數(shù)學(xué)建模讀書筆記

數(shù)學(xué)建模讀書筆記數(shù)學(xué)建模讀書筆記數(shù)學(xué)建模讀書筆記資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學(xué)建模讀書筆記版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：數(shù)學(xué)建模是通過對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，反復(fù)探索，構(gòu)件一個(gè)能夠刻劃客觀原形的本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)模型，并用來分析、研究和解決實(shí)際問題的一種創(chuàng)新活動過程。數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過程:模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。模型分析：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過程。模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并"解決"實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)模型的分類（1）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類：生物數(shù)學(xué)模型，醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型，地質(zhì)數(shù)學(xué)模型，數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。（2）按是否考慮隨機(jī)因素分類：確定性模型與隨機(jī)性模型（3）按是否考慮模型的變化分類：靜態(tài)模型與動態(tài)模型（4）按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類：離散模型與連續(xù)模型（5）按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類：幾何模型，微分方程模型，圖論模型，規(guī)劃論模型，馬氏鏈模型等。（6）按人們對是物發(fā)展過程的了解程度分類：白箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題?；蚁淠Ｐ停褐改切﹥?nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。黑箱模型：指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。數(shù)學(xué)建模方法（一）、機(jī)理分析法從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型。

1.比例分析法--建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。

2.代數(shù)方法--求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法。

3.邏輯方法--是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題，在決策，對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。

4.常微分方程--解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立"瞬時(shí)變化率"的表達(dá)式。

5.偏微分方程--解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律。

（二）、數(shù)據(jù)分析法從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型。

1.回歸分析法--用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

2.時(shí)序分析法--處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法。

3.回歸分析法--用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

4.時(shí)序分析法--處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法。

（三）、仿真和其他方法

1.計(jì)算機(jī)仿真（模擬）--實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，等效于抽樣試驗(yàn)。①離散系統(tǒng)仿真--有一組狀態(tài)變量。②連續(xù)系統(tǒng)仿真--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

2.因子試驗(yàn)法--在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn)，再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。

3.人工現(xiàn)實(shí)法--基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo)，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個(gè)系統(tǒng)。微分方程模型微分方程是表達(dá)事物發(fā)展過程的一種很有用的工具，它能更全面、更深刻地揭示實(shí)際事物內(nèi)在的動態(tài)關(guān)系。建立起這樣的模型，可以幫助我們?nèi)ソ忉尭鞣N有關(guān)的現(xiàn)象，做出相應(yīng)的決策或者對未來的發(fā)展進(jìn)行某種預(yù)測。建立數(shù)學(xué)模型的第一步，是把對一個(gè)實(shí)際問題的描述翻譯成數(shù)學(xué)語言，翻譯的過程同中學(xué)時(shí)解“應(yīng)用題”的過程很相似，根據(jù)問題中給出的已知條件和要求達(dá)到的目的，設(shè)定若干變量，有時(shí)還需要添加或補(bǔ)充一些假設(shè)條件，由此推導(dǎo)并建立起變量間的用等式描述的關(guān)系。所不同的是，微分方程中的等式關(guān)系是微觀的、瞬時(shí)的關(guān)系。建立微分方程模型的一般過程我們知道解應(yīng)用題是沒有通用法則可循的，必須具體問題具體分析，建立微分方程模型也是如此。下面只是列出在建模過程中通常需要注意的一些地方。在剛開始學(xué)習(xí)構(gòu)造微分方程模型時(shí)，總是習(xí)慣地用代數(shù)方程來思考，僅僅考慮問題中各個(gè)量之間的靜態(tài)關(guān)系，而不注意它們與其變化率之間的關(guān)系．事實(shí)上，需要特別關(guān)注實(shí)際問題中表示“導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如物理問題中的“速率”、生物學(xué)或人口學(xué)問題中的“增長率”、放射性問題中的“衰變率”等一些涉及變化率的詞，或者“在單位時(shí)間里，某個(gè)量改變了多少”一類的字樣。圍繞這些變化的量。設(shè)法利用所涉及的原則或現(xiàn)有的物理定律，或者根據(jù)問題中給出的條件推導(dǎo)出合適的關(guān)系式。在多數(shù)一階微分方程的建模問題中，往往可以套用這樣一種模式：變化率=輸入率－輸出率，其中變化率一般表示成導(dǎo)數(shù)的符號x′。這個(gè)微分方程應(yīng)該是在每一時(shí)刻都成立的瞬時(shí)表達(dá)式，而等號右邊的輸入率和輸出率則是需要根據(jù)題意寫出的x和t的函數(shù)．方程中的每一項(xiàng)都應(yīng)該有相同的物理量綱，以保證等式的合理性。以方程（１唱３）為例，／的單位是個(gè)／秒、個(gè)／年等，表示單位時(shí)間里群體變化的數(shù)量，一般是瞬時(shí)值，的單位為１／s，１／a等，是單位時(shí)間單一個(gè)體的增長率（生殖率－死亡率）；而１－x／xm是無量綱的，純粹是一個(gè)比率。這樣，這個(gè)方程兩邊的單位相同。在建模時(shí)，除了建立瞬時(shí)表達(dá)式外我們還需要知道一些有關(guān)特定時(shí)刻的額外信息，它們與微分方程無關(guān)，但可用來幫助確定微分方程中的系數(shù)和解中的積分常數(shù)。這些參數(shù)也是數(shù)學(xué)模型中不可缺少的部分，合理地選擇這些參數(shù)是建模成功的關(guān)鍵之一。額外信息是通過有關(guān)問題的背景領(lǐng)域的專業(yè)知識、相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者我們的日常經(jīng)驗(yàn)等提取出來的。再用這些信息來推導(dǎo)、選擇方程中的參數(shù)，并從不同的方面加以驗(yàn)證。用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際問題，或者說將實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)語言，必須有合理的符合實(shí)際的假設(shè)，以假設(shè)的方式給出所涉及的物理定律或有關(guān)領(lǐng)域的某些規(guī)律．但是實(shí)際世界往往十分復(fù)雜，互相影響的量相當(dāng)多，或者所研究的問題還沒有現(xiàn)成的規(guī)律可依（往往對非物理領(lǐng)域的問題）。在實(shí)際的翻譯中免不了要有一定的近似，需要對問題有一定的簡化，因此，提出合理的假設(shè)是建好數(shù)學(xué)模型的首要關(guān)鍵，它是整個(gè)建模過程的基礎(chǔ)，必須引起足夠的重視。一方面，我們要求假設(shè)符合實(shí)際情況，能夠反映所研究的問題的基本特征和基本行為。在前面的例子中，各種假設(shè)盡可能地滿足生物生態(tài)學(xué)上的具體要求。對所作的假設(shè)必須有足夠的根據(jù)，應(yīng)做出定性或者定量的分析。如果假設(shè)條件太嚴(yán)格，就使得推導(dǎo)出來的數(shù)學(xué)模型描述的對象過分簡單，與實(shí)際情況相去甚遠(yuǎn)，或者解決的問題范圍十分狹窄，計(jì)算結(jié)果的誤差太大。但是，如果假設(shè)條件過分寬松，往往得不出數(shù)學(xué)描述，即使能得到也因?yàn)樘珡?fù)雜而使數(shù)學(xué)處理非常困難。因此另一方面，我們還要作一些簡化假設(shè)，如消除次要項(xiàng)、把某些變量限制為常數(shù)或者線性化等。數(shù)學(xué)模型是實(shí)際世界的一種近似，建模目的不同，或者感興趣的方面不同，就有不同的簡化假設(shè)，比如為了預(yù)測變化的未來時(shí)刻的狀態(tài)，為了解釋某種現(xiàn)象的發(fā)生機(jī)理或者為了優(yōu)化、控制某個(gè)動態(tài)系統(tǒng)，等等。在不同的精度要求下，也會有不同的簡化，我們必須審慎取舍，在這兩個(gè)方面采取一種合適的折中辦法，才能得出準(zhǔn)確而實(shí)用的數(shù)學(xué)模型。只有有了合適的假設(shè)，才有可能寫出理想的微分方程．求解微分方程也是建模的重要組成部分，在微分方程的有關(guān)教材中介紹過許多求解的方法，在此不再詳細(xì)討論了，其實(shí)，許多模型比較復(fù)雜，需要作進(jìn)一步的簡化才能求得分析解；我們也經(jīng)常用數(shù)值方法計(jì)算那些方程的解；有時(shí)干脆不去求具體的解，直接討論微分方程的性質(zhì)，比如它們的穩(wěn)定性、漸衡、周期解等．最后一個(gè)重點(diǎn)是，要根據(jù)計(jì)算的結(jié)果用語言去解釋有關(guān)的現(xiàn)象。通常，實(shí)際問題是由有關(guān)領(lǐng)域的專家或工作人員提出來的，他們一般不關(guān)心數(shù)學(xué)推理求解的過程，而只希望知道問題的結(jié)論。從這個(gè)意義上講，真正好的數(shù)學(xué)模型，是該領(lǐng)域的專家認(rèn)可的模型。只有讓數(shù)學(xué)上的結(jié)果回答了實(shí)際的問題，才是一個(gè)完整的建模過程。當(dāng)然，正如我們在前面看到的那樣，模型建立的過程是不斷改進(jìn)、逐步完善的過程。因此，只有堅(jiān)持不懈地努力，才能構(gòu)造出與實(shí)際吻合得更好的模型來。差分模型與經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒罘址匠叹褪轻槍σ鉀Q的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個(gè)離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。2、應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實(shí)際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某個(gè)差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實(shí)際背景。在經(jīng)濟(jì)金融保險(xiǎn)領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求解。3、差分方程建模：在實(shí)際建立差分方程模型時(shí)，往往要將變化過程進(jìn)行劃分，劃分成若干時(shí)段，根據(jù)要解決問題的目標(biāo)，對每個(gè)時(shí)段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當(dāng)假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實(shí)際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個(gè)相鄰時(shí)段或幾個(gè)相鄰時(shí)段或者相隔某幾個(gè)時(shí)段的量之間的變化規(guī)律和運(yùn)算關(guān)系（即用相應(yīng)設(shè)定的變量進(jìn)行四則運(yùn)算或基本初等函數(shù)運(yùn)算或取最運(yùn)算等）等式（可以多個(gè)并且應(yīng)當(dāng)充分全面反映所有可能的關(guān)系），從而建立起差分方程?；蛘邔κ挛锵到y(tǒng)進(jìn)行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個(gè)子系統(tǒng)中引入恰當(dāng)?shù)淖兞炕蛳蛄?，然后分析建立起子過程間的這種量的關(guān)系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時(shí)段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當(dāng)結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強(qiáng)的劃分，同時(shí)，對劃分后的時(shí)段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細(xì)分析、選擇，盡量擴(kuò)大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進(jìn)行結(jié)合運(yùn)算、取最運(yùn)算等處理方式，目的是建立起簡潔、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我們所舉的實(shí)際例子中，這方面的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)體會。差分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，對它的應(yīng)用也應(yīng)當(dāng)遵從一般的數(shù)學(xué)建模的理論與方法原則。同時(shí)注意與其它數(shù)學(xué)模型方法結(jié)合起來使用，因?yàn)橐环矫娼⒉罘址匠棠Ｐ退玫臄?shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學(xué)分析方式來進(jìn)行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等。數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，它起源于工業(yè)生產(chǎn)組織管理的決策問題，廣泛應(yīng)用于最優(yōu)化設(shè)計(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國防建設(shè)、交通運(yùn)輸、決策管理與規(guī)劃等領(lǐng)域。它又分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃等幾大類。概率模型層次分析模型層次分析模型主要應(yīng)用于日常工作、生活中的決策問題，尤其涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素和作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化時(shí)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型1、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計(jì)算機(jī)仿真來解決問題的算

法，同時(shí)可以通過模擬可以來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法）

2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要

處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）

3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競賽大多數(shù)問題

屬于最優(yōu)化問題，很多時(shí)候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、

Lingo軟件實(shí)現(xiàn)）

4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉

及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備）

5、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計(jì)

中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）

6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是

用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實(shí)

現(xiàn)比較困難，需慎重使用）

7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競賽

題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的