二元一次方程組知識點及典型例題

二元一次方程組小結(jié)與復習一、知識梳理(一)二元一次方程組的有關(guān)概念.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1的方程叫作二元一次方程。.二元一次方程的一個解：適合一個二元一次方程的一對未知數(shù)的值，叫這個二元一次方程的一個解。任何一個二元一次方程都有無數(shù)個解。.方程組和方程組的解(1)方程組：由幾個方程組成的一組方程叫作方程組。(2)方程組的解：方程組中各個方程的公共解，叫作這個方程組的解。4.二元一次方程組和二元一次方程組的解(1)二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組。(2)二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫作這個二元一次方程組的解。(二)二元一次方程組的解法： 1.代入消元法 2.加減消元法二、典例剖析題型一1.二元一次方程及方程組的概念。二元一次方程的一般形式： 任何一個二元一次方程經(jīng)過整理、化簡后，都可以化成axbyc0(a,b,c為已知數(shù)，且a*0,b*0)的形式，這種形式叫二元一次方程的一般形式。練習1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？1 1一(A)6x25z6x(B) 7 (C).xy(D).xy2xy1xy練習2、若方程(m1)xm3y5n94是關(guān)于x、y的二元一次方程，求mn的值練習3、(1)若方程(2*6)x1n11+(n+2)ym28=1是二元一次方程，則m=?n=專題二：二元一次方程組的解法： 解二元一次方程組的基本思想是消元轉(zhuǎn)化。(一)、代入消元法：1、直接代入例1解方程組y2x3, ①4x3y1. ②

跟蹤訓練：解方程組:xy90(i) ，(2)y3x75x2y82、變形代入解方程組5x3xy4y9,10.跟蹤訓練:(1)2xy(2)y3x75x2y82、變形代入解方程組5x3xy4y9,10.跟蹤訓練:(1)2xy4，4x5y23.x5y20,3xy12.(2)x3x2y7y27①②4x8y123x2y5②（二）、加減消兀法例題、解方程組（1）xy43x4y53x5y13,(2)(3).2xy52x2y34x3y10.、一4x跟蹤訓練：（1）3x2y2y107(3)i②2口+4尸=10 (2)(4)2iy0&5x2y152x3y20—2y9⑹1V1，3x2y10;（三）、選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M(1)y23(x1),2(y1)(x3)5.⑵2(x4)(y3) 44(x4)5(y3) 23111(y2)3(4)3(x1)4(3y4) 3?2—y+2=025_2x=^+23 6題型三：代數(shù)式的變形1、在方程3工-；尸=5中，用含近的代數(shù)式表示了為：y=,當x=3時，＞O2、在二元一次方程x+2y=11中，用含x的式子表示y得題型四：有關(guān)二元一次方程組的解：(1)二元一次方程3a+b=9在正整數(shù)范圍內(nèi)的解的個數(shù)是.(2)已知(3x—2y+1)2與|4x—3y—3|互為相反數(shù)，貝Ux=2y= (3)若方程組3x2ym3的解互為相反數(shù)，求m的值。16k,并求當解滿足方程16k,并求當解滿足方程4x-3y=21時的k值.10k(4)解關(guān)于x,y的方程組3X2y5x4yax3by12.若萬程組, 與萬程組2xy53x4y23y 有相同的解，求a,b的值。2axby10(6):若方程組2x3y4(6):若方程組4x5y6的解是方程ax-by=4的解，你能求出a、b的值嗎?題型五：墨漬題練習1、已知方程組axby3,甲正確的解得x2,而乙粗心，把c看錯了，解得5xcy1 y3x3,求a、b、c的值。y6

練習2、一個被滴上墨水的方程組如下:?x?y2?x7y8，小明回憶到：“這個方程組的解為而我求出的解是2,練習2、一個被滴上墨水的方程組如下:?x?y2?x7y8，小明回憶到：“這個方程組的解為而我求出的解是2,經(jīng)檢查后發(fā)現(xiàn)，我的錯誤是由于看錯了第二個方程2中x的系數(shù)所致"，請你根據(jù)小明的回憶，把原方程組還原出來。練習 . mx3:小明和小華同時解方程組2xy5，小明看錯了ny137X—ml解彳導x2，小華看錯y2了n,解得x3,則原方程組正確的解是多少?y7題型六：方程組的解的情況例題.已知關(guān)于x,y例題.已知關(guān)于x,y的方程組ax2y1a2x2(a1)y3當a當a為何值時，方程組（1）有唯一一組解；（2）無解;（3）有無窮多組解.變式：（1）當a為何值時，方程組ax2y…有唯一的解3xy33**w=3②(3)-(1): (6-a)x=55當aw6時，方程有唯一的斛x 變式：（1）當a為何值時，方程組ax2y…有唯一的解3xy33**w=3②(3)-(1): (6-a)x=55當aw6時，方程有唯一的斛x 6ax2y1當m為何值時，方程組 y 有無窮多解?2xmy2「x+2y=l①2x+ngr=2②u —(1)X2:2x+4y=2 (3)⑶-(2): (4-m)y=04-m=0即m=4,有無窮多解(1)分析:題型七：應用題（分配調(diào)運問題）某校師生到甲、乙兩個工廠參加勞動，如果從甲廠抽 9人到乙廠，則兩廠的人數(shù)相同；如果從乙廠抽5人到甲廠，則甲廠的人數(shù)是乙廠的2倍,到兩個工廠的人數(shù)各是多少?甲廠人數(shù)乙廠從甲廠曲g）金立廠由E人f解：設到甲工廠的人數(shù)為x人，到乙工廠的人數(shù)為題中的兩個相等關(guān)系：1、抽9人后到甲工廠的人數(shù)=到乙工廠的人數(shù)可列方程為：x-9=2、抽5人后到甲工廠的人數(shù)=可列方程為： （行程問題）甲、乙二人相距6km,二人同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行,時相遇。二人的平均速度各是多少?解：設甲每小時走x千米，乙每小時走y千米鎮(zhèn)口全市人口今:年明軍題中的兩個相等關(guān)系：1、同向而行：甲的路程二乙的路程+可列方程為： 2、相向而行：甲的路程+=可列方程為： （百分數(shù)問題）某市現(xiàn)有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人口增加1.1%,這樣全市人口將增加1%,求這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口？解：這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人題中的兩個相等關(guān)系：1、現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口+=現(xiàn)在全市總?cè)丝诳闪蟹匠虨椋?/p>

2、明年增加后的城鎮(zhèn)人口+=明年全市總?cè)丝诳闪蟹匠虨椋海?+0.8%）x+=（分配問題）某幼兒園分萍果，若每人3個，則剩2個，若每人4個，則有一個少1個,問幼兒園有幾個小朋友？ 解：設幼兒園有x個小朋友，萍果有y個題中的兩個相等關(guān)系：1、萍果總數(shù)=每人分3個+可列方程為:（濃度分配問題）要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？解：設含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%題中的兩個相等關(guān)系：1、萍果總數(shù)=每人分3個+可列方程為:（濃度分配問題）要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？解：設含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克。 題中的兩個相等關(guān)系 ：+含鹽85%的鹽水中鹽的重量=可列方程為：10%x+=2、含鹽10%的鹽水重量+含鹽85%的鹽水重量=可列方程為：x+y=1CTO配7K含急毓a謝鹽水含鹽重量‘3卸￡水含鼾1、含鹽10%的鹽水中鹽的重量（金融分配問題）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能與每千克售 3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的雜拌糖200千克？解：設每千克售 4.2元的糖果為x千克，每千克售3.4元的糖果為y千克每千克售4.文元糖果克唾果千i號售元豆6黑千？耀僮果銷售總價題中的兩個相等關(guān)系 ：每千克售4.2元的糖果銷售總價+=可列方程為： 每千克售4.2元的糖果重量+=可列方程為： （幾何分配問題）如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為 48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少?解：設小長方形的長是x厘米，寬是y厘米題中的兩個相等關(guān)系：1、小長方形的長+ =大長方形的寬可列方程為： 2、小長方形的長= 可列方程為： （材料分配問題）一張桌子由桌面和四條腳組成， 1立方米的木材可制成桌面50張或制作桌腳300條，現(xiàn)有5立方米的木材，問應如何分配木材，可以使桌面和桌腳配套?1立萬米#桓位直米木材解：設 題中的兩個相等關(guān)系：1、制作桌面的木材+.可列方程為： 2、所有桌面的總數(shù)：所有桌腳的總數(shù) =可列方程為： （數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大 5,如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)?解：設個位數(shù)字為x,十位數(shù)字為V。題中的兩個相等關(guān)系： 1、個位數(shù)字=列方程為： 2、新兩位數(shù)=可列方程為：（分配調(diào)運）一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽運公司的甲、乙兩種貨車，已知過去第一次第二次第一^第二次甲貨車運貨重量2第一次第二次第一^第二次甲貨車運貨重量2乙貨車運貨重量貨車和6輛乙種貨車，一次剛好運完這批貨物，問甲乙兩種貨車的載重量分別是多少噸？解：設 題中的兩個相等關(guān)系:1、第一次：甲貨車運的貨物重量+=36可列方程為： 、第二次：甲貨車運的貨物重量+=26可列方程為： 方案問題.北京和上海都有某種儀器可供外地使用，其中北京可提供 10臺，上?？商峁?臺。已知重慶需要8臺，武漢需要6臺，從北京上海將儀器運往重慶、武漢的費用如下表所示、有關(guān)部門計劃用8000元運送這些儀器。請你設計一種方案，使武漢、重慶能夠得到所需的儀器，而且運費正好夠用。運費表：（占、 八、、7武漢（元/臺）（元/臺）北京400800上海300500二元一次方程組 課后練習（一）：一、填空題：3五+衛(wèi)=-11、用加減消元法解方程組 ，由①X2一②得 。4工+21y=12、在方程3'一11y=5中，用含k的代數(shù)式表示了為：y= ,當或=3時，1y43、在代數(shù)式3用+5用-歸中，當端=—2,內(nèi)=1時，它的值為1,則無=；當跳=2,=-3時代數(shù)式的值是。用k十？砂=1 f3^-v=64、已知方程組 與 有相同的解，則嚙=，忽=。5彳-科衛(wèi)二福-2 [4a+2y=85、若3y+5y+k+7一2|=0,則或=,尸=。6、有一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為11,把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，所得的新數(shù)比原數(shù)大63,設原兩位數(shù)的個位數(shù)字為尤，十位數(shù)字為尸，則用代數(shù)式表示原兩位數(shù)為，根據(jù)題意得方程組4 。7、如果工=3,尸=27、如果工=3,尸=2是方程6工+故、=18、若 「是關(guān)于矛、廠的方程卜二-29、已知（a，-[十1=2,那么次一厘，二、選擇題：2工—y—1Pa=210、在方程組 ？「、二[j=3w+l -z=天二1?中，是二e-次方程組的有（V'=1=32的解，則1f=。的一個解，且3十由二,則nC—2b=。十1的值是?！?「 「11工十*二。 孫二1 一+一二1=1、3x-y-5工+27=3、 1、Lv L= xA-y-1）A2個B、3個C、4個D、5個ii、如果弘門加箱和一七J、打是同類項，則X、y的值是（）AX=-3,￥=2B、式=2,尸=—3C式=—2,￥=3D、式=3,尸=—2已充十少三1已充十少三1的解，則堞、上間的關(guān)系是（）cx-by=212、已知 是方程組&b=-2 1AAb—9tl=1B、3G+2a=1C、4b—9d=—1D、13、若二元一次方程3x-y=l,2x+3尸=1,v=七靠一9有公共解，則止的取值為（）A3B、-3C、-4D、414、若二元一次方程34-2y=1有正整數(shù)解，則汽的取值應為（）A正奇數(shù)B、正偶數(shù)C、正奇數(shù)或正偶數(shù)D、03M十y-1十%15、若方程組「 ， 的解滿足X+J>0,則高的取值范圍是（）x+3y-1-RAGv—1B、M<1C、S>—1D、出>116、方程厘=乂-1是二元一次方程，則就的取值為（）A次工0B、Gw—1C、白金1D、0豐1ax4-iy=217、解方程組1er-ly-ax4-iy=217、解方程組1er-ly-Sx=3而正確的解是（時，一學生把白看錯而得\b=2那么修、上、C的值是（ ）A不能確定 B、4=4,上=5,二=一2C晶、七不能確定，仁=—2D、a=4,占=7,1=218、當X=2時，代數(shù)式/—十氏+1的值為6,那么當X=-2時這個式子的值為（

A6B、一4C、5D、119、設A、B兩鎮(zhèn)相距支千米，甲從A鎮(zhèn)、乙從B鎮(zhèn)同時出發(fā)，相向而行，甲、乙行駛的速度分別為比千米/小時、V千米/小時，①出發(fā)后30分鐘相遇；②甲到B鎮(zhèn)后立即返回，追上乙時又經(jīng)過了30分鐘；③當甲追上乙時他倆離A鎮(zhèn)還有4千米。求工、觀、u。根據(jù)題意，由條件③，有四位同學各得到第 3個方程如下，其中錯誤的一個是（ ）A、A、B、C、D、x-v=A三、解方程組:尤十4_y=14齊-3y_3_1

n~~^r=12四、列方程（組）解應用題：22、王大伯承包了25畝土地，今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜， 用去了44000元。其中種茄子每畝用了1700元，獲純利2400元；種西紅柿每畝用了1800元，獲純利2600元。問王大伯一共獲純利多少元？23、在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調(diào)查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車輛數(shù)） ，三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時 10000輛”；乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多 2000輛”；丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的 2倍”；請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？五、綜合題：2^4*y-6m24、已知關(guān)于工、中的二元一次方程組 的解滿足二元一次方程3"2A=2陽j-y=4,求幅的值。25、某同學在A、B兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的 4倍少8元。

（1）求該同學看中的隨身聽和書包單價各是多少元?（2）某一天該同學上街，恰好趕上商家促銷，超市 A所有商品打八折銷售，超市B全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購買看中的這兩樣物品， 你能說明他可以選擇哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？三、歷年中考試題中二元一次方程組的整理表格中捐款1.某校初三（2）班40名同學為“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情況如下表:表格中捐款捐款（元）1234人數(shù)672元和3元的人數(shù)不小心被墨水污染已經(jīng)看不清楚若設捐款2元的有X名同學，捐款3元的有y名同學，根據(jù)題意，可得方程組（ ）xy27(A) ， 出2x3y66xy272x3y100xy27(A) ， 出2x3y66xy272x3y100(C)x3xy272y66(D)xy273x2y100.已知二元一次方程組為 2xy7,則xy ,xy x2y84x3y1..若方程組 y'的解x與y相等，則aax(a1)y3.TOC\o"1-5"\h\z3m5n94m2n7 m.若3x 4y 2是二元一次方程，則m值等于n.有一個兩位數(shù)，減去它各位數(shù)字之和的 3倍，值為23,除以它各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,則這樣的兩位數(shù)（ ）A.不存在 B.有惟一解 C.有兩個 D.有無數(shù)解.4x+1=n（x—2）+n（x—5），貝Umn的值是（ ）m 4 m4m 4 m4A. B.n 1 n1C.n7 m7D.n3 n3ax3y9.如果方程組 ，無解，則2為（ ）2xy1A.6B.C.9D.

A.6B.C.9D.3x2y2k.若方程組3x2y2k的解之和：x+y=—5,求k的值，并解此方程組5x4yk3.以方程組yx2的解為坐標的點（x,y）在平面直角坐標系中的位置是（ ）yx1A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限.若關(guān)于x,y的方程組2xym的解是x2,則|m門|為（xmyny1A.1B.3 C.5D.2A.1B.3 C.5D.211.若關(guān)于11.若關(guān)于x,y的二元一次方程組xy5k,’ 的解也是二元一次方程2x3y6的解,xy9k3-44-33-44-3.已知代數(shù)式3xm1y3與^xnymn是同類項，那么m、n的值分別是（ ）2A.B.C.D.A.B.C.D.二、應用問題的整理.為了防控甲型H1N1流感，某校積極進行校園環(huán)境消毒，購買了甲、乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶.（1）如果購買這兩種消毒液共用 780元，求甲、乙兩種消毒液各購買多少瓶？（2）該校準備再次,購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），使乙種瓶數(shù)是甲種瓶數(shù)的2倍，且所需費用不多于.1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購買多少瓶？14.在直角坐標系中有兩條直線:14.在直角坐標系中有兩條直線:9和y-x6,它們的交點為P,第一條直線x軸交于點B.（2）求^PABx軸交于點B.（2）求^PAB的面積.（1）求A,B兩點的坐標..一群學生前往位于青田縣境內(nèi)的灘坑電站建設工地進行社會實踐活動，男生戴白色安全帽，女生戴紅色安全帽.休息時他們坐在一起，大家發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，每位男生看到白色與紅色的安全帽一樣多，而每位女生看到白色的安全帽是紅色的 2倍.問題：根據(jù)這些信息，請你推測這群學生共有多少人？.在“家電下鄉(xiāng)”活動期間，凡購買指定家用電器的農(nóng)村居民均可得到該商品售價 13%勺財政補貼.村民小李購買了一臺A型洗衣機，小王購買了一臺 B型洗衣機，兩人一共得到財政補貼351元，又知B型洗衣機售價比A型洗衣機售價多500元.求：A型洗衣機和B型洗衣機的售價各是多少元？(2)小李和小王購買洗衣機除財政補貼外實際各付款多少元？.某服裝專賣店老板對第一季度男、女服裝的銷售收入進行統(tǒng)計，并繪制了扇形統(tǒng)計圖(如圖).由于三月份開展促銷活動，男、女服裝的銷售收入