(高等數(shù)學(xué))偏微分方程

..第十四章偏微分方程物理、力學(xué)、工程技術(shù)和其他自然科學(xué)經(jīng)常提出大量的偏微分方程問題.由于實(shí)踐的需要和一些數(shù)學(xué)學(xué)科〔如泛函分析,計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,促進(jìn)了偏微分方程理論的發(fā)展,使它形成一門內(nèi)容十分豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科.本章主要介紹一階偏微分方程、線性方程組及二階線性偏微分方程的理論.在二階方程中,敘述了極值原理、能量積分及惟一性定理.闡明了一些解的性質(zhì)和物理意義,介紹典型橢圓型、雙曲型、拋物型方程的常用解法：分離變量法,基本解,格林方法,黎曼方法,勢位方法及積分變換法.最后,扼要地介紹了有實(shí)用意義的數(shù)值解法：差分方法和變分方法.§1偏微分方程的一般概念與定解問題[偏微分方程及其階數(shù)]一個(gè)包含未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的等式稱為偏微分方程.如果等式不止一個(gè),就稱為偏微分方程組.出現(xiàn)在方程或方程組中的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為方程或方程組的階數(shù).[方程的解與積分曲面]設(shè)函數(shù)u在區(qū)域D內(nèi)具有方程中所出現(xiàn)的各階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),如果將u代入方程后,能使它在區(qū)域D內(nèi)成為恒等式,就稱u為方程在區(qū)域D中的解,或稱正規(guī)解.在n+1維空間中是一曲面,稱它為方程的積分曲面.[齊次線性偏微分方程與非齊次線性偏微分方程]對于未知函數(shù)和它的各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的方程稱為線性偏微分方程.如就是線性方程.在線性方程中,不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng),如上式的f<x,y>.若自由項(xiàng)不為零,稱方程為非齊次的.若自由項(xiàng)為零,則稱方程為齊次的.[擬線性方程與半線性方程]如果一個(gè)方程,對于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的,稱它為擬線性方程.如就是擬線性方程,在擬線性方程中,由最高階偏導(dǎo)數(shù)所組成的部分稱為方程的主部.上面方程的主部為如果方程的主部的各項(xiàng)系數(shù)不含未知函數(shù),就稱它為半線性方程.如就是半線性方程.[非線性方程]不是線性也不是擬線性的方程稱為非線性方程.如就是一階非線性偏微分方程.[定解條件]給定一個(gè)方程,一般只能描寫某種運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律,還不能確定具體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),所以把這個(gè)方程稱為泛定方程.如果附加一些條件〔如已知開始運(yùn)動(dòng)的情況或在邊界上受到外界的約束后,就能完全確定具體運(yùn)動(dòng)狀態(tài),稱這樣的條件為定解條件.表示開始情況的附加條件稱為初始條件,表示在邊界上受到約束的條件稱為邊界條件.[定解問題]給定了泛定方程〔在區(qū)域D內(nèi)和相應(yīng)的定解條件的數(shù)學(xué)物理問題稱為定解問題.根據(jù)不同定解條件,定解問題分為三類.1初值問題只有初始條件而沒有邊界條件的定解問題稱為初值問題或柯西問題.2邊值問題只有邊值條件而沒有初始條件的定解問題稱為邊值問題.3混合問題既有邊界條件也有初始條件的定解問題稱為混合問題〔有時(shí)也稱為邊值問題.[定解問題的解]設(shè)函數(shù)u在區(qū)域D內(nèi)滿足泛定方程,當(dāng)點(diǎn)從區(qū)域D內(nèi)趨于給出初值的超平面或趨于給出邊界條件的邊界曲面時(shí),定解條件中所要求的u及它的導(dǎo)數(shù)的極限處處存在而且滿足相應(yīng)的定解條件,就稱u為定解問題的解.[解的穩(wěn)定性]如果定解條件的微小變化只引起定解問題的解在整個(gè)定義域中的微小變化,也就是解對定解條件存在著連續(xù)依賴關(guān)系,那末稱定解問題的解是穩(wěn)定的.[定解問題的適定性]如果定解問題的解存在與惟一并且關(guān)于定解條件是穩(wěn)定的,就說定解問題的提法是適定的.§2一階偏微分方程柯西-柯娃列夫斯卡婭定理[一階偏微分方程的通解]一階偏微分方程的一般形式在有些書中寫作或,其中如解出p1,可得：p1=f<x1,x2,…,xn,u,p2,…,pn>當(dāng)方程的解包含某些"任意元素"<指函數(shù)>,如果適當(dāng)選取"任意元素"時(shí),可得方程的任意解<某些"奇異解"除外>,則稱這樣的解為通解.在偏微分方程的研究中,重點(diǎn)在于確定方程在一些附加條件<即定解條件>下的解,而不在于求通解.[一階方程的柯西問題]稱為柯西問題,式中為已知函數(shù),對柯西問題有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡婭定理]設(shè)f<x1,x2xn,u,p2pn>在點(diǎn)<x10,x20xn0,u0,p20pn0>的某一鄰域內(nèi)解析,而在點(diǎn)<x20xn0>的某鄰域內(nèi)解析,則柯西問題在點(diǎn)<x10xn0>的某一鄰域內(nèi)存在著惟一的解析解.這個(gè)定理應(yīng)用的局限性較大,因它要求f及初始條件都是解析函數(shù),一般的定解問題未必能滿足這種條件.對高階方程也有類似定理.一階線性方程1．一階齊次線性方程[特征方程特征曲線初積分<首次積分>]給定一階齊次線性方程<1>式中ai為連續(xù)可微函數(shù),在所考慮的區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)不同時(shí)為零<下同>.方程組<i=1,2n>或<2>稱為一階齊次線性偏微分方程的特征方程.如果曲線l:xi=xi<t><i=1,2n>滿足特征方程<2>,就稱曲線l為一階齊次線性方程的特征曲線.如果函數(shù)symbol121\f"Symbol"\s12<x1,x2xn>在特征曲線上等于常數(shù),即symbol121\f"Symbol"\s12<x1<t>,x2<t>xn<t>>=c就稱函數(shù)symbol121\f"Symbol"\s12<x1,x2xn>為特征方程<2>的初積分<首次積分>.[齊次方程的通解]1o連續(xù)可微函數(shù)u=symbol121\f"Symbol"\s12<x1,x2xn>是齊次線性方程<1>的解的充分必要條件是：symbol121\f"Symbol"\s12<x1,x2xn>是這個(gè)方程的特征方程的初積分.2o設(shè)symbol121\f"Symbol"\s12i<x1,x2xn><i=1,2n>是特征方程<2>在區(qū)域D上連續(xù)可微而且相互獨(dú)立的初積分<因此在D內(nèi)的每一點(diǎn),矩陣的秩為n>,則u=symbol119\f"Symbol"\s12<symbol121\f"Symbol"\s121<x1,x2xn>symbol121\f"Symbol"\s12n-1<x1,x2xn>>是一階齊次線性方程<1>的通解,其中symbol119\f"Symbol"\s12為n個(gè)變量的任意連續(xù)可微函數(shù).[柯西問題]考慮方程的柯西問題式中symbol106\f"Symbol"\s12<x2xn>為已知的連續(xù)可微函數(shù).設(shè)symbol121\f"Symbol"\s12i<x1,x2xn><i=1,2n>為特征方程的任意n個(gè)相互獨(dú)立的初積分,引入?yún)⒆兞?lt;>,從方程組解出x2xn得則柯西問題的解為u=symbol106\f"Symbol"\s12<symbol119\f"Symbol"\s122<symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1>symbol119\f"Symbol"\s12n<symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1>>2．非齊次線性方程它的求解方法與擬線性方程相同.一階擬線性方程一階擬線性方程為其中ai及R為x1,x2xn,u的連續(xù)可微函數(shù)且不同時(shí)為零.[一階擬線性方程的求解和它的特征方程]或?yàn)樵瓟M線性方程的特征方程.如果曲線l:xi=xi<t><i=1,2n>,u=u<t>滿足特征方程,則稱它為擬線性方程的特征曲線.設(shè)symbol121\f"Symbol"\s12i<x1xn,u><i=1,2n>為特征方程的n個(gè)相互獨(dú)立的初積分,那末對于任何連續(xù)可微函數(shù)symbol119\f"Symbol"\s12,symbol119\f"Symbol"\s12<symbol121\f"Symbol"\s121<x1xn,u>,symbol121\f"Symbol"\s122<x1xn,u>symbol121\f"Symbol"\s12n<x1xn,u>>=0都是擬線性方程的隱式解.[柯西問題]考慮方程的柯西問題symbol106\f"Symbol"\s12為已知的連續(xù)可微函數(shù).設(shè)symbol121\f"Symbol"\s121<x1,x2xn,u>symbol121\f"Symbol"\s12n<x1,x2xn,u>為特征方程的n個(gè)相互獨(dú)立的初積分,引入?yún)⒆兞?從解出x2xn,u則由給出柯西問題的隱式解.一階非線性方程[完全解·通解·奇異解]一階非線性方程的一般形式為若一階偏微分方程的解包含任意n個(gè)獨(dú)立的常數(shù),則稱這樣的解為完全解<全積分>.若V<x1,x2xn,u,c1,c2cn>=0為方程的完全解,從消去ci,若得一個(gè)解,則稱它為方程的奇異解<奇積分>.以兩個(gè)獨(dú)立變量為例說明完全解與通解、奇異解的關(guān)系,設(shè)方程有完全解V<x,y,z,a,b>=0<a,b為任意常數(shù)>,則方程等價(jià)于從方程組消去a,b所得的方程.利用常數(shù)變易法把a(bǔ),b看作x,y的函數(shù),將V<x,y,z,a,b>=0求關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù),得那末與V=0聯(lián)立可確定a,b.有三種情況：1,將其與V<x,y,z,a,b>=0聯(lián)立可確定不含任意常數(shù)的奇異解.2如,即回到完全解.3當(dāng)時(shí),必有,這時(shí),如果不屬于情形2,則a與b存在函數(shù)關(guān)系：b=SYMBOL119\f"Symbol"<a>,這里SYMBOL119\f"Symbol"為任意可微函數(shù),并從方程V<x,y,z,a,b>=0和消去a,b,可確定方程的通解.定理偏微分方程的任何解包含在完全解內(nèi)或通解內(nèi)或奇異解內(nèi).[特征方程·特征帶·特征曲線·初積分]在一階非線性方程：中,設(shè)F對所有變量的二階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),稱或?yàn)榉蔷€性方程的特征方程.設(shè)特征方程的解為xi=xi<t>,u=u<t>,pi=pi<t><i=1,2,…,n>稱它為非線性方程的特征帶.在x1,x2xn,u空間的曲線xi=xi<t>,u=u<t><i=1,2,…,n>稱為非線性方程的特征曲線.如果函數(shù)在特征方程的任一解xi=xi<t><i=1,2n>,u=u<t>,pi=pi<t><i=1,2n>上等于常數(shù),即那末函數(shù)稱為特征方程的初積分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法]考慮兩個(gè)變量的情況.對于方程F<x,y,z,p,q>=0,選擇使雅可比式的一個(gè)初積分G<x,y,z,p,q>.解方程組<a為任意常數(shù)>得p<x,y,z,a>及q<x,y,z,a>.則方程dz=pdx+qdy的通解V<x,y,z,a,b>=0<b是積分dz=pdx+qdy出現(xiàn)的任意常數(shù)>就是方程F<x,y,z,p,q>=0的完全解.例求方程的完全解.解方程的特征方程為這里成立所以特征方程的一個(gè)初積分為z2p2－x2.解方程組<a為任意常數(shù)>得積分微分方程得完全解<b為任意常數(shù)>[某些容易求完全解的方程]1僅含p,q的方程F<p,q>=0G=p是特征方程的一個(gè)初積分.從F<p,q>=0與p=a<a為任意常數(shù)>得q=SYMBOL121\f"Symbol"<a>,積分dz=adx+SYMBOL121\f"Symbol"<a>dy得完全解z=ax+SYMBOL121\f"Symbol"<a>y+b<b為任意常數(shù)>2不顯含x,y的方程F<z,p,q>=0特征方程為因此qdp-pdq=0,顯然為一個(gè)初積分,由F<z,p,q>=0,q=pa<a為任意常數(shù)>解得p=SYMBOL121\f"Symbol"<z,a>.于是由dz=SYMBOL121\f"Symbol"<z,a>dx+aSYMBOL121\f"Symbol"<z,a>dy得<b為任意常數(shù)>可確定完全解.3變量分離形式的方程特征方程為可取初積分Gi=fi<xi,pi>,<i=1,2n>.從fi<xi,pi>=ai<i=1,2n>解出pi=SYMBOL106\f"Symbol"i<xi,ai>得完全解式中ai,b為任意常數(shù),且.[克萊羅方程]方程稱為克萊羅方程,其完全解為對ci微分得<i=1,2,…,n>與完全解的表達(dá)式聯(lián)立消去ci即得奇異解.例求方程z－xp－yq－pq=0的完全解和奇異解.解這是克萊羅方程,它的完全解是z=ax+by+ab對a,b微分,得x=－b,y=－a,消去a,b得奇異解z=－xy[發(fā)甫方程]方程P<x,y,z>dx+Q<x,y,z>dy+R<x,y,z>dz=0<1>稱為發(fā)甫方程,如果P,Q,R二次連續(xù)可微并滿足適當(dāng)條件,那末方程可積分.如果可積分成一關(guān)系式時(shí),則稱它為完全可積.1方程完全可積的充分必要條件當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,R滿足條件<2>時(shí),存在一個(gè)積分因子SYMBOL109\f"Symbol"<x,y,z>,使dU1=SYMBOL109\f"Symbol"<Pdx+Qdy+Rdz>從而方程的通解為U1<x,y,z>=c特別,當(dāng)時(shí),存在一個(gè)函數(shù)U<x,y,z>滿足從而dU=Pdx+Qdy+Rdz所以方程的通解為U<x,y,z>=c所以完全可積的發(fā)甫方程的通解是一單參數(shù)的曲面族.定理設(shè)對于發(fā)甫方程<1>在某區(qū)域D上的完全可積條件<2>成立,則對D內(nèi)任一點(diǎn)M<x,y,z>一定有方程的積分曲面通過,而且只有一個(gè)這樣的積分曲面通過.2方程積分曲面的求法設(shè)完全可積條件<2>成立.為了構(gòu)造積分曲面,把z看成x,y的函數(shù)<設(shè)R<x,y,z>≠0>,于是原方程化為由此得方程組發(fā)甫方程<1>與此方程組等價(jià).把方程<3>中的y看成參變量,積分后得一個(gè)含有常數(shù)的通解然后用未知函數(shù)代替常數(shù),將代入方程<4>,在完全可積的條件下,可得的一個(gè)常微分方程,其通解為c為任意常數(shù),代回中即得發(fā)甫方程的積分曲面z=SYMBOL106\f"Symbol"<x,y,SYMBOL121\f"Symbol"<y,c>>由于發(fā)甫方程關(guān)于x,y,z的對稱性,在上面的討論中,也可把x或y看成未知函數(shù),得到同樣的結(jié)果.例求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的積分曲面族.解容易驗(yàn)證完全可積條件成立,顯然存在一個(gè)積分因子,用它乘原方程得積分后得積分曲面族xy2z=c也可把方程化為等價(jià)的方程組把y看成參變量,積分得通解用未知函數(shù)代替,將代入方程得積分后有所以原方程的積分曲面族是xy2z=c一階線性微分方程組[一階線性偏微分方程組的一般形式]兩個(gè)自變量的一階線性方程組的形式是或<1>其中Aij,Bij,Cij,Fi,aij,bij,fi是<x,t>的充分光滑函數(shù).[特征方程·特征方向·特征曲線]稱為方程組<1>的特征方程.在點(diǎn)<x,t>滿足特征方程的方向稱為該點(diǎn)的特征方向.如果一條曲線l,它上面的每一點(diǎn)的切線方向都和這點(diǎn)的特征方向一致,那末稱曲線l為特征曲線.[狹義雙曲型方程與橢圓型方程]如果區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都存在n個(gè)不同的實(shí)的特征方向,那末稱方程組在D內(nèi)為狹義雙曲型的.如果區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)沒有一個(gè)實(shí)的特征方向,那末稱方程組在D內(nèi)為橢圓型的.[狹義雙曲型方程組的柯西問題]1化方程組為標(biāo)準(zhǔn)形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"對角型因?yàn)閐et<aij-SYMBOL100\f"Symbol"ijSYMBOL108\f"Symbol">=0有n個(gè)不同的實(shí)根SYMBOL108\f"Symbol"1<x,t>SYMBOL108\f"Symbol"n<x,t>,不妨設(shè)那末常微分方程的積分曲線li<i=1,2,…,n>就是方程組<1>的特征曲線.方程的非零解<SYMBOL108\f"Symbol"k<1>SYMBOL108\f"Symbol"k<n>>稱為對應(yīng)于特征方向SYMBOL108\f"Symbol"k的特征矢量.作變換可將方程組化為標(biāo)準(zhǔn)形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"對角型所以狹義雙曲型方程組可化為對角型,而一般的線性微分方程組<1>如在區(qū)域D內(nèi)通過未知函數(shù)的實(shí)系數(shù)可逆線性變換可化為對角型的話,<此時(shí)不一定要求SYMBOL108\f"Symbol"i都不相同>,就稱這樣的微分方程組在D內(nèi)為雙曲型的.2對角型方程組的柯西問題考慮對角型方程組的柯西問題SYMBOL106\f"Symbol"i<x>是[a,b]上的連續(xù)可微函數(shù).設(shè)SYMBOL97\f"Symbol"ij,SYMBOL98\f"Symbol"i,SYMBOL108\f"Symbol"i在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)可微,在D內(nèi)可得相應(yīng)的積分方程組式中為第i條特征曲線li上點(diǎn)<x,t>與點(diǎn)<xi,0>之間的一段,<xi,0>為li與x軸上[a,b]的交點(diǎn).上式可以更確切地寫為<i=1,2n>式中xi=xi<x,t,t>為過點(diǎn)<x,t>的第i條特征曲線,利用逐次逼近法可解此積分方程.為此令序列{vi<k>}<k=0,1,2>一致收斂于積分方程的連續(xù)可微解vi<x,t><i=1,2n>,這個(gè)vi<x,t>也就是對角型方程組的柯西問題的解.設(shè)在區(qū)域D內(nèi)對角型方程組的柯西問題的解存在,那末解與初值有下面的關(guān)系：<i>依賴區(qū)間：過D中任意點(diǎn)M<x,t>作特征曲線l1,ln,交x軸于B,A,稱區(qū)間[A,B]為M點(diǎn)的依賴區(qū)間<圖14.1<a>>,解在M點(diǎn)的值由區(qū)間[A,B]的初值確定而與[A,B]外的初值無關(guān).<ii>決定區(qū)域：過點(diǎn)A,B分別作特征曲線ln,l1,稱ln,l1與區(qū)間[A,B]圍成的區(qū)域D1為區(qū)間[A,B]的決定區(qū)域<圖14.1<b>>,在區(qū)域D1中解的值完全由[A,B]上的初值決定.<iii>影響區(qū)域：過點(diǎn)A,B分別作特征曲線l1,ln,稱l1,ln與[A,B]圍成的區(qū)域D2為區(qū)間[A,B]的影響區(qū)域<圖14.1<c>>.特別當(dāng)區(qū)間[A,B]縮為一點(diǎn)A時(shí),A點(diǎn)的影響區(qū)域?yàn)镈3<圖14.1<d>>.在區(qū)域D2中解的值受[A,B]上的初值影響,而在區(qū)域D2外的解的值則不受[A,B]上的初值影響.圖14.1[線性雙曲型方程組的邊值問題]以下列線性方程組來說明：<1>1第一邊值問題<廣義柯西問題>設(shè)在平面<x,t>上給定曲線段,它處處不與特征方向相切.過A,B分別引最左和最右的特征曲線l1及l(fā)2.要求函數(shù)u<x,t>,v<x,t>在,l1及l(fā)2圍成的閉區(qū)域上滿足方程組,且在上取給定的函數(shù)值<圖14.2<a>>.2第二邊值問題<古沙問題>設(shè)l1是過P點(diǎn)的第一族特征線,l2是第二族特征線,在l1的一段PA上給定v<x,t>的數(shù)值,在l2的一段PB上給定u<x,t>的數(shù)值,過A點(diǎn)作第二族特征線,過B點(diǎn)作第一族特征線相交于Q.求在閉區(qū)域PAQB上方程組的解<圖14.2<b>>.3第三邊值問題設(shè)AB為非特征曲線的曲線弧,AC為一特征線弧,且在AB與AC之間不存在過A點(diǎn)的另外特征曲線,過C點(diǎn)作第二族特征線與過B點(diǎn)的第一族特征線交于E點(diǎn),在AC上給定v<x,t>的數(shù)值,在AB上給定u<x,t>的數(shù)值,求ACEBA所圍成的閉區(qū)域D上的方程組的解<圖14.2<c>>.圖14.3圖14.2[邊值問題的近似解symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"特征線法]以上定解問題,可用逐步逼近法求解,也可用特征線法求解的近似值.以第一邊值問題為例說明.在曲線AB上取n個(gè)分點(diǎn)A1,A2,An,并記A為A0,B為An+1,過A0按A0的第二特征方向作直線與過A1按A1的第一特征方向作直線相交于B0；過A1按A1第二特征方向作直線與過A2按A2的第一特征方向作直線相交于B1最后得到Bn<圖14.3>.用如下的近似公式來確定方程組<1>的解u<x,t>,v<x,t>在Bi<i=0,1,2,…,n>的數(shù)值：于是在一個(gè)三角形網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上得到u,v的數(shù)值.再經(jīng)過適當(dāng)?shù)牟逯?當(dāng)n相當(dāng)大,Ai、Ai+1的距離相當(dāng)小時(shí),就得到所提問題的足夠近似的解.[特殊形式的擬線性方程組symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"可化約系統(tǒng)]一般的擬線性方程組的問題比較復(fù)雜,目前研究的結(jié)果不多,下面介紹一類特殊形式的擬線性方程組symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"可化約系統(tǒng).如果方程組中所有的系數(shù)只是u,v的函數(shù),稱它為可化約系統(tǒng).考慮滿足條件的方程組的解u=u<x,t>,v=v<x,t>.x,t可以表示成u,v的函數(shù),且原方程化為這是關(guān)于自變量u,v的線性方程組.這樣就把求擬線性方程組滿足的解,化為解線性方程組的問題.而此線性方程組滿足條件的解,在<x,t>平面上的象即為原來擬線性方程組的解.§3二階偏微分方程二階偏微分方程的分類、標(biāo)準(zhǔn)形式與特征方程考慮二階偏微分方程<1>式中aij<x>=aij<x1,x2,…,xn>為x1,x2,…,xn的已知函數(shù).[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征錐面]代數(shù)方程稱為二階方程<1>的特征方程；這里a1,a2,…,an是某些參數(shù),且有.如果點(diǎn)x=<x1,x2,…,xn>滿足特征方程,即則過x的平面的法線方向l:<a1,a2,…,an>稱為二階方程的特征方向；如果一個(gè)<n>維曲面,其每點(diǎn)的法線方向都是特征方向,則稱此曲面為特征曲面；過一點(diǎn)的<n>維平面,如其法線方向?yàn)樘卣鞣较?則稱這個(gè)平面為特征平面,在一點(diǎn)由特征平面的包絡(luò)組成的錐面稱為特征錐面.[n個(gè)自變量方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)形式]在點(diǎn)P<x1,x2,…,xn>,根據(jù)二次型<ai為參量>的特征根的符號(hào),可將方程分為四類：<i>特征根同號(hào),都不為零,稱方程在點(diǎn)P為橢圓型.<ii>特征根都不為零,有n個(gè)具有同一種符號(hào),余下一個(gè)符號(hào)相反,稱方程在點(diǎn)P為雙曲型.<iii>特征根都不為零,有個(gè)具有同一種符號(hào)<n>m>1>,其余m個(gè)具有另一種符號(hào),稱方程在點(diǎn)P為超雙曲型.<iv>特征根至少有一個(gè)是零,稱方程在點(diǎn)P為拋物型.若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)方程為橢圓型,雙曲型或拋物型,則分別稱方程在區(qū)域D內(nèi)是橢圓型、雙曲型或拋物型.在點(diǎn)P作自變量的線性變換可將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：橢圓型：雙曲型：超雙曲型：拋物型：式中Φ為不包含二階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng).[兩個(gè)自變量方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)形式]方程的一般形式為<2>a11,a12,a22為x,y的二次連續(xù)可微函數(shù),不同時(shí)為零.方程a11dy2a12dxdy+a22dx2=0稱為方程<2>的特征方程.特征方程的積分曲線稱為二階方程<2>的特征曲線.在某點(diǎn)P<x0,y0>的鄰域D內(nèi),根據(jù)Δ=a122－a11a12當(dāng)Δ>0時(shí),方程為雙曲型；當(dāng)Δ=0時(shí),方程為拋物型；當(dāng)Δ<0時(shí),方程為橢圓型.在點(diǎn)P的鄰域D內(nèi)作變量替換,可將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：雙曲型：因Δ>0,存在兩族實(shí)特征曲線,,作變換,和方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式或拋物型:因Δ=0,只存在一族實(shí)的特征曲線,取二次連續(xù)可微函數(shù),使,作變換,,方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓型：因Δ<0,不存在實(shí)特征曲線,設(shè)為的積分,不同時(shí)為零,作變量替換,,方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式極值原理·能量積分·定解問題的惟一性定理橢圓型方程、拋物型方程的極值原理及雙曲型方程的能量守恒原理是相應(yīng)方程的解所具有的最基本性質(zhì)之一,在定解問題的研究中起著重要的作用.[橢圓型方程的極值原理與解的惟一性定理]1極值原理設(shè)D為n維歐氏空間En的有界區(qū)域,S是D的邊界,在D內(nèi)考慮橢圓型方程式中aij<x>,bi<x>,c<x>,f<x>在上連續(xù),c<x>≤0且二次型正定,即存在常數(shù)μ>0,對任意和任意的ai有定理1設(shè)u<x>為D內(nèi)橢圓型方程的解,它在D內(nèi)二次連續(xù)可微,在上連續(xù),且不是常數(shù),如f<x>≤0〔或f<x>≥0,則u<x>不能在D的內(nèi)點(diǎn)取非正最小值〔或非負(fù)最大值.如果過邊界S上的任一點(diǎn)P都可作一球,使它在P點(diǎn)與S相切且完全包含在區(qū)域D內(nèi),則有定理2設(shè)u<x>為橢圓型方程在D內(nèi)二次連續(xù)可微,在上連續(xù)可微的解,且不是常數(shù),并設(shè)f<x>≤0〔或f<x>≥0.若u<x>在邊界S上某點(diǎn)M處取非正最小值〔或非負(fù)最大值,只要外法向?qū)?shù)嵌入Equation.3在點(diǎn)M存在,則<或>2定解問題<i> 第一邊值問題〔狄利克萊問題<SYMBOL120\f"Symbol"SYMBOL206\f"Symbol"S>SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"<ii> 第二邊值問題〔諾伊曼問題SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"<SYMBOL120\f"Symbol"SYMBOL206\f"Symbol"S>SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"其中N為S的外法線方向.<iii> 第三邊值問題〔混合問題<SYMBOL120\f"Symbol"SYMBOL206\f"Symbol"S>SYMBOL32\f"Symbol"SYMBOL32\f"Symbol"a<SYMBOL120\f"Symbol">,b<SYMBOL120\f"Symbol">,SYMBOL121\f"Symbol"<SYMBOL120\f"Symbol">在S上連續(xù),N是S的外法線方向,a<SYMBOL120\f"Symbol">≥0,b<SYMBOL120\f"Symbol">≤0,且a2<SYMBOL120\f"Symbol">+b2<SYMBOL120\f"Symbol">≠0.3解的惟一性問題設(shè)c<x>及b<SYMBOL120\f"Symbol">不同時(shí)恒等于零,如果定解問題Lu=f,lu=的解存在,則是惟一的,設(shè)c<x>及b<SYMBOL120\f"Symbol">都恒等于零,如果定解問題Lu=f,lu=的解存在,則除相差一個(gè)常數(shù)外,解是惟一的.[拋物型方程的極值原理與解的惟一性定理]設(shè)為柱體,在柱體內(nèi)部考慮拋物型方程式中aij<x,t>,bi<x,t>,c<x,t>,f<x,t>在上連續(xù),且正定.1強(qiáng)極值原理設(shè)u<x,t>為拋物型方程Lu=f<x,t>在D×<0,T>內(nèi)連續(xù)可微在上連續(xù)的解.并設(shè)f<x>=0,若u<x,t>在D×<0,T]的某點(diǎn)<x0,t0>取非負(fù)的最大值,即則對任意滿足下列條件的點(diǎn)P<x,t>,都有u<x,t>=m：點(diǎn)P<x,t>滿足t<t0,且可用完全在D×<0,T]內(nèi)的連續(xù)曲線x=x<t>與點(diǎn)<x0,t0>相連.如在的側(cè)邊界Γ:S×[0,T]上〔S是D的邊界任一點(diǎn)P都可作一球,使它在P點(diǎn)與Γ相切且完全在D×<0,T>內(nèi),則有定理設(shè)u<x,t>在上連續(xù),在D×<0,T]內(nèi)滿足拋物型方程Lu=f,且不是常數(shù),設(shè)f≤0,若u<x,t>在Γ上某點(diǎn)M處取非正最小值,只要外法向?qū)?shù)在點(diǎn)M存在,則2柯西問題與混合問題柯西問題的初值條件是混合問題按下列的定解條件分別稱為<i> 第一邊值問題：,;<ii> 線性邊值問題：,,其中N為Γ的外法線方向?yàn)橐阎瘮?shù),a≥0,b≤0,a2+b2≠03解的惟一性定理如果拋物型方程Lu=f的混合問題的解存在,那末它是惟一的.如果柯西問題存在有界的解,那末在有界函數(shù)類中,解是惟一的.[波動(dòng)方程的能量積分與解的惟一性定理]1波動(dòng)方程的柯西問題與混合問題設(shè)波動(dòng)方程為柯西問題的初值條件是如果在有界區(qū)域Q:D×<0,T]中考慮波動(dòng)方程,記的側(cè)邊界為Γ,則混合問題的定解條件是第一邊值問題第二邊值問題第三邊值問題式中N為Γ的外法線方向,φ<x>,ψ<x>為D上的已知函數(shù),SYMBOL115\f"Symbol"<SYMBOL120\f"Symbol",t>及SYMBOL109\f"Symbol"<SYMBOL120\f"Symbol",t><SYMBOL120\f"Symbol"∈Γ,0≤t≤T>為定義在Γ上的已知函數(shù),SYMBOL115\f"Symbol"<SYMBOL120\f"Symbol",t>≠0.2解的惟一性定理波動(dòng)方程的混合問題與柯西問題的解如果存在必定惟一.惟一性定理可用下面能量積分證明.3能量積分積分**是的簡寫,下同.稱為波動(dòng)方程的能量積分.滿足齊次波動(dòng)方程及u|Γ=0〔或的函數(shù)u<x,t>成立：能量守恒原理E<t>=E<0>.能量不等式式中滿足齊次波動(dòng)方程及的函數(shù),在上面能量不等式E<t>中增加一項(xiàng),上面關(guān)系仍成立.對于柯西問題,在特征錐〔R為大于零的常數(shù)中考慮齊次波動(dòng)方程的解u,記特征錐與t=t0的截面為,關(guān)于能量積分成立下面的能量不等式式中πt是t=常數(shù)的超平面與以為上底所作的柱體〔母線平行于Ot軸的交截面.三種典型方程1. 波動(dòng)方程研究下面形式的波動(dòng)方程式中f<x,y,z,t>為已知函數(shù).許多物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用波動(dòng)方程來描述.如弦振動(dòng)可用一維波動(dòng)方程描述；膜的振動(dòng)可用二維波動(dòng)方程描述；聲波和電磁波的振蕩可用三維波動(dòng)方程描述.[齊次方程柯西問題的解]設(shè)齊次波動(dòng)方程的柯西問題滿足下面初始條件：并設(shè)三次連續(xù)可微,二次連續(xù)可微,那末解u的表達(dá)式分別為1三維〔克希霍夫公式式中Sat表示球面：,dS表示球面的面積元素.2二維〔泊松公式式中Kat表示圓：.3一維〔達(dá)蘭貝爾公式利用降維法可從高維的解推得低維的解.[非齊次方程柯西問題的解]非齊次波動(dòng)方程柯西問題的解等于上面齊次方程柯西問題的解添加一項(xiàng)所謂推遲勢.1三維式中積分區(qū)域是以<x,y,z>為中心,at為半徑的球體,2二維式中.一維[解的物理意義]波動(dòng)方程解的表達(dá)式具有明確的物理意義.1波的傳播以弦振動(dòng)為例,在達(dá)蘭貝爾公式中,形如SYMBOL106\f"Symbol"<x-at>的解描寫了弦振動(dòng)以常速度a向右傳播,稱SYMBOL106\f"Symbol"<x-at>為右傳播波,SYMBOL106\f"Symbol"<x+at>為左傳播波,a為波速.2依賴區(qū)間過點(diǎn)P<x,t>作兩條特征線x=c1,x+at=c2交x軸于x1,x2,則區(qū)間[x1,x2]稱為點(diǎn)P的依賴區(qū)間,由達(dá)蘭貝爾公式可見解在P點(diǎn)的值只與[x1,x2]上初始條件有關(guān),而與區(qū)間外SYMBOL106\f"Symbol"<x>,SYMBOL121\f"Symbol"<x>的值無關(guān).3決定區(qū)域過x軸上兩點(diǎn)x1,x2<x1<x2>分別作特征線x=x1+at,x=x2則三角形區(qū)域x1+at≤x≤x2<t>0>稱為[x1,x2]的決定區(qū)域<圖14.4<a>>,在區(qū)域中解的數(shù)值由[x1,x2]上的初始條件完全決定.任意改變初始條件在[x1,x2]外的數(shù)值,解在此區(qū)域中不會(huì)發(fā)生任何變化.圖14.44影響區(qū)域過x軸上兩點(diǎn)分別作特征線x=x1,x=x2+at稱區(qū)域x1-at≤x≤x2<t>0>為[x1,x2]的影響區(qū)域<圖14.4<b>>.在此區(qū)域中,解的數(shù)值受到[x1,x2]上初始條件的影響,而在此區(qū)域外,解的值不受[x1,x2]上的初始條件影響,當(dāng)區(qū)域[x1,x2]縮為一點(diǎn)x0時(shí),點(diǎn)x0的影響區(qū)域?yàn)閤軸上區(qū)間<圖14.4<c>>x0≤x≤x0+at<t>0>對二維波動(dòng)方程,點(diǎn)<x0,y0,t0>的依賴區(qū)域?yàn)閠=0上的圓.<x－x0>2+<y－y0>2≤a2t02在t=0上圓<x－x0>2+<y－y0>2≤a2t02的決定區(qū)域是以<x0,y0,t0>為頂點(diǎn)的圓錐體區(qū)域<圖14.5<a>>.<x－x0>2+<y－y0>2≤a2<t－t0>2<t≤t0>初始平面t=0上一點(diǎn)<x0,y0,0>的影響區(qū)域?yàn)閳A錐體<圖14.5<b>>.<x－x0>2+<y－y0>2≤a2t2<t>0><1>初始平面t=0上某一區(qū)域的影響區(qū)域,就是由此區(qū)域上每一點(diǎn)所作的圓錐體<1>的包絡(luò)面所圍成的區(qū)域.圖14.5對三維波動(dòng)方程,點(diǎn)<x0,y0,z0,t0>的依賴區(qū)域?yàn)閠=0上的球面<x－x0>2+<y－y0>2+<z－z0>2=a2t02初始平面t=0上的球體<x－x0>2+<y－y0>2+<z－z0>2≤a2t02的決定區(qū)域是以它為底,以<x0,y0,z0,t0>為頂點(diǎn)的圓錐體區(qū)域<x－x0>2+<y－y0>2+<z－z0>2≤a2<t－t0>2<t≤t0>在初始平面t=0上點(diǎn)<x0,y0,z0,0>的影響區(qū)域?yàn)殄F面<x－x0>2+<y－y0>2+<z－z0>2=a2t2<t>0><2>初始平面上某一區(qū)域的影響區(qū)域就是它上面的每一點(diǎn)所作的錐面<2>的包絡(luò)面圍成的區(qū)域.二維與三維波的傳播存在著下述本質(zhì)區(qū)別.5惠更斯原理對三維波動(dòng)方程,點(diǎn)<x0,y0,z0,0>的影響區(qū)域?yàn)?lt;x－x0>2+<y－y0>2+<z－z0>2≤a2t2<t>0>若在某一有界區(qū)域Ω有一個(gè)初始擾動(dòng),在時(shí)刻t受到此初始擾動(dòng)的影響區(qū)域就是所有以點(diǎn)為中心,以at為半徑的球面全體,當(dāng)t足夠大時(shí),這種球面族有內(nèi)外包絡(luò)面,稱外包絡(luò)面為傳播波的前陣面,內(nèi)包絡(luò)面為后陣面.前陣面以外的部分表示擾動(dòng)尚未傳到的區(qū)域,后陣面以內(nèi)的部分是波已傳過并恢復(fù)了原來狀態(tài)的區(qū)域,前后陣面之間的區(qū)域就是受到擾動(dòng)影響的部分,在三維,波的傳播有清晰的前陣面與后陣面,稱為惠更斯原理或稱無后效現(xiàn)象.6波的彌散對二維波動(dòng)方程,點(diǎn)<x0,y0>的影響區(qū)域?yàn)?lt;x－x0>2+<y－y0>2≤a2t2若在有界區(qū)域Ω內(nèi)有一個(gè)初始擾動(dòng),則波的傳播只有前陣面而無后陣面,所以當(dāng)Ω的初始擾動(dòng)傳到某點(diǎn)后,擾動(dòng)對此點(diǎn)的影響不會(huì)消失,不過隨時(shí)間的增加而逐漸減弱.這種現(xiàn)象稱為波的彌散,或說波具有后效現(xiàn)象.2. 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程的一般形式為式中f<x,t>為連續(xù)有界函數(shù).熱傳導(dǎo)方程是描述熱的傳導(dǎo)過程,分子的擴(kuò)散過程等物理規(guī)律的.對于n維熱傳導(dǎo)方程的柯西問題的初值條件為式中SYMBOL106\f"Symbol"為連續(xù)有界函數(shù),方程的解的表達(dá)式為3. 拉普拉斯方程研究重力場、靜力場、磁場以及一些物理現(xiàn)象〔如振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散的平衡或穩(wěn)定過程,通常得到橢圓型方程,最典型的方程為拉普拉斯方程Δu=0及泊松方程Δu=ρ式中ρ為已知函數(shù),Δ為拉普拉斯算子,[圓或球的狄利克萊問題解的泊松積分]當(dāng)區(qū)域?yàn)閳A或球時(shí),分別采用極坐標(biāo)<r,SYMBOL106\f"Symbol">或球坐標(biāo)<r,θ,SYMBOL106\f"Symbol">較為方便.Δu=0的極坐標(biāo)形式為Δu=0的球坐標(biāo)形式為狄利克萊問題解的泊松積分為1區(qū)域是圓時(shí),Δu=0,u|r=a=SYMBOL120\f"Symbol"<SYMBOL106\f"Symbol">,解為泊松積分式中SYMBOL120\f"Symbol"<SYMBOL106\f"Symbol">為已知連續(xù)函數(shù),SYMBOL120\f"Symbol"<SYMBOL106\f"Symbol">=SYMBOL120\f"Symbol"<SYMBOL106\f"Symbol"+2SYMBOL112\f"Symbol">.2區(qū)域是球時(shí),Δu=0,u|r=a=SYMBOL120\f"Symbol"<>,解為泊松積分式中SYMBOL120\f"Symbol"<>為已知連續(xù)函數(shù),[調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)]二維拉普拉斯方程的連續(xù)解稱為調(diào)和函數(shù),它具有以下重要性質(zhì)：1設(shè)函數(shù)u<x,y>在以S為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)調(diào)和,在上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則式中為外法向?qū)?shù).2算術(shù)平均值定理設(shè)函數(shù)u<x,y>在圓的內(nèi)部調(diào)和,在閉圓上連續(xù),則u<x,y>在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均值.3每一個(gè)調(diào)和函數(shù)u<x,y>對x,y無窮次可微.4哈拉克第一定理〔一致收斂定理設(shè){uk<x,y>},<k=1,2>在有界區(qū)域D內(nèi)調(diào)和,在上連續(xù),如果uk<x,y>在D的邊界上一致收斂,則在D內(nèi)也一致收斂,并且極限函數(shù)在D內(nèi)調(diào)和.5哈拉克第二定理〔單調(diào)性定理設(shè)調(diào)和函數(shù)列{uk<x,y>},<k=1,2,…>在D的某一內(nèi)點(diǎn)收斂,且對于任意k,uk+1<x,y>≥uk<x,y>則uk<x,y>在D內(nèi)處處收斂于某調(diào)和函數(shù),同時(shí)在D的每一有界閉子區(qū)域上一致收斂.6劉維爾定理如函數(shù)u<x,y>在全平面上調(diào)和且不是常數(shù),則它不可能有上界和下界.7可去奇點(diǎn)定理設(shè)u<x,y>在A點(diǎn)的一個(gè)鄰域〔除A點(diǎn)外調(diào)和且有界,但在A點(diǎn)沒有定義,則可定義函數(shù)u<x,y>在A點(diǎn)的值,使u在整個(gè)A點(diǎn)的鄰域〔包括A點(diǎn)內(nèi)是調(diào)和函數(shù).[李雅普諾夫閉曲面與內(nèi)、外邊值問題]設(shè)S為En的有限閉曲面,如果滿足下列條件,那末S稱為李雅普諾夫閉曲面：<i> 曲面到處有切面.<ii> 存在常數(shù)d>0,對曲面上每一點(diǎn)P,可作一個(gè)以P為中心、d為半徑的球,使曲面在此球內(nèi)的部分和任意一條與P點(diǎn)法線平行的直線相交不多于一點(diǎn)<iii> 曲面上任意二點(diǎn)P1及P2的法線的夾角γ<P1,P2>滿足式中A,δ為正常數(shù),0<δ≤1,是點(diǎn)P1與P2之間的距離.<iv> 從空間任意一點(diǎn)P0看曲面的任一部分σ的立體角SYMBOL119\f"Symbol"SYMBOL115\f"Symbol"有界,即|SYMBOL119\f"Symbol"SYMBOL115\f"Symbol"|≤k〔k為常數(shù)〔從點(diǎn)P0看曲面S的立體角為式中表示矢量,NP表示S在點(diǎn)P的外法線矢量,dSP表示點(diǎn)P的面積元素.設(shè)D為En的有界區(qū)域,其邊界S為李雅普諾夫閉曲面.求在D內(nèi)滿足Δu=0而在S上滿足給定邊界條件的解稱為內(nèi)邊值問題；求在D外滿足Δu=0而在S上滿足給定邊界條件的解稱為外邊值問題.[狄利克萊問題與諾伊曼問題的解]狄利克萊問題Δu=0,諾伊曼問題Δu=0,式中MS∈S,為S上的已知連續(xù)函數(shù),為外法向?qū)?shù).1狄利克萊問題的解可表示為面積分.式中v<P>稱為面密度,面積分u<M>稱為雙層位勢,rPM為點(diǎn)M與變點(diǎn)P之間的距離,rPM為矢量,NP為S在點(diǎn)P的外法線矢量,v<M>滿足第二類弗雷德霍姆積分方程<第十五章§1>：<i> 內(nèi)邊值問題<ii> 外邊值問題2諾伊曼問題的解可表示為面積分式中SYMBOL119\f"Symbol"<P>稱為面密度,面積分u<M>稱為單層位勢,SYMBOL119\f"Symbol"<P>滿足第二類弗雷德霍姆積分方程：<i> 內(nèi)邊值問題<ii> 外邊值問題定理：狄利克萊的內(nèi)外邊值問題及諾伊曼的外邊值問題有惟一解,而諾伊曼的內(nèi)邊值問題解存在的充分必要條件是：[泊松方程]在區(qū)域D內(nèi),泊松方程Δu=ρ〔ρ為已知連續(xù)函數(shù)有特解：三維：體勢位二維：對數(shù)勢位式中rPM為點(diǎn)M與變點(diǎn)P之間的距離.如果已知泊松方程的一個(gè)特解U<M>,則SYMBOL119\f"Symbol"=u－U滿足ΔSYMBOL119\f"Symbol"=0,從而泊松方程的邊值問題可化為拉普拉斯方程相應(yīng)的邊值問題.基本解與廣義解[共軛微分算子與自共軛微分算子]算子稱為二階線性微分算子,式中aij,bi,c為x1,x2,…,xn的二次連續(xù)可微函數(shù).由公式?jīng)Q定的算子L*稱為L的共軛微分算子.如果L=L*,則稱L為自共軛微分算子.[格林公式]1算子L的格林公式是式中S為區(qū)域D的邊界,N為S的外法線矢量,ei為xi的軸的矢量<0,…,0,,0,…,0>,cos<N,ei>表示矢量N與ei的夾角的余弦,2三維拉普拉斯算子的格林公式其中是外法向?qū)?shù).3算子的格林公式式中L*為L的共軛微分算子,N為外法線矢量,i,j分別為x軸,y軸上的單位矢量.[基本解]1方程Lu=f的基本解：設(shè)M,M0為En中的點(diǎn),滿足方程的解U<M,M0>稱為方程Lu=f的基本解,有時(shí)也稱為方程Lu=0的基本解,式中SYMBOL100\f"Symbol"<M-M0>稱為n維狄拉克函數(shù)〔SYMBOL100\f"Symbol"-函數(shù).基本解U<M,M0>滿足<i>LU<M,M0>=0,當(dāng)M≠M(fèi)0,<ii>對任意充分光滑的函數(shù)f<M>,于是U<M,M0>滿足Lu=f<M>.所以有時(shí)也就把滿足條件<i>、<ii>的函數(shù)U<M,M0>定義為方程Lu=f<M>的基本解.<a> Δu=0的基本解二維：三維：n維：式中表示點(diǎn)M與M0之間的距離.<b> n維空間的多重調(diào)和方程SYMBOL68\f"Symbol"mu=0的基本解<c> 熱傳導(dǎo)方程的基本解<d> 波動(dòng)方程的基本解一維：二維：三維：2柯西問題的基本解<i> 稱滿足的解為波動(dòng)方程柯西問題的基本解,它的形式為一維：二維：三維：<ii> 稱滿足的解為熱傳導(dǎo)方程柯西問題的基本解,它的形式是同樣方法可以定義其他定解問題的基本解.由定義可見,基本解表示由集中量〔如點(diǎn)熱源,點(diǎn)電荷等所產(chǎn)生的解,下段介紹的格林函數(shù),黎曼函數(shù)也具有這種特點(diǎn),統(tǒng)稱它們?yōu)辄c(diǎn)源函數(shù),或影響函數(shù).[廣義解]在區(qū)域D中給定二階線性方程式中f在D上連續(xù).1設(shè)un<x>為D上充分光滑〔如二階連續(xù)可微的函數(shù)序列,當(dāng)n→∞時(shí),un<x>一致〔或在適當(dāng)意義下收斂于函數(shù)u<x>,同時(shí)Lun也一致〔或在適當(dāng)意義下收斂于f<x>,則稱u<x>為Lu=f的廣義解.2設(shè)函數(shù)u<x>在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),如果對于任意二次連續(xù)可微且在與D的邊界距離小于某一正數(shù)SYMBOL114\f"Symbol"的點(diǎn)上恒等于零的函數(shù)SYMBOL119\f"Symbol"〔SYMBOL114\f"Symbol"與SYMBOL119\f"Symbol"無關(guān),SYMBOL119\f"Symbol"稱為D的試驗(yàn)函數(shù)有那末稱u<x>為方程Lu=f的廣義解.有時(shí)為了區(qū)別廣義解,稱以前定義的解為古典解,古典解一定是廣義解.但因廣義解不一定光滑,甚至不可微,所以不一定是古典解.例如,當(dāng)SYMBOL106\f"Symbol"<x>,SYMBOL121\f"Symbol"<x>只是x的連續(xù)函數(shù)時(shí),函數(shù)u<x,t>=SYMBOL106\f"Symbol"<x+t>－SYMBOL121\f"Symbol"<x－t>為波動(dòng)方程的廣義解,但不是古典解.二階偏微分方程的常用解法1.分離變量法它是解線性微分方程常用的一種方法,特別當(dāng)區(qū)域是矩形、柱體、球體時(shí)使用更為普遍.這種方法是先求滿足邊界條件的特解,利用迭加原理,作這些特解的線性組合,得到定解問題的解.求特解時(shí)常歸結(jié)為求某些常微分方程邊值問題的特征值和特征函數(shù).以下對不同類型方程說明分離變量法的具體解法.[弦振動(dòng)方程]1兩端固定的弦振動(dòng)齊次方程混合問題設(shè)u<x,t>=X<x>T<t>,具體解法如下：<1> X<x>,T<t>滿足的常微分方程：<2> 用此二常微分方程的解的乘積表示弦振動(dòng)方程的特解un<x,t>.解邊值問題當(dāng)時(shí),有非零解稱λn為邊值問題的特征值,Xn<x>為特征函數(shù).把λn代入T<t>的方程,得式中An,Bn為任意常數(shù),這樣就得到弦振動(dòng)方程的特解：<3> 把un<x,t>迭加,形式上作級(jí)數(shù)<4> 利用特征函數(shù)的正交性,確定系數(shù)An,Bn.把SYMBOL106\f"Symbol"<x>及SYMBOL121\f"Symbol"<x>展開成傅立葉級(jí)數(shù)式中利用初始條件可得于是混合問題的形式解為若<i>SYMBOL106\f"Symbol"<x>具有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)逐段連續(xù),且SYMBOL106\f"Symbol"<0>=SYMBOL106\f"Symbol"<l>,SYMBOL106\f"Symbol""<0>=SYMBOL106\f"Symbol""<l>=0;<ii>SYMBOL121\f"Symbol"<x>連續(xù)可微,二階導(dǎo)數(shù)逐段連續(xù),SYMBOL121\f"Symbol"<0>=SYMBOL121\f"Symbol"<l>=0,那末形式解右端的級(jí)數(shù)一致收斂,形式解就是混合問題的正規(guī)解.2解的物理意義弦的這種形式的振動(dòng)稱為駐波,點(diǎn)<m=0,1n>為不動(dòng)的點(diǎn),稱為節(jié)點(diǎn)；點(diǎn)<m=0,1,2n－1>處振幅最大,稱為腹點(diǎn)；稱為弦振動(dòng)的固有頻率；弦線發(fā)出的最低音的頻率為〔τ為張力,ρ為弦的線密度稱為該弦的基音,其他頻率都是它的整數(shù)倍,稱為泛音.3非齊次方程的混合問題將u<x,t>和f<x,t>展開成傅立葉級(jí)數(shù)：那末根據(jù)定解條件再利用1中SYMBOL106\f"Symbol"<x>與SYMBOL121\f"Symbol"<x>的傅立葉展開式,有所以形式解為若SYMBOL106\f"Symbol"<x>具有一、二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)逐段連續(xù),SYMBOL121\f"Symbol"<x>和f<x,t>連續(xù)可微,二階導(dǎo)數(shù)逐段連續(xù),同時(shí)SYMBOL106\f"Symbol"<0>=SYMBOL106\f"Symbol"<l>=SYMBOL106\f"Symbol""<0>=SYMBOL106\f"Symbol""<l>=0SYMBOL121\f"Symbol"<0>=SYMBOL121\f"Symbol"<l>=f<0,t>=f<l,t>=0則級(jí)數(shù)一致收斂,形式解就是非齊次方程混合問題的正規(guī)解.4遇到非齊次邊界條件作變換可化為關(guān)于v<x,t>的齊次邊界條件求解.[熱傳導(dǎo)方程]熱傳導(dǎo)方程的第一邊值問題設(shè)u<x,t>=X<x>T<t>,得X"<x>+SYMBOL108\f"Symbol"2X<x>=0T'<t>+a2SYMBOL108\f"Symbol"2T<t>=0特征值,對應(yīng)的特征函數(shù)為,而作形式解式中cn等于SYMBOL106\f"Symbol"<x>的傅立葉系數(shù)即.當(dāng)SYMBOL106\f"Symbol"<x>具有一、二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)逐段連續(xù),SYMBOL106\f"Symbol"<0>=SYMBOL106\f"Symbol"<l>=0,則上述級(jí)數(shù)一致收斂,形式解就是正規(guī)解了.[拉普拉斯方程]球內(nèi)定常溫度分布的狄利克萊問題—拉普拉斯方程的狄利克萊問題.選用球坐標(biāo)令u<r,,SYMBOL106\f"Symbol">=v<r,>SYMBOL121\f"Symbol"<>.代入方程,分離變量得SYMBOL121\f"Symbol""<>+k2SYMBOL121\f"Symbol"<>=0<1><2>利用對于變量的周期性,u<r,,>=u<r,,+2SYMBOL112\f"Symbol">,可知方程<1>中的k只能取m<m=0,1>,那末SYMBOL121\f"Symbol"<>取{cosm,sinm}.再將方程<2>分離變量,令v=R<r>H<>,得<3><4>方程<4>的解可用勒讓德多項(xiàng)式表示,為了使解有界,λ只能取λn2=n<n+1><n=0,1,2,…>對應(yīng)的解H<>=Pn<m><cos>,,Pn<x>為勒讓德多項(xiàng)式方程<3>可寫成這是歐拉方程,其有界解為R<r>=c1rn.最后將u的特解迭加,利用邊界條件和球函數(shù)的正交性得式中Pn<m><cos>為一般勒讓德函數(shù).如果二次連續(xù)可微,則表示的級(jí)數(shù)一致收斂,它就是狄利克萊問題的解.[高階方程]梁的橫向振動(dòng)方程為〔a為常數(shù)<1>定解條件為設(shè)y<x,t>=X<x>T<t>,那末方程<2>滿足X"<0>=X"<l>=0的特征值,特征函數(shù)<n=1,2>,方程<3>的解為所以方程<1>的形式解為由y<x,0>=x<l－x>得最后得到方程<1>的解.2.雙曲型方程的黎曼方法考慮拉普拉斯雙曲型方程[古沙問題的特征線法]古沙問題是設(shè)a<x,y>,b<x,y>,c<x,y>,f<x,y>為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)可微且,令則古沙問題化為下面積分方程組的求解問題圖14.6它可用逐次逼近法求解,顯然x=x0,y=y0為拉普拉斯雙曲型方程的特征線,所以此法也稱為特征線法.[廣義柯西問題的黎曼方法]廣義柯西問題是設(shè)a<x,y>,b<x,y>,c<x,y>,1<x>及SYMBOL109\f"Symbol"<x>為連續(xù)可微函數(shù),且SYMBOL109\f"Symbol"'<x>≠0,而f<x,y>及2<x>為連續(xù)函數(shù).設(shè)M<x0,y0>不是y=SYMBOL109\f"Symbol"<x>上的點(diǎn),過點(diǎn)M作特征線x=x0,y=y0交y=SYMBOL109\f"Symbol"<x>于P及Q,記曲邊三角形PMQ為D〔圖14.6,在D上用格林公式〔本節(jié),四得設(shè)v<x,y;x0,y0>為下面古沙問題的解：那末廣義柯西問題解的黎曼公式為式中v<x,y;x0,y0>稱為黎曼函數(shù),這個(gè)方法稱為黎曼方法.一般可用特征線法求黎曼函數(shù).但對常系數(shù)偏微分方程〔c為常數(shù)也可用下法求黎曼函數(shù).設(shè)v=v<z>,,則方程化為貝塞耳方程黎曼函數(shù)就是滿足此貝塞耳方程及條件v<0>=1的零階貝塞耳函數(shù),對常系數(shù)的拉普拉斯雙曲型方程通過變換可化為的形式,它的黎曼函數(shù)就是上式.3.橢圓型方程的格林方法在區(qū)域D考慮橢圓型方程式中aij,bi,c,f為x1,…,xn的連續(xù)可微函數(shù),aij=aji,二次型是正定的.[格林函數(shù)及其性質(zhì)]若Lu=0的共軛方程L*u=0的基本解G<x,SYMBOL120\f"Symbol">在D的邊界S上滿足G<x,SYMBOL120\f"Symbol">=0,x∈S則稱G<x,SYMBOL120\f"Symbol">為方程Lu=0的格林函數(shù),式中x=<x1,…,xn>,ξ為參變點(diǎn),SYMBOL120\f"Symbol"=<SYMBOL120\f"Symbol"1,…,SYMBOL120\f"Symbol"n>,即G<x,SYMBOL120\f"Symbol">=G<x1,…,xn;SYMBOL120\f"Symbol"1,…,SYMBOL120\f"Symbol"n>.格林函數(shù)具有對稱性質(zhì)：設(shè)G<x,SYMBOL120\f"Symbol">,V<x,SYMBOL120\f"Symbol">分別為方程Lu=0及其共軛方程的格林函數(shù),則成立對稱關(guān)系G<x,SYMBOL120\f"Symbol">=V<x,SYMBOL120\f"Symbol">特別如果Lu為自共軛微分算子,則有G<x,SYMBOL120\f"Symbol">=G<SYMBOL120\f"Symbol",x>[利用格林函數(shù)解邊值問題]1一般公式在區(qū)域D上應(yīng)用格林公式〔本節(jié),四,并取v=G<x,SYMBOL120\f"Symbol">,則方程Lu=f的狄利克萊問題u|s=的解為式中〔N是S的外法線方向2對于球體〔球心為O,半徑為a,SYMBOL68\f"Symbol"u=0的基本解為,r為P<x,y,z>與參變點(diǎn)M<SYMBOL120\f"Symbol",SYMBOL109\f"Symbol",SYMBOL122\f"Symbol">的距離,作M關(guān)于球面的反演點(diǎn)M1,記r1為M1與P的距離,則格林函數(shù)為.狄利克萊問題u|s=SYMBOL106\f"Symbol"的解為式中S為球面.引用球坐標(biāo)時(shí),解為泊松積分<本節(jié),三,3>.3在圓上〔半徑為a,SYMBOL68\f"Symbol"u=0的格林函數(shù)為式中r為P<x,y>與參變點(diǎn)M<SYMBOL120\f"Symbol",SYMBOL104\f"Symbol">的距離,r1為P與M點(diǎn)關(guān)于圓的反演點(diǎn)M1的距離,圓上狄利克萊問題的解為泊松積分.4.積分變換法積分變換法是解線性微分方程,特別是常系數(shù)方程的一種有效方法,它是把方程的某一獨(dú)立變量看成參變量,作未知函數(shù)的積分變換,這樣可減少原方程獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)而將方程化為簡單形式〔最簡單的情況是常微分方程,甚至是代數(shù)方程.解此簡化方程的對應(yīng)定解問題并通過逆積分變換就得到原定解問題的解.下面舉例說明傅立葉變換和拉普拉斯變換方法.例1用傅立葉變換法解弦振動(dòng)方程的柯西問題解把t作為參變量,作u<x,t>關(guān)于x的傅立葉變換F原來的柯西問題化為下面的定解問題把p看作參數(shù),其解為由傅立葉變換的反演公式得到原問題的解例2用拉普拉斯變換法解熱傳導(dǎo)方程的定解問題解把x當(dāng)作參變量,作u<x,t>關(guān)于t的拉普拉斯變換L原問題化為通解為要求解有界.c2必須為零,所以,查拉普拉斯變換表〔第十一章得式中erfc<y>為余誤差函數(shù).§4偏微分方程的數(shù)值解法差分法差分法是常用的一種數(shù)值解法.它是在微分方程中用差商代替偏導(dǎo)數(shù),得到相應(yīng)的差分方程,通過解差分方程得到微分方程解的近似值.1.網(wǎng)格與差商圖14.7在平面<x,y>上的一以S為邊界的有界區(qū)域D上考慮定解問題.為了用差分法求解,分別作平行于x軸和y軸的直線族.<i,j=0,SYMBOL177\f"Symbol"1,SYMBOL177\f"Symbol"2,…,SYMBOL177\f"Symbol"n>作成一個(gè)正方形網(wǎng)格,這里h為事先指定的正數(shù),稱為步長；網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn),簡記為<i,j>.取一些與邊界S接近的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),用它們連成折線Sh,Sh所圍成的區(qū)域記作Dh.稱Dh內(nèi)的節(jié)點(diǎn)為內(nèi)節(jié)點(diǎn),位于Sh上的節(jié)點(diǎn)稱為邊界節(jié)點(diǎn)〔圖14.7.下面都在網(wǎng)格Dh+Sh上考慮問題：尋求各個(gè)節(jié)點(diǎn)上解的近似值.在邊界節(jié)點(diǎn)上取與它最接近的邊界點(diǎn)上的邊值作為解的近似值,而在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上,用以下的差商代替偏導(dǎo)數(shù)：注意,1式中的差商稱為向后差商,而稱為向前差商,稱為中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一階偏導(dǎo)數(shù).2x軸與y軸也可分別采用不同的步長h,l,即用直線族<i,j=0,±1,±2>作一個(gè)矩形網(wǎng)格.2.橢圓型方程的差分方法[五點(diǎn)格式]考慮拉普拉斯方程的第一邊值問題式中SYMBOL109\f"Symbol"<x,y>為定義在D的邊界S上的已知函數(shù).采用正方形網(wǎng)格,記u<xi,yj>=uij,在節(jié)點(diǎn)<i,j>上分別用差商代替,對應(yīng)的差分方程為〔1或即任一節(jié)點(diǎn)<i,j>上uij的值等于周圍相鄰節(jié)點(diǎn)上解的值的算術(shù)平均,這種形式的差分方程稱為五點(diǎn)格式,在邊界節(jié)點(diǎn)上取〔2式中<xi*,yj*>是與節(jié)點(diǎn)<i,j>最接近的S上的點(diǎn).于是得到了以所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的uij值為未知量的若干個(gè)線性代數(shù)方程,由于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都可列出一個(gè)方程,所以未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)都等于節(jié)點(diǎn)的總數(shù),于是,可用通常的方法〔如高斯消去法解此線性代數(shù)方程組,但當(dāng)步長不很大時(shí),用高斯消去法將會(huì)遇到很大困難,可用下面介紹的其他方法求解.若hSYMBOL174\f"Symbol"0時(shí),差分方程的解收斂于微分方程的解,則稱差分方程為收斂的.在計(jì)算過程中,由于進(jìn)行四則運(yùn)算引起舍入誤差,每一步計(jì)算的舍入誤差都會(huì)影響以后的計(jì)算結(jié)果,如果這種影響所產(chǎn)生的計(jì)算偏差可以控制,而不至于隨著計(jì)算次數(shù)的增加而無限增大,則稱差分方程是穩(wěn)定的.[迭代法解差分方程]在五點(diǎn)格式的差分方程中,任意取一組初值{uij},只要求它們在邊界節(jié)點(diǎn)<i,j>上取以已知值SYMBOL109\f"Symbol"<xi*,yj*>,然后用逐次逼近法〔也稱迭代法解五點(diǎn)格式：逐次求出{uij<n>}.當(dāng)<i+1,j>,<i－1,j>,<i,j－1>,<i,j+1>中有一點(diǎn)是邊界節(jié)點(diǎn)時(shí),每次迭代時(shí),都要在這一點(diǎn)上取最接近的邊界點(diǎn)的值.當(dāng)nSYMBOL174\f"Symbol"∞時(shí),uij<n>收斂于差分方程的解,因此n充分大時(shí),{uij<n>}可作差分方程的近似解,迭代次數(shù)越多,近似解越接近差分方程的解.[用調(diào)節(jié)余數(shù)法求節(jié)點(diǎn)上解的近似值]以差商代替Δu時(shí),用節(jié)點(diǎn)<i+1,j>,<i－1,j>,<i,j+1>,<i,j－1>上u的近似值來表示u在節(jié)點(diǎn)<i,j>的值將產(chǎn)生的誤差,稱此誤差為余數(shù)Rij,即圖14.8設(shè)在<i,j>上給uij以改變量SYMBOL100\f"Symbol"uij,從上式可見Rij將減少4SYMBOL100\f"Symbol"uij,而其余含有u<xi,yj>的差分方程中的余數(shù)將增加SYMBOL100\f"Symbol"uij,多次調(diào)整SYMBOL100\f"Symbol"uij的值就可將余數(shù)調(diào)整到許可的有效數(shù)字的范圍內(nèi),這樣可獲得各節(jié)點(diǎn)上u<x,y>的近似值.這種方法比較簡單,特別在對稱區(qū)域中計(jì)算更簡捷.例求Δu=0在內(nèi)節(jié)點(diǎn)A,B,C,D上解的近似值.設(shè)在邊界節(jié)點(diǎn)1,2,3,4上分別取值為1,2,3,4〔圖14.8解記u<A>=uA,點(diǎn)A,B,C,D的余數(shù)分別為－4uA+uB+uc+5=RAuA－4uB+uD+7=RBuA－4uc+uD+3=RCuB+uc－4uD+5=RD以邊界節(jié)點(diǎn)的邊值的算術(shù)平均值作為初次近似值,即uA<0>=uB<0>=uC<0>=uD<0>=2.5則相應(yīng)的余數(shù)為：RA=0,RB=2,RC=－2,RD=0最大余數(shù)為±2.先用δuC=－0.5把RC縮減為零,uC相應(yīng)地變?yōu)?,這時(shí)RA,RD也同時(shí)縮減<－0.5>,XX數(shù)是RA=－0.5,RB=2,,RD=－0.5.類似地再變更δuB=0.5,從而uB變?yōu)?,則得XX數(shù)為.這樣便可消去各節(jié)點(diǎn)的余數(shù),于是u在各節(jié)點(diǎn)的近似值為：uA=2.5,uB=3,uC=2,uD=2.5現(xiàn)將各次近似值及余數(shù)列表如下：次數(shù)調(diào)整值第n次近似值及余數(shù)uARAuBRBuCRCuDRD012δuC=－0.5δuB=0.52.52.52.50－0.502.52.532202.522－2002.52.52.50－0.50結(jié)果近似值2.5322.5[解重調(diào)和方程的差分方法]在矩形D<x0≤x≤x0+a,y0≤y≤y0+a>中考慮重調(diào)和方程取步長,引直線族<i,j=0,1,2n>作成一個(gè)正方形網(wǎng)格.用差商代替偏導(dǎo)數(shù)圖14.9上式表明了以<x,y>為中心時(shí),u<x,y>的函數(shù)值與周圍各點(diǎn)函數(shù)值的關(guān)系,但對于鄰近邊界節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)<x,y>,如圖14.9中的A,就不能直接使用上式,此時(shí)將劃分網(wǎng)格的直線族延伸,在延伸線上定出與邊界距離為h的點(diǎn),稱這些點(diǎn)為外鄰邊界節(jié)點(diǎn),如圖14.9以A為中心時(shí),點(diǎn)E,C為邊界節(jié)點(diǎn),點(diǎn)J,K為E,C的外鄰邊界節(jié)點(diǎn),用下法補(bǔ)充定義外鄰邊界節(jié)點(diǎn)J處函數(shù)的近似值uJ,便可應(yīng)用上面的公式.1邊界條件為時(shí),定義uJ=uA－2SYMBOL109\f"Symbol"2<E>h.2邊界條件為時(shí),定義uJ=2SYMBOL109\f"Symbol"1<E>－uA－h(huán)2SYMBOL109\f"Symbol"2<E>.[其他與Δu有關(guān)的網(wǎng)格]1三角網(wǎng)格〔圖14.10<a>取P0<x,y>為中心,它的周圍6個(gè)鄰近節(jié)點(diǎn)分別為：則式中ui=u<Pi>,u0=u<P0>,R表示余項(xiàng).2六角網(wǎng)格〔圖14.10<b>

取P0<x,y>為中心,它的三個(gè)鄰近節(jié)點(diǎn)分別為則.圖14.103極坐標(biāo)系中的網(wǎng)格〔圖14.10<c>取P0<r,>為中心,它的四個(gè)鄰近節(jié)點(diǎn)分別為而拉普拉斯方程的相應(yīng)的差分方程為3.拋物型方程的差分方法考慮熱傳導(dǎo)方程的邊值問題將[0,b]分為n等份,每段長為.引兩族平行線〔圖14.11圖14.11x=xi=iSYMBOL68\f"Symbol"x<i=0,1,2n>y=yj=jSYMBOL68\f"Symbol"t<j=0,1,2SYMBOL68\f"Symbol"t取值見后>作成一個(gè)長方形的網(wǎng)格,記u<xi,tj>為uij,節(jié)點(diǎn)<xi,tj>為<i,j>,在節(jié)點(diǎn)<i,j>上分別用代替,于是邊值問題化為差分方程記,差分方程可寫