21-概率及概率空間-課件

12.1概率的定義1.頻率

3概率的性質(zhì)2概率的定義12.1概率的定義1.頻率3概率的性質(zhì)2概率的定義12定義：隨機(jī)事件:在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果；必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生的事件，記作；不可能事件:在一定條件下不可能發(fā)生的事件，記作?；臼录?在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，不能分解的事件；

隨機(jī)事件P&S我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)．返回主目錄1.概率的概念2定義：隨機(jī)事件P&S我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)2310

包含關(guān)系

事件間的關(guān)系與運(yùn)算20

事件的并

30事件的交

50

互不相容事件60

逆事件SABP&S返回主目錄310包含關(guān)系事件間的關(guān)系與運(yùn)算20事件34SABP&S20

事件的并

30事件的交SAB返回主目錄4SABP&S20事件的并30事件的交S45SBSAP&S40

互不相容事件50

逆事件A返回主目錄5SBSAP&S40互不相容事件50逆事件56隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律交換律:P&S結(jié)合律:分配律:反演律（DeMorgan定律）:返回主目錄6隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律交換律:P&S結(jié)合律:分配律:反672.1.1頻率

1.隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大?。睿粒匠霈F(xiàn)點(diǎn)數(shù)２，Ｂ＝出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則B比A更容易出現(xiàn)。

2.頻率的定義

定義

如果在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生了nA次，則稱nA/n為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)，即fn(A)＝頻率在某種意義反應(yīng)了事件發(fā)生的可能性大小。

頻率的缺陷是其取之依賴于具體的試驗(yàn)。72.1.1頻率1.隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分78

大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。3.頻率具有穩(wěn)定性

例1

拋一枚硬幣,觀察事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)者NnHfn(H)蒲豐404020480.5070K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120190.5005。

n無窮大

m/n穩(wěn)定值8大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。3.頻率89頻率穩(wěn)定值概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的定義P&S返回主目錄9頻率9104.頻率的性質(zhì)(1)0≤fn

(A)≤1;(2)fn

(Ω)=1；(3)若A1，A2，…，An

是兩兩互不相容的事件，則1.1.2概率的定義簡(jiǎn)單說來，隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值），稱為A發(fā)生的概率，記作P(A)．104.頻率的性質(zhì)(1)0≤fn(A)≤1;(3)1011

1.概率的一般（公理化）定義

定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，稱P(A)為事件A的概率，若P(A)滿足下列三個(gè)條件：

(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1；

(3)對(duì)于兩兩互不相容的事件A1，A2，…，有以上三個(gè)條件分別稱為概率的非負(fù)性、規(guī)范性及可列可加性。利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。111.概率的一般（公理化）定義定義設(shè)E1112性質(zhì)1因?yàn)橛煽闪锌杉有怨市再|(zhì)2

若A1，A2，…，An為兩兩互不相容的事件，則

由可列可加性有

2.概率的性質(zhì)12性質(zhì)1因?yàn)橛煽闪锌杉有怨市再|(zhì)2若A1，A2，…，An為1213則P(B－A)=P(B)－P(A).ＡΩＢ

證明由于

B=A∪(B－A)且A.(B－A)=Φ,

P(B)=P(A)+P(B－A),于是P(B－A)=P(B)－P(A).推論1Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).推論2

若AB,則P(B)≥P(A).

性質(zhì)3

設(shè)A，B是兩事件，若AB,ABΩ13則P(B－A)=P(B)－P(A)1314性質(zhì)4

對(duì)于任一事件A，有

因則有于是有14性質(zhì)4對(duì)于任一事件A，有因則有于是有1415性質(zhì)5

設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則

P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)

證明由右圖可知

A

B=A(B-AB)且由概率可加性及性質(zhì)３得

P(A

B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=Φ，ABBＡＢ推論1.P(A∪B)≤P(A)+P(B).推論2.

設(shè)隨機(jī)事件A1,A2,A3

,則Ａ1A2A315性質(zhì)5設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則證明1516推論3設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)隨機(jī)事件，則16推論3設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)隨機(jī)事件，1617例1

設(shè)事件A、B、A∪B的概率分別為p、q、r，求P（AB）,P（A），P（B），P（）

解（1）因?yàn)镻（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以P（AB）=p+q-r．（2）因?yàn)锳=A-AB且ABA，故P（A

同理可求出P（

（3）因=，所以．17例1設(shè)事件A、B、A∪B的概率分別為p、q、1718

1.適用的范圍廣；

2.提供了估算概率的方法；

3.提供了一種檢驗(yàn)理論或假設(shè)正確與否的方法。概率統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)：

1.要確定某事件的概率，就必須進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，這在實(shí)際中難以辦到；

2.即使有條件大量實(shí)驗(yàn)也無法確切的指出何數(shù)為瀕率的穩(wěn)定值。返回主目錄古典概型概率統(tǒng)計(jì)定義的不足：181.適用的范圍廣；概率統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)：1.要1819

當(dāng)涉及隨機(jī)變量時(shí)，我們必須首先定義概率空間；也就是說，我們需要設(shè)定一個(gè)框架來對(duì)偶然性和相應(yīng)概率進(jìn)行定義而不用擔(dān)心一致性問題。概率的定義具有一致性，具有兩個(gè)條件：（1）（2）概率的一致性問題返回主目錄古典概型19當(dāng)涉及隨機(jī)變量時(shí)，我們必須首先定義概率空間；也就是說1920在實(shí)際工作中，我們會(huì)經(jīng)常考察有條件的隨機(jī)事件，即在一些信息已知的情況下，某一隨機(jī)現(xiàn)象的變化。例如，央行加息后股票價(jià)格或債券價(jià)格的漲落情況、國(guó)家的稅收政策發(fā)生變化后投資回報(bào)將如何變動(dòng)等等，都是典型的條件隨機(jī)現(xiàn)象，這就是我們?cè)诖藬M要考察的條件事件和條件概率問題。在后面有關(guān)鞅的定義和討論中，人們會(huì)看到條件概率和條件期望更多的作用。條件概率20在實(shí)際工作中，我們會(huì)經(jīng)?？疾煊袟l件的隨機(jī)事件，即在一些信2021在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)事件A的概率為P(A/B)=P(A·B)/P(B),P(B)>0簡(jiǎn)稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。其中，A/B表示條件事件。然而，上述公式并不全面，因?yàn)楫?dāng)事件B已知后，B的逆也成為已知信息，人們自然也會(huì)關(guān)心在已知情況下事件A的概率，即P(A/)。即使求出P(A/)，也仍存在美中不足的地方，因?yàn)樾畔⒌淖钔陚湫问绞铅遥鷶?shù)，所以只有在考察了由B與生成的σ－代數(shù)σ(B)下事件A的概率后，才可能對(duì)B發(fā)生以后事件A發(fā)生的可能性有更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)和了解。為此，需定義和計(jì)算P(A/σ(B))。21在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)事件A的概率2122

222223232324設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，AF,BF，且P(B)>0。利用公式P(A/B)=P(A·B)/P(B)可知，PB=P(·/B)是由事件B和概率測(cè)度P誘導(dǎo)出來的、定義在可測(cè)空間(Ω,F)上的概率測(cè)度，于是得到一個(gè)新的概率空間(Ω,F,PB)。對(duì)(Ω,F,PB)上的隨機(jī)變量關(guān)于概率測(cè)度PB求積分。若該積分存在，則稱此積分為已知事件B發(fā)生條件下的條件期望，記為E(|B)，即E(/B)=(w)dPB=P(dw/B)條件期望

24設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，AF,BF，且P(24252.2概率空間樣本空間的概念我們知道：如果某個(gè)實(shí)驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，而且事前不能確定，我們就稱為隨機(jī)試驗(yàn)；（1）隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為事件；（2）不可能再分的事件稱為基本事件，常用只包含一個(gè)元素ω的單點(diǎn)集{ω}來表示；（3）由若干基本事件組成的事件稱為復(fù)合事件，一般用包含若干個(gè)元素的集合表示。所有基本事件對(duì)應(yīng)的元素的全體組成的集合稱為樣本空間，記作Ω；樣本空間中的每一個(gè)元素稱為樣本點(diǎn)。252.2概率空間樣本空間的概念2526樣本空間是一個(gè)必然事件，其逆事件是一個(gè)空集φ。樣本空間可以是一個(gè)離散的集合；如拋一枚硬幣，分別用{ω1}和{ω2}表示正面和反面的事件，則樣本空間Ω={ω1,ω2}是由有限個(gè)離散點(diǎn)組成的集合。樣本空間也可以是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間或空間?？疾?019年我國(guó)大學(xué)生的就業(yè)比率，其基本事件為[0,1]區(qū)間中每一個(gè)有理數(shù)組成的集合，于是樣本空間可用區(qū)間[0,1]中所有有理數(shù)組成的集合表示，是含有無限個(gè)樣本點(diǎn)的集合；考察某三支股票未來價(jià)格（分別設(shè)為p1，p2，p3）的變化情況，其基本事件為{(p1，p2，p3)}，其中p1≥0，p2≥0，p3≥0，于是樣本空間Ω={(p1，p2，p3)|0p1+，0p2+，0p3+}是一個(gè)含有無限點(diǎn)的連續(xù)三維空間。樣本空間的表示26樣本空間是一個(gè)必然事件，其逆事件是一個(gè)空集φ。樣本空間的2627為了保證考察問題的完備性，避免運(yùn)算、推理過程出現(xiàn)矛盾，就需要所考察事件的集合的構(gòu)成必須遵循一定規(guī)則，于是引出了σ－代數(shù)的概念。簡(jiǎn)單來講，σ－代數(shù)就是根據(jù)考察和評(píng)價(jià)的需要從Ω的子集中挑選出的集合（即事件），并由這些集合按照一定規(guī)則構(gòu)成的集合簇，具體定義為：定義1設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的一些子集（或事件）組成的集合簇，若F滿足下列條件：(i)Ω∈F，即F包含了空間Ω本身；(ii)若A∈F，則A的逆事件∈F

，即如果事件A（A為Ω的一個(gè)子集）屬于F，則A的補(bǔ)集也屬于F；(iii)若Ai∈F，i=1,2,…,+，則

Ai∈F，即如果Ω的可列子集屬于F，則這些可列子集的并集也屬于F。則稱F為一個(gè)σ－代數(shù)。σ－代數(shù)的概念

27為了保證考察問題的完備性，避免運(yùn)算、推理過程出現(xiàn)矛盾，就2728顯然，σ－代數(shù)不止一個(gè)。對(duì)于一個(gè)給定的樣本空間Ω，其最小的σ－代數(shù)是由空集φ和Ω構(gòu)成的，而最大的σ－代數(shù)則由Ω的冪集，即Ω的所有子集構(gòu)成。最大的σ－代數(shù)由Ω的2Ω?jìng)€(gè)子集組成。令G為Ω任一子集簇，所有包含G的σ－代數(shù)的交是包含G的最小的σ－代數(shù)，稱為由G生成的σ－代數(shù)，記為σ(G)。由實(shí)數(shù)集R1中的所有子集(a，b]組成的集合蔟而生成的σ－代數(shù)是包含所有R1區(qū)間族的最小σ－代數(shù)，稱為Borel代數(shù)，記作B(R1)。B(R1)包含了R1所有開集和閉集，也可以看作是從R1的區(qū)間開始經(jīng)過一系列所有可能的有限和可列集合的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算而獲得的。對(duì)于一般的n維Eulid空間Rn，可類似得到Rn的Borel代數(shù)，記作B(Rn)，只不過Rn的區(qū)間應(yīng)為(a,b]={（x1,x2,…,xn）|ai<xi≤bi,a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),i=1,2,…}.σ－代數(shù)的概念（續(xù)）

28顯然，σ－代數(shù)不止一個(gè)。對(duì)于一個(gè)給定的樣本空間Ω，其最小2829F為Ω的σ－代數(shù)表明，F(xiàn)中的元素，即由Ω中元素構(gòu)成的、并屬于F的事件，是可測(cè)的，于是我們將F中的所有元素稱為可測(cè)集，將Ω與其可測(cè)集簇σ－代數(shù)F組成的一對(duì)（Ω,F）稱為一個(gè)可測(cè)空間。對(duì)可測(cè)空間（Ω,F），我們需要知道F中的可測(cè)集即事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是需要對(duì)F中的事件進(jìn)行評(píng)價(jià)和測(cè)度。為避免出現(xiàn)矛盾的情況，測(cè)度方式也需要按照一定的規(guī)則進(jìn)行，于是，有定義2對(duì)可測(cè)空間（Ω,F），在F上定義一個(gè)函數(shù)μ：F→R1稱為一個(gè)測(cè)度，若滿足：μ(φ)=0；A∈F，0μ(A)+；(iii)Ai∈F，i=1,2,…,+，且AiAj=φ（），則μ(Ai)=μ(Ai)。

可測(cè)空間的概念與表示29F為Ω的σ－代數(shù)表明，F(xiàn)中的元素，即由Ω中元素構(gòu)成的、并2930對(duì)隨機(jī)事件的測(cè)度，人們普遍習(xí)慣于用概率測(cè)度，記為P。概率測(cè)度P滿足P(Ω)=1，P(φ)=0，并對(duì)于AF，皆有0P(A)1。于是，樣本空間Ω、Ω的需要測(cè)度的σ－代數(shù)F與定義在F上的測(cè)度方式、即概率測(cè)度P：F[0,1]構(gòu)成的三元體(Ω,F,P)，稱為概率空間。為保持概率空間的完備性，我們常常假設(shè)F包含了Ω的所有對(duì)P可忽略的子集，此時(shí)稱(Ω,F,P)是完備的概率空間。所謂對(duì)P可忽略的子集，是指對(duì)AF，P(A)=0，則稱包含于A的子集為對(duì)P可忽略的子集。完備的概率空間及其表示30對(duì)隨機(jī)事件的測(cè)度，人們普遍習(xí)慣于用概率測(cè)度，記為P。概3031為清楚起見，我們將本節(jié)定義概率空間的基本思路用圖示方法表示出來：

完備的概率空間及其表示（續(xù)）考察對(duì)象與范圍（樣本空間Ω）擬評(píng)價(jià)的事件集合（－代數(shù)F）評(píng)價(jià)方法（概率測(cè)度P）可測(cè)空間（Ω，F(xiàn)

）概率空間(Ω,F,P)31為清楚起見，我們將本節(jié)定義概率空間的基本思路用圖示方法表31322.1概率的定義1.頻率

3概率的性質(zhì)2概率的定義12.1概率的定義1.頻率3概率的性質(zhì)2概率的定義3233定義：隨機(jī)事件:在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果；必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生的事件，記作；不可能事件:在一定條件下不可能發(fā)生的事件，記作?；臼录?在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，不能分解的事件；

隨機(jī)事件P&S我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)．返回主目錄1.概率的概念2定義：隨機(jī)事件P&S我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)333410

包含關(guān)系

事件間的關(guān)系與運(yùn)算20

事件的并

30事件的交

50

互不相容事件60

逆事件SABP&S返回主目錄310包含關(guān)系事件間的關(guān)系與運(yùn)算20事件3435SABP&S20

事件的并

30事件的交SAB返回主目錄4SABP&S20事件的并30事件的交S3536SBSAP&S40

互不相容事件50

逆事件A返回主目錄5SBSAP&S40互不相容事件50逆事件3637隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律交換律:P&S結(jié)合律:分配律:反演律（DeMorgan定律）:返回主目錄6隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律交換律:P&S結(jié)合律:分配律:反37382.1.1頻率

1.隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大?。睿粒匠霈F(xiàn)點(diǎn)數(shù)２，Ｂ＝出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則B比A更容易出現(xiàn)。

2.頻率的定義

定義

如果在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生了nA次，則稱nA/n為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)，即fn(A)＝頻率在某種意義反應(yīng)了事件發(fā)生的可能性大小。

頻率的缺陷是其取之依賴于具體的試驗(yàn)。72.1.1頻率1.隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分3839

大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。3.頻率具有穩(wěn)定性

例1

拋一枚硬幣,觀察事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)者NnHfn(H)蒲豐404020480.5070K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120190.5005。

n無窮大

m/n穩(wěn)定值8大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。3.頻率3940頻率穩(wěn)定值概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的定義P&S返回主目錄9頻率40414.頻率的性質(zhì)(1)0≤fn

(A)≤1;(2)fn

(Ω)=1；(3)若A1，A2，…，An

是兩兩互不相容的事件，則1.1.2概率的定義簡(jiǎn)單說來，隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值），稱為A發(fā)生的概率，記作P(A)．104.頻率的性質(zhì)(1)0≤fn(A)≤1;(3)4142

1.概率的一般（公理化）定義

定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，稱P(A)為事件A的概率，若P(A)滿足下列三個(gè)條件：

(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1；

(3)對(duì)于兩兩互不相容的事件A1，A2，…，有以上三個(gè)條件分別稱為概率的非負(fù)性、規(guī)范性及可列可加性。利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。111.概率的一般（公理化）定義定義設(shè)E4243性質(zhì)1因?yàn)橛煽闪锌杉有怨市再|(zhì)2

若A1，A2，…，An為兩兩互不相容的事件，則

由可列可加性有

2.概率的性質(zhì)12性質(zhì)1因?yàn)橛煽闪锌杉有怨市再|(zhì)2若A1，A2，…，An為4344則P(B－A)=P(B)－P(A).ＡΩＢ

證明由于

B=A∪(B－A)且A.(B－A)=Φ,

P(B)=P(A)+P(B－A),于是P(B－A)=P(B)－P(A).推論1Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).推論2

若AB,則P(B)≥P(A).

性質(zhì)3

設(shè)A，B是兩事件，若AB,ABΩ13則P(B－A)=P(B)－P(A)4445性質(zhì)4

對(duì)于任一事件A，有

因則有于是有14性質(zhì)4對(duì)于任一事件A，有因則有于是有4546性質(zhì)5

設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則

P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)

證明由右圖可知

A

B=A(B-AB)且由概率可加性及性質(zhì)３得

P(A

B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=Φ，ABBＡＢ推論1.P(A∪B)≤P(A)+P(B).推論2.

設(shè)隨機(jī)事件A1,A2,A3

,則Ａ1A2A315性質(zhì)5設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則證明4647推論3設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)隨機(jī)事件，則16推論3設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)隨機(jī)事件，4748例1

設(shè)事件A、B、A∪B的概率分別為p、q、r，求P（AB）,P（A），P（B），P（）

解（1）因?yàn)镻（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以P（AB）=p+q-r．（2）因?yàn)锳=A-AB且ABA，故P（A

同理可求出P（

（3）因=，所以．17例1設(shè)事件A、B、A∪B的概率分別為p、q、4849

1.適用的范圍廣；

2.提供了估算概率的方法；

3.提供了一種檢驗(yàn)理論或假設(shè)正確與否的方法。概率統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)：

1.要確定某事件的概率，就必須進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，這在實(shí)際中難以辦到；

2.即使有條件大量實(shí)驗(yàn)也無法確切的指出何數(shù)為瀕率的穩(wěn)定值。返回主目錄古典概型概率統(tǒng)計(jì)定義的不足：181.適用的范圍廣；概率統(tǒng)計(jì)定義的優(yōu)點(diǎn)：1.要4950

當(dāng)涉及隨機(jī)變量時(shí)，我們必須首先定義概率空間；也就是說，我們需要設(shè)定一個(gè)框架來對(duì)偶然性和相應(yīng)概率進(jìn)行定義而不用擔(dān)心一致性問題。概率的定義具有一致性，具有兩個(gè)條件：（1）（2）概率的一致性問題返回主目錄古典概型19當(dāng)涉及隨機(jī)變量時(shí)，我們必須首先定義概率空間；也就是說5051在實(shí)際工作中，我們會(huì)經(jīng)?？疾煊袟l件的隨機(jī)事件，即在一些信息已知的情況下，某一隨機(jī)現(xiàn)象的變化。例如，央行加息后股票價(jià)格或債券價(jià)格的漲落情況、國(guó)家的稅收政策發(fā)生變化后投資回報(bào)將如何變動(dòng)等等，都是典型的條件隨機(jī)現(xiàn)象，這就是我們?cè)诖藬M要考察的條件事件和條件概率問題。在后面有關(guān)鞅的定義和討論中，人們會(huì)看到條件概率和條件期望更多的作用。條件概率20在實(shí)際工作中，我們會(huì)經(jīng)?？疾煊袟l件的隨機(jī)事件，即在一些信5152在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)事件A的概率為P(A/B)=P(A·B)/P(B),P(B)>0簡(jiǎn)稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。其中，A/B表示條件事件。然而，上述公式并不全面，因?yàn)楫?dāng)事件B已知后，B的逆也成為已知信息，人們自然也會(huì)關(guān)心在已知情況下事件A的概率，即P(A/)。即使求出P(A/)，也仍存在美中不足的地方，因?yàn)樾畔⒌淖钔陚湫问绞铅遥鷶?shù)，所以只有在考察了由B與生成的σ－代數(shù)σ(B)下事件A的概率后，才可能對(duì)B發(fā)生以后事件A發(fā)生的可能性有更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)和了解。為此，需定義和計(jì)算P(A/σ(B))。21在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)事件A的概率5253

225354235455設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，AF,BF，且P(B)>0。利用公式P(A/B)=P(A·B)/P(B)可知，PB=P(·/B)是由事件B和概率測(cè)度P誘導(dǎo)出來的、定義在可測(cè)空間(Ω,F)上的概率測(cè)度，于是得到一個(gè)新的概率空間(Ω,F,PB)。對(duì)(Ω,F,PB)上的隨機(jī)變量關(guān)于概率測(cè)度PB求積分。若該積分存在，則稱此積分為已知事件B發(fā)生條件下的條件期望，記為E(|B)，即E(/B)=(w)dPB=P(dw/B)條件期望

24設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，AF,BF，且P(55562.2概率空間樣本空間的概念我們知道：如果某個(gè)實(shí)驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，而且事前不能確定，我們就稱為隨機(jī)試驗(yàn)；（1）隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為事件；（2）不可能再分的事件稱為基本事件，常用只包含一個(gè)元素ω的單點(diǎn)集{ω}來表示；（3）由若干基本事件組成的事件稱為復(fù)合事件，一般用包含若干個(gè)元素的集合表示。所有基本事件對(duì)應(yīng)的元素的全體組成的集合稱為樣本空間，記作Ω；樣本空間中的每一個(gè)元素稱為樣本點(diǎn)。252.2概率空間樣本空間的概念5657樣本空間是一個(gè)必然事件，其逆事件是一個(gè)空集φ。樣本空間可以是一個(gè)離散的集合；如拋一枚硬幣，分別用{ω1}和{ω2}表示正面和反面的事件，則樣本空間Ω={ω1,ω2}是由有限個(gè)離散點(diǎn)組成的集合。樣本空間也可以是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間或空間?？疾?019年我國(guó)大學(xué)生的就業(yè)比率，其基本事件為[0,1]區(qū)間中每一個(gè)有理數(shù)組成的集合，于是樣本空間可用區(qū)間[0,1]中所有有理數(shù)組成的集合表示，是含有無限個(gè)樣本點(diǎn)的集合；考察某三支股票未來價(jià)格（分別設(shè)為p1，p2，p3）的變化情況，其基本事件為{(p1，p2，p3)}，其中p1≥0，p2≥0，p3≥0，于是樣本空間Ω={(p1，p2，p3)|0p1+，0p2+，0p3+}是一個(gè)含有無限點(diǎn)的連續(xù)三維空間。樣本空間的表示26樣本空間是一個(gè)必然事件，其逆事件是一個(gè)空集φ。樣本空間的5758為了保證考察問題的完備性，避免運(yùn)算、推理過程出現(xiàn)矛盾，就需要所考察事件的集合的構(gòu)成必須遵循一定規(guī)則，于是引出了σ－代數(shù)的概念。簡(jiǎn)單來講，σ－代數(shù)就是根據(jù)考察和評(píng)價(jià)的需要從Ω的子集中挑選出的集合（即事件），并由這些集合按照一定規(guī)則構(gòu)成的集合簇，具體定義為：定義1設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的一些子集（或事件）組成的集合簇，若F滿足下列條件：(i)Ω∈F，即F包含了空間Ω本身；(ii)若A∈F，則A的逆事件∈F

，即如果事件A（A為Ω的一個(gè)子集）屬于F，則A的補(bǔ)集也屬于F；(iii)若Ai∈F，i=1,2,…,+，則

Ai∈F，即如果Ω的可列子集屬于F，則這些可列子集的并集也屬于F。則稱F為一個(gè)σ－代數(shù)。σ－代數(shù)的概念

27為了保證考察問題的完備性，避免運(yùn)算、推理過程出現(xiàn)矛盾，就5859顯然，σ－代數(shù)不止一個(gè)。對(duì)于一個(gè)給定的樣本空間Ω