìn)而求出球體的半徑，即可得F－ABC的外接球的表面積判斷④.【詳解】因?yàn)槊婷?，面，所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正確；依題意知，弧EF與弧HG均為圓弧，且這兩段圓弧的長度之和為，所以該幾何體的上底面的周長為，該幾何體的體積為8－，②錯誤，③正確；設(shè)M，N分別為下底面、上底面的中心，則三棱錐F－ABC的外接球的球心O在MN上．設(shè)OM＝h，則，解得，從而球O的表面積為，④正確.故答案為：①③④三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）-2；（2）18.【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可.（2）由有理數(shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式．18.已知直線：的傾斜角為．（1）求a；（2）若直線與直線平行，且在y軸上的截距為－2，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）-1；（2）(4,2).【解析】【分析】（1）根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系可得，即可得a值.（2）由直線平行有直線為，聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【小問1詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，即，故．【小問2詳解】依題意，直線的方程為．將代入，得，故所求交點(diǎn)的(4,2)．19.已知函數(shù)．（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）用定義證明f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增；（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域．【答案】（1）f（x）為奇函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）[－，－2]【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義判斷；（2）由單調(diào)性的定義證明；（3）由單調(diào)性得值域．【小問1詳解】f（x）為奇函數(shù)．由于f（x）的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以f（x）為在上的奇函數(shù)（畫圖正確，由圖得出正確結(jié)論，也可以得分）小問2詳解】證明：設(shè)任意，，有．由，得，，即，所以函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增．【小問3詳解】由（1），（2）得函數(shù)f（x）在[－2，－1]上單調(diào)遞增，故f（x）的最大值為，最小值為，所以f（x）在[－2，－1]的值域?yàn)閇－，－2]．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，，．（1）證明：．（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）8.【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理可得，再由面面垂直的性質(zhì)有BC⊥面PCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）取CD的中點(diǎn)E，連接PE，易得，由面面垂直的性質(zhì)有PE⊥底面ABCD，即PE是四棱錐的高，應(yīng)用棱錐的體積公式求體積即可.【小問1詳解】在平行四邊形ABCD中．因?yàn)?，即，所以．因?yàn)槊鍼CD⊥面ABCD，且面PCD面ABCD＝CD，面PCD，所以BC⊥面PCD，又PD平面PCD，所以．【小問2詳解】如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，因?yàn)?，所以，又面PCD⊥面ABCD，面PCD面ABCD＝CD，面PCD，所以PE⊥底面ABCD．因?yàn)?，，則，故．21.已知函數(shù)（1）求的值域；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）分和，分別求出對應(yīng)函數(shù)的值域，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可分析出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，對稱軸為，開口向上，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即值域?yàn)?；?dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，所以，即值域?yàn)椋实闹涤驗(yàn)?【小問2詳解】由，得，則零點(diǎn)的個數(shù)可以看作直線與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，的圖象如圖所示.①當(dāng)時，直線與的圖象有0個交點(diǎn)，即零點(diǎn)的個數(shù)為0；②當(dāng)或時，直線與的圖象有1個交點(diǎn)，即零點(diǎn)的個數(shù)為1；③當(dāng)或時，直線與的圖象有2個交點(diǎn)，即零點(diǎn)的個數(shù)為2；④當(dāng)時，直線與的圖象有3個交點(diǎn)，即零點(diǎn)的個數(shù)為3.綜上：①當(dāng)時，零點(diǎn)的個數(shù)為0；②當(dāng)或時，零點(diǎn)的個數(shù)為1；③當(dāng)或時，零點(diǎn)的個數(shù)為2；④當(dāng)時，零點(diǎn)的個數(shù)為3.22.已知圓O：，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P．（1）若直線l與圓O相切，求l的方程；（2）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，且M的縱坐標(biāo)為－，求△NAB的面積．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分直線斜率存在與不存在兩種情況討論求解，當(dāng)直線斜率存在時，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求參數(shù)即可；（2）設(shè)直線l方程為，，進(jìn)而與圓的方程聯(lián)