學案勻速圓周運動的規(guī)律

PAGE16/16勻速圓周運動的規(guī)律【學習目標】1．知道向心力及其方向，理解向心力的作用。2．通過實驗理解向心力與哪些因素有關，掌握向心力的公式及其變形?！緦W習重點】1．通過實驗理解向心力與哪些因素有關，掌握向心力的公式及其變形。2．知道向心加速度，掌握向心加速度的公式及其變形。【學習難點】能用牛頓第二定律知識分析勻速圓周運動的向心力。【學習過程】預習導學·新知探究一、向心加速度1．定義：做勻速圓周運動的物體具有的沿半徑指向圓心的加速度，叫做向心加速度。2．方向：總指向圓心，即向心加速度的方向總與速度方向垂直。3．大?。篴＝eq\f(v2,R)＝ω2R＝ωv。4．物理意義：向心加速度是描述物體線速度的方向改變快慢的物理量。判一判。1．（1）勻速圓周運動的向心加速度是變化的。（）（2）勻速圓周運動的線速度大小不變，加速度為零。（）提示：（1）√（2）×二、向心力1．定義：在勻速圓周運動中，產生向心加速度的力叫做向心力。2．作用效果：不斷改變物體的線速度方向、使物體做圓周運動。3．方向：總是沿半徑指向圓心，是一個變力。4．大?。篎＝ma＝meq\f(v2,R)＝mω2R。特別提醒向心力是按力的作用效果命名的，它并不是像重力、彈力、摩擦力那樣作為某種性質的力來命名的，而是一種指向圓心的合力，或某一力的分力。判一判。2．（1）做勻速圓周運動的物體所受到的向心力是恒力。（）（2）向心力和重力、彈力、摩擦力一樣，是性質力。（）（3）向心力可以由某種性質的力來充當，是效果力。（）提示：（1）×（2）×（3）√多維課堂師生互動知識點1對向心加速度的理解1．向心加速度的物理意義向心加速度是描述速度方向改變快慢的物理量。向心加速度由于速度的方向改變而產生，線速度的方向變化的快慢決定了向心加速度的大小。2．向心加速度的公式a＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝ωv3．向心加速度與半徑的關系（1）由a＝rω2，若角速度ω相同，則向心加速度與半徑成正比，如圖甲所示；（2）由a＝eq\f(v2,r)，若線速度v相同，則向心加速度與半徑成反比，如圖乙所示。4．非勻速圓周運動中的向心加速度勻速圓周運動中的向心加速度就是物體的實際加速度．而非勻速圓周運動中，向心加速度是物體加速度在指向圓心方向上的分量。特別提醒（1）向心加速度的方向時刻改變，勻速圓周運動是一種變加速運動。（2）在非勻速圓周運動中，向心加速度的公式仍適用，但要注意公式中各量對應同一時刻。例1關于向心加速度的物理意義，下列說法正確的是（）A．它是描述角速度變化快慢的物理量B．它是描述線速度大小變化快慢的物理量C．它是描述線速度方向變化快慢的物理量D．它是描述角速度方向變化快慢的物理量[思路點撥]解題的關鍵是把握“向心加速度”是描述線速度方向變化“快慢”的物理量。[解析]勻速圓周運動，其角速度大小不變，線速度方向總是與半徑垂直，半徑轉過多少度，線速度的方向就改變多少度，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量。[答案]Ceq\a\vs4\al()規(guī)律方法真正理解加速度的物理意義，對理解向心加速度很關鍵。加速度是描述速度變化快慢的物理量，而勻速圓周運動只有方向改變，因此向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量。跟蹤訓練1．關于向心加速度的下列說法中正確的是（）A．向心加速度越大，物體速率變化得越快B．向心加速度的大小與軌道半徑成反比C．向心加速度的方向始終與速度方向垂直D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量解析：選C．向心加速度只改變速度方向，故A不正確。向心加速度可用a＝eq\f(v2,r)或a＝ω2r表示，不知線速度和角速度的變化情況，無法確定向心加速度a與軌道半徑的關系，故B不正確。向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，在圓周運動中始終指向圓心，方向在不斷變化，不是恒量，故勻速圓周運動不是勻變速運動，而是變加速運動，故C正確，D錯誤。知識點2對向心力的理解理解例證向心力是按力的作用效果來命名的力它不是具有確定性質的某種力，相反，任何性質的力都可以作為向心力小鐵塊在勻速轉動的圓盤內保持相對靜止的原因就是靜摩擦力充當向心力；若圓盤是光滑的，就必須用細線拴住小鐵塊，才能保證小鐵塊同圓盤一起做勻速轉動，這時向心力由細線的拉力提供，如圖所示向心力的作用效果是改變線速度的方向（1）做勻速圓周運動的物體所受的合力即為向心力．它是產生向心加速度的原因，其方向一定指向圓心，是變力上例中，小鐵塊受到的合力等于靜摩擦力，指向圓心，只改變速度的方向，而不改變速度的大小（2）非勻速圓周運動的物體所受的合力不指向圓心，它既要改變速度方向，同時也改變速度的大小，即產生法向加速度和切向加速度小球在豎直光滑圓軌道內側做非勻速圓周運動，在與圓心等高處所受的重力和彈力的合力不指向圓心，如圖所示向心力的來源（1）一個力充當向心力繩的一端系一個物體，在光滑平面內繞另一端做勻速圓周運動，向心力由繩的拉力提供，如圖所示（2）幾個力的合力充當向心力用細繩拴著質量為m的物體，在豎直平面內做圓周運動到最低點時，其向心力由繩的拉力和物體的重力（F＝T－mg）兩個力的合力充當，如圖所示（3）某個力的分力充當向心力在圓錐擺運動中，小球做勻速圓周運動的向心力則是拉力的分力（F＝mgtanθ，其中θ為擺線與豎直軸的夾角）充當，如圖所示向心力的大小F＝ma＝mv2/r＝mω2·r做勻速圓周運動物體的向心力與物體的質量、線速度或角速度、半徑有關系。當線速度一定時，向心力與半徑成反比；當角速度一定時，向心力與半徑成正比例2一圓臺可繞通過圓臺中心O且垂直于臺面的豎直軸轉動．在圓臺上放置一小木塊A，它隨圓臺一起做勻速圓周運動，如圖所示，則關于木塊A的受力，下列說法中正確的是（）A．木塊A受重力、支持力和向心力作用B．木塊A受重力、支持力和靜摩擦力作用，靜摩擦力的方向與木塊運動方向相反C．木塊A受重力、支持力和靜摩擦力作用，靜摩擦力的方向與木塊運動方向相同D．木塊A受重力、支持力和靜摩擦力作用，靜摩擦力的方向指向圓心[思路點撥]解答本題時可按以下思路分析：[解析]物體A在水平圓盤上，受豎直向下的重力，豎直向上的支持力，且兩力是一對平衡力。由于A隨圓盤一起做勻速圓周運動，故其必須有向心力的作用，所以A必定受到靜摩擦力作用，靜摩擦力一定指向圓心且等于向心力；故D對，B、C錯。向心力不是物體受到的力，故A錯。[答案]Deq\a\vs4\al()規(guī)律方法凡是做圓周運動的物體一定需要向心力。由于向心力是按效果命名的力，所以在受力分析時不要加上向心力，它只能由其他力提供。跟蹤訓練2．（多選）如圖所示，一小球用細繩懸掛于O點，將其拉離豎直位置一個角度后釋放，則小球以O點為圓心做圓周運動，運動中小球所受的向心力是（）A．繩的拉力B．重力和繩拉力的合力C．重力和繩拉力的合力沿繩方向的分力D．繩的拉力和重力沿繩方向分力的合力解析：選CD。如圖所示，對小球進行受力分析，它受重力和繩子拉力的作用，向心力是指向圓心方向的合力。因此，可以說是小球所受合力沿繩方向的分力，也可以說是各力沿繩方向的分力的合力，選C、D。知識點3圓周運動中臨界問題的分析方法物體在做圓周運動的過程中，若所處的運動狀態(tài)和受力情況受臨界條件限制，就會產生臨界問題，即會存在臨界速度和臨界力的問題。解決臨界問題常用“臨界值法”來分析。1．對物體的圓周運動進行動態(tài)分析，分析隨轉速的變化，向心力如何變化，物體的受力如何變化，通常會涉及彈力和摩擦力的分析。2．確定臨界狀態(tài)：臨界狀態(tài)往往由彈力為零、靜摩擦力為零或靜摩擦力達到最大值時來確定。3．求解變化范圍：先由臨界狀態(tài)時圓周運動的知識求解最值，再由題意要求指出物理量的合理取值范圍。例3（多選）如圖，兩個質量均為m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸的距離為2l．木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（）A．b一定比a先開始滑動B．a、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動的臨界角速度D．當ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a所受摩擦力的大小為kmg[解析]小木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。當角速度增加時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發(fā)生相對滑動，對木塊a：fa＝mωeq\o\al(2,a)l，當fa＝kmg時，kmg＝mωeq\o\al(2,a)l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；對木塊b：fb＝mωeq\o\al(2,b)·2l，當fb＝kmg時，kmg＝mωeq\o\al(2,b)·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，所以b先達到最大靜摩擦力，選項A正確；兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa<fb，選項B錯誤；當ω＝eq\r(\f(kg,2l))時b剛開始滑動，選項C正確；當ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a沒有滑動，則fa＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，選項D錯誤。[答案]AC跟蹤訓練3．如圖所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根輕繩穿過小孔，一端連接質量m＝1kg的小球A，另一端連接質量M＝4kg的重物B（取g＝10m/s2）。求：（1）當A沿半徑R＝0.1m的圓做勻速圓周運動，其角速度ω＝10rad/s時，B對地面的壓力大小是多少？（2）要使B對地面恰好無壓力，A的角速度應為多大？解析：（1）對小球A來說，豎直方向上重力和支持力平衡，因此繩子的拉力提供向心力，則T＝mRω2＝1×0.1×102N＝10N對重物B來說，受到三個力的作用：重力Mg，繩子的拉力T和地面的支持力N．由力的平衡條件可得T＋N＝Mg所以N＝Mg－T＝（4×10－10）N＝30N，由牛頓第三定律可知，重物B對地面的壓力大小為30N，方向豎直向下。（2）當B對地面恰好無壓力時，有Mg＝T′拉力T′提供小球A的向心力，則有T′＝mRω′2則ω′＝eq\r(\f(Mg,mR))＝eq\r(\f(4×10,1×0.1))rad/s＝20rad/s答案：（1）30N（2）20rad/s隨堂演練鞏固提升[隨堂檢測]1．關于向心加速度，以下說法中正確的是（）A．向心加速度的方向始終與速度方向平行B．向心加速度的方向保持不變C．物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心D．物體做勻速圓周運動時的加速度方向始終指向圓心解析：選D。向心加速度的方向沿半徑指向圓心，速度方向則沿圓周的切線方向。所以，向心加速度的方向始終與速度方向垂直，且方向在不斷改變．物體做勻速圓周運動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；一般情況下，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度的方向不一定始終指向圓心．正確選項為D。2．有一個驚險的雜技節(jié)目叫“飛車走壁”，雜技演員騎摩托車先在如圖所示的大型圓桶底部做速度較小、半徑較小的圓周運動，通過加速，圓周運動半徑亦逐步增大，最后能以較大的速度在垂直的壁上做勻速圓周運動，這時使車子和人整體做圓周運動的向心力是（）A．圓桶壁對車的摩擦力 B．桶壁對車的彈力C．摩托車本身的動力 D．重力和摩擦力的合力解析：選B。當車子和人在垂直的桶壁上做勻速圓周運動時，在豎直方向上，摩擦力等于重力，這兩個力是平衡力；在水平方向上，車子和人轉動的向心力由桶壁對車的彈力來提供，所以正確選項為B。3．（多選）在光滑的水平面上，用長為l的細線拴一質量為m的小球，使小球以角速度ω做勻速圓周運動．下列說法中正確的是（）A．l、ω不變，m越大線越易被拉斷B．m、ω不變，l越小線越易被拉斷C．m、l不變，ω越大線越易被拉斷D．m不變，l減半且角速度加倍時，線的拉力不變解析：選AC。在光滑的水平面上細線對小球的拉力提供小球做圓周運動的向心力。由F＝mω2r知，在角速度ω不變時，F(xiàn)與小球的質量m、半徑l都成正比，A正確，B錯誤；質量m不變時，F(xiàn)又與l和ω2成正比，C正確，D錯誤。4．（多選）兒童樂園中，一個小孩騎在木馬上隨木馬一起在水平面內勻速轉動．轉軸到木馬的距離為R，小孩的向心加速度為a，把小孩的轉動看做勻速圓周運動，則（）A．小孩相對于圓心的線速度不變B．小孩的線速度為eq\r(Ra)C．小孩在時間t內通過的路程為s＝eq\r(\f(a,Rt))D．小孩做勻速圓周運動的周期T＝2πeq\r(\f(R,a))解析：選BD。小孩做勻速圓周運動，各時刻相對圓心的線速度大小不變，但方向時刻在變，A不對；由a＝eq\f(v2,R)得v2＝Ra，所以v＝eq\r(Ra)，B正確；在時間t內通過的路程s＝vt＝teq\r(Ra)，C不對；做圓周運動的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πR,\r(Ra))＝2πeq\r(\f(R,a))，D正確．本題應選B、D。5．如圖所示，水平轉臺上放有質量均為m的兩個物塊A、B，A離轉軸的距離為L，A、B間用長為L的細線相連．開始時，A、B與軸心在同一直線上，線正好被拉直，A、B與水平轉臺間的動摩擦因數(shù)均為μ．則當轉臺的角速度達到多大時細線中開始出現(xiàn)張力？當轉臺的角速度達到多大時A物塊開始滑動？（不計A、B大?。┙馕觯杭毦€中開始出現(xiàn)張力時，B物塊受到的靜摩擦力剛好達到最大值，在此臨界狀態(tài)時，細線中的拉力還是零。對B物塊，根據牛頓第二定律得μmg＝mωeq\o\al(2,1)rB，又rB＝2L故此時轉盤的角速度ω1＝eq\r(\f(μg,rB))＝eq\r(\f(μg,2L))當物塊A剛要開始滑動時，A、B受到的靜摩擦力都達到最大值，設此時細線中的張力為F，根據牛頓第二定律，對A物塊有μmg－F＝mωeq\o\al(2,2)rA，rA＝L對B物塊有F＋μmg＝mωeq\o\al(2,2)rB，rB＝2L解得ω2＝eq\r(\f(2μg,3L))。答案：eq\r(\f(μg,2L))eq\r(\f(2μg,3L))[課時作業(yè)]一、單項選擇題1．關于向心加速度，下列說法中正確的是（）A．向心加速度是描述線速度變化的物理量B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向時刻改變D．向心加速度的大小也可用a＝eq\f(v1－v0,t)來計算解析：選B。加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯，B對；只有勻速圓周運動的向心加速度大小恒定，C錯；公式a＝eq\f(v1－v0,t)適用于勻變速運動，圓周運動是非勻變速運動，D錯。2．下列關于做勻速圓周運動的物體所受的向心力的說法中正確的有（）A．因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個恒力B．因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小C．不一定是物體所受的合外力D．向心力和向心加速度的方向都是不變的解析：選B。做勻速圓周運動的物體所受的向心力是物體所受的合外力提供，由于指向圓心，且與線速度垂直，不能改變線速度的大小，只用來改變線速度的方向，向心力雖大小不變，但方向時刻改變，不是恒力，由此產生的向心加速度也是變化的，所以選項A、C、D錯誤，選項B正確。3．在水平冰面上，狗拉著雪橇做勻速圓周運動，O點為圓心．圖中能正確表示雪橇受到的牽引力F及摩擦力f的是（）解析：選C。由于雪橇在冰面上滑動，其滑動摩擦力方向必與運動方向相反，即沿圓周的切線方向。因做勻速圓周運動，合力一定指向圓心，由此可知選項C正確。4．未來的星際航行中，宇航員長期處于零重力狀態(tài)，為緩解這種狀態(tài)帶來的不適，有人設想在未來的航天器上加裝一段圓柱形“旋轉艙”，如圖所示．當旋轉艙繞其軸線勻速旋轉時，宇航員站在旋轉艙內圓柱形側壁上，可以受到與他站在地球表面時相同大小的支持力．為達到上述目的，下列說法正確的是（）A．旋轉艙的半徑越大，轉動的角速度就應越大B．旋轉艙的半徑越大，轉動的角速度就應越小C．宇航員質量越大，旋轉艙的角速度就應越大D．宇航員質量越大，旋轉艙的角速度就應越小解析：選B。旋轉艙對宇航員的支持力提供宇航員做圓周運動的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(g,r))，即旋轉艙的半徑越大，角速度越小，而且與宇航員的質量無關，選項B正確。5．如圖所示，半徑為R的圓盤繞過圓心的豎直軸OO′勻速轉動，在距軸為r處有一豎直桿，桿上用長為L的細線懸掛一小球．當圓盤以角速度ω勻速轉動時，小球也以同樣的角速度做勻速圓周運動，這時細線與豎直方向的夾角為θ，則小球的向心加速度大小為（）A．ω2R B．ω2rC．ω2Lsinθ D．ω2（r＋Lsinθ）解析：選D。由題圖可知，小球做勻速圓周運動的半徑R0＝r＋Lsinθ，由向心加速度公式知a＝ω2R0＝ω2（r＋Lsinθ），選項D正確。6．如圖所示，在水平轉動的圓盤上，兩個完全一樣的木塊A、B一起隨圓盤做勻速圓周運動，旋轉的角速度為ω，已知A、B兩木塊所在的兩點到圓盤中心O的距離分別為rA和rB，則A、B兩木塊的向心力之比為（）A．rA：rB B．req\o\al(2,A)：req\o\al(2,B)C．eq\f(1,rA)：eq\f(1,rB) D．eq\f(1,req\o\al(2,A))：eq\f(1,req\o\al(2,B))解析：選A。木塊A、B在繞O點旋轉的過程中，是木塊與圓盤間的靜摩擦力提供了向心力，因兩木塊旋轉的角速度ω相等，又兩木塊質量一樣，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2①，F(xiàn)B＝mrBω2②，聯(lián)立①②兩式得FA：FB＝rA：rB，故選項A正確。二、多項選擇題7．如圖所示為A、B兩質點做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖像，其中A為雙曲線的一個分支，則由圖像可知（）A．A質點運動的線速度大小不變B．A質點運動的角速度大小不變C．B質點運動的角速度大小不變D．B質點運動的線速度大小不變解析：選AC。在圓周運動中，向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝rω2，由此可以看出：當線速度v一定時，向心加速度a與半徑r成反比；當角速度ω一定時，向心加速度a與半徑r成正比。由題中圖像可知，A質點做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖線是雙曲線的一支，運動時遵循a＝eq\f(v2,r)的規(guī)律，其線速度大小保持不變，故選項A正確，B錯誤．B質點做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖線是通過原點的一條直線，運動時遵循a＝rω2的規(guī)律，其角速度的大小保持不變，故選項C正確，D錯誤。8．一質點做半徑為r的勻速圓周運動，它的加速度、角速度、線速度、周期分別為a、ω、v、T，下列關系中正確的是（）A．ω＝eq\r(\f(a,r)) B．v＝req\r(a)C．a＝vω D．T＝2πeq\r(\f(r,a))解析：選ACD。因為a＝ω2r，所以ω＝eq\r(\f(a,r))，A正確；因為a＝eq\f(v2,r)，所以v＝eq\r(ar)，B錯誤；因為a＝ω2r，又v＝ωr，所以a＝vω，C正確；因為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)·r，所以T＝2πeq\r(\f(r,a))，D正確。9．如圖所示為兩級皮帶傳動裝置，轉動時皮帶均不打滑，中間兩個輪子是固定在一起的，輪1的半徑和輪2的半徑相同，輪3的半徑和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，則輪1邊緣的a點和輪4邊緣的c點相比（）A．線速度之比為1：2B．角速度之比為4：1C．向心加速度之比為8：1D．向心加速度之比為1：8解析：選AD。由題意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3為輪2和輪3邊緣的線速度，所以va：vc＝1：2，A對。設輪4的半徑為r，則aa＝eq\f(veq\o\al(2,a),ra)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vc,2)))\s\up12(2),2r)＝eq\f(veq\o\al(2,c),8r)＝eq\f(1,8)ac，即aa：ac＝1：8，C錯，D對．eq\f(ωa,ωc)＝eq\f(\f(va,ra),\f(vc,rc))＝eq\f(1,4)，B錯。10．如圖所示，兩個質量不同的小球用長度不等的細線拴在同一點并在同一水平面內做勻速圓周運動，則它