公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件

人的差異在于業(yè)余時(shí)間公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的人的差異在于業(yè)余時(shí)間公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的§13.4直接證明與間接證明要點(diǎn)梳理1.直接證明(1)綜合法①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論,這種證明方法叫綜合法.②框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論）.推理論證成立基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)(2)分析法①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.這種證明方法叫做分析法.②框圖表示：

2.間接證明反證法：假設(shè)原命題，經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法.要證明的結(jié)論充分條件得到一個(gè)明顯成立的條件.不成立矛盾人的差異在于業(yè)余時(shí)間公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的公理定理等經(jīng)過(guò)一系1公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件2公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件3公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件4公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件53.若a<b<0，則下列不等式中成立的是()A.B.C.D.解析C3.若a<b<0，則下列不等式中成立的是()C64.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，abc>0，則的值 ()A.一定是正數(shù)B.一定是負(fù)數(shù)C.可能是0D.正、負(fù)不能確定解析（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0且a2+b2+c2>0(由abc>0知a,b,c均不為零)，∴ab+bc+ac<0,B4.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，abc>0，則75.用分析法證明：欲使①A>B,只需②C<D,這里①是②的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即②①，所以①是②的必要條件.B5.用分析法證明：欲使①A>B,只需②C<D,這里①B8題型一綜合法設(shè)a,b,c>0,證明：

本題因?yàn)橛腥?xiàng)分式，不主張用分析法.綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn)用和對(duì)題設(shè)條件的運(yùn)用.這里可從去分母的角度去運(yùn)用基本不等式.證明∵a,b,c>0，根據(jù)基本不等式，題型分類深度剖析題型分類深度剖析9

綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過(guò)程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.知能遷移1已知x+y+z=1，求證：證明∵x2+y2≥2xy，x2+z2≥2xz，

y2+z2≥2yz，∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=1.綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析10題型二分析法（12分）已知函數(shù)f(x)=tanx,

本題若使用綜合法進(jìn)行推演，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)較難處理，因此，可考慮分析法.證明2分題型二分析法2分11∴cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,6分故只需證明1+cos(x1+x2)>2cosx1·cosx2,8分即證1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2,即證：cos(x1-x2)<1.10分4分12分xx4分12分xx12分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來(lái)講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說(shuō),即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證.分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明13知能遷移2已知a>0,求證:證明

知能遷移2已知a>0,求證:14公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件15題型三反證法若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y>2,求證：中至少有一個(gè)成立.

本題結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn)，從正面思考有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明.

證明因?yàn)閤>0且y>0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，題型三反證法因?yàn)閤>0且y>0,16所以x+y≤2，這與已知條件x+y>2相矛盾，

(1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.（2）利用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤.所以x+y≤2，這與已知條件x+y>2相矛盾，17知能遷移3已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.“不能同時(shí)大于”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明.

證明

方法一假設(shè)三式同時(shí)大于，

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.知能遷移3已知a、b、c∈(0,1),求證:18方法二假設(shè)三式同時(shí)大于∵0<a<1,∴1-a>0,方法二假設(shè)三式同時(shí)大于∵0<a<1,∴1-a>0,19題型四分析法與綜合法的綜合應(yīng)用若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證:用分析法得到再用綜合法證明.證明方法一題型四分析法與綜合法的綜合應(yīng)用20（*）又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，∴（*）式等號(hào)不成立，∴原不等式成立.方法二∵a、b、c∈R+，又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，（*）又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，又∵a、b、c是不全相21分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過(guò)程，恰好是綜合法的分析、思考過(guò)程，綜合法是分析法的逆過(guò)程.公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件22知能遷移4設(shè)a，b均為正數(shù)，且a≠b,求證:a3+b3

>a2b+ab2.

證明方法一（分析法）要證a3+b3>a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因?yàn)閍+b>0,只需證a2-ab+b2>ab成立.又需證a2-2ab+b2>0成立，即需證（a-b）2>0成立.而依題設(shè)a≠b,則(a-b)2>0顯然成立，由此命題得證.知能遷移4設(shè)a，b均為正數(shù)，且a≠b,求證:a3+b323方法二（綜合法）a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0a2-ab+b2>ab. (*)而a,b均為正數(shù)，∴a+b>0，由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),∴a3+b3>a2b+ab2.方法二（綜合法）24思想方法感悟提高方法與技巧1.分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知.2.綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái).思想方法感悟提高254.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般分下面幾個(gè)步驟:第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真.第三步所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.4.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般分下面幾個(gè)步驟:26失誤與防范1.利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.2.用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證（欲證）”…“即要證”…“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立.失誤與防范27一、選擇題1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1(x1,y1)、

P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2=x1+x3，則有 ()A.|FP1|+|FP2|=|FP3|B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

解析如圖所示，y2=2px的準(zhǔn)線為

P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.定時(shí)檢測(cè)一、選擇題定時(shí)檢測(cè)28由拋物線定義知：P1F=P1A=P2F=P2B=P3F=P3C=∴2|FP2|=又∵2x2=x1+x3，∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|.答案

C由拋物線定義知：292.用反證法證明“如果a>b,那么”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 ()A.B.C.D.解析D2.用反證法證明“如果a>b,那么”假設(shè)內(nèi)容D303.a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2+c2=2bc，則下列關(guān)系中可能成立的是()A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b解析由a2+c2>2ac2bc>2acb>a,可排除A、D,令a=2,可得c=1或4，可知C可能成立.C3.a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2+c2=2bc，則下列314.設(shè)x、y、z∈R+，則a、b、c三數(shù) ()A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2解析假設(shè)a、b、c都小于2，則a+b+c<6,而事實(shí)上：a+b+c=∴a、b、c中至少有一個(gè)不小于2.C4.設(shè)x、y、z∈R+，C325.已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b,則下列不等式中成立的是 ()A.B.a2>b2C.|a+b|>|a-b|D.解析

∵a>b,∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立；

a2>b2(a-b)(a+b)>0,5.已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b,則下列不等式中成33∵a-b>0，只有當(dāng)a+b>0時(shí)，a2>b2成立，故B不一定成立；|a+b|>|a-b|(a+b)2>(a-b)2ab>0,而ab<0也有可能，故C不一定成立；∵a,b非零，a>b,∴上式一定成立，因此只有D正確.答案

D∵a-b>0，只有當(dāng)a+b>0時(shí)，a2>b2成立，故B不一定346.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：

(1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2;(4)a2+b2>2;(5)ab>1.其中能推出：“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A.(2)(3)B.(1)(2)(3)C.(3)D.(3)(4)(5)

解析但a<1,b<1,故（1）推不出；6.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：35若a=b=1,則a+b=2,故（2）推不出；若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故（4）推不出；若a=-2,b=-3,則ab>1,故（5）推不出；對(duì)于（3），即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a,b中至少有一個(gè)大于1.答案

C若a=b=1,則a+b=2,故（2）推不出；36二、填空題7.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題:函數(shù)f（x）在［0,1］上有意義，且f（0）=f（1），如果對(duì)于不同的x1，x2∈［0，1］，都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|,求證：|f（x1）-f（x2）|<.那么它的反設(shè)應(yīng)該是

.“x1，x2∈［0,1］,使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥”二、填空題“x1，x2∈［0,1］,使得|f(x1)-f378.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,有

已知函數(shù)y=sinx在區(qū)間（0,π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為

.解析∵f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，且A、B、C∈（0，π），8.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是38答案答案399.設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若x⊥z,且y⊥z，則x∥y”為真命題的是

.(填寫所有正確條件的代號(hào))①x為直線，y,z為平面；②x,y,z為平面；③x,y為直線,z為平面；④x,y為平面,z為直線；⑤x,y,z為直線.解析①中x⊥平面z,平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x平面y.又∵x平面y，故x∥y成立.9.設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不40②中若x,y,z均為平面,則x可與y相交,故②不成立.③x⊥z,y⊥z,x,y為不同直線，故x∥y成立.④z⊥x，z⊥y，z為直線，x,y為平面可得x∥y,④成立.⑤x,y,z均為直線可異面垂直，故⑤不成立.答案

①③④②中若x,y,z均為平面,則x可與y相交,故②不成立.41三、解答題10.(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù),求證:（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3;(2)若x∈R，不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立？如果成立,請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值.

（1）證明

x是正實(shí)數(shù)，由均值不等式知

x+1≥2，x2+1≥2x，x3+1≥2，故（x+1）(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）.三、解答題42（2）解若x∈R,不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.由（1）知，當(dāng)x>0時(shí)，不等式成立；當(dāng)x≤0時(shí)，8x3≤0,而（x+1）(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)此時(shí)不等式仍然成立.（2）解若x∈R,不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)4311.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若am,am+2,

am+1(m∈N*)成等差數(shù)列,試判斷Sm,Sm+2,Sm+1是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

解設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為

q(a1≠0,q≠0),若am,am+2,am+1成等差數(shù)列，則2am+2=am+am+1.∴2a1qm+1=a1qm-1+a1qm.∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0.解得q=1或11.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若am,am+244當(dāng)q=1時(shí)，∵Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1,∴2Sm+2≠Sm+Sm+1.∴當(dāng)q=1時(shí)，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，Sm，Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.下面給出證明：方法一∵（Sm+Sm+1）-2Sm+2=(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2)=-am+1-2am+2=-am+1-2am+1q當(dāng)q=1時(shí)，∵Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,45∴2Sm+2=Sm+Sm+1.∴當(dāng)時(shí)，Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.方法二∴2Sm+2=Sm+Sm+1.46公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件4712.已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù).求證：由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b

確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（即任何一條拋物線與x

軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)），由y=ax2+2bx+c,

y=bx2+2cx+a,

y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,12.已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù).48Δ3=(2a)2-4bc≤0.上述三個(gè)同向不等式相加得，4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,∴a=b=c,這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證.返回Δ3=(2a)2-4bc≤0.返回4951、天下之事常成于困約，而敗于奢靡。——陸游

52、生命不等于是呼吸，生命是活動(dòng)?！R梭

53、偉大的事業(yè)，需要決心，能力，組織和責(zé)任感。——易卜生

54、唯書籍不朽。——喬特

55、為中華之崛起而讀書?！芏鱽?lái)謝謝！51、天下之事常成于困約，而敗于奢靡?！懹?/p>

52、50人的差異在于業(yè)余時(shí)間公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的人的差異在于業(yè)余時(shí)間公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的§13.4直接證明與間接證明要點(diǎn)梳理1.直接證明(1)綜合法①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論,這種證明方法叫綜合法.②框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論）.推理論證成立基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)(2)分析法①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.這種證明方法叫做分析法.②框圖表示：

2.間接證明反證法：假設(shè)原命題，經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法.要證明的結(jié)論充分條件得到一個(gè)明顯成立的條件.不成立矛盾人的差異在于業(yè)余時(shí)間公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的公理定理等經(jīng)過(guò)一系51公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件52公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件53公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件54公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件553.若a<b<0，則下列不等式中成立的是()A.B.C.D.解析C3.若a<b<0，則下列不等式中成立的是()C564.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，abc>0，則的值 ()A.一定是正數(shù)B.一定是負(fù)數(shù)C.可能是0D.正、負(fù)不能確定解析（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0且a2+b2+c2>0(由abc>0知a,b,c均不為零)，∴ab+bc+ac<0,B4.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，abc>0，則575.用分析法證明：欲使①A>B,只需②C<D,這里①是②的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即②①，所以①是②的必要條件.B5.用分析法證明：欲使①A>B,只需②C<D,這里①B58題型一綜合法設(shè)a,b,c>0,證明：

本題因?yàn)橛腥?xiàng)分式，不主張用分析法.綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn)用和對(duì)題設(shè)條件的運(yùn)用.這里可從去分母的角度去運(yùn)用基本不等式.證明∵a,b,c>0，根據(jù)基本不等式，題型分類深度剖析題型分類深度剖析59

綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過(guò)程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.知能遷移1已知x+y+z=1，求證：證明∵x2+y2≥2xy，x2+z2≥2xz，

y2+z2≥2yz，∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz.∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=1.綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析60題型二分析法（12分）已知函數(shù)f(x)=tanx,

本題若使用綜合法進(jìn)行推演，三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)較難處理，因此，可考慮分析法.證明2分題型二分析法2分61∴cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,6分故只需證明1+cos(x1+x2)>2cosx1·cosx2,8分即證1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2,即證：cos(x1-x2)<1.10分4分12分xx4分12分xx62分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來(lái)講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說(shuō),即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證.分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明63知能遷移2已知a>0,求證:證明

知能遷移2已知a>0,求證:64公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件65題型三反證法若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y>2,求證：中至少有一個(gè)成立.

本題結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn)，從正面思考有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明.

證明因?yàn)閤>0且y>0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，題型三反證法因?yàn)閤>0且y>0,66所以x+y≤2，這與已知條件x+y>2相矛盾，

(1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.（2）利用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤.所以x+y≤2，這與已知條件x+y>2相矛盾，67知能遷移3已知a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.“不能同時(shí)大于”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明.

證明

方法一假設(shè)三式同時(shí)大于，

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.知能遷移3已知a、b、c∈(0,1),求證:68方法二假設(shè)三式同時(shí)大于∵0<a<1,∴1-a>0,方法二假設(shè)三式同時(shí)大于∵0<a<1,∴1-a>0,69題型四分析法與綜合法的綜合應(yīng)用若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證:用分析法得到再用綜合法證明.證明方法一題型四分析法與綜合法的綜合應(yīng)用70（*）又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，∴（*）式等號(hào)不成立，∴原不等式成立.方法二∵a、b、c∈R+，又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，（*）又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，又∵a、b、c是不全相71分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過(guò)程，恰好是綜合法的分析、思考過(guò)程，綜合法是分析法的逆過(guò)程.公理定理等經(jīng)過(guò)一系列的課件72知能遷移4設(shè)a，b均為正數(shù)，且a≠b,求證:a3+b3

>a2b+ab2.

證明方法一（分析法）要證a3+b3>a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因?yàn)閍+b>0,只需證a2-ab+b2>ab成立.又需證a2-2ab+b2>0成立，即需證（a-b）2>0成立.而依題設(shè)a≠b,則(a-b)2>0顯然成立，由此命題得證.知能遷移4設(shè)a，b均為正數(shù)，且a≠b,求證:a3+b373方法二（綜合法）a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0a2-ab+b2>ab. (*)而a,b均為正數(shù)，∴a+b>0，由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),∴a3+b3>a2b+ab2.方法二（綜合法）74思想方法感悟提高方法與技巧1.分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知.2.綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái).思想方法感悟提高754.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般分下面幾個(gè)步驟:第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真.第三步所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.4.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般分下面幾個(gè)步驟:76失誤與防范1.利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.2.用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證（欲證）”…“即要證”…“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立.失誤與防范77一、選擇題1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1(x1,y1)、

P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2=x1+x3，則有 ()A.|FP1|+|FP2|=|FP3|B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

解析如圖所示，y2=2px的準(zhǔn)線為

P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.定時(shí)檢測(cè)一、選擇題定時(shí)檢測(cè)78由拋物線定義知：P1F=P1A=P2F=P2B=P3F=P3C=∴2|FP2|=又∵2x2=x1+x3，∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|.答案

C由拋物線定義知：792.用反證法證明“如果a>b,那么”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 ()A.B.C.D.解析D2.用反證法證明“如果a>b,那么”假設(shè)內(nèi)容D803.a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2+c2=2bc，則下列關(guān)系中可能成立的是()A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b解析由a2+c2>2ac2bc>2acb>a,可排除A、D,令a=2,可得c=1或4，可知C可能成立.C3.a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2+c2=2bc，則下列814.設(shè)x、y、z∈R+，則a、b、c三數(shù) ()A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2解析假設(shè)a、b、c都小于2，則a+b+c<6,而事實(shí)上：a+b+c=∴a、b、c中至少有一個(gè)不小于2.C4.設(shè)x、y、z∈R+，C825.已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b,則下列不等式中成立的是 ()A.B.a2>b2C.|a+b|>|a-b|D.解析

∵a>b,∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立；

a2>b2(a-b)(a+b)>0,5.已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b,則下列不等式中成83∵a-b>0，只有當(dāng)a+b>0時(shí)，a2>b2成立，故B不一定成立；|a+b|>|a-b|(a+b)2>(a-b)2ab>0,而ab<0也有可能，故C不一定成立；∵a,b非零，a>b,∴上式一定成立，因此只有D正確.答案

D∵a-b>0，只有當(dāng)a+b>0時(shí)，a2>b2成立，故B不一定846.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：

(1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2;(4)a2+b2>2;(5)ab>1.其中能推出：“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A.(2)(3)B.(1)(2)(3)C.(3)D.(3)(4)(5)

解析但a<1,b<1,故（1）推不出；6.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：85若a=b=1,則a+b=2,故（2）推不出；若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故（4）推不出；若a=-2,b=-3,則ab>1,故（5）推不出；對(duì)于（3），即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a,b中至少有一個(gè)大于1.答案

C若a=b=1,則a+b=2,故（2）推不出；86二、填空題7.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題:函數(shù)f（x）在［0,1］上有意義，且f（0）=f（1），如果對(duì)于不同的x1，x2∈［0，1］，都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|,求證：|f（x1）-f（x2）|<.那么它的反設(shè)應(yīng)該是

.“x1，x2∈［0,1］,使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥”二、填空題“x1，x2∈［0,1］,使得|f(x1)-f878.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,有

已知函數(shù)y=sinx在區(qū)間（0,π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為

.解析∵f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，且A、B、C∈（0，π），8.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是88答案答案899.設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若x⊥z,且y⊥z，則x∥y”為真命題的是

.(填寫所有正確條件的代號(hào))①x為直線，y,z為平面；②x,y,z為平面；③x,y為直線,z為平面；④x,y為平面,z為直線；⑤x,y,z為直線.解析①中x⊥平面z,平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x平面y.又∵x平面y，故x∥y成立.9.設(shè)x,y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不90②中若x,y,z均為平面,則x可與y相交,故②不成立.③x⊥z,y⊥z,x,y為不同直線，故x∥y成立.④z⊥x，z⊥y，z為直線，x,y為平面可得x∥y,④成立.⑤x,y,z均為直線可異面垂直，故⑤不成立.答案

①③④②中若x,y,z均為平面,則x可與y相交,故②不成立.91三、解答題10.(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù),求證:（x+1）(x2+1)(