小學(xué)奧數(shù)專題-排列組合推理篇

小學(xué)奧數(shù)專題--排列組合推理篇小學(xué)奧數(shù)專題--排列組合推理篇小學(xué)奧數(shù)專題--排列組合推理篇小學(xué)奧數(shù)專題--排列組合推理篇編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:排列組合問題排列問題題型分類：1.信號(hào)問題2.數(shù)字問題3.坐法問題4.照相問題5.排隊(duì)問題組合問題題型分類：1.幾何計(jì)數(shù)問題2.加乘算式問題3.比賽問題4.選法問題常用解題方法和技巧：1.優(yōu)先排列法2.總體淘汰法3.合理分類和準(zhǔn)確分步4.相鄰問題用捆綁法5.不相鄰問題用插空法6.順序問題用“除法”7.分排問題用直接法8.試驗(yàn)法9.探索法10.消序法12.住店法對(duì)應(yīng)法13.去頭去尾法14.樹形圖法15.類推法16.幾何計(jì)數(shù)法17.標(biāo)數(shù)法18.對(duì)稱法分類相加，分步組合，有序排列，無序組合基礎(chǔ)知識(shí)（數(shù)學(xué)概率方面的基本原理）加法原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1中不同的方法，在第二類辦法中有M2中不同的方法，……，在第N類辦法中有Mn種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+Mn種不同的方法。乘法原理：完成某項(xiàng)任務(wù)，可分為k個(gè)步驟，完成第一步有n1種不同的方法，完成第二步有n2種不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ種不同的方法，那么完成此項(xiàng)任務(wù)共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ種不同的方法。兩個(gè)原理的區(qū)別做一件事，完成它若有n類辦法，是分類問題，每一類中的方法都是獨(dú)立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來．排列及組合基本公式排列及計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=EQ\F(n!,(n-m)!)(規(guī)定0!=1).組合及計(jì)算公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=EQ\F(n!,(n-m)!×m!)一般當(dāng)遇到m比較大時(shí)（常常是m>時(shí)），可用Cmn=Cn-mn來簡(jiǎn)化計(jì)算。規(guī)定：Cnn=1,C0n=1.n的階乘(n!)——n個(gè)不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用〖例1〗從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個(gè)。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c決定，又∵2b是偶數(shù)，∴a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，如：a=1，ｃ=7，則b=4（即每一組a,c必對(duì)應(yīng)唯一的b，另外1、4、7和7、4、1按同一種等差數(shù)列處理）∴C210＝10×9＝90，同類（同奇或同偶）相加，即本題所求=2×90＝180?！祭?〗某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，∴本題答案為：C38=56。注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合。采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題?！祭?〗在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。經(jīng)典題目：1．恰好能被6，7，8，9整除的五位數(shù)有多少個(gè)【分析與解】6、7、8、9的最小公倍數(shù)是504，五位數(shù)中，最小的是10000，最大為99999．因?yàn)?0000÷504：19……424，99999÷504=198……207．所以，五位數(shù)中，能被504整除的數(shù)有198-19=179個(gè)．所以恰好能被6，7，8，9整除的五位數(shù)有179個(gè)．2．小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1，2，3，…，13．如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來計(jì)算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積．那么，其中能被6整除的乘積共有多少個(gè)【分析與解】這些積中能被6整除的最大一個(gè)是13×12=26×6，最小是6．但在l×6～26×6之間的6的倍數(shù)并非都是兩張卡片上的乘積，其中有25×6，23×6，21×6，19×6，17×6這五個(gè)不是．∴所求的積共有26-5=21個(gè)．3．1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)中，選3個(gè)數(shù)使它們的和能被3整除．那么不同的選法有幾種【分析與解】被3除余1的有1，4；被3除余2的有2,5；能被3整除的有3，6．從這6個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)，使它們的和能被3整除，只能是從上面3類中各選一個(gè)，因?yàn)槊款愔械倪x擇是相互獨(dú)立的，共有2×2×2=8種選法．4．同時(shí)滿足以下條件的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)①大于，并且小于；②分子和分母都是質(zhì)數(shù)；③分母是兩位數(shù)．【分析與解】由①知分子是大于1，小于20的質(zhì)數(shù)．如果分子是2，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該在與之間，在這之間的只有符合要求．如果分子是3，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該在與之間，15與18之間只有質(zhì)數(shù)17，所以分?jǐn)?shù)是．同樣的道理，當(dāng)分子是5，7，11，13，17，19時(shí)可以得到下表．分子分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)211313517719于是，同時(shí)滿足題中條件的分?jǐn)?shù)共13個(gè)．5．一個(gè)六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個(gè)六位數(shù)的6個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被11整除的六位數(shù)【分析與解】設(shè)這個(gè)六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)．且、、、、、均不為0，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)．先考慮、、偶數(shù)位內(nèi)，、、奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有×=36種順序；再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種順序．所以，用均不為0的、、、、、最少可以排出36+36=72個(gè)能被11整除的數(shù)(包含原來的)．所以最少還能排出72-1=71個(gè)能被11整除的六位數(shù)．6．在大于等于1998，小于等于8991的整數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有多少個(gè)【分析與解】先考慮2000～8999之間這7000個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有7×10×=6300．但是1998，8992～8998這些數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字也不同，且1998在1998～8991內(nèi)，8992～8998這7個(gè)數(shù)不在1998～8991之內(nèi)．所以在1998～8991之內(nèi)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的有6300+1-7=6294個(gè)．7．個(gè)位、十位、百位上的3個(gè)數(shù)字之和等于12的三位數(shù)共有多少個(gè)【分析與解】12=0+6+6=0+5+7=0+4+8=0+3+9=1+5+6=1+4+7=1+3+8=1+2+9=2+5+5=2+4+6=2+3+7=2+2+8=3+4+5=3+3+6=4+4+4．其中三個(gè)數(shù)字均不相等且不含0的有7組，每組有種排法，共7×=42種排法；其中三個(gè)數(shù)字有只有2個(gè)相等且不含0的有3組，每組有÷2種排法，共有3×÷2=9種排法；其中三個(gè)數(shù)字均相等且不含0的只有1組，每組只有1種排法；在含有0的數(shù)組中，三個(gè)數(shù)字均不相同的有3組，每組有2種排法，共有3×2×=12種排法；在含有0的數(shù)組中，二個(gè)數(shù)字相等的只有1組，每組有2÷2種排法，共有2種排法．所以，滿足條件的三位數(shù)共有42+9+1+12+2=66個(gè)．8．一個(gè)自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”．例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個(gè)其中的第1996個(gè)數(shù)是多少【分析與解】我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、…、六位來逐組計(jì)算，所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9個(gè)；在二位數(shù)中，必須為形式的，即有9個(gè)(因?yàn)槭孜徊荒転?，下同)；在三位數(shù)中，必須為(、可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有9×10=90個(gè)；在四位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10個(gè)；在五位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10×10=900個(gè)；在六位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10×10=900個(gè)．所以共有9+9+90+90+900+900=1998個(gè)，最大的為999999，其次為998899，再次為997799．而第1996個(gè)數(shù)為倒數(shù)第3個(gè)數(shù)，即為997799．所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個(gè)，其中的第1996個(gè)數(shù)是997799．9．一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為6:24，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)【分析與解】設(shè)A:BC是滿足題意的時(shí)刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有×=1260種選法，即從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260個(gè)．10．用數(shù)字1，2組成一個(gè)八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個(gè)【分析與解】當(dāng)只有四個(gè)連續(xù)的1時(shí)，可以為11112***,211112**,*211112*,**211112，***21111，因?yàn)?號(hào)處可以任意填寫1或2，所以這些數(shù)依次有23，22，22，22，23個(gè)，共28個(gè)；當(dāng)有五個(gè)連續(xù)的l時(shí)，可以為111112**，2111112*，*2111112，**211111，依次有22，2，2，22個(gè)，共12個(gè)；當(dāng)有六個(gè)連續(xù)的1時(shí)，可以為1111112*，，*2111111，依次有2，1，2個(gè)，共5個(gè)；當(dāng)有七個(gè)連續(xù)的1時(shí)，可以為，，共2個(gè)：當(dāng)有八個(gè)連續(xù)的l時(shí)，只能是，共1個(gè)．所以滿足條件的八位數(shù)有28+12+5+2+1=48個(gè)．11．在1001，1002，…，2000這1000個(gè)自然數(shù)中，可以找到多少對(duì)相鄰的自然數(shù)，滿足它們相加時(shí)不進(jìn)位【分析與解】設(shè)為滿足條件的兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，有=+1．我們只用考察的取值情況即可．我們先不考慮數(shù)字9的情況(因?yàn)槿?，則為0，也有可能不進(jìn)位)，則只能取0，1，2，3，4；只能取0，1，2，3，4；只能取0，1，2，3，4；對(duì)應(yīng)的有5×5×5=125組數(shù)．當(dāng)=9時(shí)，有的下一個(gè)數(shù)為，要想在求和時(shí)不進(jìn)位，必須≤9，所以此時(shí)只能取0，1，2，3，4；而也只能取0，1，2，3，4；共有5×5=25組數(shù)．當(dāng)=99時(shí)，有的下一個(gè)數(shù)為，要想在求和時(shí)不進(jìn)位，必須+(+1)≤9，所以此時(shí)只能取0，1，2，3，4；共有5組數(shù)．所以，在1001，1002，…，2000這1000個(gè)自然數(shù)中，可以找到125+25+5=155對(duì)相鄰的自然數(shù)，滿足它們相加時(shí)不進(jìn)位．12．把1995，1996，1997，1998，1999這5個(gè)數(shù)分別填入圖20-1中的東、南、西、北、中5個(gè)方格內(nèi)，使橫、豎3個(gè)數(shù)的和相等．那么共有多少種不同填法【分析與解】顯然只要有“東”+“西”=“南”+“北”即可，剩下的一個(gè)數(shù)字即為“中”．因?yàn)轭}中五個(gè)數(shù)的千位、百位、十位均相同，所以只用考慮個(gè)位數(shù)字，顯然有5+9=6+8，5+8=6+7，6+9=7+8．先考察5+9=6+8，可以對(duì)應(yīng)為“東”+“西”=“南”+“北”，因?yàn)椤皷|”、“西”可以調(diào)換，“南”、“北”可以對(duì)調(diào)，有2×2=4種填法，而“東、西”，“南、北”可以整體對(duì)調(diào)，于是有4×2=8種填法．5+8=6+7，6+9=7+8同理均有8種填法，所以共有8×3=24種不同的填法．13．在圖20-2的空格內(nèi)各填人一個(gè)一位數(shù)，使同一行內(nèi)左面的數(shù)比右面的數(shù)大，同一列內(nèi)上面的數(shù)比下面的數(shù)小，并且方格內(nèi)的6個(gè)數(shù)字互不相同，例如圖20-3為一種填法．那么共有多少種不同的填法23圖20-2642753圖20-3【分析與解】為了方便說明，標(biāo)上字母：CD2AB3要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互換．但是，D只能取4，5，6，因?yàn)槿绻?，就找不到3個(gè)比它大的一位數(shù)了．當(dāng)D取4，5，6時(shí)分別剩下5，4，3個(gè)一位大數(shù)．有B、C可以互換位置．所有不同的填法共×2+×2+×2=10×2+4×2+1×2=30種．14．從1至9這9個(gè)數(shù)字中挑出6個(gè)不同的數(shù)填在圖20－4的6個(gè)圓圈內(nèi)，使任意相鄰兩個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)．那么共能找出多少種不同的挑法(6個(gè)數(shù)字相同、排列次序不同的都算同一種．)【分析與解】顯然任意兩個(gè)相鄰圓圈中的數(shù)一奇一偶，因此，應(yīng)從2、4、6、8中選3個(gè)數(shù)填入3個(gè)不相鄰的圓圈中．：填入2、4、6，這時(shí)3與9不能同時(shí)填入(否則總有一個(gè)與6相鄰，和3+6或9+6不是質(zhì)數(shù))．沒有3、9的有1種；有3或9的，其他3個(gè)奇數(shù)l、5、7要去掉1個(gè)，因而有2×3=6種，共1+6＝7種．：填入2、4、8．這時(shí)7不能填入(因?yàn)?+2，7+8都不是質(zhì)數(shù))，從其余4個(gè)奇數(shù)中選3個(gè)，有4種選法，都符合要求．：填入2、6、8．這時(shí)7不能填入，而3與9只能任選1個(gè)，因而有2種選法．：填入4、6、8．這時(shí)3與9只能任選1個(gè)，1與7也只能任選1個(gè)．因而有2×2=4種選法．共有7+4+2+4=17種選法15.一個(gè)骰子六個(gè)面上的數(shù)字分別為0，1，2，3，4，5，現(xiàn)在擲骰子，把每次擲出的點(diǎn)數(shù)依次求和，當(dāng)總點(diǎn)數(shù)超過12時(shí)就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現(xiàn)的總點(diǎn)數(shù)是幾課下練習(xí)：1.從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種．2.甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3，5，2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有

種不同的推選方法．3.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)．有

種不同的選法．4.從a、b、c、d這4個(gè)字母中，每次取出3個(gè)按順序排成一列，共有

種不同的排法．5.若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，則選派的方案有

種．6.有a，b，c，d，e共5個(gè)火車站，都有往返車，問車站間共需要準(zhǔn)備

種火車票．7.某年全國足球甲級(jí)聯(lián)賽有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一場(chǎng)，共進(jìn)行

場(chǎng)比賽．8.由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成

個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)．9.用0到9這10個(gè)數(shù)字可以組成

個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．10.（1）有5本不同的書，從中選出3本送給3位同學(xué)每人1本，共有

種不同的選法；

（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)每人1本，共有

種不同