專題2.4 有理數(shù)的乘除與乘方2021-2022學年七年級數(shù)學上冊教材同步配套講練（解析版）

《講亮點》2021-2022學年七年級數(shù)學上冊教材同步配套講練專題2.4有理數(shù)的乘除與乘方【教學目標】有理數(shù)的乘法法則；有理數(shù)的除法法則；有理數(shù)的乘方【教學重難點】1、有理數(shù)的乘法運算律和倒數(shù)；2、有理數(shù)的乘除混合運算法則；3、有理數(shù)的乘方的計算法則【知識亮解】亮題一：有理數(shù)的乘除1.有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0.說明：進行有理數(shù)的乘法時，先確定積的符號，再確定積的絕對值.2.倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是什么？a（a≠0）的倒數(shù)是，0沒倒數(shù)。注：（1）當a（a≠0）為整數(shù)時，倒數(shù)為；(2)當a為分數(shù)時，分子分母互換，帶分數(shù)換成假分數(shù)再求；(3)正數(shù)倒數(shù)為正，負數(shù)倒數(shù)為負；(4)倒數(shù)等于本身的數(shù)是1，-1；(5)相反數(shù)等于本身的數(shù)是0；(6)絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)3.多個有理數(shù)相乘的符號法則：幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．幾個有理數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．4.有理數(shù)乘法運算律:(1)乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．式子表達為：ab=ba.(2)乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變．式子表達：(ab)c=a(bc)．(3）分配率:一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩數(shù)相乘，再把乘積相加。式子表示為：a(b+c)=ab+ac(a,b,c為任意有理數(shù))5.有理數(shù)的除法法則：（1）除以一個不為零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)(2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以不等于零的數(shù),都得0。【例1】★（-3）×3的結(jié)果是（）A．-9 B．0 C．9 D．-6【答案】A【解析】原式=-3×3=-9，故選：A．【例2】★、、為非零有理數(shù)，它們的積必為正數(shù)的是（），、同號 B．，、異號C．，、異號 D．、、同號【答案】A【解析】B：∵、異號，∴，又，∴；C：、異號，所以，又，∴；D：若、、同時為正，則，若、、同時為負，則．【例3】★兩個互為相反數(shù)的有理數(shù)相乘，積為（）A．正數(shù) B．負數(shù) C．零 D．負數(shù)或零【答案】D【解析】該題考查的是有理數(shù)的乘法．除0以外的互為相反數(shù)的兩個數(shù)異號，相乘為負數(shù)；而0的相反數(shù)為0，乘積為0．故該題的答案是D．【例4】★計算：【答案】【解析】．【例5】★計算：【答案】3【解析】．【例6】★與2÷3÷4運算結(jié)果相同的是（）A．2÷（3÷4） B．2÷（3×4）C．2÷（4÷3） D．3÷2÷4【答案】B【解析】本題主要考查了有理數(shù)的除法運算，熟練掌握連除的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)連除的性質(zhì)整理，然后選擇答案即可．由連除的性質(zhì)可得：2÷3÷4=2÷（3×4）．故選B．【例7】★如果囗×(-)=1，則“囗”內(nèi)應(yīng)填的實數(shù)是（）A．- B．- C． D．【答案】B【解析】∵（-）×（-）=1，∴“囗”內(nèi)應(yīng)填的實數(shù)-．故選B．【例8】★計算：【答案】5【解析】該題考查有理數(shù)的除法．原式【例9】★計算結(jié)果正確的是（）A．25 B．-25 C．-1 D．1【答案】A【解析】該題考查的是混合運算．，所以該題的答案是A．【例10】★(1)(2)（3）【答案】解：原式===解：原式==解：原式=【例11】★絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)的積是．【答案】144【分析】先求出符合的整數(shù)，再求出所有數(shù)的積即可．【解答】解：絕對值大于2而小于5的所有整數(shù)為±3，±4，所以3×（﹣3）×4×（﹣4）＝144．故答案為：144．【知識點】有理數(shù)大小比較、有理數(shù)的乘法、絕對值【例12】★★如圖所示的是一個正方體的展開圖，它的每一個面上都寫有一個數(shù)，并且a與相對面的數(shù)互為相反數(shù)；b與相對面的數(shù)互為倒數(shù)；c與相對面的數(shù)和為33．那么a+b+c＝．【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征，可得出a、b、c的對面，再根據(jù)“a與相對面的數(shù)互為相反數(shù)；b與相對面的數(shù)互為倒數(shù)；c與相對面的數(shù)和為33”，求出a、b、c的值，代入計算即可．【解答】解：由正方體的表面展開圖的“相間、Z端是對面”可得，“a”與“8”相對，“b”與“4”相對，“c”與“25”相對，∵a與相對面的數(shù)互為相反數(shù)；b與相對面的數(shù)互為倒數(shù)；c與相對面的數(shù)和為33．∴a＝﹣8，b＝，c＝8∴a+b+c＝，故答案為：．【知識點】專題：正方體相對兩個面上的文字、相反數(shù)、倒數(shù)【例13】★計算：（1）；（2）．【分析】（1）先把小數(shù)化成分數(shù)，把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求出即可；（2）先把除法變成乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求出即可．【解答】解：（1）原式＝××＝；（2）原式＝×（﹣）×＝﹣．【知識點】有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法【例14】★若a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，|m|＝2，求a﹣（﹣b）﹣的值．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得零可知a+b＝0，由倒數(shù)的定義可知cd＝1，由絕對值的性質(zhì)可知m＝±2，然后代入計算即可．【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b＝0．∵c，d互為倒數(shù)，∴cd＝1．∵|m|＝2，∴m＝±2．整理得：原式＝a+b﹣＝﹣m．當m＝2時原式＝﹣2，；當m＝﹣2原式＝2．∴代數(shù)式的值2或﹣2．【知識點】代數(shù)式求值、絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)【例15】★★如果a、b、c為非零的有理數(shù)，當x＝++﹣，求3x2﹣2x+5的值．【分析】根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以求得x的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：當a、b、c都是正數(shù)時，x＝1+1+1﹣1＝2，3x2﹣2x+5＝3×22﹣2×2+5＝13；當a、b、c兩正一負時，x＝1+1﹣1+1＝2，3x2﹣2x+5＝3×22﹣2×2+5＝13；當a、b、c一正兩負時，x＝1﹣1﹣1﹣1＝﹣2，3x2﹣2x+5＝3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）+5＝21；當a、b、c都是負數(shù)時，x＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2，3x2﹣2x+5＝3×（﹣2）2﹣2×（﹣2）+5＝21；由上可得，3x2﹣2x+5的值是13或21．【知識點】有理數(shù)的乘法、絕對值亮題二：有理數(shù)的乘方1.乘方的概念：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記作，讀作a的n次方。求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。2.乘方的結(jié)果叫做冪（power）；在中，a叫做底數(shù)（basenumber），n叫做指數(shù)（exponent）。【例1】★據(jù)2020年6月24日《天津日報》報道，6月23日下午，第四屆世界智能大會在天津開幕．本屆大會采取“云上”辦會的全新模式呈現(xiàn)，40家直播網(wǎng)站及平臺同時在線觀看云開幕式暨主題峰會的總?cè)藬?shù)最高約為58600000人．將58600000用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】解：，故答案為：B．【分析】把小數(shù)點向左移動7位，然后根據(jù)科學記數(shù)法的書寫格式寫出即可．【例2】★5月22日晚，中國自貢第26屆國際恐龍燈會開始網(wǎng)絡(luò)直播，有著近千年歷史自貢燈會進入“云游”時代，70余萬人通過“云觀燈”感受“天下第一燈”的璀璨，人數(shù)700000用科學記數(shù)法表示為（

）A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】由題意，得700000=，故答案為：C.【分析】根據(jù)科學記數(shù)法規(guī)定，要求，即可得解.【例3】★2020年南充市各級各類學校學生人數(shù)約為1150000人，將1150000用科學計數(shù)法表示為（

）A.

1.15×106

B.

1.15×107

C.

11.5×105

D.

0.115×107【答案】A【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】解：1150000用科學計數(shù)法表示為：1.15×106，故答案為：A．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【例4】★2020年6月23日，中國北斗系統(tǒng)第五十五顆導航衛(wèi)星暨北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星成功發(fā)射入軌，可以為全球用戶提供定位、導航和授時服務(wù)．今年我國衛(wèi)星導航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值預計將超過4000億元．把數(shù)據(jù)4000億元用科學記數(shù)法表示為（

）A.

元

B.

元

C.

元

D.

元【答案】C【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】4000億=400000000000=．故答案為：C．【分析】科學記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整數(shù)．n的值為這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，由此即可解答．【例5】★計算：【答案】解：原式

【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】原式先計算乘方運算、括號里的，再計算乘法運算，最后算加減運算即可求出值.【例6】★計算：（1）（2）【答案】（1）解：===6

（2）解：===-5【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】（1）先根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)化簡得到，再進行乘除運算得到，再進行加減運算即可得到答案；（2）先根據(jù)指數(shù)冪和絕對值的性質(zhì)進行化簡得到，再進行乘法計算得到，再進行加減運算即可得到答案.【例7】★計算：－32－（－8）×（－1）5÷（－1）4【答案】解：－32－（－8）×（－1）5÷（－1）4=-9-（-8）×（-1）÷1=-9-8=-17【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】先算乘方，再算乘除，同級運算從左向右的順序依次計算.【例8】★計算：(－1)3－2×[6－(－3)2]【答案】解：原式＝－1－2×(6－9)＝－1－2×(－3)＝－1＋6＝5.【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】先算乘方和括號內(nèi)的運算，然后計算乘法，最后算減法即可.【例9】★計算：【答案】解：原式

【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】有理數(shù)的混合運算，先做乘方，然后做乘除，最后做加減，有小括號先做小括號里面的.【例10】★計算：（1）－21＋17－(一13)（2）－14－6÷(－2)×(－)2【答案】（1）解：原式

（2）解：原式【考點】有理數(shù)的加減混合運算，含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】（1）先去括號，再從左到右依次計算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；【例11】★計算（1）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4（2）﹣14﹣（﹣2）××[2﹣（﹣3）2].【答案】（1）解：原式＝2﹣8÷4，＝2﹣2，＝0；

（2）解：原式＝﹣1+×（﹣7），＝﹣1﹣，＝-.【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】（1）先計算乘方，再計算除法，最后計算減法；（2）先計算乘方，再計算乘法，最后算減法.【例12】★★某些整數(shù)的所有正約數(shù)之和可以按如下方法求得，如：，則6的所有正約數(shù)之和為；，則12的所有正約數(shù)之和為，則36的所有正約數(shù)之和為參照上述方法，那么144的所有正約數(shù)之和為________.【答案】403【考點】有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘方【解析】【解答】,則144的所有正約數(shù)之和為【分析】參照上述方法可得，，然后類比后續(xù)方法求出正約數(shù)之和.【亮點訓練】【變式1】★已知光速為300000千米秒，光經(jīng)過t秒（）傳播的距離用科學記數(shù)法表示為千米，則n可能為（

）A.

5

B.

6

C.

5或6

D.

5或6或7【答案】C【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】解：當t=1時，傳播的距離為300000千米，寫成科學記數(shù)法為：千米，當t=10時，傳播的距離為3000000千米，寫成科學記數(shù)法為：千米，∴n的值為5或6，故答案為：C．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【變式2】★2019年我市地區(qū)生產(chǎn)總值逼近12000億元，用科學記數(shù)法表示12000是________.【答案】【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】解：∵12000=，故答案為：.【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)的絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).【變式3】★計算（1）（2）【答案】（1）解：原式

（2）解：原式【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】（1）先算乘方，后算乘除，最后算加減即可；

（2）先算乘方、乘法，接著去絕對值，最后計算加減即得.【變式4】★計算-13-3×(-2)2÷()【答案】解：原式=-1-12×(-3)=35【考點】含乘方的有理數(shù)混合運算【解析】【分析】此題的運算順序：先算乘方運算（-13≠-3），同時將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，再短乘法運算，然后算加減法?！咀兪?】★下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】除法不具有結(jié)合律．A：；C：．【變式6】★計算：【答案】【變式7】★下列說法中錯誤的是()A．同號兩數(shù)相乘，符號不變B．一個數(shù)同1相乘，仍得原數(shù)C．一個數(shù)同－1相乘，得這個數(shù)的相反數(shù)D．一個數(shù)同0相乘得0【答案】D【變式8】★★下列說法：①最小的正整數(shù)是1；②倒數(shù)是它本身的數(shù)是1；③多項式ax2+bx+c是三次三項式，其中錯誤的有．（填序號）【答案】②【分析】根據(jù)正整數(shù)、倒數(shù)、多項式的定義分別分析得出答案．【解答】解：①最小的正整數(shù)是1，原說法正確；②倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1，原說法錯誤；③多項式ax2+bx+c是三次三項式，原說法正確；故答案為：②．【知識點】倒數(shù)、有理數(shù)、多項式【變式9】★★已知a與2互為相反數(shù)，x與3互為倒數(shù)，則代數(shù)式a+2+|﹣6x|的值為．【答案】2【分析】依據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的定義可求得a、x的值，再代入所求式子計算即可．【解答】解：由a與2互為相反數(shù)，x與3互為倒數(shù)，可得a＝﹣2，x＝，∴a+2+|﹣6x|＝﹣2+2+|﹣6×|＝|﹣2|＝2．故答案為：2．【知識點】相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)【變式10】★已知：a，b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值是1，求：3x—［(a＋b)＋cd］x的值【答案】2或-4【變式11】★小明同學在自學了簡單的電腦編程后，設(shè)計了如圖所示的程序．(1)若輸入的數(shù)是－4，那么執(zhí)行了程序后，輸出的數(shù)是多少?(2)若輸入的數(shù)是2，那么執(zhí)行了程序后，輸出的數(shù)是多少?【答案】(1)－108(2)－55816．－【變式12】★★若x是不等于1的數(shù)．我們把稱為x的差倒數(shù)．如2的差倒數(shù)是＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)為．現(xiàn)已知，x2是x1的差倒數(shù)，x3是x2的差倒數(shù)，x4是x3的差倒數(shù)，…，以此類推，則x2018＝．【分析】先依據(jù)定義進行計算，然后找出其中的規(guī)律即可．【解答】解：根據(jù)差倒數(shù)的定義可得出：x1＝﹣，x2＝＝，x3＝＝4，x4＝＝﹣，…由此發(fā)現(xiàn)該組數(shù)每3個一循環(huán)．∵2018÷3＝672…2，∴x2018＝x2＝．故答案為：．【知識點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類、倒數(shù)【亮點檢測】1★計算-4×（-2）的結(jié)果是（）A．8 B．-8 C．6 D．-2【答案】A【解析】-4×（-2），=4×2，=8．故選：A．2★計算：【答案】【解析】3★計算：【答案】【解析】．4★【答案】【解析】該題考查有理數(shù)的乘除法．5.★（2020·山西）計算的結(jié)果是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】C【考點】有理數(shù)的除法【解析】【解答】解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．故答案為：C．【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則計算即可，除以應(yīng)該數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)．6.★（2020·通遼）2020年我市初三畢業(yè)生超過30000人，將30000用科學記數(shù)法表示正確的是(

)A.

B.

C.

D.

3萬【答案】B【考點】科學記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)【解析】【解答】解：將30000用科學記數(shù)法表示為3×104．故答案為：B．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．7.★（2020·呼和浩特）2020年3月抗擊“新冠肺炎”居家學習期間，小華計劃每天背誦6