高三數(shù)學(xué)復(fù)習資料-第十一章 算法初步與復(fù)數(shù)

第十一章算法初步、復(fù)數(shù)第一節(jié)算法與程序框圖最新考綱：1.了解算法的含義，了解算法的思想；2.理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)；3.理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義．1．算法的定義算法是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．2．程序框圖(1)程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形．(2)程序框圖通常由程序框和流程線組成．(3)基本的程序框有終端框(起止框)、輸入、輸出框、處理框(執(zhí)行框)、判斷框．3．三種基本邏輯結(jié)構(gòu)名稱內(nèi)容順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)定義由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處理這種過程的結(jié)構(gòu)從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體程序框圖↓步驟n↓步驟n＋1↓或：或：問題探究：三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的共同點是什么？提示：三種邏輯結(jié)構(gòu)的共同點即只有一個入口和一個出口，每一個基本邏輯結(jié)構(gòu)的每一部分都有機會被執(zhí)行到，而且結(jié)構(gòu)內(nèi)不存在死循環(huán)．4．輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能語句一般格式功能輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量輸入信息輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”；表達式輸出常量、變量的值和系統(tǒng)信息賦值語句變量＝表達式將表達式的值賦給變量5.條件語句(1)算法中的條件結(jié)構(gòu)與條件語句相對應(yīng)．(2)條件語句的格式及框圖①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式6．循環(huán)語句(1)算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)與循環(huán)語句相對應(yīng)．(2)循環(huán)語句的格式及框圖．①UNTIL語句②WHILE語句7．算法案例(1)輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法是用于求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的一種方法，這種算法是由歐幾里得在公元前330年左右首先提出的，因此又叫歐幾里得算法．(2)更相減損術(shù)的定義任給兩個正整數(shù)(若是偶數(shù)，先用2約數(shù))，以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))(或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積)就是所求的最大公約數(shù)．(3)秦九韶算法秦九韶算法是我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在他的代表作《數(shù)書九章》中提出的一種用于計算一元n次多項式的值的方法．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)算法只能解決一個問題，不能重復(fù)使用．()(2)算法的每一步都有確定的意義，且可以無限地運算．()(3)一個程序框圖一定包含順序結(jié)構(gòu)，也包含條件結(jié)構(gòu)(選擇結(jié)構(gòu))和循環(huán)結(jié)構(gòu)．()(4)條件結(jié)構(gòu)的出口有兩個，但在執(zhí)行時，只有一個出口是有效的．()(5)輸入語句可以同時給多個變量賦值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2015·北京卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)[解析]初始值x＝1，y＝1，k＝0，執(zhí)行程序框圖，則s＝0，t＝2，x＝0，y＝2，k＝1；s＝－2，t＝2，x＝－2，y＝2，k＝2；s＝－4，t＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，此時輸出(x，y)，則輸出的結(jié)果為(－4，0)，故選B.[答案]B2題圖3題圖3．(2016·南昌調(diào)研)執(zhí)行下圖的程序框圖，若p＝0.8，則輸出的n＝()A．4 B．3C．2 D．1[解析]執(zhí)行該程序框圖得n＝1，S＝0；S<0.8，S＝0＋eq\f(1,2)＝0.5，n＝1＋1＝2；S<0.8，S＝0.5＋eq\f(1,22)＝0.75，n＝2＋1＝3；S<0.8，S＝0.75＋eq\f(1,23)＝0.875，n＝3＋1＝4，此時S>0.8，跳出循環(huán)，輸出n＝4.故選A.[答案]A4．如圖所示是一算法的程序框圖，若此程序運行結(jié)果為S＝720，則在判斷框中應(yīng)填入關(guān)于k的判斷條件是()A．k≥6? B．k≥7?C．k≥8? D．k≥9?[解析]第一次運行結(jié)果為S＝10，k＝9；第二次運行結(jié)果為S＝10×9＝90，k＝8；第三次運行結(jié)果為S＝720，k＝7.這個程序滿足判斷框的條件時執(zhí)行循環(huán)，故判斷條件是k≥8？.故選C.[答案]C5．(2015·洛陽統(tǒng)考)執(zhí)行下面的程序，若輸入的x＝2，則輸出的所有x的值的和為__________．[解析]分析程序框圖可知，輸出的所有x的值的和為2＋4＋8＋16＋32＋64＝126.[答案]126考點一算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)1．順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進行的．2．利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問題時，要重點分析判斷框內(nèi)的條件是否滿足．3．循環(huán)結(jié)構(gòu)分當型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵是明確何時進入循環(huán)體，何時退出循環(huán)體．條件結(jié)構(gòu)涉及分類討論思想，常與分段函數(shù)聯(lián)系密切．(1)執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[－2，2]，則輸出的S屬于()A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4，5] D．[－3，6](2)(2015·福建卷)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為()A．2 B．1C．0 D．－1[解題指導(dǎo)]切入點：判斷程序框圖的結(jié)構(gòu)特征；關(guān)鍵點：根據(jù)條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征逐步求解．[解析](1)由程序框圖知，當0≤t≤2時，輸出S＝t－3，此時S∈[－3，－1]；當－2≤t<0時，執(zhí)行t＝2t2＋1后1<t≤9，執(zhí)行1<t≤9時，輸出S＝t－3，此時S∈(－2，6]．因此輸出S的值屬于[－3，6]．故選D.(2)i＝1，S＝0，S＝0＋coseq\f(π,2)＝0，i＝2；2>5不成立，執(zhí)行循環(huán)：S＝0＋coseq\f(2π,2)＝－1，i＝3；3>5不成立，執(zhí)行循環(huán)：S＝－1＋coseq\f(3π,2)＝－1，i＝4；4>5不成立，執(zhí)行循環(huán)：S＝－1＋coseq\f(4π,2)＝－1＋1＝0，i＝5；5>5不成立，執(zhí)行循環(huán)：S＝0＋coseq\f(5π,2)＝0，i＝6；6>5成立，停止循環(huán)，輸出S的值等于0，故選C.[答案](1)D(2)C(1)已知程序框圖，求輸出的結(jié)果，可按程序框圖的流程依次執(zhí)行，最后得出結(jié)果；(2)已知程序框圖及輸出的結(jié)果，求輸入的值，可依據(jù)程序框圖得出其功能，找出輸入值與輸出值的關(guān)系，由輸出值即可得出輸入值．[拓展探究]若本例(1)的程序框圖不變，輸出的S∈[－4，5]，則輸入的t的范圍如何來求？[解]由程序框圖知，該程序框圖的功能是求函數(shù)S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t2＋1，t<0，,t－3，t≥0))的值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t<0，,－4≤2t2＋1≤5，))得－2≤t<0；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≥0，,－4≤t－3≤5，))得0≤t≤6.故輸入的t的范圍是[－2，6]．考點二程序框圖的應(yīng)用程序框圖問題的重點是識別程序框圖和完善程序框圖．解決這類問題首先要明確程序框圖中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；其次要識別運行程序框圖，理解框圖解決的實際問題；第三按照題目的要求完成解答．循環(huán)結(jié)構(gòu)表示的算法，要先確定是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；再選擇準確的表示累計的變量；還要注意在哪一步開始循環(huán)，滿足什么條件不再執(zhí)行循環(huán)體．(1)(2015·陜西卷)根據(jù)如圖所示的框圖，當輸入x為2006時，輸出的y＝()A．2 B．4C．10 D．28(1)題圖(2)題圖(2)(2015·重慶卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是()A．s≤eq\f(3,4)？ B．s≤eq\f(5,6)？C．s≤eq\f(11,12)？ D．s≤eq\f(25,24)？[解題指導(dǎo)]切入點：判斷程序框圖的功能；關(guān)鍵點：利用相關(guān)知識，進行推理計算．[解析](1)由題意可得，x依次為2006，2004，2002，…，0，－2，執(zhí)行y＝3－(－2)＋1＝10，故輸出的y＝10.故選C.(2)第一次循環(huán)，得k＝2，s＝eq\f(1,2)；第二次循環(huán)，得k＝4，s＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；第三次循環(huán)，得k＝6，s＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)；第四次循環(huán)，得k＝8，s＝eq\f(11,12)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24)，此時退出循環(huán)，輸出k＝8，所以判斷框內(nèi)可填入的條件是s≤eq\f(11,12)？，故選C.[答案](1)C(2)C對條件結(jié)構(gòu)的程序框圖采取分類的思想，對循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題的最有效的求解方法就是當循環(huán)次數(shù)比較少時，把每一次循環(huán)之后每個變量的取值都一一列出；當循環(huán)次數(shù)比較多時，利用數(shù)列通項把每次循環(huán)之后每個變量的取值統(tǒng)一表示．對點訓(xùn)練1．閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k＝10，則該算法的功能是()A．計算數(shù)列{2n－1}的前10項和B．計算數(shù)列{2n－1}的前9項和C．計算數(shù)列{2n－1}的前10項和D．計算數(shù)列{2n－1}的前9項和[解析]由程序框圖可知：S＝0，i＝1；S＝1＋2×0＝1＝20，i＝2；S＝1＋2×1＝1＋2＝20＋21，i＝3；S＝1＋2×3＝20＋21＋22，i＝4；……，觀察得到對應(yīng)數(shù)列的通項公式為an＝2n－1.k＝10時，i>10時輸出，說明是求前10項的和．故選A.[答案]A2．(2015·山西四校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為()A．3 B．－6C．10 D．－15[解析]第一次循環(huán)，得到S＝0－12＝－1，i＝2；第二次循環(huán)，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；第三次循環(huán)，得到S＝3－32＝－6，i＝4；第四次循環(huán)，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；第五次循環(huán)，得到S＝10－52＝－15，i＝6，跳出循環(huán)，輸出S＝－15.故選D.[答案]D3．(2015·南京、鹽城模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為__________．[解析]逐次寫出運行結(jié)果．該流程圖運行4次，各次S的取值分別是1，2，6，15，所以輸出的k＝4.[答案]4

考點三基本算法語句1．賦值語句在程序運行時給變量賦值，“＝”的右側(cè)必須是表達式，左側(cè)必須是變量，一個語句只能給一個變量賦值．2．條件語句的主要功能是實現(xiàn)算法中的條件結(jié)構(gòu)．3．循環(huán)語句中的變量一般需要進行一定的初始化操作，循環(huán)語句在循環(huán)的過程中需要有“結(jié)束”的機會，在循環(huán)中要改變循環(huán)條件的成立因素．將一個變量的值賦給另一個變量時，前一個變量的值保持不變．(1)(2015·滄州統(tǒng)考)根據(jù)下列算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為()A．25 B．30C．31 D．61(2)運行如下所示的程序，當輸入a，b分別為2，3時，最后輸出的m的值為__________．[解題指導(dǎo)]切入點：弄清算法語句的含義及功能；關(guān)鍵點：根據(jù)語句功能推理運算．[解析](1)由算法語句可知y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6（x－50），x>50，))所以當x＝60時，因60>50，故y＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故選C.(2)∵a＝2，b＝3，∴a<b，應(yīng)把b值賦給m，∴m的值為3.[答案](1)C(2)3解決算法語句有三個步驟，首先通讀全部語句，把它翻譯成數(shù)學(xué)問題；其次領(lǐng)悟該語句的功能；最后根據(jù)語句的功能運行程序，解決問題．對點訓(xùn)練1．為了在運行如圖所示的程序之后得到結(jié)果y＝16，則鍵盤輸入的x應(yīng)該是()A．±5 B．5C．－5 D．0[解析]∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x<0，,（x－1）2，x≥0.))∴當x<0時，令(x＋1)2＝16，∴x＝－5；當x≥0時，令(x－1)2＝16，∴x＝5，∴x＝±5.故選A.[答案]A2．根據(jù)程序?qū)懗鱿鄳?yīng)的算法功能為__________．[解析]根據(jù)算法語句可知該算法的功能是求和12＋32＋52＋…＋9992.[答案]求和12＋32＋52＋…＋9992————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．解決程序框圖問題時首先要進行結(jié)構(gòu)的選擇，若所要解決的問題不需要分情況討論，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決；若所要解決的問題要分若干種情況討論時，就必須引入條件結(jié)構(gòu)；若所要解決的問題要進行許多重復(fù)的步驟，且這些步驟之間又有相同的規(guī)律時，就必須引入變量，應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)．2．應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)解題時，要明確何時進入循環(huán)體，何時退出循環(huán)體；要明確每次進入循環(huán)體時，累加或累乘變量的變化．[易錯點睛]1．賦值號左右不能對換，賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量．2．判斷條件把握不準，循環(huán)次數(shù)搞不清楚．課時跟蹤訓(xùn)練(五十六)一、選擇題1．(2015·黃岡質(zhì)檢)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是()A．－3 B．－2C．－1 D．0[解析]由條件，第一次運行后x＝2，y＝0；第二次運行后x＝4，y＝－1；第三次運行后x＝8，y＝－2；則輸出結(jié)果是－2.故選B.[答案]B2．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是()A．3 B．11C．38 D．123[解析]a＝1，a<10，a＝12＋2＝3；a＝3<10，a＝32＋2＝11；a＝11>10，∴輸出a＝11.故選B.[答案]B2題圖3題圖3．(2015·貴州七校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為()A．－1 B．1C．－2 D．2[解析]第1次循環(huán)，得i＝1，S＝2，A＝eq\f(1,2)；第2次循環(huán)，得i＝2，S＝1，A＝－1；第3次循環(huán)，得i＝3，S＝－1，A＝2；第4次循環(huán)，得i＝4，S＝－2，A＝eq\f(1,2)；第5次循環(huán)，得i＝5，S＝－1，A＝－1；第6次循環(huán)，得i＝6，S＝1，A＝2；第7次循環(huán)，得i＝7，S＝2，A＝eq\f(1,2)……由此可知，輸出S的值以6為周期，而當i＝2015時退出循環(huán)，輸出S，又2015＝335×6＋5，故輸出的結(jié)果為－1，故選A.[答案]A4．如圖給出的是計算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,30)的值的一個程序框圖，則菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．i<15? B．i>15?C．i<16? D．i>16?[解析]注意到eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,30)是數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前15項和，結(jié)合題意得，菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是“i>15？”，故選B.[答案]B4題圖5題圖5．(2015·蘭州診斷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為132，則判斷框中應(yīng)填()A．i≥10? B．i≥11?C．i≤11? D．i≥12?[解析]由題意知S＝1，i＝12，S＝12，i＝11；S＝132，i＝10，此時輸出S，所以判斷框中應(yīng)填“i≥11？”，故選B.[答案]B6．(2015·湖南卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n＝3，則輸出的S＝()A.eq\f(6,7) B．eq\f(3,7)C.eq\f(8,9) D．eq\f(4,9)[解析]第一次循環(huán)，S＝eq\f(1,1×3)，此時i＝2，不滿足條件，繼續(xù)第二次循環(huán)，S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)，此時i＝3，不滿足條件，繼續(xù)第三次循環(huán)，S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))))＝eq\f(3,7)，此時i＝4>3，退出循環(huán)，輸出S的值為eq\f(3,7)，故選B.[答案]B6題圖7題圖7．(2015·天津卷)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為()A．－10 B．6C．14 D．18[解析]執(zhí)行程序框圖可知，i＝2，S＝18；i＝4，S＝14；i＝8，S＝6.故輸出S的值為6.故選B.[答案]B8．(2015·四川卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]由程序框圖與循環(huán)結(jié)束的條件“k>4？”可知，最后輸出的S＝sineq\f(5π,6)＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，故選D.[答案]D8題圖9題圖9．(2015·新課標全國卷Ⅱ)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14[解析]第一次執(zhí)行，輸入a＝14，b＝18，因為a<b，所以b＝18－14＝4；第二次執(zhí)行，因為a＝14，b＝4，a>b，所以a＝14－4＝10；第三次執(zhí)行，因為a＝10，b＝4，a>b，所以a＝10－4＝6；第四次執(zhí)行，因為a＝6，b＝4，a>b，所以a＝6－4＝2；第五次執(zhí)行，因為a＝2，b＝4，a<b，所以b＝4－2＝2，此時a＝b＝2.故選B.[答案]B10．(2015·山西質(zhì)量監(jiān)測)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a的值為3，則輸出的i＝()A．4 B．5C．6 D．7[解析]第1次循環(huán)，得M＝100＋3＝103，N＝1×3＝3，i＝2；第2次循環(huán)，得M＝103＋3＝106，N＝3×3＝9，i＝3；第3次循環(huán)，得M＝106＋3＝109，N＝9×3＝27，i＝4；第4次循環(huán)，得M＝109＋3＝112，N＝27×3＝81，i＝5；第5次循環(huán)，得M＝112＋3＝115，N＝81×3＝243，i＝6，此時M<N，退出循環(huán)，輸出的i的值為6，故選C.[答案]C11．(2015·新課標全國卷Ⅰ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t＝0.01，則輸出的n＝()A．5 B．6C．7 D．8[解析]由程序框圖可知，S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，m＝eq\f(1,4)，n＝1，eq\f(1,2)>0.01；S＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,8)，n＝2，eq\f(1,4)>0.01；S＝eq\f(1,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(1,8)，m＝eq\f(1,16)，n＝3，eq\f(1,8)>0.01；S＝eq\f(1,8)－eq\f(1,16)＝eq\f(1,16)，m＝eq\f(1,32)，n＝4，eq\f(1,16)>0.01；S＝eq\f(1,16)－eq\f(1,32)＝eq\f(1,32)，m＝eq\f(1,64)，n＝5，eq\f(1,32)>0.01；S＝eq\f(1,32)－eq\f(1,64)＝eq\f(1,64)，m＝eq\f(1,128)，n＝6，eq\f(1,64)>0.01；S＝eq\f(1,64)－eq\f(1,128)＝eq\f(1,128)，m＝eq\f(1,256)，n＝7，eq\f(1,128)<0.01.故選C.[答案]C11題圖12題圖12．某班有24名男生和26名女生，數(shù)據(jù)a1，a2，…，a50是該班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬考試中的成績(成績不為0)，如圖所示的程序框圖用來同時統(tǒng)計全班成績的平均數(shù)A，男生平均分M，女生平均分－W.為了便于區(qū)別性別，輸入時，男生的成績用正數(shù)，女生的成績用其相反數(shù)，那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入()A．T>0？，A＝eq\f(M＋W,50) B．T<0？，A＝eq\f(M＋W,50)C．T<0？，A＝eq\f(M－W,50) D．T>0？，A＝eq\f(M－W,50)[解析]依題意知，全班成績的平均數(shù)應(yīng)等于班級中所有學(xué)生的成績總和除以總?cè)藬?shù)，注意到當T>0時，輸入的是某男生的成績；當T<0時，輸入的是某女生的成績的相反數(shù)．結(jié)合題意知選D.[答案]D二、填空題13．(2015·福州質(zhì)檢)運行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果是__________．[解析]∵a＝4，b＝5，∴a＝a＋b＝9，b＝a－b＝9－5＝4，∴輸出的結(jié)果為4.[答案]414．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的0的概率為__________．[解析]因為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,4)))的長度為eq\f(7,4)－1＝eq\f(3,4)，[1，3]的長度為3－1＝2，所以輸出0的概率為eq\f(\f(3,4),2)＝eq\f(3,8).[答案]eq\f(3,8)15．(2015·山東卷)執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值是________．[解析]由程序框圖，知x＝1，1<2，x＝2；2<2不成立，y＝3×22＋1＝13，故輸出的y的值是13.[答案]1316．(2016·云南統(tǒng)一檢測)如圖所示的程序框圖描述的算法稱為歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法，若輸入m＝2010，n＝1541，則輸出的m的值為__________．[解析]按框圖逐步執(zhí)行，r＝469，m＝1541，n＝469；r＝134，m＝469，n＝134；r＝67，m＝134，n＝67；r＝0，m＝67，n＝0，故輸出的m＝67.[答案]67第二節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入最新考綱：1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d))(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up5(→))的模r叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．問題探究1：任意兩個復(fù)數(shù)能比較大小嗎？提示：不一定，只有這兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大?。?．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的概念：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面．(2)實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．(3)復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)Z＝a＋bieq\o(→,\s\up5(一一對應(yīng)))復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)eq\o(→,\s\up5(一一對應(yīng)))平面向量eq\o(OZ,\s\up5(→))．3．復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．問題探究2：復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0嗎？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的必要條件，只有當a＝0，b≠0時，a＋bi才為純虛數(shù)．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)任何數(shù)的平方都不小于0.()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。?)(4)原點是實軸與虛軸的交點．()(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2015·四川卷)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i3－eq\f(2,i)＝()A．－i B．－3iC．i D．3i[解析]i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i，故選C.[答案]C3．設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若(1－i)z＝2i，則復(fù)數(shù)z＝()A．－1－i B．－1＋iC．i D．－i[解析]解法一：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi，∴z＝a－bi，∵(1－i)z＝2i，∴(1－i)(a－bi)＝2i，∴a－b－(a＋b)i＝2i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝0，,－（a＋b）＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，))則z＝－1－i，故選A.解法二：z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝i(1＋i)＝－1＋i，∴z＝－1－i，故選A.[答案]A4．已知a是實數(shù)，若復(fù)數(shù)eq\f(a＋i,1－i)是純虛數(shù)，則a＝()A．1 B．－1C.eq\r(2) D．－eq\r(2)[解析]eq\f(a＋i,1－i)＝eq\f(（a＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(a－1＋（a＋1）i,2)，因為eq\f(a＋i,1－i)是純虛數(shù)，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.故選A.[答案]A5．(2015·重慶卷)設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，則(a＋bi)(a－bi)＝__________．[解析]設(shè)z＝a＋bi，則(a＋bi)(a－bi)＝zz＝|z|2＝3.[答案]3考點一復(fù)數(shù)的概念1．處理有關(guān)復(fù)數(shù)概念的問題，首先要找準復(fù)數(shù)的實部與虛部(若復(fù)數(shù)為非標準的代數(shù)形式，則應(yīng)通過代數(shù)運算化為代數(shù)形式)，然后根據(jù)定義解題．2．兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是兩個復(fù)數(shù)的實部、虛部分別對應(yīng)相等．解決相關(guān)問題時，常利用復(fù)數(shù)相等的條件，構(gòu)造方程組來解決．a(chǎn)＋bi是純虛數(shù)的條件是a＝0且b≠0.(1)(2015·新課標全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2(2)(2015·山東卷)若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i[解題指導(dǎo)]切入點：共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等概念；關(guān)鍵點：化復(fù)數(shù)為a＋bi(a，b∈R)形式．[解析](1)由題意知1＋z＝i－zi，所以z＝eq\f(i－1,i＋1)＝eq\f(（i－1）2,（i＋1）（i－1）)＝i，所以|z|＝1.故選A.(2)由已知z＝i(1－i)＝i－i2＝i＋1，所以z＝1－i.故選A.[答案](1)A(2)A有關(guān)復(fù)數(shù)的概念問題，一般涉及到復(fù)數(shù)的實部、虛部、模、虛數(shù)、純虛數(shù)、實數(shù)、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等，解決時，一定先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定其實部和虛部．對點訓(xùn)練1．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D．eq\f(4,5)[解析]因為|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以已知等式為(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq\f(5（3＋4i）,25)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(4,5)，選擇D.[答案]D2．(2016·山西四校聯(lián)考)設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)，則x2－1＝0且x＋1≠0，即x＝1，所以“x＝1”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的充要條件，故選C.[答案]C3．(2015·南昌調(diào)研)iz＝3＋4i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為__________．[解析]由題意可得z＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，所以|z|＝|4－3i|＝eq\r(32＋42)＝5.[答案]5考點二復(fù)數(shù)的代數(shù)運算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算是復(fù)數(shù)部分的重點，其基本思路就是應(yīng)用運算法則進行計算．復(fù)數(shù)的加減運算類似于實數(shù)中的多項式的加減運算(合并同類項)，復(fù)數(shù)的乘除運算是復(fù)數(shù)運算的難點，在乘法運算中要注意i的冪的性質(zhì)；在除法運算中，關(guān)鍵是“分母實數(shù)化”(分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.(1)(2015·湖南卷)已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i(2)(2015·西安八校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位，則eq\f(i2015,1＋i)＝__________．[解題指導(dǎo)]切入點：復(fù)數(shù)的運算法則；關(guān)鍵點：復(fù)數(shù)的除法運算．[解析](1)由題意得z＝eq\f(（1－i）2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝－i(1－i)＝－1－i，故選D.(2)eq\f(i2015,1＋i)＝eq\f(－i,1＋i)＝eq\f(－i（1－i）,2)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.[答案](1)D(2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，一方面要嚴格執(zhí)行運算法則；另一方面也要注意一些運算技巧，如本例(1)轉(zhuǎn)化為z＝eq\f(（1－i）2,1＋i).對點訓(xùn)練1．(2016·西安質(zhì)檢)eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i[解析]eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\f(（1＋i）（1＋i）2,－2i)＝eq\f(（1＋i）（1＋i2＋2i）,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.故選D.[答案]D2．已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)(z＋i)＝z－2(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\r(5)[解析]由(1＋i)(z＋i)＝z－2，得z＝eq\f(－1－i,i)＝－1＋i，所以|z|＝eq\r(2)，故選B.[答案]B3.eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))eq\s\up12(2014)＝__________．[解析]原式＝eq\f(i（1＋2\r(3)i）,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))\s\up12(2)))eq\s\up12(1007)＝i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))eq\s\up12(1007)＝i＋i1007＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0.[答案]0考點三復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量也是一一對應(yīng)的，因此復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可按平面向量加減法理解，利用平行四邊形法則或三角形法則解決問題．(1)(2015·安徽卷)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(2i,1－i)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2014·新課標全國卷Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i[解題指導(dǎo)]切入點：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系；關(guān)鍵點：確定復(fù)數(shù)的實部和虛部．[解析](1)eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限．故選B.(2)由題意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故選A.[答案](1)B(2)A復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(a，b)一一對應(yīng)，所以可依據(jù)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的實部和虛部的符號判斷z對應(yīng)的點所在的象限．對點訓(xùn)練1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(10i,3＋i)對應(yīng)的點的坐標為()A．(1，3) B．(3，1)C．(－1，3) D．(3，－1)[解析]由eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i（3－i）,（3＋i）（3－i）)＝eq\f(10（1＋3i）,10)＝1＋3i，得該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為(1，3)，故選A.[答案]A2．(2016·長春質(zhì)量監(jiān)測)復(fù)數(shù)eq\f(1－i,2－i)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]eq\f(1－i,2－i)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i，所以其共軛復(fù)數(shù)為eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)i.故選A.[答案]A3．若復(fù)數(shù)z＝eq\f(a＋2i,1－i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù)a的值為__________．[解析]z＝eq\f(（a＋2i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(a－2＋（a＋2）i,2)，如果復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在虛軸上，則a－2＝0，即a＝2.[答案]2————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．應(yīng)注意理解和掌握復(fù)數(shù)的基本概念，特別是虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、兩復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)的模等．2．復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式．3．復(fù)數(shù)的幾何意義主要是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的位置．[易錯點睛]1．判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．2．注意復(fù)數(shù)的虛部是指在a＋bi(a，b∈R)中的實數(shù)b，即虛部是一個實數(shù)．課時跟蹤訓(xùn)練(五十七)一、選擇題1．(2015·蘭州診斷)復(fù)數(shù)z＝(1＋i)2的實部是()A．2 B．1C．0 D．－1[解析]因為z＝(1＋i)2＝2i，所以該復(fù)數(shù)的實部是0，故選C.[答案]C2．若復(fù)數(shù)z＝eq\f(m＋i,1－i)(i為虛數(shù)單位)為實數(shù)，則實數(shù)m＝()A．0 B．－1C．－1或1 D．1[解析]z＝eq\f(m＋i,1－i)＝eq\f(（m＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(m－1＋（m＋1）i,2)，因為z為實數(shù)，所以m＋1＝0，即m＝－1.故選B.[答案]B3．若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面上的點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點是()A．E B．FC．G D．H[解析]由點Z(3，1)的坐標可知z＝3＋i，故eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝2－i，因此表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點是H.故選D.[答案]D4．(2015·云南師大附中適應(yīng)性考試)復(fù)數(shù)z滿足(z＋2)(1＋i3)＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i[解析]由題知，z＝－2＋eq\f(2,1－i)＝－1＋i，故選D.[答案]D5．(2015·新課標全國卷Ⅱ)若a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.故選B.[答案]B6．(2015·湖北卷)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A．i B．－iC．1 D．－1[解析]i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共軛復(fù)數(shù)為i，故選A.[答案]A7．(2015·云南統(tǒng)一檢測)已知i為虛數(shù)單位，zi＝2i－z，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由題意得z(i＋1)＝2i?z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．故選A.[答案]A8．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若|z1－z2|＝0，則z1＝z2B．若z1＝z2，則z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z2·z1＝z1·z2D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)[解析]依據(jù)復(fù)數(shù)概念和運算，逐一進行推理判斷．對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?z1＝z2，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，則|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命題．故選D.[答案]D9．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|－z＝2－4i，則z＝()A．3＋4i B．3－4iC．－3＋4i D．－3－4i[解析]解法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則eq\